專題14：概率統(tǒng)計【解析版】-2022年高考數(shù)學尖子生強基校考講義

2022年高考數(shù)學尖子生強基計劃專題14概率統(tǒng)計真題特點分析：【2020中科大】已知為的排列，若且，則為順序對，設為的順序對的個數(shù)，則_______________．2.【2021中科大】拋擲一個均勻的骰子次，記該過程中出現(xiàn)的最大數(shù)字為，則________．答案：二、知識要點拓展一．隨機事件的概率1.隨機事件在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，隨機事件一般用大寫英文字母等來表示；2.確定事件（1）必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件；（2）不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件；必然事件和不可能事件合起來稱為確定事件。3.事件A的概率：在大量重復進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，作P（A）.由定義可知0≤P（A）≤1，顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。4.等可能性事件的概率：一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結果稱為一個基本事件，通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成。如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，即此試驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是。如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率P（A）=。?說明：使用公式P（A）=計算時，確定m、n的數(shù)值是關鍵所在，其計算方法靈活多變，沒有固定的模式，可充分利用排列組合知識中的分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理,必須做到不重復不遺漏。二．互斥事件的概率1.相關概念（1）互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件；（2）對立事件：其中必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件。2.對于互斥事件要抓住如下的特征進行理解：（1）互斥事件研究的是兩個事件之間的關系；（2）所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的；（3）兩個事件互斥是從試驗的結果不能同時出現(xiàn)來確定的。從集合角度來看，A、B兩個事件互斥，則表示A、B這兩個事件所含結果組成的集合的交集是空集。對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作，從集合的角度來看，事件所含結果的集合正是全集U中由事件A所含結果組成集合的補集，即A∪=U，A∩=.對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件。2.事件A、B的和記作A+B，表示事件A、B至少有一個發(fā)生.當A、B為互斥事件時，事件A+B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構成的，因此當A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1。當計算事件A的概率P（A）比較困難時，有時計算它的對立事件的概率則要容易些，為此有P（A）=1－P（）。對于n個互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式為P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。?說明：分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導思想。三．獨立事件的概率1.相關概念（1）相互獨立事件：事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫相互獨立事件。（2）獨立重復實驗：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，這個事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn（k）=Cpk（1－p）n－k。2.關于相互獨立事件也要抓住以下特征加以理解：（1）相互獨立也是研究兩個事件的關系；（2）所研究的兩個事件是在兩次試驗中得到的；（3）兩個事件相互獨立是從“一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生的概率沒有影響”來確定的。?注意互斥事件與相互獨立事件是有區(qū)別的：3.事件A與B的積記作A·B，A·B表示A與B同時發(fā)生。