畢業(yè)論文-矩陣初等變換在高等代數(shù)中的應用

矩陣初等變換在高等代數(shù)中的應用摘要:本文介紹了矩陣初等變換在高等代數(shù)的一些應用,其中基礎應用有求矩陣的秩,求矩陣的逆矩陣,求向量組的極大無關組,證明向量組等價,判斷向量組的線性相關性,解矩陣方程和化二次型為標準型等.另外,本文的著重點是介紹矩陣初等變換在分塊矩陣,線性空間,多項式問題中的應用,并用具體例子說明矩陣初等變換在以上應用中是如何應用的.關鍵詞:初等變換分塊矩陣線性空間多項式

ApplicationofMatrixElementaryTransformationintheAdvancedAlgebraAbstract:Thispaperintroducedsomeapplicationsofmatrixelementarytransformationinadvancedalgebra,suchasfoundtherankofmatrix,calculatedmatrixinverse,obtainedthemaximumirrelevantgroupofvectorgroup,proofedequivalenceofvectorgroup,determinedthelinearcorrelationofvectorgroup,solvedthematrixequationandtransformedquadraticformintocanonicalform.inaddition,thispapermainlyintroducedtheapplicationsofmatrixelementarytransformationintheproblemsofblockmatrix,linearspaceandpolynomial.andusedconcreteexamplestoillustratematrixelementarytransformationwashowtoapplyintheaboveapplication.Keywords:Elementarytransformation;blockmatrix;linearspace;polynomial

目錄引言 引言矩陣初等變換在矩陣的應用中起著重要的作用.矩陣初等變換不只是在矩陣問題上得到應用,而且它也可以解決線性空間的一些問題和多項式的一些問題,可以避免計算過程繁瑣的問題.由于用矩陣初等變換解答問題,可以使解答問題過程簡單化,所以它也是研究高等代數(shù)中某些問題的一個必不可少的工具.對于矩陣初等變換的基本理論問題的研究已經較為成熟,很多數(shù)學學者在矩陣初等變換的應用這方面知識也進行了深入的研究,并得出了很多有價值的結論:文獻[1]-[4]對于矩陣初等變換已有十分準確的定義,而且完整的概括出矩陣初等變換的所有性質;陳現(xiàn)平求可逆矩陣的逆矩陣的思路是利用矩陣初等變換法,這個方法和伴隨矩陣法形成了一個對比,給出具體求逆矩陣的例子后,用這兩個方法進行解答,可以發(fā)現(xiàn)用矩陣初等變換求逆更簡單;朱小紅給出了幾種向量組線性相關性命題的證法,其中也包括矩陣初等變換法;宋利梅化二次型為標準形的解答方法是用矩陣初等變換;求多項式的最大公因式、商和余式,不是只能用輾轉相除法,也可以用矩陣初等變換法,當多項式的次數(shù)較高時,可以明顯的看出用矩陣初等變換法比用輾轉相除法簡單,文獻[18]和[19]已經給出了用矩陣初等變換求多項式的最大公因式、商和余式具體的理論知識和應用.本文所參考的文獻和這些學者的研究為本文所介紹的內容奠定了重要的基礎,對以后拓展這方面的知識有著重要的意義,本文在已有理論的基礎上對矩陣初等變換在高等代數(shù)中的若干應用進行了一些討論和歸納,希望能夠給以后有關這方面的學習帶來幫助.

