第三章-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第四課時(shí)-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)課件

第四課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)一判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例1】

(2020·濰坊檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝lnx－x2＋ax,a∈R. (1)證明lnx≤x－1; (2)若a≥1,討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(1)證明令g(x)＝lnx－x＋1(x>0),則g(1)＝0,第四課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)一判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得x∈(0,1)時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;x∈(1,＋∞)時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.∴當(dāng)x＝1時(shí),函數(shù)g(x)取得極大值也是最大值,∴g(x)≤g(1)＝0,即lnx≤x－1.在(0,x0)上,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在(x0,＋∞)上,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.∴f(x)max＝f(x0).可得x∈(0,1)時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;綜上可得:當(dāng)a＝1時(shí),函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x＝1;當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)a＝1時(shí),x0＝1,f(x)max＝f(1)＝0,此時(shí)函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x＝1.當(dāng)a>1時(shí),f(1)＝a－1>0,綜上可得:當(dāng)a＝1時(shí),函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x＝1;當(dāng)a＝規(guī)律方法1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)常用方法:(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)(其中g(shù)′(x)易求,且g′(x)＝0可解),利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì),結(jié)合g(x)的圖象,判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用零點(diǎn)存在定理,先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn),再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).2.根據(jù)參數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),解題的基本思想是“數(shù)形結(jié)合”,即通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、極值、函數(shù)值的極限位置等),作出函數(shù)的大致圖象,然后通過(guò)函數(shù)圖象得出其與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù),或者兩個(gè)相關(guān)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),基本步驟是“先數(shù)后形”.規(guī)律方法1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)常用方法:(1)若a＝3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).(1)若a＝3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).綜上,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).綜上,考點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的值(范圍)【例2】

函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx在x＝1處取得極值. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若y＝f(x)－m－1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解(1)函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx的定義域?yàn)?0,＋∞). f′(x)＝a＋lnx＋1,

因?yàn)閒′(1)＝a＋1＝0,解得a＝－1,

當(dāng)a＝－1時(shí),f(x)＝－x＋xlnx, f′(x)＝lnx,令f′(x)>0,解得x>1;

令f′(x)<0,解得0<x<1.考點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的值(范圍)所以f(x)在x＝1處取得極小值,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,＋∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).(2)y＝f(x)－m－1在(0,＋∞)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),可轉(zhuǎn)化為y＝f(x)與y＝m＋1圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).由(1)知,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,f(x)min＝f(1)＝－1,所以f(x)在x＝1處取得極小值,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(當(dāng)0<x<e時(shí),f(x)＝x(－1＋lnx)<0;當(dāng)x>e時(shí),f(x)>0.當(dāng)x>0且x→0時(shí),f(x)→0;當(dāng)x→＋∞時(shí),顯然f(x)→＋∞.由圖象可知,－1<m＋1<0,即－2<m<－1.所以m的取值范圍是(－2,－1).當(dāng)0<x<e時(shí),f(x)＝x(－1＋lnx)<0;當(dāng)x>e規(guī)律方法1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),根據(jù)圖象的幾何直觀求解.2.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象,進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.規(guī)律方法1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),根據(jù)圖象的(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)已知函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0,(2)由(1)可得若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則必須滿足a>0,綜上可得:a≤0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,＋∞),所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2e,＋∞).(2)由(1)可得若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則必須滿足考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的綜合問(wèn)題【例3】

設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－alnx.當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,f′(x)沒有零點(diǎn);所以f′(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的綜合問(wèn)題當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,f′(故當(dāng)a>0時(shí),f′(x)存在唯一零點(diǎn).(2)證明由(1),可設(shè)f′(x)在(0,＋∞)上的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(x0,＋∞)時(shí),f′(x)>0.故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x＝x0時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(x0).故當(dāng)a>0時(shí),f′(x)存在唯一零點(diǎn).第三章-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第四課時(shí)-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)課件【訓(xùn)練3】

(2019·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝2sinx－xcosx－x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù). (1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn); (2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.

