SECTION黎曼幾何初步

§5 黎曼幾何初步一、黎曼空間［黎曼空間及其度量張量］若n維空間Rn中有一組函數(shù)g’j(Xf(X)，使得兩鄰點(diǎn)X,X+dX之間的距離ds由一個(gè)正定二次型ds2=g“(x)dX'dX‘決定，則稱空間Rn為黎曼空間，記作yn.稱黎曼空間yn中的幾何學(xué)為黎曼幾何.二次型ds2稱為yn的線素.定義曲線弧長(zhǎng)的微分為ds=Jg..G知，dxj而任一曲線X=X(t)(a<t<b)的弧長(zhǎng)為積分s=f^：g(X(t))dXLdXLddt

aE dtdt因?yàn)樵谧鴺?biāo)變換Xi=XiX)下，ds2為一個(gè)不變量，所以Sx.dXj'訂'.Sx，'Sx.這表明g.(X)為一個(gè)二階協(xié)變張量的分量，它稱為黎曼空間yn的度量張量或基本張量.［矢量的長(zhǎng)度■兩矢量的標(biāo)量積和夾角■伴隨張量］在黎曼空間中關(guān)于標(biāo)量(場(chǎng))、矢量(場(chǎng))、張量(場(chǎng))等的定義類似前面各節(jié)，它們的運(yùn)算法則也相仿.設(shè)h｝是一個(gè)逆變矢量，則其長(zhǎng)度的平方為g.aa設(shè)L1與￡｝是兩個(gè)逆變矢量，則其標(biāo)量積為j這兩矢量夾角的余弦為

gaibj執(zhí)⑴們jgpibjg..al=aj,gjb=七則｛.｝與，矗是協(xié)變矢量，它們的長(zhǎng)度與標(biāo)量積分別為g.alaj=ajaj,g.ab=abj張量T「kj的伴隨張量為T=T=gT??/，

ijk°ikijTjk=gljT「lk式中g(shù)lj滿足等式g.gjll式中5j為克羅內(nèi)克爾符號(hào).［黎曼聯(lián)絡(luò)與克里斯托弗爾符號(hào)］在黎曼空間中總可以用唯-的方式確定聯(lián)絡(luò)叮，滿足條件：①仿射聯(lián)絡(luò)是無撓率的，即門=rk(ii)仿射聯(lián)絡(luò)所產(chǎn)生的平行移動(dòng)保持矢量的長(zhǎng)度不變.這種「；稱為黎曼聯(lián)絡(luò)或勒維-奇維塔聯(lián)絡(luò).根據(jù)上述兩個(gè)條件可以得出rk=rk=1gki

ij2氣i

dxl2g..)ljdxi)如果記rlj廣g則有11dx11dxj+*jdxi如.jdxl有時(shí)用下面的記號(hào)：它們分別稱為第一類和第二類克里斯托弗爾三指標(biāo)符號(hào).此外，還有等式dgj-gri-gri=0

6xkbjlkibilkj電.P「6xk 妃，j kj,i還要指出,§4中關(guān)于協(xié)變微分法的-切結(jié)果’對(duì)黎曼聯(lián)絡(luò)rj都成立.二、勒維-奇維塔的平行性仿射聯(lián)絡(luò)空間中的平行移動(dòng)，是由仿射聯(lián)絡(luò)r三決定的.在具有度量張量g.的黎曼空間秒中，利用黎曼聯(lián)絡(luò)r^來定義相應(yīng)的平行移動(dòng)稱為秒的勒維-奇維塔平行移動(dòng).設(shè)沿"中某一曲線X=x，(t)(a<t<b)給定了矢量場(chǎng)a，=a，(t)，如果沿這條曲線作一無窮小位移時(shí)，矢量W)按規(guī)律Dakdak dxj八dt廠+r.^a^d-dt變化，則稱矢量ai(t)沿曲線作勒維-奇維塔平行移動(dòng).勒維-奇維塔平行移動(dòng)具有性質(zhì)：°度量張量gy的協(xié)變導(dǎo)數(shù)等于零，即vg=%-gri-gri=0