第1章矩陣初等變換的基本概念及性質以下所討論的矩陣和向量都在數(shù)域上,表示單位矩陣.1.1矩陣初等變換的基本概念定義1.1[1]矩陣的初等行(列)變換為下列三種變換:交換矩陣的兩行(列)的位置;矩陣的某一行(列)的所有元素乘以一個非零數(shù);(3)用一個非零數(shù)乘以矩陣的某一行(列)的所有元素再把這行(列)已乘后所得的元素加到矩陣的另外一行(列)對應的元素上.定義1.2[1]初等矩陣是由經過一次初等變換得到的矩陣.定義1.3[1]若矩陣經過一系列初等變換化為矩陣,則和是等價的.下面的(1),(2)和(3)中的初等矩陣分別對應著定義1.1中的三種初等變換:讓中的第兩行(列)進行交換,得到:用非零數(shù)乘以的第行(列),得到:把的第行的倍加到第行,或把的第列的倍加到第列,得到:定義1.4[2]矩陣中非零子式的最高階數(shù)稱為的秩,記為.1.2矩陣初等變換的性質性質1.1[2]矩陣的每一種初等變換都是可逆的,即若矩陣經過一次初等行(列)變換變?yōu)榫仃?則矩陣也可以經過一次同種初等行(列)變換變?yōu)榫仃?性質1.2[2]初等矩陣都是可逆的:性質1.3[2][3]設是一個矩陣,對進行一次初等行(列)變換,就是在的左(右)邊乘以相應的階初等矩陣.,;,,性質1.4[2][3]設是任意的三個同型矩陣,矩陣的等價關系滿足:自反性:;對稱性:若,則;傳遞性:若,,則.

第2章矩陣初等變換的基礎應用以下所討論的矩陣和向量在數(shù)域上.2.1求矩陣的秩定理2.1[3]矩陣的秩不會隨著矩陣初等變換而改變.定理2.2[3]行秩列秩.所有的矩陣,都可以經過可數(shù)次初等行變換化為階梯形矩陣.另外,由于矩陣的秩不會隨著矩陣初等變換而改變,所以為了求出一個矩陣的秩,只需要用初等行變換把它化為階梯形矩陣,這個階梯形矩陣中非零行的總個數(shù)就是原來矩陣的秩.例2.1求矩陣的秩.解具體過程為:由最后一個矩陣知的秩為3.2.2求矩陣的逆矩陣定義2.1[4][5]設是階矩陣,若存在階矩陣,使得(2.1)則矩陣是可逆的,的逆矩陣就是,表示為:.如果不存在滿足(2.1)的矩陣,則稱矩陣是不可逆的.如果階矩陣可逆,則它的逆矩陣是唯一的.定義2.2[5]設為階矩陣,為中元素的代數(shù)余子式,則稱矩陣為的伴隨矩陣,記為.定理2.3[5]階矩陣可逆的充要條件為,如果可逆,則.(2.2)伴隨矩陣法就是用(2.2)式求逆矩陣的方法.因為,故有直到化為,這時就化為了.例2.2已知,判斷矩陣是否可逆,如果可逆,求.解方法1:由于,所以矩陣可逆.用伴隨矩陣法,矩陣各元素的代數(shù)余子式為故方法2:用初等變換法,對進行行初等變換,過程如下:=故用方法1求的逆,由于為階矩陣,先求出它的個代數(shù)余子式,然后寫出再用公式算出的逆.顯而易見,用方法1求矩陣的逆時,當矩陣的階數(shù)越高,要求的代數(shù)余子式就越多,這個求解逆矩陣的過程就越繁瑣,而用方法2時,只需要進行行變換即可.故用矩陣初等變換求逆矩陣更好.2.3判定向量組的線性相關性和求它的極大線性無關組定理2.4[6]設則向量組線性相關的充要條件是向量組線性無關的充要條件是.從上述的定理可以知道:要求出一個向量組的一個極大線性無關組,首先構成矩陣,再對施行初等行變換化為階梯形矩陣.若,則此向量組的極大線性無關組就是此向量組本身;若,則的首非零元所在列對應的原來向量即構成原向量組的一個極大線性無關組.