高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)排列組合練習(xí)

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)08高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)排列組合練習(xí)一、知識(shí)要點(diǎn)通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用排列組合概率兩個(gè)計(jì)數(shù)原理二項(xiàng)式定理概率排列數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)性質(zhì)二項(xiàng)展開式的性質(zhì)排列概念組合概念隨機(jī)事件的概率等可能事件的概率互斥事件的概率相互獨(dú)立事件的概率應(yīng)用應(yīng)用隨機(jī)變量隨機(jī)變量抽樣方法離散型隨機(jī)變量的分布列連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度總體分布的估計(jì)離散型隨機(jī)變量的期望與方差總體特征數(shù)的估計(jì)二、高考要求1、掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理、并能用它分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。2、理解排列的意義，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。3、理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。4、掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問題。5、了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義。6、了解等可能事件的概率的意義，并會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率。7、了解互斥事件的相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率。8、會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率。9、了解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量的意義，會(huì)求某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列。10、了解離散型隨機(jī)變量的期望、方差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求期望與方差。11、了解連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的意義。12、會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本。13、會(huì)用與去估計(jì)總體方差，會(huì)用S*與S去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)。14、會(huì)用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布。了解線性回歸的方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用。三、熱點(diǎn)分析排列與組合是高中數(shù)學(xué)中從內(nèi)容到方法都比較獨(dú)特的一個(gè)組成部分，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)知識(shí)，該部分內(nèi)容，不論其思想方法和解題都有特殊性，概念性強(qiáng)，抽象性強(qiáng)，思維方法新穎，解題過程極易犯“重復(fù)”或“遺漏”的錯(cuò)誤，并且結(jié)果數(shù)目較大，無法一一檢驗(yàn)，因此給考生帶來一定困難。解決問題的關(guān)鍵是加深對(duì)概念的理解，掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，科學(xué)周全的思考、分析問題。二項(xiàng)式定理是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，把握二項(xiàng)展開式及其通項(xiàng)公式的相互聯(lián)系和應(yīng)用是重點(diǎn)。概率則是概率論入門，目前的概率知識(shí)只是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率和統(tǒng)計(jì)打好基礎(chǔ)，做好鋪墊。學(xué)習(xí)中要注意基本概念的理解，要注意與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，要通過一些典型問題的分析，總結(jié)運(yùn)用知識(shí)解決問題的思維規(guī)律。縱觀近幾年高考，排列、組合、二項(xiàng)式定理幾乎每年必考，考題多以選擇題、填空題出現(xiàn)，題小而靈活，涉及知識(shí)點(diǎn)都在兩三個(gè)左右，綜合運(yùn)用排列組合知識(shí)，分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)原理；二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)計(jì)算或論證一些較簡(jiǎn)單而有趣的小題也在高考題中常見。新教材中增添了“概率”及“概率統(tǒng)計(jì)”的內(nèi)容，從近幾年新課程卷高考來看，每年都有一道解答題，占12分左右，今年在此處出題可能性也較大。四、復(fù)習(xí)建議本章內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立性較強(qiáng)，并且密切聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用性較強(qiáng)，分為四個(gè)部分：排列組合、二項(xiàng)式定理、概率和概率統(tǒng)計(jì)。