2022-2023學(xué)年上海市曹楊第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列中,,則()A.20 B.18 C.16 D.142.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn),且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.已知雙曲線:的焦距為,焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.4.3本不同的語文書,2本不同的數(shù)學(xué)書,從中任意取出2本,取出的書恰好都是數(shù)學(xué)書的概率是()A. B. C. D.5.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.6.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),其中點(diǎn)在第一象限,若弦的長為,則()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或7.已知復(fù)數(shù)滿足,則=()A. B.C. D.8.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知復(fù)數(shù),則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.10.不等式的解集記為,有下面四個命題:;;;.其中的真命題是()A. B. C. D.11.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在的圖像上,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知函數(shù)fx=sinωx+π6+A.16,13 B.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某公園劃船收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表:某班16名同學(xué)一起去該公園劃船,若每人劃船的時間均為1小時,每只租船必須坐滿,租船最低總費(fèi)用為______元,租船的總費(fèi)用共有_____種可能.14.設(shè),則_____,(的值為______.15.在中,內(nèi)角所對的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.16.若雙曲線的兩條漸近線斜率分別為,,若,則該雙曲線的離心率為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱臺中,側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,證明:∥平面;(Ⅱ)若二面角為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.18.(12分)如圖,在三棱柱中,平面,,且.(1)求棱與所成的角的大小;(2)在棱上確定一點(diǎn),使二面角的平面角的余弦值為.19.(12分)管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具,現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁,其縱截面如圖2所示,一根長度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置(圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小,).(1)請用角表示清潔棒的長;(2)若想讓清潔棒通過該彎頭,清潔下一段圓管,求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.20.(12分)已知等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項(xiàng)是1.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若,是數(shù)列的前項(xiàng)和,求使成立的正整數(shù)的值.21.(12分)已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn),.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)證明:.22.(10分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為,且與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.(1)求橢圓的方程;(2)若圓上存在兩點(diǎn),,橢圓上存在兩個點(diǎn)滿足:三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,且,求四邊形面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項(xiàng)與公差,進(jìn)而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

先求出直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得A,B的縱坐標(biāo),利用,求出a,b的關(guān)系,即可求出該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線1(a>b>0)的漸近線方程為y=±x,∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍,∴kl,∴直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得y或y,∵,∴2?,∴ab,∴c=2b,∴e.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),考查向量知識,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.3、A【解析】

利用雙曲線:的焦點(diǎn)到漸近線的距離為,求出,的關(guān)系式,然后求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】雙曲線:的焦點(diǎn)到漸近線的距離為,可得:,可得,,則的漸近線方程為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,構(gòu)建出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,考查計算能力,屬于中檔題.4、D【解析】

把5本書編號,然后用列舉法列出所有基本事件.計數(shù)后可求得概率.【詳解】3本不同的語文書編號為,2本不同的數(shù)學(xué)書編號為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個,恰好都是數(shù)學(xué)書的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫出所有的基本事件,然后計數(shù)計算概率.5、D【解析】

由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

先根據(jù)弦長求出直線的斜率,再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為,則,所以,,即,所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為,聯(lián)立,解得和,所以;同理,當(dāng)直線的方程為.,綜上,或.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點(diǎn)的距離時,一般考慮拋物線的定義.7、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由共軛復(fù)數(shù)的定義得到,通過三角函數(shù)值的正負(fù),以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解【詳解】由題意得,因?yàn)?,,所以在?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生運(yùn)算能力,是一道容易題.10、A【解析】

作出不等式組表示的可行域,然后對四個選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示,當(dāng)時,,即的取值范圍為,所以為真命題;為真命題;為假命題.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關(guān)鍵,屬于中檔題.11、A【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化,求直線關(guān)于直線的對稱直線,再分別討論兩函數(shù)的增減性,結(jié)合函數(shù)圖像,分析臨界點(diǎn),進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為,當(dāng)時,,,當(dāng)時,,則當(dāng)時,,單減,當(dāng)時,,單增;當(dāng)時,,,當(dāng),,當(dāng)時,單減,當(dāng)時,單增;根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像,如圖:當(dāng)與()相切時,得,解得;當(dāng)與()相切時,滿足,解得,結(jié)合圖像可知,即,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問題,導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性,找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題12、A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3,根據(jù)x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當(dāng)x∈0,π時,又f0=3sin由fx在0,π上的值域?yàn)?2解得:ω∈本題正確選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題,關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限,從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、36010【解析】

