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目錄3390向量在初等幾何中的應(yīng)用 18197摘要 111709VectorUsedInElementaryGeometry 21178Abstract 2187921緒論 36372向量的運(yùn)算規(guī)律與定理和推論 3219332.1向量加法運(yùn)算規(guī)律 4250892.2向量乘法運(yùn)算規(guī)律 4265682.3向量數(shù)性積 4247952.4向量矢性積 4302993向量在初等幾何中的應(yīng)用實(shí)例 550853.1向量在處理平行問題時(shí)的應(yīng)用 5165823.2向量在求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題時(shí)的應(yīng)用 629333.3向量在處理線面垂直問題時(shí)的應(yīng)用 6210183.4向量在處理等距問題時(shí)的應(yīng)用 7310453.5向量在求解和證明與角度有關(guān)問題時(shí)的應(yīng)用 912543.6向量在證明正弦定理時(shí)的應(yīng)用 918252例6.證明正弦定理 10220633.7向量在解三角形中的應(yīng)用 10218754向量在幾何問題的研究中的作用 112380參考文獻(xiàn) 12向量在初等幾何中的應(yīng)用摘要向量是現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分,向量既具有代數(shù)形式又具有幾何形式,在中學(xué)平時(shí)的練習(xí)和考試中,我們通過幾何知識(shí)很難解決的問題,往往可以運(yùn)用向量的知識(shí)將其轉(zhuǎn)化為數(shù)的形式,把抽象的幾何問題代數(shù)化,利用代數(shù)的計(jì)算更簡(jiǎn)單,更直觀的解決問題。向量的知識(shí)不但在某些解題過程中可以加以運(yùn)用,而且在初等幾何中,只需要利用向量最基本的一些原理,我們就可以證明一些復(fù)雜的平面幾何甚至立體幾何問題以及一些公式定理。本文對(duì)這些內(nèi)容展開討論。該論文有圖6幅,參考文獻(xiàn)6篇。關(guān)鍵詞:向量代數(shù)化計(jì)算證明初等幾何VectorUsedInElementaryGeometryAbstractThevectorisanimportantpartofmodernmathematicsinsecondaryschools.Vectorisbothalgebraicandgeometricforms.Intheusualpracticeexamsofsecondaryschools,fortheproblemsthataredifficulttosolvethroughgeometricknowledge,weoftenusetheknowledgetoconvertittothevectormakinggeometryproblemsalgebraic.Wefinditeasierandmoreintuitivetosolvetheproblem.Vectorisnotonlyappliedinsolvingproblemprocess,butalsoinelementarygeometry.wecanprovesomecomplexgeometry,three-dimensionalgeometryproblemsandsomeformulatheoremwithsomeofthebasicprinciplesofvector.Inthispaper,Wewilldiscussthesecontents.Keywords:vectoralgebraiccalculateproofElementaryGeometry1緒論向量是一種既具有大小又有方向的量,它是作為一種代數(shù)的方法來研究幾何的重要工具,向量不但可以用來解決平面幾何中的問題,還能應(yīng)用于三維立體幾何問題的解決。我們根據(jù)初中學(xué)過的相關(guān)知識(shí)知道了平面中兩直線平行的判定定理。那么,我們能不能利用向量的方法來判定直線之間的位置關(guān)系?在高二必修二的學(xué)習(xí)中,我們學(xué)習(xí)了立體幾何,那我們是不是也可以用向量的代數(shù)特征將這些抽象的問題代數(shù)化?或者,我們又能否利用向量的知識(shí)來求解三角形中的未知量?我們是不是還能夠利用向量最基本的知識(shí)原理來證明一些定理呢?以上種種問題,都是本文所要探討的。2向量的運(yùn)算規(guī)律與定理和推論2.1向量加法運(yùn)算規(guī)律(1)(2)(3)(4)2.2向量乘法運(yùn)算規(guī)律(1)(2)(3)2.3向量數(shù)性積記做2.4向量矢性積記做,它的方向與和都垂直三向量的混合積在右手直角坐標(biāo)系下用矢量的分量表示向量數(shù)性積、向量失性積及三向量的混合積:若則定理1:設(shè)有向線段的始點(diǎn)為,終點(diǎn)為,那么分有向線段成定比的分點(diǎn)的坐標(biāo)是推論:設(shè),,那么線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是定理2:兩向量與相互垂直的充要條件是定理3:兩向量與的共線的充要條件是定理4:三向量、、共面的充要條件是3向量在初等幾何中的應(yīng)用實(shí)例研究初等幾何的三種主要方法除了綜合法、解析法,還有一種就是本文所討論的向量法。