具有概念性強(qiáng)靈活性強(qiáng)，思維方法新穎等特點(diǎn)，要注意從加深對(duì)概念的理解和掌握內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別方面下功夫，四部分中，排列、組合是基礎(chǔ)和工具。本章主要的數(shù)學(xué)思想有：化歸思想，比較分類思想，極限思想和模型化思維方法。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意發(fā)散思維和逆向思維，通過分類分步把復(fù)雜問題分解恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用集合觀點(diǎn)、整體思想，從全集、補(bǔ)集等入手，使問題簡(jiǎn)化?！纠}】四名優(yōu)等生保送到三所學(xué)校去，每所學(xué)校至少得一名，則不同的保送方案的總數(shù)是_________.解法一：分兩步：先將四名優(yōu)等生分成2，1，1三組，共有C種；而后，對(duì)三組學(xué)生安排三所學(xué)校，即進(jìn)行全排列，有A33種.依乘法原理，共有N=C=36(種).解法二：分兩步：從每個(gè)學(xué)校至少有一名學(xué)生，每人進(jìn)一所學(xué)校，共有A種；而后，再將剩余的一名學(xué)生送到三所學(xué)校中的一所學(xué)校，有3種.值得注意的是：同在一所學(xué)校的兩名學(xué)生是不考慮進(jìn)入的前后順序的.因此，共有N=A·3=36(種).答案：36有五張卡片，它們的正、反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？解：(間接法)：任取三張卡片可以組成不同三位數(shù)C·23·A(個(gè))，其中0在百位的有C·22·A(個(gè))，這是不合題意的，故共有不同三位數(shù)：C·23·A－C·22·A=432(個(gè)).在∠AOB的OA邊上取m個(gè)點(diǎn)，在OB邊上取n個(gè)點(diǎn)(均除O點(diǎn)外)，連同O點(diǎn)共m+n+1個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任取其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可作的三角形有()解法一：第一類辦法：從OA邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)與從OB邊上(不包括O)中任取兩點(diǎn)，可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)；第二類辦法：從OA邊上(不包括O)中任取兩點(diǎn)與OB邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)，與O點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)；第三類辦法：從OA邊上(不包括O)任取一點(diǎn)與OB邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)，與O點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè).由加法原理共有N=CC+CC+CC個(gè)三角形.解法二：從m+n+1中任取三點(diǎn)共有C個(gè)，其中三點(diǎn)均在射線OA(包括O點(diǎn))，有C個(gè)，三點(diǎn)均在射線OB(包括O點(diǎn))，有C個(gè).所以，個(gè)數(shù)為N=C－C－C個(gè).答案：C函數(shù))（1）已知的展開式中的系數(shù)為，求常數(shù)（2）是否存在的值，使在定義域中取任意值時(shí)，恒成立？如存在，求出的值，如不存在，說明理由.解（1）Tr+1=C由解得（2）要使（只需10當(dāng)時(shí)，設(shè)（0，（，+）—0+極小值20當(dāng)時(shí)，不成立30當(dāng)時(shí)，不成立故當(dāng)另解法只需五人站成一列，重新站隊(duì)時(shí)，各人都不站在原來的位置上，有多少種站法？解：設(shè)原來站在第i個(gè)位置的人是（i=1，2，3，4，5）。重新站隊(duì)時(shí)，站在第2個(gè)位置的站法有種，其中不符合要求的有：站第3位的種，站第4位的種，但有的站法在考慮的情形時(shí)已經(jīng)減去了，故只應(yīng)再算（）種，同理，站第5位的應(yīng)再算[]種。站在第3，4，5位的情形與站在第2位的情形時(shí)對(duì)等的，故所有符合要求的站法有：=44（種）一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球，若取出一個(gè)紅球記2分，取出一個(gè)白球記1分，從口袋中取5個(gè)球，使總分不小于7分的取法有多少種？解：設(shè)取個(gè)紅球，個(gè)白球，于是：，其中，因此所求的取法種數(shù)是：=186（種）已知數(shù)列，是否存在等差數(shù)列，使對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。解：假設(shè)滿足要求的等差數(shù)列存在，由于所給等式對(duì)一切自然數(shù)n均成立，故當(dāng)n=1，2，3時(shí)等式成立，從而可解得=1，=2，=3，因此若滿足要求的等差數(shù)列存在，則必須是=n。.然后再證明當(dāng)=n時(shí)所給等式確實(shí)成立即可。答案是肯定的。若某一等差數(shù)列的首項(xiàng)為，其中m是-15除以19的余數(shù)，則此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？并求出這個(gè)最大值。解：由已知得：。注意到，從而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是：，設(shè)其前k項(xiàng)之和最大，則，解得k=25或k=26，故此數(shù)列的前25項(xiàng)之和與前26項(xiàng)之和相等且最大，。已知的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于展開式中的常數(shù)項(xiàng)，求展開式中含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。解：先求出的常數(shù)項(xiàng)是27，從而可得中n=7，對(duì)于由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式知，含的項(xiàng)是第4項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)是35。