高考數(shù)學(xué)專題《兩個計數(shù)原理》習(xí)題含答案解析

專題11.1兩個計數(shù)原理練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國·高二單元測試）青銅神樹是四川省廣漢市三星堆遺址出土的文物，共有八棵，其中一號神樹有三層枝葉，每層有三根樹枝，樹枝上分別有兩條果枝，一條上翹、一條下垂，每層上翹的果枝上都站立著一只鳥，鳥共九只（即太陽神鳥）.現(xiàn)從中任選三只神鳥，則三只神鳥來自不同層枝葉的選法種數(shù)為（）A．6 B．18 C．27 D．36【答案】C【分析】按照分步乘法計數(shù)原理從每層枝葉各選一只神鳥即可得到答案.【詳解】每只神鳥有3種選法，三只神鳥來自不同層枝葉的選法種數(shù)有（種）.故選：C.2．（2021·全國·高二課時練習(xí)）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有（）A．360種 B．50種 C．60種 D．90種【答案】B【分析】首先根據(jù)題意分成第一類甲同學(xué)選擇牛和第二類甲同學(xué)選擇馬，分別計算各類的選法，再相加即可.【詳解】第一類：甲同學(xué)選擇牛，乙有2種選法，丙有10種選法，選法有1×2×10＝20(種)，第二類：甲同學(xué)選擇馬，乙有3種選法，丙有10種選法，選法有1×3×10＝30(種)，所以共有20＋30＝50(種)選法．故選：B.3．（2021·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種．(用數(shù)字作答)【答案】750【分析】由分步計數(shù)原理即得.【詳解】首先給最左邊的一個格子涂色，有6種選擇，左邊第二個格子有5種選擇，第三個格子有5種選擇，第四個格子也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，共有6×5×5×5＝750(種)涂色方法．故答案為：7504．（2021·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，由連接正八邊形的三個頂點而組成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個.【答案】40【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求解.【詳解】滿足條件的有兩類：第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有m1＝8個；第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有m2＝8×4＝32個，所以滿足條件的三角形共有8＋32＝40個.故答案為：405．（2021·全國·高二課時練習(xí)）1.計算：（1）將2封信投入4個郵箱，每個郵箱最多投一封，共有多少種不同的投法？（2）將2封信隨意投入4個郵箱，共有多少種不同的投法？【答案】（1）12；（2）16【分析】（1）（2）用分步乘法原理求解.【詳解】（1）將2封信投入4個郵箱，每個郵箱最多投一封，第一封信有4種選擇，第二封有3種選擇，答案為（種）；（2）將2封信隨意投入4個郵箱，則每封信都有4種選擇，所以共有（種）.6．（2021·全國·高二課時練習(xí)）如圖，把硬幣有幣值的一面稱為正面，有花的一面稱為反面．拋一次硬幣，得到正面記為1，得到反面記為0．現(xiàn)拋一枚硬幣5次，按照每次的結(jié)果，可得到由5個數(shù)組成的數(shù)組（例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，則結(jié)果可記為，則可得不同的數(shù)組共有多少個？【答案】【分析】利用分步乘法計數(shù)原理求得正確答案.【詳解】依題意可知不同的數(shù)組共有個.7．（2021·全國·高二課時練習(xí)）有不同的紅球個，不同的白球個.（1）從中取出一個球，共有多少種不同的取法？（2）從中取出兩個顏色不同的球，共有多少種不同的取法？【答案】（1）（2）【分析】（1）分別計算出取出一個紅球、取出一個白球的方法種數(shù)，利用分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果；（2）利用分步乘法計數(shù)原理可求得結(jié)果.（1）解：從中取出一個紅球，有種取法，從中取出一個白球，有種取法，由分類加法計數(shù)原理可知，從中取出一個球，共有種不同的取法.（2）解：從中取出一個紅球，有種取法，從中取出一個白球，有種取法，由分布乘法計數(shù)原理可知，從中取出兩個顏色不同的球，共有種不同的取法.8．（2021·全國·高二課時練習(xí)）有一項活動，需從3位教師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加．（1）若只需1人參加，則有多少種不同的選法？（2）若需教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加，則有多少種不同的選法？【答案】（1）16(種)；（2）120(種).【分析】（1）利用分類加法原理求解（1）利用分步乘法原理求解【詳解】（1）選1人，可分三類：第1類，從教師中選1人，有3種不同的選法；第2類，從男同學(xué)中選1人，有8種不同的選法；第3類，從女同學(xué)中選1人，有5種不同的選法．共有3＋8＋5＝16(種)不同的選法．（2）選教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人，分三步進行：第1步，選教師，有3種不同的選法；第2步，選男同學(xué)，有8種不同的選法；第3步，選女同學(xué)，有5種不同的選法．共有3×8×5＝120(種)不同的選法．9．（2021·全國·高二課時練習(xí)）若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0，1，2，3，5這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？【答案】14條【分析】分類討論A或B中有一個為0時和都不取0時的情況，根據(jù)計數(shù)原理即可求解．【詳解】分兩類完成：第一類：當(dāng)A或B中有一個為0時，表示直線為x＝0或y＝0，共有2條；第二類：當(dāng)A，B都不取0時，直線Ax＋By＝0被確定需分兩步完成：第一步，確定A的值，從1，2，3，5中選一個，共有4種不同的方法；第二步，確定B的值，共有3種不同的方法．由分步乘法計數(shù)原理，共確定4×3＝12(條)直線．