例2.3判斷的線性相關性,并求出它的一個極大線性無關組,其中:解構造矩陣具體過程為:由最后一個矩陣可以看出,故此向量組線性相關,是的一個極大線性無關組.2.4證明向量組等價定義2.3[7]若向量組中的向量均可以由向量組中的向量線性表出,則稱可由線性表出.若也可由線性表出,則稱與等價.上述定理我們用另外一種說法可以敘述為:設如果可由線性表出,且則此兩向量組等價.因此,判斷兩向量組是否等價,只需要對以與為列構成的矩陣進行初等變換,直到最終將化為階梯形矩陣為止,從所得階梯形矩陣分別得到.若,則此兩向量組等價,否則兩向量組不等價.例2.4與是否等價,其中:解以為列構成矩陣,過程如下:從階梯形矩陣可以看出所以,此兩向量組等價.2.5解矩陣方程用矩陣初等變換求解方程(可逆)的步驟為:因為,故,直到當化為時,就化為矩陣,即為所求的解.例2.5求解矩陣方程的解,其中,.解方法1:先求出,構造矩陣故則方法2:用初等變換法從最后一個矩陣可以看出此方程組的解為比較上述兩種方法,可以看出用方法1求解矩陣方程,需要分兩步進行,而用方法2求解時,只需要一步即可,所以用方法2求解矩陣方程較好.2.6化二次型為標準形對任意的二次型一定存在可逆非退化線性替換將其化為標準形,即為對稱矩陣找到一個可逆矩陣,使得為對角矩陣.另外,由于可逆,故存在初等矩陣使得,從而有是一個對角矩陣[8][9].由上面可知化二次型為標準形的初等變換法的過程為:首先,寫出二次型的矩陣,構造矩陣,然后對矩陣每進行一次初等行變換后,對進行一次同樣的初等列變換,當化為時,單位矩陣就化為,最后可得到非退化線性變換,在這個變換下二次型化為標準形.例2.6化二次型為標準形.解由已知得,此二次型的矩陣為,具體過程為:從而非退化線性替換為,則原二次型化為

第3章矩陣初等變換的其它應用以下所討論的矩陣和向量在數(shù)域上.表示維向量空間,為正整數(shù).3.1分塊矩陣初等變換在分塊矩陣問題中的應用本節(jié)介紹了分塊矩陣的初等變換的概念及其在求分塊矩陣的逆,在分塊矩陣的特征多項式問題方面的應用.為更明顯的表達出含義,我們用單位矩陣來表示每種變換,把階單位矩陣作分塊,即.分塊初等矩陣是對作對應的初等變換所得到的矩陣.定義3.1[10][11]對施行下列三種初等變換:分塊對換矩陣:對進行兩行(列)對換,用矩陣表示為;分塊倍法矩陣:的某一行(列)左乘(右乘)一個非奇異矩陣,用矩陣表示為;分塊消法矩陣:的某一行(列)乘以非零陣加到的另一行(列)上,用矩陣表示為和初等矩陣與初等變換的關系一樣,用分塊初等矩陣左(右)乘任意一個可以使得乘法能夠進行的分塊矩陣,這即為對這個分塊矩陣進行相應的分塊初等變換.分塊矩陣左(右)乘一個定義3.1(1)中所得的矩陣等同于將該矩陣進行兩行(列)互換,用矩陣表示為:左(右)乘等同于進行對應的行(列)變換,用矩陣表示為:用分塊消法矩陣右乘任意一個矩陣,結果為:顯然,在(3)中,適當?shù)倪x擇,可使.例如,當可逆時,取,則,于是有:對于類似于這樣的矩陣,用以上的初等變換法可以輕易的求出它的行列式,逆矩陣.下面用例題將此方法來更清楚的表達出來.例3.1已知,當可逆時,求.解由于及可得例3.2分別是和矩陣,證明證因為所以又因為所以由以上兩式得性質3.1[11][12](1)(2)(3)下面給出證明:(1)(2)(3)定理3.1[13]設階方陣是非奇異陣的充分必要條件是:矩陣可以經過初等變換化為矩陣,且變換的次數(shù)是可數(shù)的,表示.