向量積分-ch13-5斯托克斯公式

P

Q

R

i

j

k

y

z

rot

f

f

xxy

zz

)i

x

)

j

y

)

k

(R

Q

(P

R

(Q

P稱rot

f

為f

的旋度。rot:向量函數(shù)

向量值(3)

旋度設(shè)

f

{

P

,Q

,

R

},令運(yùn)算法則：

給定向量場(chǎng)f

(x,y,z)和g(x,y,z),則(1)rot(

f

g)

rot

f

rot

g

,其中

,

是常數(shù)；

(2)

rot(u

f

)

urot

f

u

f

,其中u

u(x,y,z)；例1

求下列向量場(chǎng)的旋度：f

{

xz

,

xy

,

x2

z2

};f

u(x,y,z),其中u

C

2

.解：x2xz

xy

z2(1) rot

f

x

i

j

k

y

z

(0

0)

i

(2

x

x)

j

(

y

0)

k

x

j

y

k(2)

f

u(

x,

y,

z)

{

ux

,

uy

,

uz

}.

i

j

k

y

zux

uy

uz

rot

f

x

uzx

)

j

(uyx

uxy

)

k

(uzy

uyz)

i

(uxz

0注：稱旋度恒為零的向量為無旋場(chǎng).二. Stokes公式Stokes公式:聯(lián)系第二型空間曲線積分與第二型空間曲面積分。Ln設(shè)曲線L

是有向曲面S

的邊界曲線，如果曲線

L的方向和S

的向滿足右手法則，則稱L

是S

的正向邊界曲線。LnSSL定理(

Stokes

)

設(shè)光滑曲面

的邊界

L

是分段光滑的連續(xù)曲線

，若P

,Q

,R為

(連同L

)上的C

1函數(shù),則

P

dx

Q

dy

R

dz()dxdyx

y

)dydz

(

)dzdx

(

R

Q

P

R

Q

Py

z

z

x其中

與L的方向滿足右手法則。注：(1)令f

(x,y,z)

{P

,Q

,R

},則公式可記為

f

d

s

rot

f

d

S

rot

f

n0

dS其中n0

{cos

,

cos

,

cos

}

是曲面

S

的單位

向.L

Stokes公式的實(shí)質(zhì):表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.當(dāng)

是平面閉區(qū)域時(shí)，公式公式特殊情形Lx

y

P

dx

Q

dy

(Q

P

)dxdy

邊界曲線L

的正向是ABCA

,函數(shù)f

(x,y,z

)

xy

i

。求積分例

2

如圖，設(shè)曲面

S

為

x

y

z

1

在第一卦限部分的上側(cè)

，yzOAxBCnI

f

d

s

.L解：由公式可得：

I

f

d

s

rot

f

d

SL

(

x)dxdyxyD的投影為Dxy

：0

x

1，0

y

1

x

.xyD

I

x

dxdy6010

1

1

xxdy

dx方向。

x

y

z

2,且從z

軸正向往z

軸負(fù)向看L，L

的方向是逆時(shí)針

x2

y2

1例3

計(jì)算I

(z

y)dx

(x

z)dy

(x

y)dz，其中L

是曲線LxyzL解：(確定曲面

。)記L

在平面x

y

z

2

上所圍部分的上側(cè)為

。nijkxyzz

yx

zx

yd

S

原積分

{

0

,

0

,

2

}

d

SxzLn

2dxdyy

在xoy

的投影為Dxy

：x

2

y

2

1.

I

2

dxdyDxy

2練習(xí)：計(jì)算I

(2

yz

y2

)dx

(xz

2

xy)dy

2

xydz

，其中L，且從z

軸正向往z

軸負(fù)向看L,x29

x2

y2

y2

5L

是曲線z

L

的方向是逆時(shí)針方向。解：nxyzOLx2

2

z

9

x2

y2z

2

y2

5

x

y2

5記平面z=2上曲線L所圍的部分的上側(cè)為

。

I

(2

yz

y2

)dx

(

xz

2

xy)dy

2

xydzL

d

Sijkxyz2

yz

y2xz

2

xy2

xy

{

x,0,

z}

d

S

xdydz

zdxdy

zdxdy因?yàn)?/p>

在xoy

平面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy

:x

2

y2

5

。Dxy

I

zdxdy

2dxdy

103.

空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定義給定向量場(chǎng)f

(

x,y,

z)

{

P(

x,

y,

z),Q(

x,

y,

z),

R(

x,

y,

z)}

.

如果積分

f

d

S

在區(qū)域

內(nèi)與路徑無關(guān)，則稱向量場(chǎng)Lf

在

內(nèi)是保守場(chǎng)。

如果在區(qū)域

有

rot

f

0

，則稱向量場(chǎng)

f

在

內(nèi)是無旋場(chǎng)。如果在區(qū)域

內(nèi)存在函數(shù)u(x,y,z

),使得在內(nèi)成立

f

u

,

則稱向量場(chǎng)

f

在

內(nèi)是

有勢(shì)場(chǎng),

并稱

u(

x,

y,

z)為向量場(chǎng)f

的勢(shì)函數(shù)。定理

設(shè)為空間單連通區(qū)域，且

P、Q、R為上的C

1函數(shù).則以下四個(gè)結(jié)論等價(jià)：1）對(duì)于內(nèi)的任一分段光滑曲線L,積分

Pdx

Qdy

RdzL與路徑無關(guān)，僅與

L的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)；2）對(duì)于

內(nèi)的任一分段光滑閉曲

線

L

,

有

Pdx

Qdy

Rdz

0LPdx

Qdy

Rdz是內(nèi)某一函數(shù)u(x

,y

,z

)的全微分，即

du

P

d

x

Q

d

y

R

d

z

,

亦即向量場(chǎng)

f

P

i

Q j

R

k

為有勢(shì)場(chǎng)。

在上處處成立

rot

f

0

.注：(1)無旋場(chǎng)

保守場(chǎng)

有勢(shì)場(chǎng)u(

x,

y,

z)

使得

f

u

,(2)

如果f

是有勢(shì)場(chǎng)，即存在函數(shù)則積分AL

AB

f

d

s

f

d

s

u(

x,

y,

z)

|

B其中A、B

分別是L

的起點(diǎn)和終點(diǎn)。并稱u(x,y,z)是Pdx

Qdy

Rdz

的原函數(shù)，且0

0

0(

x

,

y

,z

)(

x

,

y

,z

)P

dx

Q

dy

R

dz

.u(

x,

y,

z)

L例4

驗(yàn)證曲線積分

I

（y

z)dx

(z

x)dy

(

x

y)dz

,解與路徑無關(guān)，并求出被

積表達(dá)式的一個(gè)原函數(shù)

。由于

P

y

z

,

Q

x

z

,

R

x

y所以

rot

f

0,

故積分與路徑無關(guān)。(

0

,0

,0

)(

x

,

y

,z

)（

y

z

)dx

(

z

x

)dy

(

x

y

)dz現(xiàn)在求

(x

,y

,z

)

取折線

OABC

作為路徑。

x

xOA

:

y

0z

00

OAx

0

dx

0oBC(x,

y,

z)A

xyzoA

BC(x,

y,

z)y

z

0AB

:

x

x

(固定）y

AB0xdy

xy

y

y(固定）BC

:

x

x(固定）zBC0

(

x

y)dz

(

x

y)zz所以

(

x

,

y

,

z

)

xy

yz

zx

d(

xy

yz

zx)x所以

(

x

,

y

,

z

)

xy

yz

zx

C法二(湊微分)(

y

z)dx

(z

x)dy

(

x

y)dz

ydx