高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)教案：17.2《參數(shù)方程》(含解析)

17.2參數(shù)方程典例精析題型一參數(shù)方程與普通方程互化【例1】把下列參數(shù)方程化成普通方程：(1)(θ為參數(shù))；(2)(t為參數(shù)，a，b＞0).【解析】(1)所以5x2＋4xy＋17y2－81＝0.(2)由題意可得所以①2－②2得eq\f(4x2,a2)－eq\f(4y2,b2)＝4，所以eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，其中x＞0.【變式訓(xùn)練1】把下列參數(shù)方程化為普通方程，并指出曲線所表示的圖形.(1)(2)(3)(4)【解析】(1)x2＝2(y＋eq\f(1,2))，－eq\r(2)≤x≤eq\r(2)，圖形為一段拋物線弧.(2)x＝1，y≤－2或y≥2，圖形為兩條射線.(3)x2＋y2－3y＝0(y≠3)，圖形是一個(gè)圓，但是除去點(diǎn)(0,3).(4)eq\f((x－6)2,16)－eq\f((y＋3)2,25)＝1，圖形是雙曲線.題型二根據(jù)直線的參數(shù)方程求弦長(zhǎng)【例2】已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＝1.(1)求曲線C的普通方程；(2)求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng).【解析】(1)由曲線C：ρ2cos2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，化成普通方程為x2－y2＝1.①(2)方法一：把直線參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程(t為參數(shù)).②把②代入①得(2＋eq\f(t,2))2－(eq\f(\r(3),2)t)2＝1，整理得t2－4t－6＝0.設(shè)其兩根為t1，t2，則t1＋t2＝4，t1t2＝－6.從而弦長(zhǎng)為|t1－t2|＝eq\r((t1＋t2)2－4t1t2)＝eq\r(42－4(－6))＝eq\r(40)＝2eq\r(10).方法二：把直線的參數(shù)方程化為普通方程為y＝eq\r(3)(x－2)，代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.設(shè)l與C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝eq\f(13,2)，所以|AB|＝eq\r(1＋3)·eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝2eq\r(62－26)＝2eq\r(10).【變式訓(xùn)練2】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\r(2)cos(θ＋eq\f(π,4))，求直線l被曲線C所截的弦長(zhǎng).【解析】將方程(t為參數(shù))化為普通方程為3x＋4y＋1＝0.將方程ρ＝eq\r(2)cos(θ＋eq\f(π,4))化為普通方程為x2＋y2－x＋y＝0.表示圓心為(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))，半徑為r＝eq\f(\r(2),2)的圓，則圓心到直線的距離d＝eq\f(1,10)，弦長(zhǎng)＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(\f(1,2)－\f(1,100))＝eq\f(7,5).題型三參數(shù)方程綜合運(yùn)用【例3】已知曲線C1：(t為參數(shù))，C2：(θ為參數(shù)).(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t＝eq\f(π,2)，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：(t為參數(shù))距離的最小值.【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1.C1是以(－4,3)為圓心，1為半徑的圓；C2是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓.(2)當(dāng)t＝eq\f(π,2)時(shí)，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M(－2＋4cosθ，2＋eq\f(3,2)sinθ).C3為直線x－2y－7＝0，M到C3的距離d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ－3sinθ－13|，從而cosθ＝eq\f(4,5)，sinθ＝－eq\f(3,5)時(shí)，d取最小值eq\f(8\r(5),5).【變式訓(xùn)練3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，得曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ－4sinθ(ρ＞0).(1)化曲線C1、C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；(2)設(shè)曲線C1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為P(m,0)(m＞0)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作曲線C2的切線l，求切線l的方程.【解析】(1)曲線C1：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1；曲線C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝5.曲線C1為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是4，短半軸長(zhǎng)是2的橢圓；曲線C2為圓心為(1，－2)，半徑為eq\r(5)的圓.(2)曲線C1：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－4,0)和(4,0)，因?yàn)閙＞0，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0).顯然切線l的斜率存在，設(shè)為k，則切線l的方程為y＝k(x－4).由曲線C2為圓心為(1，－2)，半徑為eq\r(5)的圓得eq\f(|k＋2－4k|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，解得k＝eq\f(3±\r(10),2)，所以切線l的方程為y＝eq\f(3±\r(10),2)(x－4).總結(jié)提高1.在參數(shù)方程與普通方程互化的過(guò)程中，要保