(完整word版)近世代數(shù)期末考試題庫(kù)(包括模擬卷和1套完整題)

多所高校近世代數(shù)題庫(kù)一、（2011年近世代數(shù)）判斷題（下列命題你認(rèn)為正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)的打“×”；每小題1分，共10分）1、設(shè)與都是非空集合，那么2、設(shè)、、都是非空集合，則。（）到的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。（）3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（）4、如果循環(huán)群中生成元的階是無(wú)限的，則與整數(shù)加群同構(gòu)。（）5、如果群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。6、近世代數(shù)中，群的子群是不變子群的充要條件為（）。（）7、如果環(huán)的階8、若環(huán)滿足左消去律，那么必定沒(méi)有右零因子。9、的多項(xiàng)式叫做元在域上的極小多項(xiàng)式。（），那么的單位元。（）（）中滿足條件10、若域的特征是無(wú)限大，那么含有一個(gè)與生成的主理想。（）同構(gòu)的子域，這里是整數(shù)環(huán)，是由素?cái)?shù)二、（2011年近世代數(shù)）單項(xiàng)選擇題（從下列各題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其號(hào)碼寫(xiě)在題干后面的括號(hào)內(nèi)。答案選錯(cuò)或未作選擇者，該題無(wú)分。每小題1分，共10分）1、設(shè)①集合③和都是非空集合，而是中兩兩都不相同；②到的一個(gè)映射，那么（）的次序不能調(diào)換；中不同的元對(duì)應(yīng)的象必不相同；的象可以不唯一。④一個(gè)元2、指出下列那些運(yùn)算是二元運(yùn)算（）①在整數(shù)集上，；②在有理數(shù)集上，；③在正實(shí)數(shù)集上，；④在集合上，。3、設(shè)是整數(shù)集上的二元運(yùn)算，其中（即取與中的最大者），那么在中（）①不適合交換律；②不適合結(jié)合律；③存在單位元；④每個(gè)元都有逆元。4、設(shè)為群，其中是實(shí)數(shù)集，而乘法，這里為中固定的常數(shù)。那么群。中的單位元和元的逆元分別是（）①0和5、設(shè)；②1和0；③和；④和和都是群中的元素且，那么（）①；②；③；④。6、設(shè)是群的子群，且有左陪集分類。如果6，那么的階（）①6；7、設(shè)②24；是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是（）的不變子群；③③10；④12。①的同態(tài)核是的不變子群；②的不變子群的逆象是的子群的象是的子群；④的不變子群的象是的不變子群。8、設(shè)是環(huán)同態(tài)滿射，，那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為（）②若是單位元，則是單位元；①若是零元，則是零元；③若不是零因子，則不是零因子；④若是不交換的，則不交換。9、下列正確的命題是（）①歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；③唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；②主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；④唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。10、若是域的有限擴(kuò)域，是的有限擴(kuò)域，那么（）①③；；②④；。三、（2011年近世代數(shù)）填空題（將正確的內(nèi)容填在各題干預(yù)備的橫線上，內(nèi)容填錯(cuò)或未填者，該空無(wú)分。每空1分，共10分）1、設(shè)集合；，則有。2、如果是與間的一一映射，是的一個(gè)元，則3、設(shè)集合有一個(gè)分類，其中是的兩個(gè)類，如果4、設(shè)群中元素的階為，如果，那么與存在整除關(guān)系為。5、凱萊定理說(shuō)：任一個(gè)子群都同一個(gè)同構(gòu)。6、給出一個(gè)5-循環(huán)置換7、若是有單位元的環(huán)的由生成的主理想，那么中的元素可以表達(dá)為。。與，那么。，那么。8、若是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，是的一個(gè)理想，那么9、整環(huán)的一個(gè)元叫做一個(gè)素元，如果是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)是。。10、若域的一個(gè)擴(kuò)域叫做的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域，如果。四、（2011年近世代數(shù)）改錯(cuò)題（請(qǐng)?jiān)谙铝忻}中你認(rèn)為錯(cuò)誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫(xiě)在預(yù)備的橫線上面。指出錯(cuò)誤1分，更正錯(cuò)誤2分。每小題3分，共15分）1、如果一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。2、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合作成一個(gè)群，如果滿足對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。3、設(shè)和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么。4、唯一分解環(huán)的兩個(gè)元和不一定會(huì)有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。5、叫做域的一個(gè)代數(shù)元，如果存在的都不等于零的元使得。