有關(guān)幾何中位置數(shù)量以及等等問題,向量的方法有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì),利用向量的知識(shí)使問題得到簡(jiǎn)化的例子不勝枚舉。3.1向量在處理平行問題時(shí)的應(yīng)用例1.證明:若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相互平分,則為平行四邊形。分析:我們考慮利用向量的知識(shí)來解決這個(gè)問題,首先由題意的和互相平分,我們就可以得到,,所以得到,所以我們可以得到和共線,而且由圖像就可以看出,兩直線不重合,因此就可以得到兩直線平行的結(jié)論。由因?yàn)檫@兩個(gè)向量相等,相等向量的模相等,得到這個(gè)四邊形的一組對(duì)邊既平行又相等,所以這個(gè)四邊形是平行四邊形。證:設(shè)四邊形的對(duì)角線,且,互相平分,從上圖可以看出:因此,,且即四邊形為平行四邊形。關(guān)于平面中兩直線平行的證明,我們?cè)诔踔芯徒o出了幾個(gè)定理,但是在這道題目中,我們發(fā)現(xiàn),如果利用三角形的全等來解決,似乎很麻煩,也很難想到思路。但是如果我們利用向量的方法,不但思路變得很好找,而且解題過程也會(huì)變得十分簡(jiǎn)單。3.2向量在求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題時(shí)的應(yīng)用例2.已知三角形三頂點(diǎn)為,求的重心(三角形三條中線交點(diǎn))的坐標(biāo)。分析:本題是對(duì)定理1的實(shí)際應(yīng)用,我們知道,三角形的重心把這個(gè)三角形的中線分成1:2的兩部分,而根據(jù)定理1,就可以快速求出這個(gè)三角形重心的坐標(biāo)。解:設(shè)的三條中線分別為,其中頂點(diǎn)的對(duì)邊上的中點(diǎn)為,他們的公共點(diǎn)為,因此有,即重心把中線分為1:2的兩段。由中線可知,為的中點(diǎn),所以根據(jù)公式有,再根據(jù)定理1可得所以之重心為如果直接根據(jù)各線段間的數(shù)量關(guān)系來求解重心坐標(biāo),就需要先設(shè)出該坐標(biāo),再通過列出關(guān)系式,求解方程才能解決問題,而利用定理1的知識(shí),我們很快就可以通過公式解出重心的坐標(biāo),不但思路變得特別簡(jiǎn)單,在計(jì)算方面也簡(jiǎn)化了許多。3.3向量在處理線面垂直問題時(shí)的應(yīng)用例3.證明:若空間內(nèi)一直線垂直于同一平面內(nèi)兩條相交直線,則該直線垂直于該平面內(nèi)任意一條直線。分析:在同一平面中,任意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不相交的向量和表示出來,即,根據(jù)題意,我們已經(jīng)有和互相垂直,同時(shí)和也互相垂直,就可以得到且,因此,所以得到和也是互相垂直的,因此結(jié)論得證。證:設(shè)一條直線,與平面內(nèi)兩相交直線與都垂直,接下來,我們求證該直線與平面內(nèi)任意直線垂直在直線上分別任取四個(gè)非零向量記為、、、則由題意得:,因此,假設(shè)故即,表示直線n垂直于直線c命題得證對(duì)于這類題目,我們可以利用高中所學(xué)的立體幾何的知識(shí)加以解決,但是在解決這道題的過程中我們發(fā)現(xiàn)需要找出5個(gè)條件才能得出直線垂直于平面的結(jié)論,然后由得到的這個(gè)結(jié)論來證明本題,這樣一來,這道題解決起來就會(huì)變得相當(dāng)麻煩。但是如果我們利用向量的方法,用這組相交的向量來表示該平面內(nèi)任意一個(gè)向量,這道題就會(huì)變得十分簡(jiǎn)單。3.4向量在處理等距問題時(shí)的應(yīng)用例4.證明:三角形各邊的垂直平分線共點(diǎn)且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距。分析:由中垂線可得、,所以有,其中可以分解成,和的和,而可以分解成,和的和,最后用這六個(gè)向量代入原式,計(jì)算可以證得,也就是,從而先證得三條中垂線共點(diǎn)。再由,得到,。其中,。分別將和平方,整理后可以得到,因此同理可證所以有,從而結(jié)論得證。下面給出具體證明過程。證:設(shè)如圖在中為與邊垂直平分線交點(diǎn),分別為與、的中點(diǎn)。則有、故由于所以得到,即所以三角形的三條中垂線交于同一點(diǎn)。因?yàn)榈玫?,又,所以故因?yàn)椋玫酵砜勺C因此得到綜上所述,三角形的三條中垂線共點(diǎn),且該公共點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。對(duì)于本題的共點(diǎn)問題,如果運(yùn)用幾何的方法,會(huì)變得十分的抽象,解釋起來也會(huì)相當(dāng)困難。而利用向量的知識(shí),我們只要先將其中的向量按照結(jié)論所需的條件進(jìn)行分解,最后通過具體的計(jì)算,就可以得出結(jié)論,免去了繁雜的幾何證明和很多抽象的解釋。