由分類加法計數(shù)原理，方程所表示的不同直線有2＋12＝14(條)．10.（2021·全國·高二課時練習(xí)）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法．【答案】18種【分析】方法一：(直接法)分別考慮黃瓜種在第一塊、第二塊、第三塊土地上的不同的種植方法，再運用加法原理可求得所有的不同種植方法．方法二：(間接法)先求得從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上的不同的種植方法，再減去不種黃瓜的不同的種植方法，由此可求得答案．【詳解】解：方法一：(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法．故不同的種植方法共有6×3＝18(種)．方法二：(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有不同的種植方法24－6＝18(種)．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·江蘇揚州中學(xué)高一月考）已知集合，若A，B是P的兩個非空子集，則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(A,B)的個數(shù)為（）A．49 B．48 C．47 D．46【答案】A【解析】集合知：1、若A中的最大數(shù)為1時，B中只要不含1即可：的集合為，而有種集合，集合對(A,B)的個數(shù)為15；2、若A中的最大數(shù)為2時，B中只要不含1、2即可：的集合為，而B有種，集合對(A,B)的個數(shù)為；3、若A中的最大數(shù)為3時，B中只要不含1、2、3即可：的集合為，而B有種，集合對(A,B)的個數(shù)為；4、若A中的最大數(shù)為4時，B中只要不含1、2、3、4即可：的集合為，而B有種，集合對(A,B)的個數(shù)為；∴一共有個，故選：A2．（2021·全國·高二課時練習(xí)）一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N*)等份，種植紅、黃、藍三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．（1）如圖①，圓環(huán)分成3等份，分別為a1，a2，a3，則有多少種不同的種植方法？（2）如圖②，圓環(huán)分成4等份，分別為a1，a2，a3，a4，則有多少種不同的種植方法？【答案】（1）6種；（2）18種.【分析】（1）利用分步計數(shù)原理求解即可.（2）首先根據(jù)題意分成兩類：第一類a1，a3不同色和第二類a1，a3同色，分別計算各類的得數(shù)再相加即可.【詳解】（1）先種植a1部分，有3種不同的種植方法，再種植a2，a3部分．因為a2，a3與a1的顏色不同，a2，a3的顏色也不同，所以由分步乘法計數(shù)原理，不同的種植方法有3×2×1＝6(種)．（2）當(dāng)a1，a3不同色時，有3×2×1×1＝6(種)種植方法，當(dāng)a1，a3同色時，有3×2×1×2＝12(種)種植方法，由分類加法計數(shù)原理得，共有6＋12＝18(種)種植方法．3．（2021·全國·高二單元測試）已知集合，表示平面上的點，問：（1）P可表示平面上多少個第二象限的點？（2）P可表示多少個不在直線上的點？【答案】（1）6（個）；（2）30（個）．【分析】(1)由分步乘法原理求第二象限的點的個數(shù)，(2)依次確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的可能取法，由分步乘法原理求不在直線上的點的個數(shù).【詳解】（1）因為P表示平面上第二象限的點，故可分兩步：第一步，確定a，a必須小于0，則有3種不同的情況；第二步，確定b，b必須大于0，則有2種不同的情況；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，第二象限的點共有（個）．（2）因為P表示不在直線上的點，故可分兩步：第一步，確定a，有6種不同的情況；第二步，確定b，有5種不同的情況．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不在直線上的點共有（個）．4．（2021·全國·高二單元測試）某同學(xué)計劃用不超過30元的現(xiàn)金購買筆與筆記本．已知筆的單價為4元，筆記本的單價為5元，且筆至少要買2支，筆記本至少要買2本，問不同的購買方案有多少種？【答案】7【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解即可．【詳解】設(shè)購買筆支，筆記本本，則，得，將y的取值分為三類：①當(dāng)時，，因為x為整數(shù)，所以x可取2，3，4，5，共4種方案．②當(dāng)時，，因為x為整數(shù)，所以x可取2，3，共2種方案；③當(dāng)時，，因為x為整數(shù)，所以x只能取2，只有1種方案．由分類加法計數(shù)原理得不同的購買方案有（種）．5．（2021·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，有些共享單車的密碼鎖是由4個數(shù)字組成的，你認(rèn)為共享單車的密碼鎖能設(shè)置成由3個數(shù)字組成嗎？5個數(shù)字呢？為什么？【答案】3個數(shù)字的不合適，5個數(shù)字的合適；【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求出所有的密碼組合數(shù)，再根據(jù)概率分析可行性；【詳解】解：如設(shè)成3個數(shù)字，則一共有種組合，組合數(shù)不是很大，隨便嘗試一次開鎖，打開鎖的概率，打開鎖的概率比較大，不合適；如設(shè)成5個數(shù)字，則一共有種組合，組合數(shù)比較大，隨便嘗試一次開鎖，打開鎖的概率，打開鎖的概率比較小，合適；6．（2021·全國·高二課時練習(xí)）過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有多少對？【答案】36【分析】如圖，分四類進行計數(shù)，求出對應(yīng)的數(shù)目，加起來即可.【詳解】如圖，在三棱柱中，分四類進行計數(shù)：與上底面異面的直線有對；與下底面的異面的直線有9對(除去與上底面的)；與側(cè)棱異面的直線有6對(除去與下底面的)；側(cè)面對角線之間成異面直線的有6對.由分類加法計數(shù)原理，知共有異面直線共有對.7．