五、（2011年近世代數(shù)）計(jì)算題（共15分，每小題分標(biāo)在小題后）1、給出下列四個(gè)四元置換組成的群，試寫(xiě)出的乘法表，并且求出的單位元及和的所有子群。2、設(shè)是模6的剩余類環(huán)，且。如果、，計(jì)算、和以及它們的次數(shù)。3、群G=(a),|a|=7，求出群G的所有子群。六、（2011年近世代數(shù)）證明題（每小題10分，共40分）1、設(shè)和是一個(gè)群的兩個(gè)元且，又設(shè)的階，的階，并且，證明：的階。2、設(shè)為實(shí)數(shù)集，，令，將的所有這樣的變換構(gòu)成一個(gè)集合，試證明：對(duì)于變換普通的乘法，作成一個(gè)群。3、設(shè)和為環(huán)的兩個(gè)理想，試證和都是的理想。4、設(shè)是有限可交換的環(huán)且含有單位元1，證明：中的非零元不是可逆元就是零因子。5、整數(shù)環(huán)Z中，證明（3，7）=(1)6、證明：域是歐式環(huán)。7、證明群同態(tài)定理第一條。8、R[x]條件下，做映射：f：g(x)=g(0),求證：在f映射下R[x]與R同構(gòu),并求其核。多所高校近世代數(shù)題庫(kù)答案一、（近世代數(shù)）判斷題12345678910××√√×√√√××二、（近世代數(shù)）單項(xiàng)選擇題12345678910②④③④①②④③①④三、（近世代數(shù)）填空題1、。2、。3、。4、。5、變換群。6、。7、。8、一個(gè)最大理想。9、p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子。10、E的每一個(gè)元都是F上的一個(gè)代數(shù)元。四、（近世代數(shù)）改錯(cuò)題1、如果一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。結(jié)合律與交換律2、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合作成一個(gè)群，如果滿足對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。消去律成立3、設(shè)和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么。S=I或S=R4、唯一分解環(huán)的兩個(gè)元和不一定會(huì)有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有d=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一個(gè)單位因子5、叫做域的一個(gè)代數(shù)元，如果存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元近世代數(shù)模擬試題一一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1、設(shè)A＝B＝R(實(shí)數(shù)集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，則是從A到B的（）A、滿射而非單射C、一一映射B、單射而非滿射D、既非單射也非滿射2、設(shè)集合A中含有5個(gè)元素，集合B中含有2個(gè)元素，那么，A與B的積集合A×B中含有（A、2B、5C、7D、10）個(gè)元素。3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，這個(gè)解是（）乘法來(lái)說(shuō)A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(兩方程解一樣)4、當(dāng)G為有限群，子群H所含元的個(gè)數(shù)與任一左陪集aH所含元的個(gè)數(shù)（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n階有限群G的子群H的階必須是n的（）A、倍數(shù)B、次數(shù)C、約數(shù)D、指數(shù)二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。1、設(shè)集合；，則有---------。2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，則e稱為環(huán)R的--------。3、環(huán)的乘法一般不交換。如果環(huán)R的乘法交換，則稱R是一個(gè)------。4、偶數(shù)環(huán)是---------的子環(huán)。5、一個(gè)集合A的若干個(gè)--變換的乘法作成的群叫做A的一個(gè)--------。6、每一個(gè)有限群都有與一個(gè)置換群--------。7、全體不等于0的有理數(shù)對(duì)于普通乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，則這個(gè)群的單位元是---，元a的逆元是-------。8、設(shè)和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么---------。9、一個(gè)除環(huán)的中心是一個(gè)-------。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、設(shè)置換和分別為：，，判斷和的奇偶性，并把和寫(xiě)成對(duì)換的乘積。2、證明：任何方陣都可唯一地表示成一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。3、設(shè)集合，定義中運(yùn)算“”為ab=(a+b)(modm),則（，）是不是群，為什么？四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、設(shè)是群。證明：如果對(duì)任意的，則是交換群。2、假定R是一個(gè)有兩個(gè)以上的元的環(huán)，F(xiàn)是一個(gè)包含R的域，那么F包含R的一個(gè)商域。