2023學(xué)年河南省蘭考縣三中高考數(shù)學(xué)五模試卷(含解析)_第1頁
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文檔簡介

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線,過原點作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P,Q兩點,以線段PQ為直徑的圓過右焦點F,則雙曲線離心率為A. B. C.2 D.2.是虛數(shù)單位,則()A.1 B.2 C. D.3.()A. B. C. D.4.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(,)對應(yīng)向量(O為坐標(biāo)原點),設(shè),以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.165.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A. B. C.- D.-6.中國鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程與年價正相關(guān)C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列7.函數(shù)fxA. B.C. D.8.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.9.如圖,棱長為的正方體中,為線段的中點,分別為線段和棱上任意一點,則的最小值為()A. B. C. D.10.我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”(注:如果一個大于的整數(shù)除了和自身外無其他正因數(shù),則稱這個整數(shù)為素數(shù)),在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù)、,則的概率是()A. B. C. D.11.拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.212.設(shè)集合,,則集合A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式中項的系數(shù)是__________14.設(shè),分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則_________15.《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.問積幾何?答曰:二千一百一十二尺,術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,這里所說的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是說:圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長的平方高),則由此可推得圓周率的取值為________.16.能說明“若對于任意的都成立,則在上是減函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,判斷函數(shù),()有幾個零點,并證明你的結(jié)論;(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)設(shè),函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)設(shè)函數(shù).①若,試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點;②求證:對任意的,直線都不是的切線;(2)設(shè)函數(shù),試判斷函數(shù)是否存在極小值,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若在定義域內(nèi)是增函數(shù),且存在不相等的正實數(shù),使得,證明:.20.(12分)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,其面積記為,滿足.(1)求;(2)若,求的值.21.(12分)2019年是五四運動100周年.五四運動以來的100年,是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚五四精神在青年節(jié)到來之際,學(xué)校組織“五四運動100周年”知識競賽,競賽的一個環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類題、4道B類題,參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.(1)求甲同學(xué)至少抽到2道B類題的概率;(2)若甲同學(xué)答對每道A類題的概率都是,答對每道B類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類題和1道B類題,用X表示甲同學(xué)答對題目的個數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識,高二年級準(zhǔn)備成立一個環(huán)境保護(hù)興趣小組.該年級理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人,按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人,組成環(huán)境保護(hù)興趣小組,再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.(1)設(shè)事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生,而且這兩個男生必須文、理科生都有”,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】

求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程,求得兩點坐標(biāo)的關(guān)系,根據(jù)列方程,化簡后求得離心率.【題目詳解】設(shè),依題意直線的方程為,代入雙曲線方程并化簡得,故,設(shè)焦點坐標(biāo)為,由于以為直徑的圓經(jīng)過點,故,即,即,即,兩邊除以得,解得.故,故選B.【答案點睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點,考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì),考查運算求解能力,屬于中檔題.2、C【答案解析】

由復(fù)數(shù)除法的運算法則求出,再由模長公式,即可求解.【題目詳解】由.故選:C.【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和模,屬于基礎(chǔ)題.3、A【答案解析】

分子分母同乘,即根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【題目詳解】解:,故選:A【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.4、D【答案解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【題目詳解】,.故選:D【答案點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時考查了復(fù)數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎(chǔ)題.5、A【答案解析】分析:計算,由z1,是實數(shù)得,從而得解.詳解:復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實數(shù),所以,即.故選A.點睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念,屬于基礎(chǔ)題.6、D【答案解析】

由折線圖逐項分析即可求解【題目詳解】選項,顯然正確;對于,,選項正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯.故選:D【答案點睛】本題考查統(tǒng)計的知識,考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識,是基礎(chǔ)題7、A【答案解析】

由f12=e-14>0排除選項D;【題目詳解】由f12=e-14>0,可排除選項D,f-1=-e【答案點睛】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及x→08、B【答案解析】

可解出集合,然后進(jìn)行補集、交集的運算即可.【題目詳解】,,則,因此,.故選:B.【答案點睛】本題考查補集和交集的運算,涉及一元二次不等式的求解,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【答案解析】

取中點,過作面,可得為等腰直角三角形,由,可得,當(dāng)時,最小,由,故,即可求解.【題目詳解】取中點,過作面,如圖:則,故,而對固定的點,當(dāng)時,最?。藭r由面,可知為等腰直角三角形,,故.故選:D【答案點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.10、B【答案解析】

先列舉出不超過的素數(shù),并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù)、,滿足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【題目詳解】不超過的素數(shù)有:、、、、、,在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù),所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共種情況,其中,事件“在不超過的素數(shù)中,隨機(jī)選取個不同的素數(shù)、,且”包含的基本事件有:、、、,共種情況,因此,所求事件的概率為.故選:B.【答案點睛】本題考查古典概型概率的計算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【答案解析】

求得拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點,由三角形的面積公式,計算即可得到所求值.【題目詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【答案點睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運用拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【答案解析】

先求出集合和它的補集,然后求得集合的解集,最后取它們的交集得出結(jié)果.【題目詳解】對于集合A,,解得或,故.對于集合B,,解得.故.故選B.【答案點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查對數(shù)不等式的解法,考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是:先將二次項系數(shù)化為正數(shù),且不等號的另一邊化為,然后通過因式分解,求得對應(yīng)的一元二次方程的兩個根,再利用“大于在兩邊,小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-20【答案解析】