求證：能被25整除。解：注意到即可?！九帕小⒔M合與二項(xiàng)式定理練習(xí)1】一、填空題1．從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_________條(用數(shù)值表示).2．圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)(n＞1)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_________.二、解答題3．某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，有5次出牌機(jī)會(huì)，每次只能出一種點(diǎn)數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？4．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中選取3個(gè)不同的值，則可確定坐標(biāo)原點(diǎn)在拋物線內(nèi)部的拋物線多少條？5．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù).(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置.(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊.(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起.(4)全體排成一行，男、女各不相鄰.(5)全體排成一行，男生不能排在一起.(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變.(7)排成前后二排，前排3人，后排4人.(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人.6．20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，求不同的放法種數(shù).7．用五種不同的顏色，給圖中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相鄰部分涂不同色，則涂色的方法共有幾種？8．甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值兩天班，若甲不值周一、乙不值周六，則可排出不同的值班表數(shù)為多少？參考答案一、1.解析：因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，所以C=0，從1，2，3，5，7，11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A、B兩數(shù)的順序不同，表示的直線不同，所以直線的條數(shù)為A=30.答案：302.解析：2n個(gè)等分點(diǎn)可作出n條直徑，從中任選一條直徑共有C種方法；再?gòu)囊韵碌?2n－2)個(gè)等分點(diǎn)中任選一個(gè)點(diǎn)，共有C種方法，根據(jù)乘法原理：直角三角形的個(gè)數(shù)為：C·C=2n(n－1)個(gè).答案：2n(n－1)二、3.解：出牌的方法可分為以下幾類：(1)5張牌全部分開出，有A種方法；(2)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法；(3)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法；(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有CA種方法；(5)2張2分開出，3張A一起出，有A種方法；(6)2張2分開出，3張A分兩次出，有CA種方法.因此，共有不同的出牌方法A+A+A+AA+A+CA=860種.4.解：由圖形特征分析，a＞0,開口向上，坐標(biāo)原點(diǎn)在內(nèi)部f(0)=c＜0;a＜0,開口向下，原點(diǎn)在內(nèi)部f(0)=c＞0,所以對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c來講，原點(diǎn)在其內(nèi)部af(0)=ac＜0,則確定拋物線時(shí)，可先定一正一負(fù)的a和c，再確定b,故滿足題設(shè)的拋物線共有CCAA=144條.5.解：(1)利用元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲左、右、中共三個(gè)位置可供甲選擇.有A種，其余6人全排列，有A種.由乘法原理得AA=2160種.(2)位置分析法.先排最右邊，除去甲外，有A種，余下的6個(gè)位置全排有A種，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)AA種.則符合條件的排法共有AA－AA=3720種.(3)捆綁法.將男生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列.再與其他元素進(jìn)行全排列.共有AA=720種.(4)插空法.先排好男生，然后將女生插入其中的四個(gè)空位，共有AA=144種.(5)插空法.先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440種.(6)定序排列.第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N，第二步，對(duì)甲、乙、丙進(jìn)行全排列，則為七個(gè)人的全排列，因此A=N×A，∴N==840種.(7)與無任何限制的排列相同，有A=5040種.(8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有A種，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有AA.最后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可.共有A×A×A=720種.6.解：首先按每個(gè)盒子的編號(hào)放入1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)小球，然后將剩余的14個(gè)小球排成一排，如圖，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15個(gè)空檔，其中“O”表示小球，“|”表示空檔.