列出所有租船的情況,分別計算出租金,由此能求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)租兩人船時,租金為:元,當(dāng)租四人船時,租金為:元,當(dāng)租1條四人船6條兩人船時,租金為:元,當(dāng)租2條四人船4條兩人船時,租金為:元,當(dāng)租3條四人船2條兩人船時,租金為:元,當(dāng)租1條六人船5條2人船時,租金為:元,當(dāng)租2條六人船2條2人船時,租金為:元,當(dāng)租1條六人船1條四人船3條2人船時,租金為:元,當(dāng)租1條六人船2條四人船1條2人船時,租金為:元,當(dāng)租2條六人船1條四人船時,租金為:元,綜上,租船最低總費(fèi)用為360元,租船的總費(fèi)用共有10種可能.故答案為:360,10.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查實(shí)際應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.14、7201【解析】

利用二項(xiàng)展開式的通式可求出;令中的,得兩個式子,代入可得結(jié)果.【詳解】利用二項(xiàng)式系數(shù)公式,,故,,故(=,故答案為:720;1.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查賦值法,是基礎(chǔ)題.15、【解析】

由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案16、2【解析】

由題得,再根據(jù)求解即可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線為,可令,,則,所以,解得.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線求離心率的問題.屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)連接,由比例可得∥,進(jìn)而得線面平行;(Ⅱ)過點(diǎn)作的垂線,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則求得平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為,由求二面角余弦即可.試題解析:(Ⅰ)證明:連接,梯形,,易知:;又,則∥;平面,平面,可得:∥平面;(Ⅱ)側(cè)面是梯形,,,,則為二面角的平面角,;均為正三角形,在平面內(nèi),過點(diǎn)作的垂線,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,故點(diǎn),;設(shè)平面的法向量為,則有:;設(shè)平面的法向量為,則有:;,故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.18、(1)(2)【解析】試題分析:(1)因?yàn)锳B⊥AC,A1B⊥平面ABC,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸,以過A,且平行于BA1的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點(diǎn)的坐標(biāo),求出棱AA1與BC上的兩個向量,由向量的夾角求棱AA1與BC所成的角的大??;

(2)設(shè)棱B1C1上的一點(diǎn)P,由向量共線得到P點(diǎn)的坐標(biāo),然后求出兩個平面PAB與平面ABA1的一個法向量,把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為,轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值,由此確定出P點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析:解(1)如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則,.,故與棱所成的角是.(2)為棱中點(diǎn),設(shè),則.設(shè)平面的法向量為,,則,故而平面的法向量是,則,解得,即為棱中點(diǎn),其坐標(biāo)為.點(diǎn)睛:本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì),以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.19、(1);(2).【解析】

(1)過作的垂線,垂足為,易得,進(jìn)一步可得;(2)利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【詳解】(1)如圖,過作的垂線,垂足為,在直角中,,,所以,同理,.(2)設(shè),則,令,則,即.設(shè),且,則當(dāng)時,,所以單調(diào)遞減;當(dāng)時,,所以單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,取得極小值,所以.因?yàn)?,所以,又,所以,又,所以,所以,所以,所以能通過此鋼管的鐵棒最大長度為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力,是一道中檔題.20、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,解方程可得首項(xiàng)和公比,可得所求通項(xiàng)公式;(Ⅱ),由數(shù)列的錯位相減法求和可得,解方程可得所求值.【詳解】(Ⅰ)等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項(xiàng)是即有,解得:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:則相減可得:化簡可得:,即為解得:【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用,考查數(shù)列的錯位相減法求和,以及方程思想和運(yùn)算能力,屬于中檔題.21、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)先求得導(dǎo)函數(shù),根據(jù)兩個極值點(diǎn)可知有兩個不等實(shí)根,構(gòu)造函數(shù),求得;討論和兩種情況,即可確定零點(diǎn)的情況,即可由零點(diǎn)的情況確定的取值范圍;(2)根據(jù)極值點(diǎn)定義可知,,代入不等式化簡變形后可知只需證明;構(gòu)造函數(shù),并求得,進(jìn)而判斷的單調(diào)區(qū)間,由題意可知,并設(shè),構(gòu)造函數(shù),并求得,即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值,進(jìn)而可得,即可由函數(shù)性質(zhì)得,進(jìn)而由單調(diào)性證明,即證明,從而證明原不等式成立.【詳解】(1)函數(shù)則,因?yàn)榇嬖趦蓚€極值點(diǎn),,所以有兩個不等實(shí)根.設(shè),所以.①當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,至多有一個零點(diǎn),不符合題意.②當(dāng)時,令得,0減極小值增所以,即.又因?yàn)椋?,所以在區(qū)間和上各有一個零點(diǎn),符合題意,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)證明:由題意知,,所以,.要證明,只需證明,只需證明.因?yàn)?,,所?設(shè),則,所以在上是增函數(shù),在上

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