向量(原卷版)-【考前終極復(fù)習(xí)】高考剖析及2022年高考數(shù)學(xué)備考指南

“向量”高考剖析及2022年備考指南目錄一、考查內(nèi)容分析 21. 題型、分值合理分布，考點(diǎn)熟悉穩(wěn)定 22、側(cè)重考查主干知識(shí)，設(shè)問(wèn)常態(tài)基礎(chǔ) 22. 適當(dāng)與其他知識(shí)融合，應(yīng)用全面廣泛 33. 代數(shù)和幾何各顯神通，解法創(chuàng)新多樣 3二、命題思路分析 31.基本運(yùn)算，大顯功力 32.平行垂直，各有擔(dān)當(dāng) 63.融會(huì)貫通，推陳出新 84.立足幾何，首當(dāng)其沖 15三、復(fù)習(xí)建議 221.正本清源，加深概念理解 222.勤練內(nèi)功，加強(qiáng)運(yùn)算訓(xùn)練 223.縱橫捭闔，增大知識(shí)融合 224.立意高遠(yuǎn)，關(guān)注終身發(fā)展 22

“向量”高考剖析及2022年備考指南高中數(shù)學(xué)課程中向量的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)代數(shù)與幾何的聯(lián)系，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育及應(yīng)用能力的提升，是培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要載體.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景，向量是描述直線、平面、曲面及高維空間數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問(wèn)題的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著重要作用.向量既具有方向與大小的二維特征，又可以通過(guò)平面的二元有序數(shù)組（二維坐標(biāo)）、空間的三元有序數(shù)組（三維坐標(biāo)）來(lái)表示，進(jìn)而為未來(lái)高維空間的數(shù)學(xué)問(wèn)題學(xué)習(xí)做好鋪墊.學(xué)生容易通過(guò)向量的幾何表示（即有向線段的圖形）認(rèn)識(shí)向量的方向與大小，但從二元有序數(shù)組（x,y）中認(rèn)識(shí)向量的方向與大小是有一定難度的.只有解決“數(shù)”與“方向和大小”的問(wèn)題,才能為學(xué)生認(rèn)識(shí)三元有序數(shù)組（x,y,z）和n元有序數(shù)組的方向和大小問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).平面向量?jī)?nèi)容讓代數(shù)與幾何有機(jī)聯(lián)系,與函數(shù)、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何、不等式等主干內(nèi)容緊密相關(guān),重要性不言而喻.在2021年高考數(shù)學(xué)平面向量試題中,更多考查向量的基礎(chǔ)性、工具性作用,考查學(xué)生從多個(gè)角度、靈活多樣思考與解決此類問(wèn)題的不同方法,考查轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等重要數(shù)學(xué)思想方法,考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法的能力,顯現(xiàn)高考試題的選拔功能.同時(shí),還通過(guò)高考試題引導(dǎo)平面向量教學(xué)回歸到對(duì)向量本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí).一、考查內(nèi)容分析題型、分值合理分布，考點(diǎn)熟悉穩(wěn)定綜觀2021年高考數(shù)學(xué)平面向量試題,除了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用及平面向量在解析幾何中的應(yīng)用外,一般都保持一道客觀題、分值為5分的考查風(fēng)格,獨(dú)立考查向量的基礎(chǔ)知識(shí)或考查向量與其他知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系.與近幾年的高考試題比較,2021年的平面向量試題有很強(qiáng)的穩(wěn)定性.在解答題中僅以平面向量的條件表述考查平行、垂直、角度、距離等幾何關(guān)系,或以空間向量為工具,在立體幾何試題中考查空間位置及數(shù)量關(guān)系,中規(guī)中矩、波瀾不驚.具體如下表所示.