將求小球裝入盒中的方案數(shù)，可轉(zhuǎn)化為將三個(gè)小盒插入15個(gè)空檔的排列數(shù).對(duì)應(yīng)關(guān)系是：以插入兩個(gè)空檔的小盒之間的“O”個(gè)數(shù)，表示右側(cè)空檔上的小盒所裝有小球數(shù).最左側(cè)的空檔可以同時(shí)插入兩個(gè)小盒.而其余空檔只可插入一個(gè)小盒，最右側(cè)空檔必插入小盒，于是，若有兩個(gè)小盒插入最左側(cè)空檔，有C種；若恰有一個(gè)小盒插入最左側(cè)空檔，有種；若沒有小盒插入最左側(cè)空檔，有C種.由加法原理，有N==120種排列方案，即有120種放法.7.解：按排列中相鄰問題處理.(1)(4)或(2)(4).可以涂相同的顏色.分類：若(1)(4)同色，有A種，若(2)(4)同色，有A種，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A種.由加法原理，共有N=2A+A=240種.8.解：每人隨意值兩天，共有CCC個(gè)；甲必值周一，有CCC個(gè)；乙必值周六，有CCC個(gè)；甲必值周一且乙必值周六，有CCC個(gè).所以每人值兩天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表數(shù)，有N=CCC－2CCC+CCC=90－2×5×6+12=42個(gè).【排列、組合與二項(xiàng)式定理練習(xí)2】一、選擇題1．從裝有4粒大小、形狀相同，顏色不同的玻璃球的瓶中，隨意一次倒出若干粒玻璃球 （至少一粒），則倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率（B） A．小 B．大 C．相等 D．大小不能確定2．有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有（C）A．36種B．48種C．72種D．96種3．有5個(gè)大小相同的球，上面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，現(xiàn)任取兩個(gè)球，則兩個(gè)球序號(hào)相鄰的概率是（D） A． B． C． D．4．一張三角形紙片內(nèi)有99個(gè)點(diǎn)，若連同原三角形的頂點(diǎn)共102個(gè)點(diǎn)中無三點(diǎn)共線，以這些點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，把這張三角形紙片剪成小三角形，這樣的小三角形共有（B） A．300 B． C．201 D．1995．某種體育彩票抽獎(jiǎng)規(guī)定，從01到36共36個(gè)號(hào)碼中抽出7個(gè)為一注，每注2元，某人想從01到10中選3個(gè)連續(xù)號(hào)，從11到20中選2個(gè)連續(xù)號(hào)，從21到30中選1個(gè)號(hào)，從31到36中選1個(gè)號(hào)組成一注，現(xiàn)這人把這些特殊的號(hào)全買，要花費(fèi)的錢數(shù)是（D）A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元1．從3位老師和8位學(xué)生中，選派1位老師和2位學(xué)生一起去參加某項(xiàng)活動(dòng)，不同的選派方法的種類為（C）（A）（B）（C）（D）2．在學(xué)雷鋒活動(dòng)中，某班的4個(gè)小組分別到4個(gè)孤寡老人家做好事，則不同安排方法的種數(shù)是（A）（A）24（B）12（C）6（D）43．從5臺(tái)“聯(lián)想”電腦和4臺(tái)“實(shí)達(dá)”電腦中任選4臺(tái)，其中既有“聯(lián)想”電腦又有“實(shí)達(dá)”電腦的不同選法的種數(shù)為（C）（A）60（B）80（C）120（D）1404．6個(gè)人排成一排，其中甲不能排在兩端的排法數(shù)有（C）（A）120種子（B）240種（C）480種（D）600種13．5名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（A）（A）192種（B）216種（C）240種（D）360種5．每天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，安排5門不同的課程，其中安排一門課上連堂，則一天不同課表的種數(shù)為（A）（A）480（B）600（C）720（D）3606．不同的五種商品在貨架上排成一排，其中兩種必須排在一起，而兩種不能排在一起，則不同的排法共有（C）（A）12種（B）20種（C）24種（D）48種二、填空題1、某校準(zhǔn)備召開高中畢業(yè)生代表會(huì)，把6個(gè)代表名額分配給高三年級(jí)的3個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，不同的分配方案共有種?！敬鸢浮?02、“漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)（如2578），在二位的“漸升數(shù)”中任取一數(shù)比37大的概率是【答案】。3、從裝有個(gè)球（其中個(gè)白球，個(gè)黑球）的口袋中取出個(gè)球，共有種取法。在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個(gè)球全部為白球，共有種取法；另一類是取出的個(gè)球有個(gè)白球和個(gè)黑球，共有種取法。顯然，即有等式：成立。試根據(jù)上述思想化簡(jiǎn)下列式子：【答案】。4、某小組有名學(xué)生，現(xiàn)從中選名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，至少有名女生參加的不同選法有種，則小組中的女生為【答案】名。已知甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員投籃命中率分別為0.7和0.8．（1）如果每人各投籃一次，求甲、乙兩人中至少一人進(jìn)球的概率；（2）如果兩人比賽，各投籃2次，求甲戰(zhàn)勝乙的概率． 解：設(shè)甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員投籃進(jìn)球分別記為事件，則為獨(dú)立事件．（1）或（2）甲戰(zhàn)勝乙有1比0、2比0、2比1三種情形，．排球比賽的規(guī)則是5局3勝制，A、B兩隊(duì)每局比賽獲勝的概率都相等且分別為和.