【課件】橢圓的簡單幾何性質(zhì)課件-2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)目標1.根據(jù)橢圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形．2．根據(jù)幾何條件求出橢圓的方程．3.進一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用，會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．重點、難點1.由橢圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì)2.直線與橢圓的位置關(guān)系與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣，我們利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點等。下面，我們用橢圓方程來研究橢圓的幾何性質(zhì)。觀察橢圓

的形狀,你能從圖上看出它的范圍嗎?它具有怎樣的對稱性?橢圓上哪些點比較特殊?

1.范圍

容易看出橢圓上的點都在一個特定的矩形內(nèi),你能利用方程（代數(shù)方法)確定出它的具體邊界嗎?

由方程,可知

所以,橢圓上點的橫坐標都適合不等式同理有

這說明橢圓位于直線和圍成的矩形框里2.對稱性觀察橢圓的形狀,可以發(fā)現(xiàn)橢圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,如何利用方程說明橢圓的對稱性?

在橢圓的標準方程

中,以-y代,方程不變.這說明當點

在橢圓上時,它關(guān)于

軸的對稱點

也在橢圓上,所以橢圓關(guān)于

軸對稱.同理,以一

代,方程也不變,這說明如果點

在橢圓上,那么它關(guān)于

軸的對稱點

也在橢圓上,所以橢圓關(guān)于

軸對稱.以-代,以-代,方程也不變,這說明當點

在橢圓上時,它關(guān)于原點的對稱點

也在程橢圓上,所以橢圓關(guān)于原點對稱.

綜上,橢圓關(guān)于

軸、

軸都是對稱的.這時,坐標軸是橢圓的對稱軸,原點是橢圓的對稱中心,橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.

3.頂點

研究曲線上某些特殊點的位置,可以確定曲線的位置.你認為橢圓

上哪些點比較特殊?為什么?如何得到這些點的坐標?在橢圓的標準方程

中,令,得.因此

是橢圓與

軸的兩個交線段

分別叫做橢圓的長軸和短軸,它們的長分別等于

和

和

分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.4.離心率觀察圖3.1-9,我們發(fā)現(xiàn),不同形狀的橢圓的扁平程度不同,相同形狀的橢圓的扁平程度相同.扁平程度是橢圓的重要形狀特征,你能用適當?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎?

因為,所以

越接近

越接近,就越小,因此橢圓越扁平;反之,

越接近0,

越接近0，越接近，這時橢圓就越接近于圓。當且及當時，=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A的方程：=

例4求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標解：因為,所以所求橢圓的焦點為,，因為,所以,所以所求橢圓的方程為。

求與橢圓有相同的焦點，離心率為的橢圓的標準方程;因為橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標準方程為，因為，所以,，又，所以。所以橢圓的方程為。

已知橢圓的兩個焦點間的距離為8，兩個頂點坐標分別是

，求焦點在軸上的橢圓的標準方程。例5如圖3.1-11,一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分.過對稱軸的截口

是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點

上,片門位于另一個焦點

上.由橢圓一個焦點

發(fā)出的光線,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點.已知.試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求截口

所在橢圓的方程(精確到.解:建立如圖3.1-11所示的平面直角坐標系,設(shè)所求橢圓方程為

在Rt中,

由橢圓的性質(zhì)知,,所以

所以,所求的橢圓方程為：因為橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標準方程為，因為，所以,，又，所以。所以橢圓的方程為。

已知橢圓的兩個焦點間的距離為8，兩個頂點坐標分別是

，求焦點在軸上的橢圓的標準方程。圓雉曲線與空間幾何體具有深刻而廣泛的聯(lián)系.如圖所示,底面半徑為1,高為3的圓柱內(nèi)放有一個半徑為1的球,球與圓柱下底面相切,作不與圓柱地面平行的平面球相切于點,若與圓柱側(cè)面相交所得曲線為封閉曲線為一個焦點的橢圓,求的離心率的取值范圍

當與底面趨于平行時,幾乎成為一個圓,因此離心率可以充分接近0.

當與底面的夾角最大時,的離心率達到最大,下面求解這一最大值.

如圖,為長軸,為焦點時,最大.,易知,

則.則離心率的取值范圍是.例6動點

與定點

的距離和

的距離的比是常數(shù),求動點

的軌跡.

代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個變量，得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，則Δ>0?直線與橢圓相交；Δ＝0?直線與橢圓相切；Δ<0?直線與橢圓相離．例7如圖3.1-13,已知直線

和橢圓C:為何值時,直線

與橢圓(1)有兩個公共點?(2)有且只有一個公共點?(3)沒有公共點?

解:由方程組

消去,得：

方程的根的判別式：由,得.此時方程(1)有兩個不相等的實數(shù)根,直線

與橢圓

有兩個不同的公共點.

由,得.此時方程(1)有兩個相等的實數(shù)根,直線

與橢圓

有且只有一個公共點.

由,得,或.此時方程(1)沒有實數(shù)根,直線

與橢圓

沒有公共點.

已知橢圓過點離心率是。(1)求橢圓的標準方程;

(2)若直線橢圓交于

兩點,線段的中點為,求直線坐標軸圍成三角形的面積。,

解得,。所以橢圓的標準方程為。

(2)設(shè)代入橢圓方程得。兩式相減得,由中點坐標公式得。所以,可得直線的方程為令,可得,令,可得,則直線與坐標軸圍成的三角形面積為。2.求下列橢圓的焦點(1);(2).

3.求適合下列條件的橢圓的標準方程:

(1)焦點在

軸上,(2)焦點在

軸上,.

4.求適合下列條件的橢圓的標準方程:

(1)經(jīng)過

兩點;

(2)長軸長等于20,離心率等于.

5.比較下列每組中橢圓的形狀,哪一個更接近于圓?為什么?

(1)與;

(2)與.

求下列直線與橢圓的交點坐標:

(1);

(2).

2.