，有近世代數(shù)模擬試題二一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1、設(shè)G有6個(gè)元素的循環(huán)群，a是生成元，則G的子集（）是子群。A、B、C、D、2、下面的代數(shù)系統(tǒng)（G，*）中，（）不是群A、G為整數(shù)集合，*為加法C、G為有理數(shù)集合，*為加法B、G為偶數(shù)集合，*為加法D、G為有理數(shù)集合，*為乘法3、在自然數(shù)集N上，下列哪種運(yùn)算是可結(jié)合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、設(shè)、、是三個(gè)置換，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），則=（）A、B、C、D、5、任意一個(gè)具有2個(gè)或以上元的半群，它（）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交換群二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。1、凱萊定理說(shuō)：任一個(gè)子群都同一個(gè)----------同構(gòu)。2、一個(gè)有單位元的無(wú)零因子-----稱為整環(huán)。3、已知群中的元素的階等于50，則的階等于------。4、a的階若是一個(gè)有限整數(shù)n，那么G與-------同構(gòu)。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。6、若映射既是單射又是滿射，則稱為-----------------。7、叫做域的一個(gè)代數(shù)元，如果存在的-----8、是代數(shù)系統(tǒng)使得。的元素，對(duì)任何均成立，則稱為---------。9、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合作成一個(gè)群，如果滿足對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、---------。10、一個(gè)環(huán)R對(duì)于加法來(lái)作成一個(gè)循環(huán)群，則P是----------。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、設(shè)集合A={1,2,3}G是A上的置換群，H是G的子群，H={I,(12)}，寫(xiě)出H的所有陪集。2、設(shè)E是所有偶數(shù)做成的集合，“”是數(shù)的乘法，則“”是E中的運(yùn)算，（E，）是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，問(wèn)（E，）是不是群，為什么？3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、若<G，*>是群，則對(duì)于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。2、設(shè)m是一個(gè)正整數(shù)，利用m定義整數(shù)集Z上的二元關(guān)系：a?b當(dāng)且僅當(dāng)m︱a–b。近世代數(shù)模擬試題三一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1、6階有限群的任何子群一定不是（）。A、2階B、3階C、4階D、6階2、設(shè)G是群，G有（）個(gè)元素，則不能肯定G是交換群。A、4個(gè)B、5個(gè)C、6個(gè)D、7個(gè)3、有限布爾代數(shù)的元素的個(gè)數(shù)一定等于（）。A、偶數(shù)B、奇數(shù)C、4的倍數(shù)D、2的正整數(shù)次冪4、下列哪個(gè)偏序集構(gòu)成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除關(guān)系））D、(P(A),)5、設(shè)S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)C、(1)，(123)B、12)，(13)，(23)D、S3中的所有元素二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。1、群的單位元是--------的，每個(gè)元素的逆元素是--------的。2、如果是與間的一一映射，是的一個(gè)元，則----------。3、區(qū)間[1，2]上的運(yùn)算的單位元是-------。4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。5、環(huán)Z8的零因子有-----------------------。6、一個(gè)子群H的右、左陪集的個(gè)數(shù)----------。7、從同構(gòu)的觀點(diǎn)，每個(gè)群只能同構(gòu)于他/它自己的---------。8、無(wú)零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為R的-----------。9、設(shè)群中元素的階為，如果，那么與存在整除關(guān)系為--------。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項(xiàng)鏈，問(wèn)可做出多少種不同的項(xiàng)鏈？2、S1，S2是A的子環(huán)，則S1∩S2也是子環(huán)。S1+S2也是子環(huán)嗎？3、設(shè)有置換1．求2．確定置換，。和；和的奇偶性。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、一個(gè)除環(huán)R只有兩個(gè)理想就是零理想和單位理想。2、M為含幺半群，證明b=a-1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。近世代數(shù)模擬試題四一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.設(shè)集合A中含有5個(gè)元素，集合B中含有2個(gè)元素，那么，A與B的積集合A×B中含有（）個(gè)元素。