（1）前2局中B隊(duì)以2:0領(lǐng)先，求最后A、B隊(duì)各自獲勝的概率；（2）B隊(duì)以3:2獲勝的概率．解：（1）設(shè)最后A獲勝的概率為設(shè)最后B獲勝的概率為（2）設(shè)B隊(duì)以3:2獲勝的概率為．如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2，當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng)N1，N2正常工作的概率P1、P2.解：記元件A、B、C正常工作的事件分別為A、B、C，由已知條件P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90.(1)因?yàn)槭录嗀、B、C是相互獨(dú)立的，所以，系統(tǒng)N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系統(tǒng)N1正常工作的概率為0.648(2)系統(tǒng)N2正常工作的概率P2=P(A)·［1－P()］=P(A)·［1－P()P()］=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792故系統(tǒng)N2正常工作的概率為0.792有A、B兩個(gè)箱子，A箱中有6張相同的卡片，其中一張寫有0，兩張寫有1，三張寫有2；B箱中有7張相同的卡片，其中四張寫有0，一張寫有1，兩張寫有2，現(xiàn)從A箱中任取1張，從B箱中任取2張，共3張卡片。求：（1）3張卡片都寫有0的概率；（2）3張卡片中數(shù)字之積為0的概率。解：（1）（2）袋里裝有35個(gè)球，每個(gè)球上都標(biāo)有從1到35的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼n的球重（克）．這些球以等可能性（不受重量的影響）從袋里取出．（1）如果任意取出一球，試求其重量大于號(hào)碼數(shù)的概率；（2）如果同時(shí)任意取出二球，試求它們重量相同的概率．解：（1）由不等式得n＞15，n＜3，由題意知n＝1，2，或n＝16，17，…，35．于是所求概率為（2）設(shè)第n號(hào)與第m號(hào)的兩個(gè)球的重量相等，其中n＜m，則有，所以，因?yàn)閚≠m，所以n＋m＝15，（n，m）＝（1，14），（2，13），…（7，8），但從35個(gè)球中任取兩個(gè)的方法數(shù)為，故所求概率為已知：有6個(gè)房間安排4個(gè)旅游者住，每人可以進(jìn)住任一房間，且進(jìn)住房間是等可能的，試求下列各事件的概率：（Ⅰ）事件A：指定的4個(gè)房間各有1人；（Ⅱ）事件B：恰有4個(gè)房間各有1人；（Ⅲ）事件C：指定的某個(gè)房間有2人。解：由于每人可進(jìn)住任1房間，進(jìn)住哪間房是等可能的，每人都有6種等可能的方法，根據(jù)乘法原理，4人進(jìn)住6個(gè)房間共有64種方法（1）指定的4個(gè)房間各有1人，有種方法，（2）從6間中選出4間有種方法，4個(gè)人每人去1間有種方法，（3）從4人中選2個(gè)人去指定的某個(gè)房間，共有種選法，余下2人每人都可去5個(gè)房間中的任1間,因而有52種種方法。一個(gè)電路中有三個(gè)電子元件，它們接通的概率都是m（0＜m＜1如圖，有如下三種聯(lián)接方法：①②③（1）分別求出這三種電路各自接通的概率；（2）試分析這三種電路哪種性能最優(yōu)，并證明你的結(jié)論. 解：（1）三種電路各自接通分別記為事件A1、A2、A3，則P（A1）=m3P（A2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3P（A3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3（2）P（A2）－P（A1）=3m－3m2=3m（1－m）∵0＜m＜1∴P（A2）＞P（A1）P（A2）－P（A3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3）（m－1）＞0∴P（A2）＞P（A3）三個(gè)電子元件并聯(lián)接通的概率最大，故性能最優(yōu)某廠生產(chǎn)的A產(chǎn)品按每盒10件進(jìn)行包裝，每盒產(chǎn)品均需檢驗(yàn)合格后方可出廠．質(zhì)檢辦法規(guī)定：從每盒10件A產(chǎn)品中任抽4件進(jìn)行檢驗(yàn)，若次品數(shù)不超過1件，就認(rèn)為該盒產(chǎn)品合格；否則，就認(rèn)為該盒產(chǎn)品不合格．已知某盒A產(chǎn)品中有2件次品．（1）求該盒產(chǎn)品被檢驗(yàn)合格的概率；（2）若對(duì)該盒產(chǎn)品分別進(jìn)行兩次檢驗(yàn)，求兩次檢驗(yàn)得出的結(jié)果不一致的概率．解：(1)從該盒10件產(chǎn)品中任抽4件，有等可能的結(jié)果數(shù)為種，＇其中次品數(shù)不超過1件有種，被檢驗(yàn)認(rèn)為是合格的概率為．(2)兩次檢驗(yàn)是相互獨(dú)立的，可視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因兩次檢驗(yàn)得出該盒產(chǎn)品合格的概率均為，故“兩次檢驗(yàn)得出的結(jié)果不一致”即兩次檢驗(yàn)中恰有一次是合格的概率為．答：該盒產(chǎn)品被檢驗(yàn)認(rèn)為是合格的概率為；兩次檢驗(yàn)得出的結(jié)果不一致的概率為．某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班.若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖.（例如：A→C→D算作兩個(gè)路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為（1）請(qǐng)你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小；（2）若記路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望解：（1）記路段MN發(fā)生堵車事件為MN.因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P1為=1－[1－P（AC）][1－P（CD）][1－P（DB）]=1－；同理：路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P2為1－P（路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P3為1－P（顯然要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小.