高考數(shù)學(理數(shù))一輪復習教案：9.3《拋物線》(含解析)

9.3拋物線典例精析題型一拋物線定義的運用【例1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標準方程.(1)拋物線過點P(2，－4)；(2)拋物線焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，|AF|＝5.【解析】(1)設(shè)方程為y2＝mx或x2＝ny.將點P坐標代入得y2＝8x或x2＝－y.(2)設(shè)A(m，－3)，所求焦點在x軸上的拋物線為y2＝2px(p≠0)，由定義得5＝|AF|＝|m＋eq\f(p,2)|，又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或±9，所求方程為y2＝±2x或y2＝±18x.【變式訓練1】已知P是拋物線y2＝2x上的一點，另一點A(a,0)(a＞0)滿足|PA|＝d，試求d的最小值.【解析】設(shè)P(x0，y0)(x0≥0)，則yeq\o\al(2,0)＝2x0，所以d＝|PA|＝eq\r((x0－a)2＋y\o\al(2,0))＝eq\r((x0－a)2＋2x0)＝eq\r([x0＋(1－a)]2＋2a－1).因為a＞0，x0≥0，所以當0＜a＜1時，此時有x0＝0，dmin＝eq\r((1－a)2＋2a－1)＝a；當a≥1時，此時有x0＝a－1，dmin＝eq\r(2a－1).題型二直線與拋物線位置討論【例2】(2013湖北模擬)已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；(2)是否存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足：eq\r((x－1)2＋y2)－x＝1(x＞0).化簡得y2＝4x(x＞0).(2)設(shè)過點M(m,0)(m＞0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2).設(shè)l的方程為x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2).＜0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②又x＝eq\f(y2,4)，于是不等式②等價于eq\f(y\o\al(2,1),4)·eq\f(y\o\al(2,2),4)＋y1y2－(eq\f(y\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),4))＋1＜0?eq\f((y1y2)2,16)＋y1y2－eq\f(1,4)[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③由①式，不等式③等價于m2－6m＋1＜4t2.④對任意實數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2－6m＋1＜0，即3－2eq\r(2)＜m＜3＋2eq\r(2).由此可知，存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·＜0，且m的取值范圍是(3－2eq\r(2)，3＋2eq\r(2)).【變式訓練2】已知拋物線y2＝4x的一條弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸的交點坐標為(0,2)，則eq\f(1,y1)＋eq\f(1,y2)＝.【解析】?y2－4my＋8m＝0，所以eq\f(1,y1)＋eq\f(1,y2)＝eq\f(y1＋y2,y1y2)＝eq\f(1,2).題型三有關(guān)拋物線的綜合問題【例3】已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N.(1)求證：拋物線C在點N處的切線與AB平行；(2)是否存在實數(shù)k使·＝0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由.【解析】(1)證明：如圖，設(shè)A(x1,2xeq\o\al(2,1))，B(x2,2xeq\o\al(2,2))，把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，由韋達定理得x1＋x2＝eq\f(k,2)，x1x2＝－1，所以xN＝xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(k,4)，所以點N的坐標為(eq\f(k,4)，eq\f(k2,8)).設(shè)拋物線在點N處的切線l的方程為y－eq\f(k2,8)＝m(x－eq\f(k,4))，將y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋eq\f(mk,4)－eq\f(k2,8)＝0，因為直線l與拋物線C相切，所以Δ＝m2－8(eq\f(mk,4)－eq\f(k2,8))＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，所以m＝k，即l∥AB.(2)假設(shè)存在實數(shù)k，使·＝0，則NA⊥NB，又因為M是AB的中點，所以|MN|＝|AB|.由(1)知yM＝eq\f(1,2)(y1＋y2)＝eq\f(1,2)(kx1＋2＋kx2＋2)＝eq\f(1,2)[k(x1＋x2)＋4]＝eq\f(1,2)(eq\f(k2,2)＋4)＝eq\f(k2,4)＋2.因為MN⊥x軸，所以|MN|＝|yM－yN|＝eq\f(k2,4)＋2－eq\f(k2,8)＝eq\f(k2＋16,8).又|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r((\f(k,2))2－4×(－1))＝eq\f(1,2)eq\r(k2＋1)·eq\r(k2＋16).所以eq\f(k2＋16,8)＝eq\f(1,4)eq\r(k2＋1)·eq\r(k2＋16)，解得k＝±2.即存在k＝±2，使·＝0.【點撥】直線與拋物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；有關(guān)拋物線的弦長問題，要注意弦是否過焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須使用一般弦長公式.【變式訓練3】已知P是拋物線y2＝2x上的一個動點，過點P作圓(x－3)2＋y2＝1的切線，切點分別為M、N，則|MN|的最小值是.【解析】eq\f(4\r(5),5).總結(jié)提高1.在拋物線定義中，焦點F不在準線l上，這是一個重要的隱含條件，若F在l上，則拋物線退化為一條直線.2.掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì)：(1)頂點、焦點在對稱軸上；(2)準線垂直于對稱軸；(3)焦點到準線的距離為p；(4)過焦點垂直于對稱軸的弦(通徑)長為2p.3.拋物線的標準方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應(yīng)關(guān)系.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數(shù)法.4.拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握.但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點有很多重