A.2C.7B.5D.102.設(shè)A＝B＝R(實(shí)數(shù)集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，則是從A到B的（A.滿射而非單射C.一一映射）B.單射而非滿射D.既非單射也非滿射3.設(shè)S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（）A.(1)，(123)，(132)C.(1)，(123)B.(12)，(13)，(23)D.S3中的所有元素4.設(shè)Z15是以15為模的剩余類加群，那么，Z15的子群共有（）個(gè)。A.2C.6B.4D.85.下列集合關(guān)于所給的運(yùn)算不作成環(huán)的是（）A.整系數(shù)多項(xiàng)式全體Z［x］關(guān)于多項(xiàng)式的加法與乘法B.有理數(shù)域Q上的n級(jí)矩陣全體Mn(Q)關(guān)于矩陣的加法與乘法C.整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝0D.整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝1二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。6.設(shè)“～”是集合A的一個(gè)關(guān)系，如果“～”滿足___________，則稱“～”是A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。7.設(shè)(G，·)是一個(gè)群，那么，對(duì)于a，b∈G，則ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1___________。＝8.設(shè)σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干個(gè)沒(méi)有公共數(shù)字的循環(huán)置換之積)。9.如果G是一個(gè)含有15個(gè)元素的群，那么，根據(jù)Lagrange定理知，對(duì)于a∈G，則元素a的階只可能是___________。10.在3次對(duì)稱群S3中，設(shè)H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一個(gè)不變子群，則商群G/H中的元素(12)H＝___________。11.設(shè)Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6為模的剩余類環(huán)，則Z6中的所有零因子是___________。12.設(shè)R是一個(gè)無(wú)零因子的環(huán)，其特征n是一個(gè)有限數(shù)，那么，n是___________。13.設(shè)Z［x］是整系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)，(x)是由多項(xiàng)式x生成的主理想，則(x)＝________________________。14.設(shè)高斯整數(shù)環(huán)Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，則Z［i］中的所有單位是______________________。15.有理數(shù)域Q上的代數(shù)元+在Q上的極小多項(xiàng)式是___________。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）16.設(shè)Z為整數(shù)加群，Zm為以m為模的剩余類加群，是Z到Zm的一個(gè)映射，其中：k→［k］，k∈Z，驗(yàn)證：是Z到Zm的一個(gè)同態(tài)滿射，并求的同態(tài)核Ker。17.求以6為模的剩余類環(huán)Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子環(huán)，并說(shuō)明這些子環(huán)都是Z6的理想。18.試說(shuō)明唯一分解環(huán)、主理想環(huán)、歐氏環(huán)三者之間的關(guān)系，并舉例說(shuō)明唯一分解環(huán)未必是主理想環(huán)。四、證明題（本大題共3小題，第19、20小題各10分，第21小題5分，共25分）19.設(shè)G＝{a，b，c}，G的代數(shù)運(yùn)算“”由右邊的運(yùn)算表給出，證明：(G，)作成一個(gè)群。aabbccabcbccaab20.設(shè)已知R關(guān)于矩陣的加法和乘法作成一個(gè)環(huán)。證明：I是R的一個(gè)子環(huán)，但不是理想。21.設(shè)(R，＋，·)是一個(gè)環(huán)，如果(R，＋)是一個(gè)循環(huán)群，證明：R是一個(gè)交換環(huán)。近世代數(shù)模擬試題一參考答案一、單項(xiàng)選擇題。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、；2、單位元；3、交換環(huán)；4、整數(shù)環(huán)；5、變換群；6、同構(gòu);7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解：把和寫(xiě)成不相雜輪換的乘積：可知為奇置換，為偶置換。和可以寫(xiě)成如下對(duì)換的乘積：2、解：設(shè)A是任意方陣，令，和，則B是對(duì)稱矩陣，而C是反對(duì)稱矩陣，且。若令有，這里分別為對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，則，而等式左邊是對(duì)稱矩陣，右邊是反對(duì)稱矩陣，于是兩邊必須都等于0，即：，，所以，表示法唯一。3、答：（中有兩個(gè)不同的單位元素0和m。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、對(duì)于G中任意元x，y，由于，）不是群，因?yàn)?，所以（?duì)每個(gè)x，從可得）。2、證明在F里有意義，作F的子集顯然是R的一個(gè)商域證畢。