當A和B是相互獨立事件時，事件A·B滿足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），還要弄清·，的區(qū)別?！け硎臼录c同時發(fā)生，因此它們的對立事件A與B同時不發(fā)生，也等價于A與B至少有一個發(fā)生的對立事件即，因此有·≠，但·=。離散型隨機變量的分布列：一般地，設離散型隨機變量可能取的值為，取每一個值（）的概率，則稱下表為隨機變量的概率分布，簡稱為的分布列。........................數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為........................則稱為的數(shù)學期望（平均數(shù)，均值），簡稱為期望。它反映了離散型隨機變量取值的平均水平。若（二項分布），則。二項分布：（1）定義：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率是：（其中）于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作，其中為參數(shù)，并記.（2）二項分布的判斷與應用.①二項分布，實際是對次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.②當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.4.幾何分布：“”表示在第次獨立重復試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把次試驗時事件發(fā)生記為，事不發(fā)生記為，那么.根據(jù)相互獨立事件的概率乘法分式：于是得到隨機變量的概率分布列.123…………我們稱服從幾何分布，并記，其中5.幾何概型（1）定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成事件區(qū)域的長度、面積或體積成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．（2）在幾何概型中，事件的概率的計算公式為：．（3）古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個．（4）幾何概型的兩個特征：①試驗結果有無限多；②每個結果的出現(xiàn)是等可能的．事件可以理解為區(qū)域的某一子區(qū)域，事件的概率只與區(qū)域的度量（長度、面積或體積）成正比，而與的位置和形狀無關．（5）解決幾何概型的求概率問題關鍵是要構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率．三、典例精講例1．（復旦）某種細胞如果不能分裂則死亡，并且一個細胞死亡和分裂為兩個細胞的概率都為?，F(xiàn)有兩個這樣的細胞，則兩次分裂后還有細胞存活的概率是（）。（B）（C）（D）?分析與解答：先考慮一個母細胞，兩次分裂后還有細胞存活的概率。這個概率應是。故兩個這樣的細胞，兩次分裂后還有細胞存活的概率為，選A。例2．（復旦）隨機任取一個正整數(shù)，則它的3次方的個位和十位上的數(shù)字都是1的概率是（）。（B）（C）（D）?答案：D?分析與解答：首先，一個正整數(shù)的三次方的個位數(shù)是1的正整數(shù)個位數(shù)字也必須是1.其次可試得1-100中只有71符合要求。而且末兩位是71的均符合要求。故選D。例3．體育彩票的抽獎是從寫在36個球上的36個號碼隨機搖出7個．有人統(tǒng)計了過去中特等獎的號碼，聲稱某一號碼在歷次特等獎中出現(xiàn)的次數(shù)最多，它是一個幸運號碼，人們應該買這一號碼，也有人說，若一個號碼在歷次特等獎中出現(xiàn)的次數(shù)最少，由于每個號碼出現(xiàn)的機會相等，應該買這一號碼，你認為他們的說法對嗎？?分析與解答：體育彩票應本36個號碼的36個球大小、重量等應該是一致的，嚴格說，為了保證公平，每次用的36個球，應該只允許用一次，除非能保證用過一次后，球沒有磨損、變形，和沒有用過的球一樣．因此，當你把這36個球看成每次抽獎中只用了一次時，不難看出，以前抽獎的結果對今后抽獎的結果沒有任何影響，上述兩種說法都是錯的．例4．（復旦）在半徑為1的圓周上隨機選取3點，它們構成一個銳角三角形的概率是（）（B）（C）（D）?答案：C?分析與解答：如圖一，若為銳角三角形，當且僅當?shù)拈L度均小于。不妨設，則為銳角三角形的充要條件是由于，即為一個三角形MNP平面（如圖二），且對應的點是是三條中位線圍成的小三角形。故由幾何概率模型知，所求構成銳角三角形的概率為。故選C。zzAACBCByyx圖一：圖二：x例5．（清華）系統(tǒng)內(nèi)有個元件，每個元件正常工作的概率為，，若有超過一半的元件正常工作，則系統(tǒng)正常工作，求系統(tǒng)正常工作的概率，并討論的單調(diào)性。?分析與解答：個元件中，恰有個正常工作，求系統(tǒng)正常工作的概率；恰有個元件正常工作的概率為恰有個元件正常工作的概率為。故。當有個元件時，考慮前個元件，為使系統(tǒng)正常工作，前個元件中至少有個元件正常工作。①前個元件中恰有個正常工作，它的概率為。此時后兩個元件必須同時正常工作。所以這種情況下系統(tǒng)正常工作的概率為；②前個元件中恰有個正常工作，它的概率為，此時后兩個至少有一個正常工作即可。