幾何學(xué)的變革培訓(xùn)課程

9幾何學(xué)學(xué)的變革歐幾里得平行行公設(shè)非歐幾何的誕誕生非歐幾何的發(fā)發(fā)展與確認(rèn)射影幾何的繁繁榮幾何學(xué)的統(tǒng)一一9幾何學(xué)學(xué)的變革歐氏幾何在公公元前300年就已產(chǎn)生生，其特征是是建立了公理理化方法：即即從幾個(gè)概念念和幾個(gè)命題題，演繹出本本學(xué)科其它所所有概念和命命題，從而構(gòu)構(gòu)成這一學(xué)科科的全貌。運(yùn)運(yùn)用這種方法法的學(xué)科被認(rèn)認(rèn)為是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡暮统墒斓目瓶茖W(xué)。歐氏氏幾幾何何的的公公理理體體系系出出現(xiàn)現(xiàn)在在歐歐幾幾里里得得的的《《原原本本》》中中，，在在其其之之后后的的2200后后，，希希爾爾伯伯特特在在《《幾幾何何基基礎(chǔ)礎(chǔ)》》加加以以完完善善。。其其間間，，許許多多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家作作了了許許多多公公理理體體系系的的完完備備性性工工作作。。9幾幾何何學(xué)學(xué)的的變變革革然而而，，令令人人放放心心不不下下的的是是該該公公理理體體系系中中的的第第五五公公設(shè)設(shè)，，即即平平行行公公設(shè)設(shè)的的問問題題。。因因?yàn)闉槿巳藗儌儼l(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)即即使使歐歐幾幾里里得得本本人人也也盡盡量量避避免免使使用用它它。。9幾幾何何學(xué)學(xué)的的變變革革9.1歐歐幾幾里里得得平平行行公公設(shè)設(shè)第五五公公設(shè)設(shè)（（即即平平行行公公設(shè)設(shè)））尋求求第第五五公公設(shè)設(shè)的的證證明明非歐歐幾幾何何的的孕孕育育9幾幾何何學(xué)學(xué)的的變變革革9.1歐歐幾幾里里得得平平行行公公設(shè)設(shè)一第五五公設(shè)（（即平行行公設(shè)））《原本》》中五個(gè)個(gè)公設(shè)：：1由任任意一點(diǎn)點(diǎn)到另外外任意一一點(diǎn)可以以畫直線線2一條條有限直直線可以以繼續(xù)延延長(zhǎng)3以任任意點(diǎn)為為心及任任意的距距離可以以畫圓4凡直直角都彼彼此相等等5同平平面內(nèi)一一條直線線和另外外兩條直直線相交交，若在在某一側(cè)側(cè)的兩個(gè)個(gè)內(nèi)角的的和小于于二直角角的和，，則這二二直線經(jīng)經(jīng)無限延延長(zhǎng)后在在這一側(cè)側(cè)相交9.1歐歐幾幾里得的的平行公公設(shè)從古希臘臘時(shí)代開開始，人人們一直直對(duì)第五五公設(shè)有有疑問，，二千年年來，數(shù)數(shù)學(xué)家們們一直在在想消除除這個(gè)疑疑問，其其途徑有有二：一一是用更更為自明明的命題題代替第第五公設(shè)設(shè)；二是是證明它它，使其其成為一一個(gè)定理理。兩千年來來提出眾眾多的替替代公設(shè)設(shè)有：9.1歐歐幾幾里得的的平行公公設(shè)存在一對(duì)對(duì)同平面面的直線線彼些處處處等距距離過己知直直線外一一點(diǎn)能且且只能作作一條直直線與己己知直線線平行存在一對(duì)對(duì)相似但但不全等等的三角角形如果一個(gè)個(gè)四邊形形有一對(duì)對(duì)對(duì)邊相相等，并并且它們們與第三三邊構(gòu)成成的角均均為直角角，則余余下的兩兩個(gè)角也也是直角角9.1歐歐幾幾里得的的平行公公設(shè)如果四邊邊形有三三個(gè)角是是直角，，則第四四個(gè)角也也是直角角至少存在在一個(gè)三三角形，，其三角角和等于于二直角角過任何三三個(gè)不在在同一直直線上的的點(diǎn)可作作一圓三角形的的面積無無上限但所有這這些替代代公設(shè)，，也不自自明。