其中,,證因為非奇異,所以為分塊初等矩陣,則與有相同的分塊,于是(3.1)同時(3.2)因為分塊初等矩陣的逆還是分塊初等矩陣,比較(3.1)和(3.2)可知初等行變換把化為時,對也進行這種變換,就可以得到.于是此定理得證.例3.3設階方陣,且均是非奇異陣,其中,求.解所以推論3.1(1)(2)例3.4設階方陣且均是非奇異陣,其中,求解所以推論3.2(1)(2)例3.5設分別為陣與陣,且是階非奇異矩陣,證明是非奇異矩陣,并求出它的逆.證考慮階矩陣,由定理3.1得:由于是階非奇異矩陣,所以故由此可知是非奇異矩陣,且.推論3.3[14]當為階矩陣且非奇異,則也非奇異,且例3.6設分別為陣與陣,則證構造矩陣和則有:又所以由以上的計算過程可以得出:3.2矩陣初等變換在線性空間問題中的應用3.2.1求向量空間中向量在一組基下的坐標定義3.2[15][16]若的一組基為.設是中的任意一個向量,于是可由基唯一地線性表示:我們稱系數(shù)為在基下的坐標,記為例3.7設的一組基底為,,求向量在此基下的坐標.解設,具體過程為:所以向量在基下的坐標就是3.2.2求從一組基到另一組基的過渡矩陣定義3.3[17]設和為的兩組基,以為列構成矩陣以為列構成矩陣且有則稱為從基到基的過渡矩陣,是基到基的過渡矩陣.當時上面求過渡矩陣的過程就是解矩陣方程的過程.例3.8設是的兩組基,其中求由基到基的過渡矩陣.解設此過渡矩陣為,設,具體過程為:所以,從基到基的過渡矩陣為3.2.3求一組向量生成的子空間的基與維數(shù)設由向量組生成的子空間為,則有:的基就是的極大線性無關組.例3.9在中,求由向量生成的子空間的基與維數(shù),其中解設具體過程為:由矩陣可得是向量組的一個極大線性無關組,故的一組基為且3.2.4求兩個子空間的和與交的維數(shù)在中,設要計算空間與空間的維數(shù),先設利用初等行變換求矩陣列向量組的極大線性無關組,從而得到空間的一個基,基的向量個數(shù)即為空間的維數(shù).再由公式可得空間的維數(shù).例3.10在中取求空間的維數(shù)與空間的維數(shù).解顯然,設由矩陣可得,.則由上述公式得:的維數(shù)為,的維數(shù)為.3.3矩陣初等變換在多項式問題中的應用3.3.1求多項式的最大公因式求解高等代數(shù)數(shù)域上兩個或多個多項式的最大公因式時,輾轉相除法是普遍被使用的方法.然而當多項式的次數(shù)偏高時,用這個方法求最大公因式,其計算過程不是很簡單.為了更簡便的求出多項式的最大公因式,我們給出下面的思路[18]:設數(shù)域上的兩個多項式為:其中當時,令當時,令性質3.2[18](1)(2)若則(3)上面給出的性質及二行矩陣可以反映出下面的內容[18]:(1)將此矩陣進行兩行互換后,不改變這兩個多項式的最大公因式.(2)當時,有,故.于是當其中的前面的個數(shù)為,因為與的地位是對稱的,所以可以左右平行移動該矩陣中的任意一行,平移后該矩陣對應的空位用填充,這樣得出的矩陣還是對應著這兩個多項式的最大公因式.另外,當是非零常數(shù)時,有:(3.3)從(3.3)式可知,可以對二行矩陣進行初等行變換求出.過程為:(1)根據(jù)多項式的系數(shù)作出對應的二行矩陣;(2)利用初等行變換把中的端首(左端或右端)的元素化為0.(下面規(guī)定:和分別表示第行乘以數(shù)和第行的倍加到第行的初等變換).