（2021·全國·高二課時練習(xí)）計算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個數(shù)字可以重復(fù)的兩位數(shù)？【答案】（1）（2）【分析】（1）用數(shù)字1，2，3，4，5，6可組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，用兩步完成，第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個位數(shù)字在剩下的5個數(shù)字中選擇有5種方法，運用乘法原理，即可得解，（2）按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；（1）解：第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個位數(shù)字在剩下的5個數(shù)字中選擇有5種方法，運用乘法原理得．所以可以排成個不重復(fù)的兩位數(shù)；（2）解：第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個位數(shù)字有6種選擇，運用乘法原理得．所以可以排成個可以重復(fù)的兩位數(shù)；8．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知n是一個小于10的正整數(shù)，且由集合中的元素可以排成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)共25個，求n的值．【答案】5【分析】用列舉法表示集合，再按照分步乘法計數(shù)原理得到方程，解得即可；【詳解】解：因為n是一個小于10的正整數(shù)，且，所以，所以從集合中的元素選出兩個數(shù)組成兩位數(shù)，則十位有種選法，個位有種選法，按照分步乘法計數(shù)原理可得一共有個，所以，解得或（舍去）9．（2021·全國·高二課時練習(xí)）（1）4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？（2）4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每項限報一人，且每人至多報一項，共有多少種報名方法？（3）4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？【答案】（1）81(種)；（2）24(種)；（3）64(種).【分析】由分步乘法計數(shù)原理即得.【詳解】（1）要完成的是“4名同學(xué)每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，4人都報完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有3×3×3×3＝81(種)報名方法．（2）每項限報一人，且每人至多報一項，因此跑步項目有4種選法，跳高項目有3種選法，跳遠(yuǎn)項目只有2種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法有4×3×2＝24(種)．（3）要完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應(yīng)以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步，而每項冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有4×4×4＝64(種)可能的結(jié)果.10．（2021·全國·高二課時練習(xí)）“回文數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，343，94249等．顯然，2位數(shù)的回文數(shù)有9個，即11，22，33，…，99；3位數(shù)的回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999．求：（1）4位數(shù)的回文數(shù)個數(shù)；（2）位數(shù)的回文數(shù)個數(shù)．【答案】（1）90（2）【分析】（1）對于4位數(shù)的回文數(shù)，只需排好前2位即可確定回文數(shù)，首先列舉出第一項為1的四位回文數(shù)的個數(shù)，即可知所有4位數(shù)的回文數(shù)個數(shù)；（2）根據(jù)題設(shè)，對于奇數(shù)個數(shù)的回文數(shù)，先排好中間的數(shù)字，再在兩側(cè)對其中一側(cè)排數(shù)即可得所有回文數(shù)的個數(shù).（1）由題設(shè)，四位數(shù)回文：∴共有90個.（2）位數(shù)，則中間的數(shù)字有10種選法，而兩側(cè)的數(shù)字只需排好一側(cè)，則另一側(cè)確定，不妨排前n位數(shù)字，顯然第一位數(shù)字有9種選法，其余都有10種選法，∴共有個回文數(shù).練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（山東省2018年普通高校招生（春季））景區(qū)中有一座山，山的南面有2條道路，山的北面有3條道路，均可用于游客上山或下山，假設(shè)沒有其他道路，某游客計劃從山的一面走到山頂后，接著從另一面下山，則不同走法的種數(shù)是（）A．6B．10C．12D．20【答案】C【解析】先確定從那一面上，有兩種選擇，再選擇上山與下山道路，可得不同走法的種數(shù)是2×2×3因此選C.2.（2013·山東高考真題（理））用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A．243B．252C．261D．279【答案】B【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十個數(shù)字組成的三位數(shù)(含有重復(fù)數(shù)字的)共有9×10×10=900，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有9×9×8=648，因此組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有900－648=252．3．（2012·北京高考真題（理））從0，2中選一個數(shù)字．從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)