根據(jù)二項式定理的通項公式,再分情況考慮即可求解.【題目詳解】解:展開式中項的系數(shù):二項式由通項公式當(dāng)時,項的系數(shù)是,當(dāng)時,項的系數(shù)是,故的系數(shù)為;故答案為:【答案點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,注意分情況考慮,屬于基礎(chǔ)題.14、1【答案解析】

令,結(jié)合函數(shù)的奇偶性,求得,即可求解的值,得到答案.【題目詳解】由題意,函數(shù)分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,令,可得,所以.故答案為:1.【答案點睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性,合理賦值求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、3【答案解析】

根據(jù)圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長的平方高),可得,進(jìn)而可求出的值【題目詳解】解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【答案點睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.16、答案不唯一,如【答案解析】

根據(jù)對基本函數(shù)的理解可得到滿足條件的函數(shù).【題目詳解】由題意,不妨設(shè),則在都成立,但是在是單調(diào)遞增的,在是單調(diào)遞減的,說明原命題是假命題.所以本題答案為,答案不唯一,符合條件即可.【答案點睛】本題考查對基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)的理解,關(guān)鍵是假設(shè)出一個在上不是單調(diào)遞減的函數(shù),再檢驗是否滿足命題中的條件,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;(2)有2個零點,證明見解析;(3)【答案解析】

對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;函數(shù)有2個零點.根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可證明;記函數(shù),求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得,由零點存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的,使,求得為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論:①當(dāng)時,利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為的問題;②當(dāng)時,當(dāng)時,在上恒成立,從而求得的取值范圍.【題目詳解】(1)由題意知,,列表如下:020極小值極大值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,.(2)函數(shù)有2個零點.證明如下:因為時,所以,因為,所以在恒成立,在上單調(diào)遞增,由,,且在上單調(diào)遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個零點,由(1)可得時,,即,故時,,所以,由得,平方得,所以,因為,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因為,所以,由,,且在上單調(diào)遞減且連續(xù)得在上僅有一個零點,綜上可知:函數(shù)有2個零點.(3)記函數(shù),下面考察的符號.求導(dǎo)得.當(dāng)時恒成立.當(dāng)時,因為,所以.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.∵,∴,又因為在上連續(xù),所以由函數(shù)的零點存在性定理得存在唯一的,使,∴,因為,所以∴因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,,所以在,上恒成立.①當(dāng)時,在上恒成立,即在上恒成立.記,則,當(dāng)變化時,,變化情況如下表:極小值∴,故,即.②當(dāng)時,,當(dāng)時,在上恒成立.綜合(1)(2)知,實數(shù)的取值范圍是.【答案點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點個數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運算求解能力;通過構(gòu)造函數(shù),利用零點存在性定理判斷其零點,從而求出函數(shù)的表達(dá)式是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.18、(1)①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點;②證明見解析;(2)且;【答案解析】

(1)①令,結(jié)合函數(shù)零點的判定定理判斷即可;②設(shè)切點橫坐標(biāo)為,求出切線方程,得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;(2)求出的解析式,通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,確定的范圍即可.【題目詳解】解:(1)①當(dāng)時,函數(shù),令,,則,,故,又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線,故函數(shù)在區(qū)間上有零點,故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點;②證明:假設(shè)存在,使得直線是曲線的切線,切點橫坐標(biāo)為,且,則切線在點切線方程為,即,從而,且,消去,得,故滿足等式,令,所以,故函數(shù)在和上單調(diào)遞增,又函數(shù)在時,故方程有唯一解,又,故不存在,即證;(2)由得,,,令,則,,當(dāng)時,遞減,故當(dāng)時,,遞增,當(dāng)時,,遞減,故在處取得極大值,不合題意;時,則在遞減,在,遞增,①當(dāng)時,,故在遞減,可得當(dāng)時,,當(dāng)時,,,易證,令,,令,故,則,故在遞增,則,即時,,故在,內(nèi)存在,使得,故在,上遞減,在,遞增,故在處取得極小值.②由(1)知,,故在遞減,在遞增,故時,,遞增,不合題意;③當(dāng)時,,當(dāng),時,,遞減,當(dāng)時,,遞增,故在處取極小值,符合題意,綜上,實數(shù)的范圍是且.【答案點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.19、(1)當(dāng)時,在上遞增,在上遞減;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,在上遞增;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;(2)證明見解析【答案解析】

(1)對求導(dǎo),分,,進(jìn)行討論,可得的單調(diào)性;(2)在定義域內(nèi)是是增函數(shù),由(1)可知,,設(shè),可得,則,設(shè),對求導(dǎo),利用其單調(diào)性可證明.【題目詳解】解:的定義域為,因為,所以,當(dāng)時,令,得,令,得;當(dāng)時,則,令,得,或,令,得;當(dāng)時,,當(dāng)時,則,令,得;綜上所述,當(dāng)時,在上遞增,在上遞減;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,在上遞增;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;(2)在定義域內(nèi)是是增函數(shù),由(1)可知,此時,設(shè),又因為,則,設(shè),則對于任意成立,所以在上是增函數(shù),所以對于,有,即,有,因為,所以,即,又在遞增,所以,即.【答案點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在極值點偏移中的應(yīng)用,考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化的思想,綜合性大,屬于難題.20、(1);(2)【答案解析】

(1)根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式,即可求得,進(jìn)而求得的值;(2)根據(jù)正弦定理將邊化為角,結(jié)合(1)中的值,即可將表

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