2023屆高三新高考數(shù)學(xué)試題一輪復(fù)習(xí)專題8.1復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算 教案講義 （Word解析版）

第Page\*MergeFormat12頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat12頁(yè)8.1復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.

2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.

3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

4.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.新高考3年考題題號(hào)考點(diǎn)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2022(Ⅰ)卷2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

共軛復(fù)數(shù)2022(Ⅱ)卷2復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算2021(Ⅰ)卷2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

共軛復(fù)數(shù)2021(Ⅱ)卷1復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算2020(Ⅰ)卷2復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算2020(Ⅱ)卷2復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念名稱含義復(fù)數(shù)的定義形如a＋bi(a,b∈復(fù)數(shù)的分類=1\*GB3①若b=0，則a＋bi為實(shí)數(shù)；=2\*GB3②若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；=3\*GB3③若a=0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．復(fù)數(shù)相等a復(fù)數(shù)間的關(guān)系復(fù)數(shù)不能比較大小，若復(fù)數(shù)z1>z2復(fù)數(shù)的模設(shè)OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=a+bi，則向量OZ的長(zhǎng)度叫作復(fù)數(shù)即z復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)zz1=a+bi與z2=c+di共軛2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面:建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫作復(fù)平面,x軸叫作實(shí)軸,y軸叫作虛軸.如圖所示：(2)復(fù)數(shù)概念的幾何意義復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的.如圖所示：(2)復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義若復(fù)數(shù)z1=a+bi,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OZ1,則復(fù)數(shù)z1+z2是以O(shè)Z復(fù)數(shù)z1-z2(3)從幾何意義理解復(fù)數(shù)的模若復(fù)數(shù)z1=a+bi,則z=a2+b2表示點(diǎn)Za,b到原點(diǎn)的距離，3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)z1運(yùn)算法則運(yùn)算公式復(fù)數(shù)的運(yùn)算律加法z加法交換律:z加法結(jié)合律:z減法z乘法z乘法交換律:z乘法結(jié)合律:z乘法分配律:z除法z1.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系：z?2.i的乘方具有周期性：i3.利用復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di列方程時(shí)，注意a,b,c,d∈R4.解決復(fù)數(shù)模問(wèn)題常用結(jié)論：z1.【P81T7】若1-i(i是虛數(shù)單位)是關(guān)于x的方程x2+2px+q=0(p、q∈R)的一個(gè)解，則p+qA.-3 B.-1 C.1 D.32.【P73T6】復(fù)數(shù)z=(1+i)m2+(5-2i)m+(6-15i)；

(1)實(shí)數(shù)m取什么數(shù)時(shí)，z是實(shí)數(shù)；考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的基本概念【方法儲(chǔ)備】1.解決復(fù)數(shù)問(wèn)題，要先將復(fù)數(shù)變形為z=a+bi(a，b∈R)2.復(fù)數(shù)z=a＋bi(a【典例精講】例1.(2022·湖北省武漢市期中.多選)下列說(shuō)法正確的是(

)A.若|z|=2，則z?z=4

B.若復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1+z2|=|z1-z【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)模的求法．【靶向訓(xùn)練】練1-1(2021·福建省泉州市模擬)已知a，b∈R，(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位)，則a2+b練1-2(2022·江蘇省揚(yáng)州市模擬)設(shè)z1=2x+1+(x2-3x+2)i，z2=x2-2+(x2+x-6)i(x∈R)，其中i是虛數(shù)單位．

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的運(yùn)算【方法儲(chǔ)備】1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式綜合運(yùn)算問(wèn)題的解題策略2.復(fù)數(shù)相等：實(shí)部、虛部分別對(duì)應(yīng)相等,列方程組求參數(shù).3.常用結(jié)論①1±i2=±2i；②1+i1-i=i；③1-i1+i=-i；④a+bii4.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程(1)在只含有z的方程中,z類似于代數(shù)方程中的x,可直接求解.(2)在含有z,z,|z|中至少兩個(gè)的復(fù)數(shù)方程中,可設(shè)z=a＋bi(角度1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算【典例精講】

例2.(2021·全國(guó)理科乙卷)設(shè)2(z+z-)+3(z-A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，利用待定系數(shù)法建立方程是解決本題的關(guān)鍵．

利用待定系數(shù)法設(shè)出z=a+bi，a，b是實(shí)數(shù)，根據(jù)條件建立方程進(jìn)行求解即可．【靶向訓(xùn)練】練2-1(2022·遼寧省聯(lián)考)復(fù)數(shù)(1-i)A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i練2-2(2022·湖北省孝感市模擬.多選)已知集合M=mm=in,n∈N，其中A.(1-i)(1+i) B.1-i1+i C.1+i1-i角度2求復(fù)數(shù)的模【典例精講】