(3)為了去掉中端首(左端或右端)為0元素,向左(或向右)平移這一行即可,這樣說明的次數(shù)在減小.(“”是表示去掉端首為0的操作).重復進行(1),(2)和(3),當中的兩行元素對應成比例時結束.為了更加清楚的表示出這個求解過程,下面給出兩個例題:例3.11設,求解方法1:用輾轉相除法 用等式寫出來就是:因此方法2:用初等變換法故通過觀察以上兩種方法的解題步驟,可以知道方法2更適合求多項式的最大公因式.例3.12求多項式的最大公因式,其中,,解作三行矩陣并進行初等變換:所以3.3.2矩陣的初等變換與商和余式設構造階矩陣使其滿足[19]:矩陣的前列由向量組成,是第個元素,其中為的次項的系數(shù).(1)矩陣的第列到第列構成分塊矩陣(2)矩陣的最后一列為其中為的次項的系數(shù),即對進行初等行變換,化成的形式.設矩陣的最后一列為:則用去除得商和余式:,例3.13求用去除所得的商及余式其中:解根據(jù)以上所給的解題思路,過程為:從而有經過以上的討論我們可以看出,利用矩陣初等變換方法求解商和余式時計算比較簡單,而應用行列式的輾轉相除法進行計算的時候相對來說比較復雜.

結論本文第一章是介紹矩陣初等變換的基本概念和一些重要的性質,然后用了兩章的內容總結了它在高等代數(shù)問題中的應用.第二章講述了它在求逆矩陣,求矩陣的秩,求向量組的極大無關組,證明向量組等價,判斷向量組的線性相關性,解矩陣方程和化二次型為標準形問題中的應用,具體內容是先寫出矩陣初等變換是如何解決這些問題的理論知識,然后再給出例題,這樣可以讓理論知識在實際例題的解題過程中更加明了的表現(xiàn)出來,更進一步的體會到理論知識的內涵.第三章是本文的主要內容,不僅講述了矩陣初等變換在分塊矩陣問題上的應用,而且講述了它在非矩陣問題線性空間問題和多項式問題上的應用.本文著重講述了矩陣初等變換在這些知識點上是如何使用的,可以從例題中簡單明了的看出來.另外,通過矩陣初等變換方法在求矩陣的逆,解矩陣方程,求解多項式的最大公因式與用其它方法求矩陣的逆,解矩陣方程,求解多項式的最大公因式進行比較,可以明顯的看出用矩陣初等變換方法解這些問題更加簡便.總之,矩陣初等變換法在這些問題中的作用是將復雜的問題簡單化,使得計算過程不繁雜冗長.

致謝畢業(yè)論文的完成意味著大學生活即將結束.在寫論文的這段時間,讓我學到了很多知識,這些知識在大學四年的課本中是學習不到的.本論文的完成不是由我個人獨自完成的,在寫論文的過程中,我遇到了很多問題,比如格式問題和內容問題,這些問題都在我的畢業(yè)論文指導老師楊樺老師的耐心教導下得到解決.雖然楊老師的教學工作任務比較繁重,但她每個星期都會擠出時間來審閱和修改我的論文,老師負責任的工作態(tài)度令我感到欽佩.我的論文中的有些內容表達的不是很完善,老師就會給我指點迷津,有些該注意的小細節(jié),被我給忽略了,老師就會提醒我進行修改,老師細心和精益求精的態(tài)度感染了我,以后我在工作中,也要秉持著和楊老師一樣的工作態(tài)度.在此,我對楊老師表示深深的謝意.老師,是你給予了我很好的指導,讓我按時完成了畢業(yè)論文的寫作.我要感謝所有教過我的老師,是他們辛勤的向我傳授知識,讓我掌握了很多專業(yè)知識,這給我寫這篇論文提供了很大的幫助.學習時學習環(huán)境也是有一定影響的,系里的自習室頗多,機房也會開放,這讓我的課余時間過得很充實,所以在這我要感謝學院的領導們.家人的支持,朋友的鼓