9.1歐歐幾幾里得的的平行公公設(shè)二尋尋求第五五公設(shè)的的證明多少世紀(jì)紀(jì)以來，，試圖證證明第五五公設(shè)的的人是如如此之多多，差不不多夠一一個(gè)軍團(tuán)團(tuán)，但所所有這些些嘗試均均告失敗敗。9.1歐歐幾幾里得得的平平行公公設(shè)三非非歐幾幾何的的孕育育1薩薩凱里里（Saccheri））著《歐歐幾里里得無無懈可可擊》》（1733））從著名名的““薩凱凱里四四邊形形”出出發(fā)證證明平平行公公設(shè)2克克呂格格爾1763年年，克克呂格格爾指指出薩薩凱里里的工工作并并未導(dǎo)導(dǎo)出矛矛盾，，他懷懷疑能能否證證明平平行公公設(shè)9.1歐歐幾幾里得得的平平行公公設(shè)3蘭伯特特著《平平行線線的理理論》》（1766））他認(rèn)識(shí)識(shí)到一一組假假設(shè)如如果不不引起起矛盾盾的話話，就就提供供了一一種可可能的的幾何何。蘭伯特特最先先指出出通過過替換換平行行公設(shè)設(shè)而展展開新新的無無矛盾盾的幾幾何學(xué)學(xué)的道道路。。薩凱里里、克克呂格格爾、、蘭伯伯特是是非歐歐幾何何的先先行者者。平行公公理的的研究究(公公元前前3世世紀(jì)至至1800年)A+B+C=2π非歐幾幾何的的孕育育歐幾里得普萊菲爾(蘇格蘭,1748-1819)

勒讓德(法,1752-1833)若一直直線落落在兩兩直線線上所所構(gòu)成成的同同旁內(nèi)內(nèi)角和和小于于兩直直角,那那么把把兩直直線無無限延延長(zhǎng),它它們都都在同同旁內(nèi)內(nèi)角和和小于于兩直直角的的一側(cè)側(cè)相交交.勒讓德(法法,1752-1833)《幾何何學(xué)原理》》：這條關(guān)關(guān)于三角形形的三個(gè)內(nèi)內(nèi)角和的定定理應(yīng)該認(rèn)認(rèn)為是那些些基本真理理之一。這這些真理是是不容爭(zhēng)論論的，它們們是數(shù)學(xué)永永恒真理的的不朽的例例子。(1832)1733年年薩薩凱凱里里(意意,1667-1733)《《歐歐幾幾里里得得無無懈懈可可擊擊》》非歐歐幾幾何何的的孕孕育育非歐歐幾幾何何的的孕孕育育1766年年蘭蘭伯伯特特(法法,1728-1777)《《平平行行線線理理論論》》不不認(rèn)認(rèn)為為銳銳角角假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾,認(rèn)認(rèn)識(shí)識(shí)到到如如果果一一組組假假設(shè)設(shè)不不引引起起矛矛盾盾,就就提提供供了了一一種種可能能的的幾幾何何1763年年，，克克呂呂格格爾爾(德德,1739-1812)第第一一位位對(duì)對(duì)平平行行線線公公設(shè)設(shè)是是否否能能由由其其它它公公理理加加以以證證明明表示示懷懷疑疑的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家1820年年F??鮑鮑約約(匈匈,1775-1856):““我我經(jīng)經(jīng)過過了了這這個(gè)個(gè)長(zhǎng)長(zhǎng)夜夜的的渺渺無無希希望望的的黑黑暗暗,在在這這里里埋埋沒沒了了我我一一生生的的一一切切亮亮光光和和一一切切快快樂樂,…………或或許許這這個(gè)個(gè)無無底底洞洞的的黑黑暗暗將將吞吞食食掉掉一一千千個(gè)個(gè)猶猶如如燈燈塔塔般般的的牛牛頓頓,而而使使大大地地永永無無光光明明。。””9.2非非歐幾何的誕誕生高斯波約羅巴切夫斯基基9.2非非歐幾何的誕誕生一高斯（Gauss，，1777——1855））1799年，，高斯意識(shí)到到平行公設(shè)不不能由其它歐歐氏公理推出出來，并從1813年起起發(fā)展了這種種平行公設(shè)在在其中不成立立的新幾何學(xué)學(xué)，稱之為反反歐幾里得幾幾何學(xué)，但高高斯生前未發(fā)發(fā)表。