近世代數(shù)模擬試題二參考答案一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、變換群；2、交換環(huán)；3、25；4、模n乘余類加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右單位元；9、消去律成立；10、交換環(huán)；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解：H的3個(gè)右陪集為：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}H的3個(gè)左陪集為：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、答：（E，）不是群，因?yàn)椋‥，）中無(wú)單位元。3、解方法一、輾轉(zhuǎn)相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、證明設(shè)e是群<G，*>的幺元。令x＝a－1*b，則a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。若x∈G也是a*x＝b的解，則x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。2、容易證明這樣的關(guān)系是Z上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，把這樣定義的等價(jià)類集合記為Zm，每個(gè)整數(shù)a所在的等價(jià)類記為[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可記為，稱之為模m剩余類。若m︱a–b也記為a≡b(m)。當(dāng)m=2時(shí)，Z2僅含2個(gè)元：[0]與[1]。近世代數(shù)模擬試題三參考答案一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1、解在學(xué)群論前我們沒(méi)有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫(huà)一下，用黑白兩種珠子，分類進(jìn)行計(jì)算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。2、證由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對(duì)任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：因?yàn)镾1，S2是A的子環(huán)，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：3、解：1．，；2．兩個(gè)都是偶置換。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、證明：假定是R的一個(gè)理想而不是零理想，那么a，由理想的定義，因而R的任意元這就是說(shuō)=R，證畢。2、證必要性：將b代入即可得。充分性：利用結(jié)合律作以下運(yùn)算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。近世代數(shù)試卷一、判斷題（下列命題你認(rèn)為正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)的打“×”；每小題1分，共10分）1、設(shè)與都是非空集合，那么2、設(shè)、、都是非空集合，則。（）到的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。（）3、只要是到4、如果循環(huán)群的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（）中生成元的階是無(wú)限的，則與整數(shù)加群同構(gòu)。（）5、如果群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。6、群的子群是不變子群的充要條件為（）。（）7、如果環(huán)的階8、若環(huán)滿足左消去律，那么必定沒(méi)有右零因子。9、的多項(xiàng)式叫做元在域上的極小多項(xiàng)式。（），那么的單位元。（）（）中滿足條件10、若域的特征是無(wú)限大，那么含有一個(gè)與生成的主理想。（）同構(gòu)的子域，這里是整數(shù)環(huán)，是由素?cái)?shù)二、單項(xiàng)選擇題（從下列各題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其號(hào)碼寫(xiě)在題干后面的括號(hào)內(nèi)。答案選錯(cuò)或未作選擇者，該題無(wú)分。每小題1分，共10分）1、設(shè)①集合③和都是非空集合，而是中兩兩都不相同；②到的一個(gè)映射，那么（）的次序不能調(diào)換；中不同的元對(duì)應(yīng)的象必不相同；的象可以不唯一。④一個(gè)元2、指出下列那些運(yùn)算是二元運(yùn)算（）①在整數(shù)集上，；②在有理數(shù)集上，；③在正實(shí)數(shù)集上，；④在集合上，。3、設(shè)是整數(shù)集上的二元運(yùn)算，其中（即取與中的最大者），那么在中（）①不適合交換律；②不適合結(jié)合律；③存在單位元；④每個(gè)元都有逆元。4、設(shè)為群，其中是實(shí)數(shù)集，而乘法，這里為中固定的常數(shù)。那么群中的單位元和元的逆元分別是（）①0和；②1和0；③和；④和。5、設(shè)和都是群中的元素且，那么（）①；②；③；④。6、設(shè)是群的子群，且有左陪集分類。如果6，那么的階（）①6；7、設(shè)②24；是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是（）的不變子群；③③10；④12。①的同態(tài)核是的不變子群；②的不變子群的逆象是的子群的象是的子群；④的不變子群的象是的不變子群。8、設(shè)是環(huán)同態(tài)滿射，，那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為（）②若是單位元，則是單位元；①若是零元，則是零元；③若不是零因子，則不是零因子；④若是不交換的，則不交換。