所以這種情況下系統(tǒng)正常工作的概率為。③前個元件中至少有個元件正常工作，它的概率為。此時系統(tǒng)一定正常工作。故。（這里用到）。故，當時，；當時，；當時，。例6．（清華）投擲一枚硬幣（正反等可能），設投擲次不連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的概率為，求；寫出的遞推公式，并指出單調(diào)性；是否存在？有何統(tǒng)計意義。?分析與解答：（1）顯然，；又投擲四次連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的情況只有：正正正正或正正正反或反正正正，故。共分三種情況：①如果第次出現(xiàn)反面，那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是；②如果第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是；③如果第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，所以這時候不出現(xiàn)三次連續(xù)正面的概率是。綜上，，。由上知，，④所以⑤，④-⑤，有所以時，單調(diào)遞減，又易見。由（2）知時，單調(diào)遞減，且顯然有下界0，所以的極限存在，對兩邊同時取極限可得。其統(tǒng)計意義：當投擲的次數(shù)足夠多時，不出現(xiàn)連續(xù)三次正面向上的次數(shù)非常少，兩者鼻子和趨近于零。注：本題第三問用到了下面定理：單調(diào)遞增（或遞減）且有上界（或下界）的數(shù)列必有極限。例7．（復旦）一袋中有個白球和個黑球。從中任取一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，另補一個白球放到袋中。在重復次這樣的操作后，記袋中白球的個數(shù)為。求的數(shù)學期望；設，求；證明：的數(shù)學期望。?分析與解答：（1）時，袋中白球的個數(shù)可能是個（即取出的是白球），概率為；也可能為個（即取出的是黑球），概率為，故。首先；時，第次取出來有個白球的可能性有兩種：第次袋中有個白球，顯然每次取球后，球的總數(shù)保持不變，即個，（故此時黑球有個。）第次取出來的也是白球，這種情況發(fā)生的概率為。第次袋中有個白球，第次取出來的是黑球，由于每次球的總數(shù)為個，故此時黑球的個數(shù)是。這種情況發(fā)生的概率為。故。第次白球的個數(shù)的數(shù)學期望分為兩類：①若第次取出來的是白球，由于每次白球和黑球的總個數(shù)是，這種情況發(fā)生的概率是，此時白球的個數(shù)的數(shù)學期望為；②若第次取出來的是黑球，這種情況發(fā)生的概率是，此時白球的個數(shù)變?yōu)?。故。?．（北大）已知基因型為AA、Aa、aa的比例為，且。求子一代AA、Aa、aa的比例；子二代與子一代比例是否相同？?分析與解答：（1）父親的基因有AA、Aa、aa三種情況，母親的基因也有AA、Aa、aa三種情況，故搭配起來有9種情況，我們把它列表如下：父母AA,AAAA,AaAA,aaAa,AAAa,AaAa,aaaa,AAaa,Aaaa,aaAAu2uv0uvv20000Aa0uvuwuv2v2vwwuwv0aa0000v2vw0wvw2我們把每行數(shù)據(jù)相加可得這就是子一代三種基因型的比例。設，上式即，且。由于，將分別看成，則由（1）的結論可知，子二代的AA、Aa、aa的比例為故子二代與子一代比例相同。注：這是一道源自生物學的概率問題，凸現(xiàn)了自主招生考試中注重數(shù)學知識和其他科目的整合，考查學生應用數(shù)學知識解決問題的能力。真題訓練1.（復旦）一批襯衣中有一等品和二等品，其中二等品率為0.1.將這批襯衣逐漸檢測后放回，在連續(xù)三次檢測中，至少有一件是二等品的概率為（）。（A）0.271（B）0.243（C）0.1（D）0.0812.（復旦）設甲、乙兩個袋子中裝有若干個均勻的白球和紅球，且甲、乙兩個袋子中的球數(shù)為1:3.已知從甲袋中摸到紅球的概率為，而將甲、乙兩個袋子中的球裝在一起后，從中摸到紅球的概率為。則從乙袋中摸到紅球的概率為（）（B）（C）（D）3.（復旦）復旦大學外語系某年級舉行一次英語口語演講比賽，共有十人參賽，其中一班有三位，二班有兩位，其他班有五位。若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班的三位同學恰好演講序號相連。問二班的兩位同學的演講序號不相連的概率是（）（B）（C）（D）4.（武大）一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：組距(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]頻數(shù)234542則樣本在上的頻率為（）。（B）（C）（D）5.（武大）某工廠新招了8名工人，其中有2名車工和3名鉗工，現(xiàn)將這8名工人平均分配給甲、乙兩個車間，那么車工和鉗工均不能分到同一車間的概率是（）（B）（C）（D）6.（華南理工）甲、乙兩人下圍棋，下三盤棋，甲：平均能贏兩盤，某日，甲、乙進行五打三制勝賽，那么甲勝出的概率為。7.（同濟）從1-100這100個自然數(shù)中取2個數(shù)，它們的和小于等于50的概率是。