這樣不但把抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化成了簡(jiǎn)單的計(jì)算題,而且在理解時(shí)也變得更加直觀。而對(duì)于等距問題,運(yùn)用三角形全等的知識(shí)當(dāng)然也可以加以證明,但是能夠利用向量進(jìn)行計(jì)算證明也是體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)中解題思維的多樣性。3.5向量在求解和證明與角度有關(guān)問題時(shí)的應(yīng)用例5:已知三點(diǎn),,求:.分析:要求的度數(shù),我們利用向量的積與向量模的積之間的關(guān)系,先求出和的積,再求出它們的模的積,最后根據(jù),求得的余弦值,從而得到的度數(shù)。解:因?yàn)?,,所?=1==-3因而所以本題中,我們先將所要求的角表示成兩向量的夾角,再利用兩向量的積和它們的模的積之間的關(guān)系,很容易求出兩向量的夾角的余弦值,從而求出所要求的角的度數(shù)。利用向量的知識(shí),本題通過三步簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以完成。3.6向量在證明正弦定理時(shí)的應(yīng)用例6.證明正弦定理分析:在證明正弦定理時(shí),我們可以考慮利用向量的矢量積來求證。下面給出具體的證明過程。證明:在中,記顯然有可得得到同理可得所以得到所以定理得證。正弦定理有很多種證明方法,但無論是轉(zhuǎn)化為直角三角形還是作外接圓,證明過程都比較繁雜,但是利用向量的知識(shí),我們只需利用向量積的知識(shí)就可以輕松解決,相比較其他幾種證明方法,顯得更加簡(jiǎn)潔直觀。3.7向量在解三角形中的應(yīng)用例7.已知空間三點(diǎn),,試求(1)的面積;(2)三角形的邊上的高。分析:我們可以先利用向量的矢量積求得平行四邊形的面積,從而求得的面積。而對(duì)于求解三角形的高,因?yàn)榕c垂直,所以=,通過計(jì)算可以求得,即所要求的高。解:(1),所以從而所以。(2)因?yàn)榈倪吷系母呒词堑倪吷系母?,所以又因?yàn)樗?對(duì)于求解面積的問題,利用向量的矢量積可以直接解決,而對(duì)于求解高的問題利用等式,在垂直的條件下得到夾角的正弦值為1,從而可以快速求得高的長(zhǎng)度。4向量在幾何問題的研究中的作用向量和復(fù)數(shù)是存在著聯(lián)系的。平面向量和復(fù)數(shù)都可以表示一個(gè)復(fù)平面上的點(diǎn),但是不同的是,向量還可以拓展到三維空間,這一點(diǎn)在與幾何(尤其是立體幾何)的解題過程中的應(yīng)用表現(xiàn)得更加突出。向量不僅僅在數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地位,在物理學(xué)中,我們也早就接觸過向量的知識(shí)并且我們知道高中物理就對(duì)向量有著很高的要求,向量區(qū)別于我們以前學(xué)過的標(biāo)量,它既具有大小(代數(shù)特點(diǎn)),又具有方向(幾何特點(diǎn)),是代數(shù)和幾何相結(jié)合的產(chǎn)物,具有“數(shù)形結(jié)合”的特點(diǎn)。我們?cè)趯W(xué)習(xí)中通過各種解題方法的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),利用向量,很多難題會(huì)迎刃而解。這實(shí)際上就是向量對(duì)抽象的幾何問題進(jìn)行了簡(jiǎn)化的原因。與此同時(shí),我們還知道,在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中,幾何一直占據(jù)著很重要的地位,有時(shí)候,我們用常規(guī)的幾何方法去解決一些復(fù)雜的題目時(shí)往往很難解決,甚至是找不出一點(diǎn)思路,在這個(gè)時(shí)候,我們就可以嘗試著利用向量把形與數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,把一道抽象的幾何題用代數(shù)的形式加以敘述,那么,思路就會(huì)很簡(jiǎn)單了。甚至,我們可以利用向量的知識(shí)來證明一些命題或者定理,例如文中3.6的定理證明。在我們處理平面幾何問題的時(shí)候,向量有著它獨(dú)特的優(yōu)越性,利用平面向量的知識(shí),不等式、三角、復(fù)數(shù)、物理、測(cè)量等某些復(fù)雜問題可以很容易的解決。很顯然,向量在應(yīng)用于平面幾何時(shí),能夠?qū)⑵矫鎺缀卧S多問題代數(shù)化、程序化,從而高效的解決這些問題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)與形的完美結(jié)合,以及思維的多樣性。向量在解決空間幾何的問題時(shí)更具有它的獨(dú)特性,在高考卷的前半卷中,會(huì)有一道立體幾何的證明題,我們一般會(huì)通過尋找條件,當(dāng)滿足所有條件時(shí),就可以證明結(jié)論。但是當(dāng)我們遇到特別復(fù)雜的題目時(shí),

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