對圓周運動中小球脫離問題的推廣

對圓周運動中小球脫離問題的推廣/在高中力學(xué)當(dāng)中，我們經(jīng)常遇到一類問題，如'小球恰好脫離??????"，“小球恰能通過??????”，"對軌道壓力恰為零??????"，這是曲線運動（圓周運動）中典型的臨界類型的問題。只要弄清楚約束條件（如繩、軌道、桿各不相同），然后對小球做受力分析，對同學(xué)們來說沒有什么困難。但平常出現(xiàn)的題目中，臨界點一般都是最高點。事實上最高點只是脫離問題的一種特殊情況。本文主要是想談一談臨界點為任意點的情況，希望通過本文讓大家對脫離問題有一點新的認(rèn)識。請看接下來的這道題：在水平地面上豎直放置一光滑的圓形薄軌（軌道為單向約束）并固定，軌道半徑為R。有一質(zhì)量為m的小球靜止在其最低點，小球可視為質(zhì)點?，F(xiàn)給小球一水平方向的初速度v0（以水平向左為例），且V2gR<vO<V5gR。問小球到地面的距離的最大值是多少？（重力加速度為首先解釋什么叫單向約束。軌道分為單向約束和雙向約束兩種，單向約束即軌道對小球的彈力只能指向圓心，相當(dāng)于繩。雙向約束即軌道對小球的彈力可指向圓心也可沿徑向指向軌道外側(cè)，相當(dāng)于輕桿。此處的單向約束軌道相當(dāng)于繩。由于是薄軌道，即軌道厚度忽略，我們以地面為起始高度，小球視為質(zhì)點。注意到題中所給限制條件，V2gR<vO<V5gR。這一條件意味著，小球無法運動到最高點b,但能夠通過最左側(cè)的點a（大家很容易可以用數(shù)學(xué)證明出這個結(jié)論）。即最終的答案肯定介于R和2R之間。小球從最低點出發(fā)后，在到達(dá)最高點之前，速率將一直減小。小球通過a點之后，可繼續(xù)沿軌道上升，但上升速率在減小，直到小球到達(dá)某點c開始脫離圓形軌道，根據(jù)之前的結(jié)論,c點肯定位于a、b之間。先來思考一下，脫離c后，小球會怎么運動。大家以前做臨界點為最高點的題目時應(yīng)該思考過為什么小球到達(dá)臨界點的速度不能為零，在這里也是一樣。考慮到軌道為單向約束，故小球到達(dá)點c時的速度不可能為零（很好證明，用簡單的邏輯就能證明，這里不談，如果需要，我會另外跟帖證明）。所以，小球在到達(dá)c的時候，是具有一定切向速度的，即小球不會從c點開始作自由落體運動。那么小球通過c之后作什么運動呢？很顯然，只能作斜拋運動（學(xué)過平拋運動的同學(xué)就應(yīng)該會解斜拋運動問題）。既然是斜拋，那么小球在離開c點后到地面的距離就會繼續(xù)增大一些，直到小球運動至斜拋運動的最高點d。到達(dá)d后的運動，就是大家所熟知的平拋運動。接下來，小球?qū)厍€運動并砸在圓形軌道的e點處?？紤]到軌道光滑，且不計空氣阻力，小球從最低點出發(fā)后，一直到砸在e點之前的整個過程中，小球機械能都是守恒的。而砸在e點處會產(chǎn)生熱，即機械能損失，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，總機械能減少。因而小球砸在e點后又重新下滑至最低點，它到達(dá)最低點時的速度肯定小于v0，也就是說，即使小球第二次通過最低點的速度依然滿足"2gR〈vO'〈h的條件的話，它斜拋的最高點也必定比第一次的d點要低（而事實上，第二次通過最低點的速度是無法滿足這個條件的，大家可以用數(shù)學(xué)方法證明）。綜上，小球到地面的距離的最大值應(yīng)為小球第一次作斜拋運動的最高點d到地面的豎直高度。如果能夠算出第一次平拋運動的最高點d的位置，就知道本題的答案了。接下來，方法不止一種，我采用的是如下思路：求d的豎直高度，可轉(zhuǎn)化為求d處的重力勢能，我們可以先求出d點的動能（再用機械能減去d處小球的動能得到d處小球的重力勢能），再轉(zhuǎn)化為求小球在d處的速度，而小球到達(dá)c之后的斜拋過程中水平速度保持恒定，所以d處的速度大小等于小球在c處的速度的水平分量，所以應(yīng)當(dāng)先求c處的速度大小并根據(jù)角度關(guān)系知道其水平分量。接下來問題就轉(zhuǎn)化為如何求小球在c點的速度大小以及角度關(guān)系是怎樣的。根據(jù)受力分析可知，在c點處軌道彈力恰為零，即重力沿徑向的分力充當(dāng)此時的向心力（因為運動軌跡上任意一點的向心力都一定垂直于該點的切線，指向曲率中心）。因此我們作出下圖幫助分析：設(shè)小球在c點處的速度方向(即c點的切線方向)與水平方向夾角為e,由小球在c點處重力沿徑向的分力提供向心力，得：Mgcos0=mvA2/R解出cos0=vA2/gRo令c到地面的豎直高度為h,得h=R(1+cosB),即：h=R(1+vA2/gR)對小球出發(fā)到c這段過程用機械能守恒并整理得：1/2mv0A2-mgR(1+vA2/gR)=1/2mvA2解出vA2=(v0A2-2gR)/3，所以cosO=(v0A2-2gR)/3gR,將v在c處分解，得到水平分量為：vx=vcos0=V(v0A2-2gR)/3*(v0A2-2gR)/3gR也就是最高點d處的速度大小。設(shè)d到地面的豎直高度為H,對小球出發(fā)一直到運動至最高點d用機械能守恒并整理得：1/2mv0A2-m/2[V(v0A2-2gR)/3*(v0A2-2gR)/3gR]A2=mgH解出H=v0A2/2g-(v0A2-2gR)A3/54gA3RA2即小球到地面的距離的最大值是v0A2/2g-(v0A2-2gR)A3/54gTRA2以上計算和化簡過程從