9、下列正確的命題是（）①歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；③唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；②主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；④唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。10、若是域的有限擴(kuò)域，是的有限擴(kuò)域，那么（）①③；；②④；。三、填空題（將正確的內(nèi)容填在各題干預(yù)備的橫線上，內(nèi)容填錯(cuò)或未填者，該空無(wú)分。每空1分，共10分）1、設(shè)集合；，則有。2、如果是與間的一一映射，是的一個(gè)元，則3、設(shè)集合有一個(gè)分類，其中是的兩個(gè)類，如果。。與，那么。4、設(shè)群中元素的階為，如果5、凱萊定理說(shuō)：任一個(gè)子群都同一個(gè)，那么與存在整除關(guān)系為同構(gòu)。6、給出一個(gè)5-循環(huán)置換，那么。7、若是有單位元的環(huán)的由生成的主理想，那么中的元素可以表達(dá)為。8、若是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，是的一個(gè)理想，那么是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)是。9、整環(huán)的一個(gè)元叫做一個(gè)素元，如果。10、若域的一個(gè)擴(kuò)域叫做的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域，如果。四、改錯(cuò)題（請(qǐng)?jiān)谙铝忻}中你認(rèn)為錯(cuò)誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫(xiě)在預(yù)備的橫線上面。指出錯(cuò)誤1分，更正錯(cuò)誤2分。每小題3分，共15分）1、如果一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。2、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合作成一個(gè)群，如果滿足對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。3、設(shè)和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么。4、唯一分解環(huán)的兩個(gè)元和不一定會(huì)有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。5、叫做域的一個(gè)代數(shù)元，如果存在的都不等于零的元使得。五、計(jì)算題（共15分，每小題分標(biāo)在小題后）1、給出下列四個(gè)四元置換組成的群，試寫(xiě)出的乘法表，并且求出的單位元及和的所有子群。2、設(shè)是模6的剩余類環(huán)，且。如果、，計(jì)算、和以及它們的次數(shù)。六、證明題（每小題10分，共40分）1、設(shè)和是一個(gè)群的兩個(gè)元且，又設(shè)的階，的階，并且，證明：的階。2、設(shè)為實(shí)數(shù)集，，令，將的所有這樣的變換構(gòu)成一個(gè)集合，試證明：對(duì)于變換普通的乘法，作成一個(gè)群。3、設(shè)和為環(huán)的兩個(gè)理想，試證和都是的理想。4、設(shè)是有限可交換的環(huán)且含有單位元1，證明：中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代數(shù)試卷參考解答一、判斷題12345678910××√√×√√√××二、單項(xiàng)選擇題12345678910②④③④①②④③①④三、填空題1、。2、。3、。4、5、變換群。6、。。7、。8、一個(gè)最大理想。9、p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子。10、E的每一個(gè)元都是F上的一個(gè)代數(shù)元。四、改錯(cuò)題1、如果一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。結(jié)合律與交換律2、有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合作成一個(gè)群，如果滿足對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。消去律成立3、設(shè)和是環(huán)的理想且S=I或S=R，如果是的最大理想，那么。4、唯一分解環(huán)的兩個(gè)元和不一定會(huì)有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有d=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一個(gè)單位因子5、叫做域的一個(gè)代數(shù)元，如果存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元啊啊點(diǎn)集拓?fù)湓囶}樣卷A一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共30分)1、設(shè)①，下列集族中,上的拓?fù)涫恰ǎ?②④③2、已知①φ②3、設(shè)，拓?fù)?則=………………（,則的既開(kāi)又閉的）③④，拓?fù)浞强照孀蛹膫€(gè)數(shù)為…………（①1②2③3④44、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集的邊界②Q③R-Q④R5、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間）是…（）①的內(nèi)部是………（）①②③④6、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B是的子集,則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（）①②④③7、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇椤?)