文科135數(shù)量積求向量模理科145數(shù)量積運(yùn)算、垂直關(guān)系求參數(shù)的值文科135數(shù)量積運(yùn)算、平行關(guān)系求參數(shù)的值理科145數(shù)量積運(yùn)算、垂直關(guān)系求參數(shù)的值105向量的模、數(shù)量積運(yùn)算125向量基本定理、數(shù)量積運(yùn)算、向量關(guān)系155向量的模、數(shù)量積運(yùn)算35數(shù)量積運(yùn)算、垂直關(guān)系、相等向量175數(shù)量積運(yùn)算、投影概念135向量的和、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算44數(shù)量積運(yùn)算155向量的平行、垂直、和、數(shù)量積、模2、側(cè)重考查主干知識(shí)，設(shè)問(wèn)常態(tài)基礎(chǔ)2021年高考數(shù)學(xué)平面向量試題，重點(diǎn)考查平面向量的概念，平面向量的和、差、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算，兩個(gè)向量的共線與垂直關(guān)系，向量表示，向量基本應(yīng)用等主干知識(shí)，方法常規(guī)、入手容易，盡顯基礎(chǔ)題特點(diǎn)，即便在解析幾何解答題中呈現(xiàn)幾何關(guān)系的向量表達(dá)，或者應(yīng)用于立體幾何，呈現(xiàn)空間向量在垂直、平行、夾角、長(zhǎng)度的應(yīng)用，無(wú)一例外都考查了向量的主干知識(shí)，不偏不倚，體現(xiàn)出向量的基礎(chǔ)性、工具性作用.例如，全國(guó)甲卷文科第13題、全國(guó)甲卷理科第14題、全國(guó)乙卷文科第13題、全國(guó)乙卷理科第14題、北京卷第13題、上海卷第4題等，都具有上述特點(diǎn).適當(dāng)與其他知識(shí)融合，應(yīng)用全面廣泛由于平面向量具有代數(shù)與幾何的雙重特性，與函數(shù)、方程、不等式、立體幾何、解析幾何等知識(shí)都可以建立有機(jī)聯(lián)系，使得平面向量與這些內(nèi)容之間有高度的融合性.試題以向量形式呈現(xiàn)，進(jìn)一步考查學(xué)生對(duì)函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)的理解與應(yīng)用.例如，全國(guó)新高考I卷第11題、浙江卷第3題和第17題、上海卷第20題等.特別是向量知識(shí)在平行、垂直、夾角、長(zhǎng)度等的位置或數(shù)量關(guān)系中，有極其重要的應(yīng)用價(jià)值.代數(shù)和幾何各顯神通，解法創(chuàng)新多樣平面向量問(wèn)題既可以用代數(shù)方法通過(guò)運(yùn)算求解，也可以用幾何方法借助圖形分析，具有很強(qiáng)的靈活性.2021年高考數(shù)學(xué)平面向量試題，一如既往地結(jié)合選擇題、填空題的解題特征，為學(xué)生多角度創(chuàng)新解決問(wèn)題提供了可能.用幾何手段研究平面向量問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理能力要求較高，要求學(xué)生能在向量的模、夾角、平行與垂直、數(shù)量積中準(zhǔn)確找出平面中相關(guān)對(duì)象的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.用代數(shù)手段研究平面向量問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象能力提出要求，要求學(xué)生能準(zhǔn)確運(yùn)算并合理檢驗(yàn)，甚至要求學(xué)生能利用代數(shù)結(jié)果反思位置關(guān)系.試題凸顯向量在解決代數(shù)、幾何中的橋梁作用.總體來(lái)看，2021年平面向量部分高考試題基本上都以常見(jiàn)的問(wèn)題解決為目標(biāo)，不刻意設(shè)置障礙，沒(méi)有深入的邏輯思維與繁雜的等價(jià)轉(zhuǎn)化.二、命題思路分析2021年高考數(shù)學(xué)平面向量試題，以向量的代數(shù)或幾何表示為載體，突出考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想，檢查學(xué)生對(duì)平面向量基本概念、性質(zhì)、基本運(yùn)算的掌握情況，突出通性、通法，以及概念理解和數(shù)學(xué)運(yùn)算，讓學(xué)生體會(huì)高中主干知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，并適當(dāng)推陳出新.1.基本運(yùn)算，大顯功力例1（北京卷·13）已知向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則；．例2（全國(guó)甲卷文13）若向量，滿足，，，則．拓展題1．已知向量滿足，且，則等于A． B． C． D．3