9.2非非歐幾何的誕誕生二波約（（1802——1860））1823年，，波約開始理理解平行公設(shè)設(shè)問題的實(shí)質(zhì)質(zhì)，稱“我要要白手起家創(chuàng)創(chuàng)造一個(gè)奇怪怪的新世界””。波約稱他他的非歐幾何何為“絕對(duì)幾幾何”。著《絕對(duì)空間間的科學(xué)》9.2非非歐幾何的誕誕生三羅巴切切夫斯基（1792—1856）1826《簡(jiǎn)要論述平平行線定理的的一個(gè)嚴(yán)格證證明》1829《《論幾何原理理》1835—1838系系列論文《具有完備的的平行線理論論的新幾何學(xué)學(xué)原理》1840《《平行理論論的幾何研究究》9.2非非歐幾何的誕誕生羅巴切夫斯基基在否定第五五公理的同時(shí)時(shí)，假設(shè)其反反面之一：““過已知直線外外一點(diǎn)，可作作多于一條的的直線與已知知直線平行””，得到了一系列列定理，并且且認(rèn)為他得到到了一門新的的幾何學(xué)。羅巴切夫斯基基宣布自己建建立了新的幾幾何學(xué)之后，，遭到了許多多數(shù)學(xué)大家的的嘲笑、諷刺刺，德國(guó)詩人人歌德也出來來諷刺他。實(shí)實(shí)際上，羅巴巴切夫斯基的的理論得到世世界的認(rèn)可是是在他去世幾幾十年后的事事了。π(α)非歐幾何1813年高高斯(德,1777-1855)：非歐幾里里得幾何1832年波波約(匈,1802-1860)《絕對(duì)空間間的科學(xué)》幾何學(xué)上的哥哥白尼1826年羅羅巴切夫斯基基(俄,1792-1856)《《簡(jiǎn)要論述平平行線定理的的一個(gè)嚴(yán)格證證明》羅巴切夫斯基(蘇聯(lián),1951)非歐幾何羅巴切夫斯基基(俄,1792-1856)，，喀山大學(xué)教教授、校長(zhǎng)1815年著著手研究平行行線理論，試試圖給出平行行公設(shè)的證明明1826年在在物理數(shù)學(xué)系系會(huì)議宣讀《《簡(jiǎn)要論述平平行線定理的的一個(gè)嚴(yán)格證證明》1829年論論文《幾何學(xué)學(xué)原理》在《《喀山大學(xué)通通報(bào)》全文發(fā)發(fā)表直至羅巴切夫夫斯基去世的的30年內(nèi)，，沒能贏得社社會(huì)的承認(rèn)和和贊美鮑約(羅馬尼亞,1960)非歐幾何鮑約父子之墓9.3非非歐幾何的發(fā)發(fā)展與確認(rèn)黎曼幾何非歐幾何的相相容性公理系統(tǒng)的相相對(duì)相容性的的證明非歐幾何的意意義9.3非非歐幾何的發(fā)發(fā)展與確認(rèn)非歐幾何從發(fā)發(fā)現(xiàn)到獲得普普遍接受經(jīng)歷歷了曲折的道道路，要達(dá)到到這一目標(biāo)，，需要確定非非歐幾何自身身的無矛盾性性和現(xiàn)實(shí)意義義。一黎曼幾幾何黎曼（Rieman，1826—1866）在在1854年年發(fā)展了羅巴巴切夫斯基等等人的思想，，建立了現(xiàn)稱稱為“黎曼幾幾何”的一種種更廣泛的幾幾何，歐氏幾幾何、羅氏幾幾何、黎曼非非歐幾何都只只是其特例。。9.3非非歐幾何的發(fā)發(fā)展與確認(rèn)在羅氏幾何產(chǎn)產(chǎn)生后的1854年，德德國(guó)數(shù)學(xué)家黎黎曼把歐氏第第五公設(shè)改為為：“過已知知直線外一點(diǎn)點(diǎn)，沒有與其其平行之直線線”，得到的的一種新的幾幾何學(xué)—黎曼曼非歐幾何，，為非歐幾何何的另一翼。。