①③②④8、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.的投射，則是………（）②連續(xù)的單射④滿的連續(xù)開(kāi)映射是到①單射③滿的連續(xù)閉映射9、離散空間的任一子集為………(①開(kāi)集②閉集③即開(kāi)又閉④非開(kāi)非閉)10、在實(shí)數(shù)空間R中，下列集合是開(kāi)集的是…………（①整數(shù)集Z②有理數(shù)集）③無(wú)理數(shù)集④整數(shù)集Z的補(bǔ)集1、②2、④3、②4、④5、④6、③7、②8、④9、③10、④二、填空題(每小題4分，共20分)1、設(shè)2、若拓?fù)淇臻g有一個(gè)可數(shù)稠密子集，則稱是一個(gè)可分空間；3、正則的空間；,則的平庸拓?fù)錇?；空間稱為4、若任意個(gè)拓?fù)淇臻g,都具有性質(zhì),則積空間也具有性質(zhì)，則性質(zhì)稱為有限可積性質(zhì)；5、是拓?fù)淇臻g到的一個(gè)映射，如果它是一個(gè)滿射，并且的拓?fù)涫菍?duì)于映射而言的商拓?fù)?，則稱是一個(gè)商映射;三、名詞解釋（每小題4分，共20分）1、序列是一個(gè)拓?fù)淇臻g，每一個(gè)映射叫做中的一個(gè)序列.2、空間一個(gè)拓?fù)淇臻g如果在它的每一點(diǎn)處有一個(gè)可數(shù)鄰域基，則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的空間，簡(jiǎn)稱為空間.3、正則空間：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中的任何一個(gè)點(diǎn)和任何一個(gè)不包含這個(gè)點(diǎn)的閉集都各自有一個(gè)開(kāi)鄰域，它們互不相交，則稱是正則空間.4、緊致空間設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果的每一個(gè)開(kāi)覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè)緊致空間.5、同胚映射設(shè)和是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果都是連續(xù)映射，則稱是一個(gè)同胚映射或同胚.四、證明題（每小題6分，共30分）是一個(gè)一一映射，并且和1、設(shè)是從連通空間到拓?fù)淇臻g的一個(gè)連續(xù)映射.則是的一個(gè)連通子集.證明：如果是的一個(gè)不連通子集，則存在的非空隔離子集使得……………3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔離子集此外，，這說(shuō)明不連通，矛盾.從而2、設(shè)X是一個(gè)含有不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間.證明X不滿足第一可數(shù)性公理.證明：若滿足第一可數(shù)公理，則在處,有一個(gè)可數(shù)的鄰域基，設(shè)為Vx,因?yàn)閄是可數(shù)補(bǔ)空間，因此是的一個(gè)連通子集.…………6分對(duì),是的一個(gè)開(kāi)鄰域，從而,使得.于是,…………………3分由上面的討論我們知道：因?yàn)槭且粋€(gè)不可數(shù)集，而是一個(gè)可數(shù)集，矛盾.從而X不滿足第一可數(shù)性公理.………………6分3、設(shè)是空間的一個(gè)收斂序列,證明：的極限點(diǎn)唯一.證明：若極限點(diǎn)不唯一，不妨設(shè),,其中，由于是空間，故和各自的開(kāi)鄰域，使得.因，故存在，使得當(dāng)時(shí)，；同理存在，使得當(dāng)時(shí)，.…………3分令,則當(dāng)時(shí)，，從而,矛盾，故的極限點(diǎn)唯一.………………6分4、證明空間中任何一個(gè)連通子集如果包含著多于一個(gè)點(diǎn)，則它一定是一個(gè)不可數(shù)集.證明：設(shè)是空間中的一個(gè)連通子集，如果不只包含一個(gè)點(diǎn)，任意選取，應(yīng)用Urysohn引理可見(jiàn)，存在一個(gè)連續(xù)映射.………3分.對(duì)于空間中的兩個(gè)無(wú)交的閉集，使得和由于是的一個(gè)連通子集，從而連通，由于，所以，由于是一個(gè)不可數(shù)集，所以也是一個(gè)不可數(shù)集.……………6分5、設(shè)是一個(gè)正則空間，是的一個(gè)緊致子集，子集..證明：如果,則也是的一個(gè)緊致證明：設(shè)A是任意一個(gè)由X中的開(kāi)集構(gòu)成的Y的覆蓋，因此A也是A的一個(gè)覆蓋，由于A是X的緊致子集，從而A有有限個(gè)成員使得.…………………3分由于A是正則空間的緊致子集，從而A有一個(gè)開(kāi)鄰域，使得,從而有,從而A有有限子覆蓋，因此Y是X的一個(gè)緊致子集.………………6分點(diǎn)集拓?fù)湓囶}樣卷B一、選擇題(將正確答案填入題后的括號(hào)內(nèi),每題3分，共18分)1、已知,下列集族中，是上的拓?fù)?……（）①②③④2、已知①φ②，拓?fù)?則是………………（）③④3、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,則的商拓?fù)涫牵ǎ佗邰冖?、下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)具有可遺傳性的是………（）①連通性②③正則④正規(guī)，則5、設(shè)，是………………（）①空間②6、下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)具有有限可積性的是……（）①連通性②緊致性③正則性④可分性空間③空間④1、③2、②3、①4、②③5、①6、①②③④二、簡(jiǎn)答題（每題4分，共32分）1、寫(xiě)出同胚