例3(全國(guó)新高考II卷)已知向量，，，則．拓展題1．已知平面向量，，，滿足，．若，，則A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值拓展題2．已知向量滿足，則向量的模的最大值為A． B． C． D．例3（上海卷·4）如圖正方形的邊長(zhǎng)為3，求．拓展題1．正方形的邊長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，．若，則A． B．1 C． D．2拓展題2．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，則的值為A．2 B． C．4 D．2.平行垂直，各有擔(dān)當(dāng)向量“數(shù)”“形”兼?zhèn)?，從“形”的角度立意，考查“?shù)”的運(yùn)算，是高考平面向量試題的常見(jiàn)考法，通過(guò)“數(shù)”的運(yùn)算，降低了直觀認(rèn)識(shí)向量關(guān)系的難度，為用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題提供了良好工具.向量具有線性幾何特征，更便于從平行、垂直、角度、距離等視角命制試題，2021年則重點(diǎn)圍繞兩個(gè)平面向量的平行與垂直命制試題，以填空題的形式為主例1（全國(guó)乙卷·文13）已知向量，，若，則．拓展題1．已知向量，不共線，若向量和共線，則實(shí)數(shù)．拓展題2．已知向量，，且，則．拓展題3．若，，三點(diǎn)共線，則的值為．例2（全國(guó)乙卷-理14）已知向量，，若，則．拓展題1．設(shè)向量，，若，則5．拓展題2．已知單位向量，的夾角為，與垂直，則．拓展題3．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)．拓展題4．若向量，滿足，，，則．3.融會(huì)貫通，推陳出新例1（全國(guó)新高考Ⅰ卷10)已已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，則A． B． C． D．拓展題1．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，則A． B． C． D．拓展題2．已知△三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，且為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求的大小；（2）試判斷△的形狀．拓展題3．已知：、是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）若點(diǎn)的坐標(biāo)是，求的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求（a）的值域．例2(浙江卷3)已知非零向量，，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件拓展題1．已知非零向量，，共面，那么“存在實(shí)數(shù)，使得成立”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件拓展題2．已知非零向量，滿足，則“”是“”的A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件例3（天津卷）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且交于點(diǎn)，且交于點(diǎn)，則的值為；的最小值為．拓展題1．已知，，是平面向量，與是單位向量，且，，若，則的最小值為．拓展題2．已知平面向量，，滿足，，，則的最大值為．例4（浙江卷)已知平面向量，若，則在方向上投影的最小值為A． B． C． D．2拓展題1．已知平面向量，，滿足，，，．記平面向量在，方向上的投影分別為，，在方向上的投影為，則的最小值是．拓展題2．已知平面向量和滿足，則在方向上的投影的最小值為．拓展題3．已知平面向量，，滿足：，，且，則向量在向量方向上的投影的取值范圍為．拓展題4．已知平面向量，滿足，，則在方向上的投影為．4.立足幾何，首當(dāng)其沖例1在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，，，則A．當(dāng)時(shí)，△的周長(zhǎng)為定值 B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值 C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得 D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面拓展題1．正三棱柱，，點(diǎn)滿足，A．當(dāng)時(shí)，的面積是定值 B．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)是定值 C．當(dāng)時(shí)，的面積是定值 D．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值拓展題2．在棱長(zhǎng)均為1的正三棱柱中，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是A．的最小值為 B．存在點(diǎn)使得直線與直線所成的角為 C．三棱錐的體積為定值 D．當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的外接球的表面積為拓展題3．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別滿足，，其中，，，，則A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值 B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，到平面的距離相等 C．