9.3非非歐幾何的發(fā)發(fā)展與確認(rèn)在黎曼幾何中中，最重要的的一種對(duì)象是是常曲率空間間，對(duì)于三維維空間，有下下列情形：曲率為正常數(shù)數(shù)黎曼非歐幾何何橢圓幾幾何曲率為負(fù)常數(shù)數(shù)羅氏非歐幾何何雙曲幾幾何曲率恒為零歐氏幾何內(nèi)蘊(yùn)幾何，流流形曲率1854年黎黎曼(德,1826-1866)《關(guān)于幾何何基礎(chǔ)的假設(shè)設(shè)》非歐幾何非歐幾何1846年進(jìn)進(jìn)入哥廷根大大學(xué)專修語言言和神學(xué)1847-1848年到到柏林大學(xué),進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)領(lǐng)域1849-1851年在在哥廷根大學(xué)學(xué),取得博博士學(xué)位,學(xué)學(xué)位論文““單復(fù)變函數(shù)數(shù)一般理論基基礎(chǔ)”1854年講講師職位講演演:關(guān)于幾幾何基礎(chǔ)的假假設(shè),1857年副教教授,1859年教授授1862年得得肺結(jié)核,1866年年在意大利逝逝世1876年出出版《黎曼全全集》(發(fā)表表論文18篇篇,遺稿12篇)偉大的分析學(xué)學(xué)家：復(fù)變函函數(shù)論、阿貝貝爾函數(shù)論、、超幾何級(jí)數(shù)數(shù)與常微分方方程、解析數(shù)數(shù)論、實(shí)分析析、幾何學(xué)、、數(shù)學(xué)物理、、物理學(xué)黎曼(德,1826-1866)“黎曼是一一個(gè)富有想象象的天才,他他的想法即即使沒有證明明,也鼓舞舞了整整一個(gè)個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)學(xué)家.”9.3非非歐幾何的發(fā)發(fā)展與確認(rèn)二非歐幾幾何的相容性性三公理系系統(tǒng)的相對(duì)相相容性的證明明模型型與與相相容容性性1868年年貝貝爾爾特特拉拉米米(意意,1835-1899)非歐歐幾幾何何曳物線偽球面1871年年克克萊萊因因(德德,1849-1925)1882年年龐龐加加萊萊(法法,1854-1912)非歐歐幾幾何何克萊因-龐加萊圓9.3非非歐歐幾幾何何的的發(fā)發(fā)展展與與確確認(rèn)認(rèn)四非非歐歐幾幾何何的的意意義義1解解決決了了平平行行公公理理的的獨(dú)獨(dú)立立性性問問題題。。推推動(dòng)動(dòng)了了一一般般公公理理體體系系的的獨(dú)獨(dú)立立性性、、相相容容性性、、完完備備性性問問題題的的研研究究，，促促進(jìn)進(jìn)了了數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)基基礎(chǔ)礎(chǔ)這這一一更更為為深深刻刻的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)分分支支的的形形成成與與發(fā)發(fā)展展。。9.3非非歐歐幾幾何何的的發(fā)發(fā)展展與與確確認(rèn)認(rèn)2證證明明了了對(duì)對(duì)公公理理方方法法本本身身的的研研究究能能推推動(dòng)動(dòng)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)的的發(fā)發(fā)展展，，理理性性思思維維和和對(duì)對(duì)嚴(yán)嚴(yán)謹(jǐn)謹(jǐn)、、邏邏輯輯和和完完美美的的追追求求，，推推動(dòng)動(dòng)了了科科學(xué)學(xué)，，從從而而推推動(dòng)動(dòng)了了社社會(huì)會(huì)的的發(fā)發(fā)展展和和進(jìn)進(jìn)步步。。在在數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)內(nèi)內(nèi)部部，，各各分分支支紛紛紛紛建建立立了了自自己己的的公公理理體體系系，，包包括括被被公公認(rèn)認(rèn)為為最最困困難難的的概概率率論論也也在在20世世紀(jì)紀(jì)30年年代代建建立立自自己己的的公公理理體體系系。。