只可能在以上三條路線中選擇.因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小.（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)可取值為0，1，2，3.答：路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為某電器商經(jīng)過多年的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店每個(gè)月售出的電冰箱的臺(tái)數(shù)ζ是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列如下：ζ123……12P……設(shè)每售出一臺(tái)電冰箱，電器商獲利300元，如銷售不出而囤積于倉(cāng)庫(kù)，則每臺(tái)每月需花保養(yǎng)費(fèi)用100元，問電器商每月初購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)電冰箱才能使自己月平均收益最大？解：設(shè)x為月初電器商購(gòu)進(jìn)的冰箱臺(tái)數(shù)，只須考慮1≤x≤12的情況，設(shè)電器商每月的收益為y元，則y是隨機(jī)變量ζ的函數(shù)且y=,電器商平均每月獲益的平均數(shù)，即數(shù)學(xué)期望為：Ey=300x(Px+Px+1+…+P12)+［300－100(x－1)］P1+［2×300－100(x－2)］P2+…+［300(x－1)－100］Px－1=300x(12－x+1)+［300×］=(－2x2+38x)由于x∈N,故可求出當(dāng)x=9或x=10時(shí)，也即電器商月初購(gòu)進(jìn)9臺(tái)或10臺(tái)電冰箱時(shí)，收益最大.袋中裝有3個(gè)白球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中任取3個(gè)球，設(shè)ξ為所取出的3個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)．（I）求ξ的概率分布； （II）求Eξ．解：（I）ξ的可能取值為0，1，2，3. ∵P（ξ＝0）＝＝； P（ξ＝1）＝＝； P（ξ＝2）＝＝； P（ξ＝3）＝＝. ∴ξ的分布列為：ξ0123P（II）Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.甲，乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運(yùn)動(dòng)員射擊的環(huán)數(shù)穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)。他們的這次成績(jī)畫成頻率直方分布圖如下：擊中頻率擊中頻率0.30.20.150.30.20.150.350.278910擊中環(huán)數(shù)78910擊中環(huán)數(shù)甲乙（1）根據(jù)這次比賽的成績(jī)頻率直方分布圖推斷乙擊中8環(huán)的概率，以及求甲，乙同時(shí)擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）的概率；（2）根據(jù)這次比賽的成績(jī)估計(jì)甲，乙誰的水平更高（即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大）.解（1）由圖可知，，所以=1—0.2—0.2—0.35=0.25同理，，所以因?yàn)樗约祝彝瑫r(shí)擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）的概率P==0.65×0.55=0.3575因?yàn)?7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7>所以估計(jì)甲的水平更高.有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻率數(shù)如下：［10，15］4［30，359［15，205［35，408［20，2510［40，453［25，3011(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；(2)畫出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖.解：(1)由所給數(shù)據(jù)，計(jì)算得如下頻率分布表數(shù)據(jù)段［10,15［15,20［20,25［25,30［30,35［35,40［40,45總計(jì)頻數(shù)45101198350頻率0.080.100.200.220.180.160.061累積頻率0.080.180.380.600.780.941(2)頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下：【概率練習(xí)】一、選擇題1、甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為()2、已知隨機(jī)變量ζ的分布列為：P(ζ=k)=,k=1,2,3,則P(3ζ+5)等于()A.6 B.9C.3D.4二、填空題3、1盒中有9個(gè)正品和3個(gè)廢品，每次取1個(gè)產(chǎn)品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的廢品數(shù)ζ的期望Eζ=_________.4、某班有52人，男女各半，男女各自平均分成兩組，從這個(gè)班中選出4人參加某項(xiàng)活動(dòng)，這4人恰好來自不同組別的概率是_________.三、解答題5、甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，計(jì)算：(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；(2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率；(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率.6、已知連續(xù)型隨機(jī)變量ζ的概率密度函數(shù)f(x)=(1)求常數(shù)a的值，并畫出ζ的概率密度曲線；(2)求