當(dāng)時(shí)，存在使得平面 D．當(dāng)時(shí)，例2已知，，是其左、右交焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，，交橢圓于，兩點(diǎn)，且，在軸上方，點(diǎn)在線段上．（1）若是上頂點(diǎn)，，求的值；（2）若，且原點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程；（3）證明：對(duì)于任意，使得的直線有且僅有一條．拓展題1．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為，，為其右焦點(diǎn)，，且該橢圓的離心率為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn)．若，求取值范圍．三、復(fù)習(xí)建議1..正本清源，加深概念理解向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景，“平面向量及其應(yīng)用”一章是高中數(shù)學(xué)幾何與代數(shù)主題的重要內(nèi)容，與其他章節(jié)學(xué)習(xí)也有密切的聯(lián)系.了解向量產(chǎn)生的背景，采用獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等學(xué)習(xí)方式，加強(qiáng)對(duì)向量概念數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，對(duì)運(yùn)用向量靈活解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有很重要的意義.平面向量及其應(yīng)用的復(fù)習(xí)教學(xué)，應(yīng)結(jié)合力、速度、位移等實(shí)際情境，從物理、幾何、代數(shù)三個(gè)角度去理解向量的概念與運(yùn)算法則，認(rèn)識(shí)方向與大小在后續(xù)章節(jié)學(xué)習(xí)中的關(guān)聯(lián)性.例如，向量加法與減法運(yùn)算，既在空間向量中有體現(xiàn)，也在復(fù)數(shù)加法、減法運(yùn)算中有所體現(xiàn)，其幾何特征呈現(xiàn)出來(lái)的平行四邊形、三角形特征與解三角形、三角不等式等知識(shí)存在廣泛的聯(lián)系.向量的基本概念很多，模、相等向量、共線向量、數(shù)量積、投影等都不是一個(gè)空泛的名詞，其具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.高中數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，既要溯本求源，也要認(rèn)識(shí)其本質(zhì)，如果對(duì)概念內(nèi)涵認(rèn)識(shí)不足，就意味著數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中對(duì)已知條件的天然缺失，難免使數(shù)學(xué)思維受到桎梏.因此，切不可在復(fù)習(xí)過(guò)程中對(duì)向量相關(guān)概念、運(yùn)算公式一筆帶過(guò)，草草了事，為后續(xù)復(fù)習(xí)留下隱患.2.勤練內(nèi)功，加強(qiáng)運(yùn)算訓(xùn)練數(shù)學(xué)運(yùn)算是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基本功，無(wú)論是平面向量還是空間向量，運(yùn)算都從兩個(gè)方面展開(kāi).一方面，是數(shù)與式的運(yùn)算，展現(xiàn)向量的代數(shù)特征，和、差、數(shù)量積、平行或垂直、夾角或距離，都需要對(duì)整式、方程、不等式進(jìn)行整合、化簡(jiǎn)；另一方面，是圖形的運(yùn)算，展現(xiàn)其幾何特征，過(guò)程與結(jié)果、數(shù)與圖形、直觀與抽象，都需要理解并強(qiáng)化.通過(guò)運(yùn)算的強(qiáng)化，要讓學(xué)生熟練運(yùn)用這兩種運(yùn)算，這也是學(xué)生在考場(chǎng)上速度快、結(jié)果準(zhǔn)、心態(tài)穩(wěn)的保證.良好的運(yùn)算能力體現(xiàn)為既有運(yùn)算前的謀篇布局，也有操作步驟的熟能生巧，還要保持對(duì)運(yùn)算結(jié)果的良好數(shù)感.此外，也需要具有對(duì)復(fù)雜的數(shù)與式、圖形的合理拆解、整合的技巧，這是需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期專項(xiàng)訓(xùn)練方能達(dá)到的.3.縱橫捭闔，增大知識(shí)融合向量具有“數(shù)”與“形”的特征，為其實(shí)用的工具性、廣泛的交互性確定下不錯(cuò)的“江湖地位”.高考中，向量與函數(shù)、不等式、平面幾何、立體幾何、解析幾何、