對圓周運動中小球脫離問題的推廣

對圓周運動中小球脫離問題的推廣/在高中力學當中，我們經常遇到一類問題，如'小球恰好脫離??????"，“小球恰能通過??????”，"對軌道壓力恰為零??????"，這是曲線運動（圓周運動）中典型的臨界類型的問題。只要弄清楚約束條件（如繩、軌道、桿各不相同），然后對小球做受力分析，對同學們來說沒有什么困難。但平常出現(xiàn)的題目中，臨界點一般都是最高點。事實上最高點只是脫離問題的一種特殊情況。本文主要是想談一談臨界點為任意點的情況，希望通過本文讓大家對脫離問題有一點新的認識。請看接下來的這道題：在水平地面上豎直放置一光滑的圓形薄軌（軌道為單向約束）并固定，軌道半徑為R。有一質量為m的小球靜止在其最低點，小球可視為質點。現(xiàn)給小球一水平方向的初速度v0（以水平向左為例），且V2gR<vO<V5gR。問小球到地面的距離的最大值是多少？（重力加速度為首先解釋什么叫單向約束。軌道分為單向約束和雙向約束兩種，單向約束即軌道對小球的彈力只能指向圓心，相當于繩。雙向約束即軌道對小球的彈力可指向圓心也可沿徑向指向軌道外側，相當于輕桿。此處的單向約束軌道相當于繩。由于是薄軌道，即軌道厚度忽略，我們以地面為起始高度，小球視為質點。注意到題中所給限制條件，V2gR<vO<V5gR。這一條件意味著，小球無法運動到最高點b,但能夠通過最左側的點a（大家很容易可以用數(shù)學證明出這個結論）。即最終的答案肯定介于R和2R之間。小球從最低點出發(fā)后，在到達最高點之前，速率將一直減小。小球通過a點之后，可繼續(xù)沿軌道上升，但上升速率在減小，直到小球到達某點c開始脫離圓形軌道，根據之前的結論,c點肯定位于a、b之間。先來思考一下，脫離c后，小球會怎么運動。大家以前做臨界點為最高點的題目時應該思考過為什么小球到達臨界點的速度不能為零，在這里也是一樣。考慮到軌道為單向約束，故小球到達點c時的速度不可能為零（很好證明，用簡單的邏輯就能證明，這里不談，如果需要，我會另外跟帖證明）。所以，小球在到達c的時候，是具有一定切向速度的，即小球不會從c點開始作自由落體運動。那么小球通過c之后作什么運動呢？很顯然，只能作斜拋運動（學過平拋運動的同學就應該會解斜拋運動問題）。既然是斜拋，那么小球在離開c點后到地面的距離就會繼續(xù)增大一些，直到小球運動至斜拋運動的最高點d。到達d后的運動，就是大家所熟知的平拋運動。接下來，小球將會沿曲線運動并砸在圓形軌道的e點處?？紤]到軌道光滑，且不計空氣阻力，小球從最低點出發(fā)后，一直到砸在e點之前的整個過程中，小球機械能都是守恒的。而砸在e點處會產生熱，即機械能損失，轉化為內能，總機械能減少。因而小球砸在e點后又重新下滑至最低點，它到達最低點時的速度肯定小于v0，也就是說，即使小球第二次通過最低點的速度依然滿足"2gR〈vO'〈h的條件的話，它斜拋的最高點也必定比第一次的d點要低（而事實上，第二次通過最低點的速度是無法滿足這個條件的，大家可以用數(shù)學方法證明）。綜上，小球到地面的距離的最大值應為小球第一次作斜拋運動的最高點d到地面的豎直高度。如果能夠算出第一次平拋運動的最高點d的位置，就知道本題的答案了。接下來，方法不止一種，我采用的是如下思路：求d的豎直高度，可轉化為求d處的重力勢能，我們可以先求出d點的動能（再用機械能減去d處小球的動能得到d處小球的重力勢能），再轉化為求小球在d處的速度，而小球到達c之后的斜拋過程中水平速度保持恒定，所以d處的速度大小等于小球在c處的速度的水平分量，所以應當先求c處的速度大小并根據角度關系知道其水平分量。接下來問題就轉化為如何求小球在c點的速度大小以及角度關系是怎樣的。根據受力分析可知，在c點處軌道彈力恰為零，即重力沿徑向的分力充當此時的向心力（因為運動軌跡上任意一點的向心力都一定垂直于該點的切線，指向曲率中心）。因此我們作出下圖幫助分析：設小球在c點處的速度方向(即c點的切線方向)與水平方向夾角為e,由小球在c點處重力沿徑向的分力提供向心力，得：Mgcos0=mvA2/R解出cos0=vA2/gRo令c到地面的豎直高度為h,得h=R(1+cosB),即：h=R(1+vA2/gR)對小球出發(fā)到c這段過程用機械能守恒并整理得：1/2mv0A2-mgR(1+vA2/gR)=1/2mvA2解出vA2=(v0A2-2gR)/3，所以cosO=(v0A2-2gR)/3gR,將v在c處分解，得到水平分量為：vx=vcos0=V(v0A2-2gR)/3*(v0A2-2gR)/3gR也就是最高點d處的速度大小。設d到地面的豎直高度為H,對小球出發(fā)一直到運動至最高點d用機械能守恒并整理得：1/2mv0A2-m/2[V(v0A2-2gR)/3*(v0A2-2gR)/3gR]A2=mgH解出H=v0A2/2g-(v0A2-2gR)A3/54gA3RA2即小球到地面的距離的最大值是v0A2/2g-(v0A2-2gR)A3/54gTRA2以上計算和化簡過程從