(1)證明設(shè)g(x)＝f′(x),則g(x)＝cosx＋xsinx－1, g′(x)＝xcosx.【訓(xùn)練3】(2019·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝2sin故g(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn).所以f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn).(2)解由題設(shè)知f(π)≥aπ,f(π)＝0,可得a≤0.由(1)知,f′(x)在(0,π)只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,π)上單調(diào)遞減.又f(0)＝0,f(π)＝0,所以當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)≥0.又當(dāng)a≤0,x∈[0,π]時(shí),ax≤0,故f(x)≥ax.因此,a的取值范圍是(－∞,0].故g(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn).第三章-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第四課時(shí)-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)課件第四課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)一判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例1】

(2020·濰坊檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝lnx－x2＋ax,a∈R. (1)證明lnx≤x－1; (2)若a≥1,討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(1)證明令g(x)＝lnx－x＋1(x>0),則g(1)＝0,第四課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)一判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得x∈(0,1)時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;x∈(1,＋∞)時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.∴當(dāng)x＝1時(shí),函數(shù)g(x)取得極大值也是最大值,∴g(x)≤g(1)＝0,即lnx≤x－1.在(0,x0)上,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在(x0,＋∞)上,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.∴f(x)max＝f(x0).可得x∈(0,1)時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;綜上可得:當(dāng)a＝1時(shí),函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x＝1;當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)a＝1時(shí),x0＝1,f(x)max＝f(1)＝0,此時(shí)函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x＝1.當(dāng)a>1時(shí),f(1)＝a－1>0,綜上可得:當(dāng)a＝1時(shí),函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x＝1;當(dāng)a＝規(guī)律方法1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)常用方法:(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)(其中g(shù)′(x)易求,且g′(x)＝0可解),利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì),結(jié)合g(x)的圖象,判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用零點(diǎn)存在定理,先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn),再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).2.根據(jù)參數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),解題的基本思想是“數(shù)形結(jié)合”,即通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、極值、函數(shù)值的極限位置等),作出函數(shù)的大致圖象,然后通過(guò)函數(shù)圖象得出其與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù),或者兩個(gè)相關(guān)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),基本步驟是“先數(shù)后形”.規(guī)律方法1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)常用方法:(1)若a＝3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).(1)若a＝3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).綜上,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).綜上,考點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的值(范圍)【例2】

函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx在x＝1處取得極值. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若y＝f(x)－m－1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解(1)函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx的定義域?yàn)?0,＋∞). f′(x)＝a＋lnx＋1,

因?yàn)閒′(1)＝a＋1＝0,解得a＝－1,

當(dāng)a＝－1時(shí),f(x)＝－x＋xlnx, f′(x)＝lnx,令f′(x)>0,解得x>1;

令f′(x)<0,解得0<x<1.考點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的值(范圍)所以f(x)在x＝1處取得極小值,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,＋∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).(2)y＝f(x)－m－1在(0,＋∞)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),可轉(zhuǎn)化為y＝f(x)與y＝m＋1圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).由(1)知,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,f(x)min＝f(1)＝－1,所以f(x)在x＝1處取得極小值,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(當(dāng)0<x<e時(shí),f(x)＝x(－1＋lnx)<0;當(dāng)x>e時(shí),f(x)>0.當(dāng)x>0且x→0時(shí),f(x)→0;當(dāng)x→＋∞時(shí),顯然f(x)→＋∞.由圖象可知,－1<m＋1<0,即－2<m<－1.所以m的取值范圍是(－2,－1).當(dāng)0<x<e時(shí),f(x)＝x(－1＋lnx)<0;當(dāng)x>e規(guī)律方法1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),根據(jù)圖象的幾何直觀求解.2.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象,進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.規(guī)律方法1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),根據(jù)圖象的(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)已知函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0,(2)由(1)可得若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則必須滿足a>0,綜上可得:a≤0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,＋∞),所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2e,＋∞).(2)由(1)可得若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則必須滿足考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的綜合問(wèn)題【例3】

設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－alnx.當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,f′(x)沒有零點(diǎn);所以f′(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的綜合問(wèn)題當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,f′(故當(dāng)a>0時(shí),f′(x)存在唯一零點(diǎn).(2)證明由(1),可設(shè)f′(x)在(0,＋∞)上的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(x0,＋∞)時(shí),f′(x)>0.故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x＝x0時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(x0).故當(dāng)a>0時(shí),f′(x)存在唯一零點(diǎn).第三章-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第四課