8.（上海交大）6名考生坐在兩側各有通道的同一排座位上應考，考生打完試卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷離開座位，則其中一人交卷時為到達通道而打擾其余尚在考試的考生的概率為。9.（同濟）從0,1,2，。。。9這10個數(shù)碼中隨機抽出5個，排列成一行，則恰好構成可以被25整除的五位數(shù)的概率是（用分數(shù)給出答案）。10.（南大）設是隨機事件，且。則。11.（浙大）甲乙兩人輪流擲硬幣，第一局甲先擲，誰先擲出正面誰就勝，上一局的負者下一局先擲。問：（1）任意一局甲勝的概率；（2）第局甲勝的概率。12.（武大）從一個裝有三個紅球、兩個白球的口袋中任取兩球放入一個箱子中。求箱子中兩球都是紅球的概率；記“從箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”為一次操作，如果操作三次，求恰有兩次取到紅球的概率。13.（復旦），求：（1）有交點的概率；（2）求交點個數(shù)的數(shù)學期望。真題訓練答案1.【答案】A【分析與解答】：考慮三次檢驗中，沒有一件是二等品的概率是，故所求概率為。2.【答案】A【分析與解答】：設甲袋共有個球，則乙袋中有個球，且甲袋中紅球有個，而甲、乙兩袋共有紅球個，故乙袋中有紅球個，從而所求概率為。3.【答案】A【分析與解答】：先排一班和其它班，將一班3人看成整體共有種排法，又3人內(nèi)部有種可能，再將二班兩位同學插在7個空隙中，有種可能，從而所求概率為。4.【答案】D【分析與解答】：所求頻率為5.【答案】C【分析與解答】：不妨設甲車間有2名鉗工，則甲車間有1名車工、2名鉗工，還有1名其他工人，這時共有種方法；同理，若乙車間有2名鉗工，也有種方法。故所求概率為6.【答案】【分析與解答】：分三種情況討論：打滿五盤甲勝出有6種情況。記“√”表示甲勝，“×”表示乙勝，即有√√××√；√×√×√；√××√√；×√√×√；×√×√√；××√√√。概率為：；打四盤甲勝出有3種情況，即√×√√；√√×√；×√√√。概率為；打三盤甲勝出只有1種情況，即√√√，概率為。所以甲勝出的概率為：。7.【答案】【分析與解答】：設取2個數(shù)為，且設，由。若，共48種；若，共46種；…若，共2種。故所求概率為。8.【答案】【分析與解答】：要不打擾考生則必須每次在兩旁的人離開，即每次有2種選擇，故共有種可能，故所求概率為。9.【答案】【分析與解答】：末兩位只能是25、50或75.對于末兩位為25或75，若含有0，則有個，若不含0，則有個，從而共有個符合要求的五位數(shù)。對于末兩位為50，共有個符合要求。從而所求概率是。10.【答案】【分析與解答】：，而。11.【分析與解答】：（1）。設第局甲勝的概率為，則，其中，，故。12.【分析與解答】：（1）。（2）取出兩球必須是一紅一白，。13.【分析與解答】：（1）設圓心到直線的距離為，若有交點，則。時，；時，；時，；時，；時，。共種情況；所以。交點個數(shù)為0時，直線與圓相離，有6種情況；交點個數(shù)為1時，直線與圓相切，，只有；交點個數(shù)為2時，由（1）知直線與圓相交，有18種情況。所以。五、強化訓練A組1、（交大）6名考生坐在兩側各有通道的同一排座位上應考，考生答完試卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷離開座位，則其中一人交卷時為到達通道而打擾其余尚在考試的考生的概率為?！驹斀狻勘绢}從反面考慮，如不打擾其余同學，則只有兩邊的同學先交卷，即。2、（交大）甲乙兩廠生產(chǎn)同一種商品，甲廠生產(chǎn)的此商品占市場上的，乙廠生產(chǎn)的占；甲廠商品的合格率為95%，乙廠商品的合格率為90%，若某人購買了此商品發(fā)現(xiàn)為次品，則此次品為甲廠生產(chǎn)的概率為?！驹斀狻俊?、（科大）已知正方體各個面的中心，甲乙分別相互獨立地從這6個點中取出3個，則構成兩個三角形全等的概率是。【詳解】這6個點組成的等邊三角形有8個，等腰直角三角形有12個，故構成兩個三角形全等的概率是。4、（武大）某工廠新招了8名工人，其中有2名車工和3名鉗工，現(xiàn)將這8名工人平均分配給甲、乙兩個車間，那么車工和鉗工均不能分配到同一個車間的概率為（）（A） （B） （C） （D）【詳解】車工一邊一個，而鉗工則有一邊是2個，故，故選C。5、（復旦）設甲、乙兩個袋子中裝有若干個均勻的白球和紅球，且甲、乙兩個袋子中的球數(shù)為1：3。已知從甲袋中摸到紅球的概率為，而將甲、乙兩個袋子中的球裝在一起后，從中摸到紅球的概率為。則從乙袋中摸到紅球的概率為（）（A） （B） （C） （D）【詳解】設甲袋中有個球，則乙中個球，甲中紅球個，而總紅球個數(shù)為，則乙中紅球個數(shù)為，則乙袋中摸到紅球的概率的概率為，故選A。6、（復旦）隨機任取一個正整數(shù)，則它的3次方的個位和十位上的數(shù)字都是1的概率是（）（A） （B） （C） （D）【詳解】只有個位為1的數(shù)的3次方的個位才是1，而當個位為1時，只有十位為7時，3次方的十位是1，故所有的正整數(shù)中，只有最后兩位是71時才滿足題意，即概率為，故選D。7、（復旦）在半徑為1的圓周上隨機選取3點，它們構成一個銳角三角形的概率是（）（A） （B） （C） （D）【詳解】為使出現(xiàn)銳角三角形，三邊對應的圓周角都小于90度，即，建立以為三軸的空間