kij 6xk 八jlki八ilkj還有 vk5i=0,vkgij=02°若兩族矢量a'(t)和b(t)都沿曲線平行移動(dòng)，則所以兩矢量的標(biāo)量積與夾角在平行移動(dòng)下保持不變.3黎曼空間防中的自平行曲線（也稱為測(cè)地線）和仿射聯(lián)絡(luò)空間中自平行曲線的情況完全一樣，都由微分方程d2x，+「.dxidxk_o

ds2 ikds ds所確定.不過這里的「f是黎曼聯(lián)絡(luò).所以一曲線為測(cè)地線的充分必要條件是它的單位切矢量也互相平行.ds三、黎曼空間中的曲率［曲率張量與李奇公式］張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)與普通導(dǎo)數(shù)的明顯區(qū)別是：求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，張量導(dǎo)數(shù)的結(jié)果一般與求導(dǎo)的次序有關(guān).例如，運(yùn)算vkVi-vvk作用于矢量｛，?｝時(shí)，則有TOC\o"1-5"\h\zfari ar， ）VVai-VVai_―1-—土+「i「r—「i「ral （1）kiik axk axi krilirkl\ 7記ari ar，r，=i-ki+rirr-rirr即 axk axi krilirkl它是一個(gè)三階協(xié)變一階逆變的四階混合張量，稱為空間"的曲率張量或黎曼-克里斯托弗爾張量.由（i）式得VkVai-VVkai_Rjai左邊稱為逆變矢量a｝的交錯(cuò)二階協(xié)變導(dǎo)數(shù)；對(duì)協(xié)變矢量加｝的交錯(cuò)二階協(xié)變導(dǎo)數(shù)是IVVb-VVb_-R rbikikii ikir張量的交錯(cuò)二階協(xié)變導(dǎo)數(shù)是TOC\o"1-5"\h\z▽▽Trr …r 一▽▽Trr …r —）」RTrr…r ir…r 一7」RiTrr …rii r iir it /vvx12I、vx12I x12p-1p+1 / x12ljkss "-s kjss "-s jkirss ???s jkqss --s is …sJ 12m J12m3 Jp12m J 12q-1q+1mp—1 q—1這稱為李奇公式.［黎曼符號(hào)■李奇張量■曲率標(biāo)量■愛因斯坦空間］曲率張量的協(xié)變分量RjkLrRl稱為第一類黎曼符號(hào)，而R.j稱為第二類黎曼符號(hào).曲率張量縮并得Rk廣%3%稱為李奇張量.李奇張量再縮并得R=gklRkl

ki稱為曲率標(biāo)量.若李奇張量滿足R-1Rg

司nij則稱此空間為愛因斯坦空間.［曲率張量的性質(zhì)］°曲率張量前兩個(gè)指標(biāo)j和k是反對(duì)稱的，即RLRjkl特別Ri—0°曲率張量對(duì)三個(gè)協(xié)變指標(biāo)作循環(huán)置換后相加，使得￥jRijk—0這稱為李奇恒等式.°第一類黎曼符號(hào)R加可按下式計(jì)算：

Rjklra2Rjklra2g=二＜~~-dxkdxljrd^+a2gkl-^^dxkdxr dxjdxr dxjdxl一gpq匕,P「jr,p「jl,q)因此Rkjlr關(guān)于指標(biāo)j,k與l,r是反對(duì)稱的；關(guān)于前一對(duì)指標(biāo)與后一對(duì)指標(biāo)是對(duì)稱的；對(duì)前面三個(gè)指標(biāo)作循環(huán)置換后相加等于零，即R.=-RJklr kjlrR.=-R

jklr jkrlR.=RRjklr*Rjklr*Rkljr*Rkr=0°李奇張量是對(duì)稱的，即Rkl=Rk5°空間Vn中任一點(diǎn)下式成立：匕常+v匕常+vjRkil+VRr=0這稱為皮安奇恒等式.它表明，按協(xié)變導(dǎo)數(shù)的指標(biāo)(，?)及曲率張量前兩個(gè)指標(biāo)(j,k)作循環(huán)置換所得到的和等于零.［黎曼曲率(截面曲率)與常曲率空間］對(duì)黎曼空間Vn內(nèi)一點(diǎn)M的兩個(gè)線性無關(guān)矢量｛pi｝K= —\g g-gg)prqipjqkrkijrjik這稱為pi，qi所確定的平面的黎曼曲率，又稱為截面曲率.如果對(duì)空間Vn(n