例3.(2021·全國(guó)文科甲卷)若z=1+i，則|iz+3zA.45 B.42 C.2【名師點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的加減以及乘法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．【靶向訓(xùn)練】練2-3(2022·江蘇省南通市聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z=(a-2i)(1+3i)(a∈R)的實(shí)部與虛部的和為12，則|z-5|=(

)A.3 B.4 C.5 D.6練2-4(2022·陜西省模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足2z+z-3A.1 B.2 C.2 D.5角度3復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程【典例精講】例4.(2022·湖北省八市聯(lián)考)2022年1月，中科大潘建偉團(tuán)隊(duì)和南科大范靖云團(tuán)隊(duì)發(fā)表學(xué)術(shù)報(bào)告，分別獨(dú)立通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了虛數(shù)i在量子力學(xué)中的必要性，再次說(shuō)明了虛數(shù)i的重要性.對(duì)于方程x3=1A.1+3i2 B.1-3i2【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根與分解因式

．對(duì)于方程x3=1，移項(xiàng)因式分解可得：(x-1)(x2+x+1)=0【靶向訓(xùn)練】練2-5(2022·廣東省茂名市期末)復(fù)數(shù)2+i為一元二次方程x2則復(fù)數(shù)|a+bi|=

．練2-6(2022·天津市模擬)設(shè)x∈C，則方程x+|x|=1+3i的解為

．考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義【方法儲(chǔ)備】復(fù)數(shù)的幾何意義體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用,處理這類問(wèn)題常用方法【特別提醒】(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的對(duì)應(yīng)向量OZ是以原點(diǎn)角度1復(fù)數(shù)概念的幾何意義【典例精講】

例5.(2022·廣東省梅州市聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z滿足(z-1)i=1+i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，求出z的坐標(biāo)得答案．【靶向訓(xùn)練】練3-1(2022·山東省菏澤市月考)復(fù)平面內(nèi)，若z=m2(1+i)-m(4+i)-6i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m練3-2(2022·廣東省六校聯(lián)考)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別是OA，OB，則復(fù)數(shù)z1zA.一B.二C.三D.四角度2復(fù)數(shù)模的幾何意義【典例精講】例6.(2022·廣東省模擬)18世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，|z|=|OZ|，也即復(fù)數(shù)z的模的幾何意義為z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離，在復(fù)數(shù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z0=a+2i1+i(i是虛數(shù)單位，a∈R)是純虛數(shù)，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z0，Z為曲線|z|=1A.12 B.1 C.32 【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的幾何意義架起了復(fù)數(shù)與幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問(wèn)題可以用幾何方法解決，而幾何問(wèn)題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的途徑．【靶向訓(xùn)練】練3-3(2022·江西省宜春市月考)已知i為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是(

)A.i+i2+i3+i4=0

B.3+i>1+i

C.若z=(1+2i)2練3-4(2022·湖南省五市十校聯(lián)考.多選)設(shè)復(fù)數(shù)z1、z2滿足zA.z1=z2

B.|z1|=|z2|

易錯(cuò)點(diǎn)1．混淆虛部定義致誤例7.(2022·福建省福州市期末)已知復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z=4+3i，則z的虛部是

．易錯(cuò)點(diǎn)2．實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的運(yùn)算混淆致誤例8.(2022·山東省模擬)已知復(fù)數(shù)z1=a-4i，z2(1)實(shí)數(shù)a=

；(2)復(fù)數(shù)z1的平方根為

易錯(cuò)點(diǎn)3．復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)用錯(cuò)誤例9.(2022·浙江省舟山市期末.多選)已知復(fù)數(shù)z1=2-1+i

(iA.z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

B.z1的虛部為-1

C.z14=4

D.滿足z易錯(cuò)點(diǎn)4．混淆復(fù)數(shù)的表示與向量表示例10.(2022·湖南省模擬)在復(fù)平面內(nèi)，已知點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i，向量OB(O為復(fù)平面內(nèi)坐標(biāo)原點(diǎn))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1-2i，則向量BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為A.1-i B.-1-i C.-3-3i D.3+3i答案解析【教材改編】1.【解析】∵1-i(i是虛數(shù)單位)是關(guān)于x的方程x2+2px+q=0(p、q∈R)的一個(gè)解，

∴1+i是此方程的另一個(gè)解．

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得1+i+1-i=-2p(1+i)(1-i)=q，解得p=-1q=22.【解析】復(fù)數(shù)z=(1+i)m2+(5-2i)m+(6-15i)=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i．

(1)由m2-2m-15=0，解得m=5或-3．∴m=5或-3時(shí)，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)．

(2)由m2+5m+6=0m2-2m-15≠0，解得m=-2．∴m=-2時(shí)，復(fù)數(shù)z【考點(diǎn)探究】例1.【解析】A.若|z|=2，則z?z=|z|2=4，故A正確；

B.設(shè)z1=a1+b而z1?z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2-b1b2+(a1b2+a2練1-1.