實(shí)實(shí)際際上上公公理理化化的的研研究究又又孕孕育育了了““元元數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)””的的產(chǎn)產(chǎn)生生和和發(fā)發(fā)展展。。9.3非非歐歐幾幾何何的的發(fā)發(fā)展展與與確確認(rèn)認(rèn)3非非歐歐幾幾何何實(shí)實(shí)際際上上預(yù)預(yù)示示了了相相對(duì)對(duì)論論的的產(chǎn)產(chǎn)生生，，就就象象微微積積分分預(yù)預(yù)示示了了人人造造衛(wèi)衛(wèi)星星一一樣樣。。非非歐歐幾幾何何與與相相對(duì)對(duì)論論和和匯匯合合是是科科學(xué)學(xué)史史上上劃劃時(shí)時(shí)代代的的事事件件。。人人們們都都認(rèn)認(rèn)為為是是愛愛因因斯斯坦坦創(chuàng)創(chuàng)立立了了相相對(duì)對(duì)論論，，但但是是，，也也許許愛愛因因斯斯坦坦更更清清楚楚，，是是他他和和一一批批數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家Poincare,Minkouski,Hilbert等等共共同同的的工工作作。。出出現(xiàn)現(xiàn)動(dòng)動(dòng)鐘鐘延延緩緩，，動(dòng)動(dòng)尺尺縮縮短短，，時(shí)時(shí)空空彎彎曲曲等等現(xiàn)現(xiàn)象象。。這這些些都都是是非非歐歐幾幾何何與與相相對(duì)對(duì)論論的的科科學(xué)學(xué)發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)。。9幾幾何何學(xué)的的變革革9.4射射影影幾何何的繁繁榮蒙日(法國(guó),1953)1803年年卡爾爾諾(法,1753-1823)的的《位位置幾幾何學(xué)學(xué)》卡爾諾(法國(guó),1950)1799年年蒙日日(法法,1746-1818)的《《畫法法幾何何學(xué)》》射影幾幾何早期開開拓者者:德德沙沙格(法,1591-1661),帕帕斯卡卡(法法,1623-1662)綜合方方法連續(xù)性原理對(duì)偶原理1822年龐斯列(法,1788-1867)的《論圖形的射影性質(zhì)》射影幾幾何代數(shù)方方法默比烏斯(德,1790-1868)1827年默比烏斯(德,1790-1868)的《重心計(jì)算》1829年普呂克(德,1801-1868)的三線坐標(biāo)普呂克(德,1801-1868)射影幾幾何射影幾幾何施陶特(德,1798-1867)

1847年施陶特(德,1798-1867)的《位置幾何學(xué)》

凱萊(英,1821-1895)在射影幾何基礎(chǔ)上建立歐氏幾何和非歐幾何凱萊(英,1821-1895)9幾幾何何學(xué)的的變革革9.5幾幾何何學(xué)的的統(tǒng)一一愛爾朗朗根綱綱領(lǐng)（（克萊萊因，，1872年））：所謂幾幾何學(xué)學(xué)，就就是研研究幾幾何圖圖形對(duì)對(duì)于某某類變變換群群保持持不變變的性性質(zhì)的的學(xué)問問，或或者說說任何何一種種幾何何只是是研究究與特特定的的變換換群有有關(guān)的的不變變量。?？巳R因因以射射影幾幾何為為基礎(chǔ)礎(chǔ)、對(duì)對(duì)幾何何學(xué)做做了分分類。。所謂幾幾何學(xué)學(xué)，就就是研研究幾幾何圖圖形對(duì)對(duì)于某某類變變換群群保持持不變變的性性質(zhì)的的學(xué)科科，或或者說說任何何一種種幾何何學(xué)只只是研研究與與特定定的變變換群群有關(guān)關(guān)的不不變量量。1872年克萊萊因(德德,1849-