【解析】a，b∈R，(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位)，∴3+4i=a2-b2+2abi，∴3=a2-b2，2ab=4，

解得練1-2.【解析】(1)依題意得2x+1=0x2-3x+2≠0?x=-12(x-1)(x-2)≠0?x=-12x≠1且x≠2?x=-12

所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是x|x=-12；

例2.【解析】設(shè)z=a+bi，a，b是實(shí)數(shù)，則z-=a-bi，

則由2(z+z-)+3(z-z-)=4+6i，得2×2a+3×2bi=4+6i，

得4a+6bi=4+6i，得4a=46b=6，得練2-1.【解析】復(fù)數(shù)(1-i)21+i=練2-2.【解析】根據(jù)題意，M={m|m=in,n∈N}中，

n=4k(k∈N)時(shí)，in=1；

n=4k+1(k∈N)時(shí)，in=i；

n=4k+2k∈N時(shí)，in=-1；

n=4k+3k∈N時(shí)，in=-i，∴M={-1,1,i,-i}．

選項(xiàng)A中，(1-i)(1+i)=2?M；選項(xiàng)B中，1-i例3.【解析】由z=1+i，故iz+3z=i(1+i)+3(1-i)=2-2i，

故選D.練2-3.【解析】因?yàn)閦=(a-2i)(1+3i)=a+3ai-2i+6=(a+6)+(3a-2)i，

所以a+6+3a-2=12，解得a=2，則z-5=8+4i-5=3+4i，所以|z-5|=32+4練2-4.【解析】設(shè)z=a+bi(a,b都為實(shí)數(shù))，則z=a-bi，

因?yàn)?z+z-3z-z=4+6i，所以2(a+bi+a-bi)-3(a+bi-a+bi)=4+6i，

即4a-6bi=4+6i，所以a=1，b=-1，則z=1-i，

故例4.【解析】對(duì)于方程x3=1，移項(xiàng)因式分解可得：(x-1)(x要求虛數(shù)根，解方程x2對(duì)于方程x3=1，移項(xiàng)因式分解可得：(x-1)(x2+x+1)=0，

x=1為實(shí)數(shù)根，要求虛數(shù)根，解方程x2練2-5.【解析】∵2+i為一元二次方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一個(gè)根，

∴2-i為一元二次方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的另一個(gè)根，

∴(2+i)+(2-i)=-a，(2+i)(2-i)=b，∴a=-4，b=4-i2=5練2-6.【解析】x+|x|=1+3i變形為|x|=1+3i-x，

由題意設(shè)x=a+bi，a，b∈R，代入可得a2+b2=1-a+(3-b)i，

由復(fù)數(shù)相等的定義可得a2+b2=1-a

例5.【解析】由(z-1)i=1+i，得z-1=1+ii=(1+i)(-i)-i2=1-i，∴z=2-i，

∴練3-1.【解析】∵z=m2-4m+(m2-m-6)i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，

練3-2.【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義知z1=-2-i，z2=i，則z1z2例6.【解析】Z0=a+2i1+i=(a+2i)(1-i)(1+i)(1-i)=a+2i-ai-2i212+12=a+22+2-a2i，

∵Z0為純虛數(shù)，練3-3.【解析】對(duì)于A，因?yàn)閕+i2+i3+i4=i-1-i+1=0，故A正確；

對(duì)于B，因?yàn)閮蓚€(gè)虛數(shù)不能進(jìn)行大小比較，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)閦=(1+2i)2=1+4i-4=-3+4i，所以z-=-3-4i，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(1,0)和(-1,0)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線，故D正確．

故選：AD．練3-4.【解析】令z1=a+bi(a、b均為實(shí)數(shù))，則z2=-a-bi(a、b均為實(shí)數(shù))，

z1=a-bi，z2=-a-bi，當(dāng)a不為零時(shí)，二者不相等，故A錯(cuò)誤；

|z1|=a2+b2，|z2|=-a2+-b2=a2+b2=z1，故B正確；

若z1(2-i)=3+i，則z1=3+i2-i=3+i2+i2-i2+i=5+5i5=1+i，

所以z2=-1-i，所以z【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】例7.【解析】由(1+2i)z=4+3i，

得z=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=4-8i+3i-6i2例8.【解析】(1)∵