雙曲線的幾何性質(zhì)教案

第第頁(yè)雙曲線的幾何性質(zhì)教案

雙曲線的幾何性質(zhì)教案1

㈠課時(shí)目標(biāo)

1．熟識(shí)雙曲線的幾何性質(zhì)。

2．能理解離心率的大小對(duì)雙曲線外形的影響。

3．能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)或圖形特征，確定焦點(diǎn)的位置，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

㈡教學(xué)過程

[情景設(shè)置]

表達(dá)橢圓的幾何性質(zhì)，并填寫下表：

方程

性質(zhì)

圖像〔略〕

范圍-a≤*≤a，-b≤y≤b

對(duì)稱性對(duì)稱軸、對(duì)稱中心

頂點(diǎn)〔±a,0〕、〔±b,0〕

離心率e=(幾何意義)

[探究討論]

1．類比橢圓的幾何性質(zhì)，探討雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率。

雙曲線的實(shí)軸、虛軸、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)及離心率的定義。

雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)比如下：

方程

性質(zhì)

圖像〔略〕〔略〕

范圍-a≤*≤a，-b≤y≤b*≥a,或*≤-a,y∈R

對(duì)稱性對(duì)稱軸、對(duì)稱中心對(duì)稱軸、對(duì)稱中心

頂點(diǎn)〔±a,0〕、〔±b,0〕〔-a,0〕、〔a,0〕

離心率0＜e=＜1

e=＞1

下面繼續(xù)討論離心率的幾何意義：

〔a、b、c、e關(guān)系：c2=a2+b2,e=＞1〕

2.漸近線的發(fā)覺與論證

依據(jù)橢圓的上述四性格質(zhì)，能較為精確地把畫出來嗎？〔能〕

依據(jù)上述雙曲線的四性格質(zhì)，能較為精確地把畫出來嗎？〔不能〕

通過列表描點(diǎn)，能把雙曲線的頂點(diǎn)及四周的點(diǎn)，比較精確地畫出來，但雙曲線向何處伸展就不很清晰。

我們能較為精確地畫出曲線y=,這是為什么？〔由于當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與*軸、y軸無限接近〕此時(shí)，*軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。

問：雙曲線有沒有漸近線呢？假設(shè)有，又該是怎樣的直線呢？

引導(dǎo)猜想：在討論雙曲線的范圍時(shí)，由雙曲線的'標(biāo)準(zhǔn)方程可解出：

y=±=±

當(dāng)*無限增大時(shí)，就無限趨近于零，也就是說，這是雙曲線y=±

與直線y=±無限接近。

這使我們猜想直線y=±為雙曲線的漸近線。

直線y=±恰好是過實(shí)軸端點(diǎn)A1、A2，虛軸端點(diǎn)B1、B2，作平行于坐標(biāo)軸的直線*=±a,y=±b所成的矩形的兩條對(duì)角線，那么，如何證明雙曲線上的點(diǎn)沿曲線向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，與漸近線越來越接近呢？顯著，只要考慮第一象限即可。

證法1：如圖，設(shè)M〔*0,y0〕為第一象限內(nèi)雙曲線上的仍一點(diǎn)，那么

y0=，M〔*0,y0〕到漸近線ay-b*=0的距離為：

∣MQ∣==

=．

點(diǎn)M向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)，*0隨著增大，∣MQ∣就漸漸減小，M點(diǎn)就無限接近于y=

故把y=±叫做雙曲線的漸近線。

3．離心率的幾何意義

∵e=，c＞a,∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得===

e越小〔接近于1〕越接近于0，雙曲線開口越小〔扁狹〕

e越大越大，雙曲線開口越大〔開闊〕

4．鞏固練習(xí)

求以下雙曲線的漸近線方程，并畫出雙曲線。

①4*2-y2=4②4*2-y2=-4

已知雙曲線的漸近線方程為*±2y=0，分別求出過以下各點(diǎn)的雙曲線方程

①M(fèi)〔4，〕②M〔4，〕

[知識(shí)應(yīng)用與解題討論]

例1求雙曲線9y2-16*2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。

例2雙曲線型自然通風(fēng)塔的形狀，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程〔精確到1m〕

㈣提煉總結(jié)

1.雙曲線的幾何性質(zhì)及a、b、c、e的關(guān)系。

2.漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，其發(fā)覺證明蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。

3.雙曲線的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì)類似點(diǎn)和不同點(diǎn)。

雙曲線的幾何性質(zhì)教案2

雙曲線的幾何性質(zhì)〔第1課時(shí)〕

㈠課時(shí)目標(biāo)

1．熟識(shí)雙曲線的幾何性質(zhì)。

2．能理解離心率的大小對(duì)雙曲線外形的影響。

3．能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)或圖形特征，確定焦點(diǎn)的位置，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

㈡教學(xué)過程[情景設(shè)置]

表達(dá)橢圓的幾何性質(zhì)，并填寫下表：方程性質(zhì)

圖像〔略〕范圍-a≤*≤a，-b≤y≤b對(duì)稱性對(duì)稱軸、對(duì)稱中心頂點(diǎn)〔±a,0〕、〔±b,0〕離心率e=(幾何意義)

[探究討論]1．類比橢圓的幾何性質(zhì)，探討雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率。雙曲線的實(shí)軸、虛軸、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)及離心率的定義。雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)比如下：方程性質(zhì)

圖像〔略〕〔略〕范圍-a≤*≤a，-b≤y≤b*≥a,或*≤-a,y∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸、對(duì)稱中心對(duì)稱軸、對(duì)稱中心頂點(diǎn)〔±a,0〕、〔±b,0〕〔-a,0〕、〔a,0〕離心率0＜e=＜1e=＞1

下面繼續(xù)討論離心率的幾何意義：〔a、b、c、e關(guān)系：c2=a2+b2,e=＞1〕

2.漸近線的發(fā)覺與論證依據(jù)橢圓的上述四性格質(zhì)，能較為精確地把畫出來嗎？〔能〕依據(jù)上述雙曲線的四性格質(zhì)，能較為精確地把畫出來嗎？〔不能〕通過列表描點(diǎn)，能把雙曲線的頂點(diǎn)及四周的點(diǎn)，比較精確地畫出來，但雙曲線向何處伸展就不很清晰。我們能較為精確地畫出曲線y=,這是為什么？〔由于當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與*軸、y軸無限接近〕此時(shí)，*軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。問：雙曲線有沒有漸近線呢？假設(shè)有，又該是怎樣的直線呢？引導(dǎo)猜想：在討論雙曲線的范圍時(shí)，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可解出：y=±=±當(dāng)*無限增大時(shí)，就無限趨近于零，也就是說，這是雙曲線y=±與直線y=±無限接近。這使我們猜想直線y=±為雙曲線的漸近線。直線y=±恰好是過實(shí)軸端點(diǎn)A1、A2，虛軸端點(diǎn)B1、B2，作平行于坐標(biāo)軸的直線*=±a,y=±b所成的矩形的兩條對(duì)角線，那么，如何證明雙曲線上的點(diǎn)沿曲線向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，與漸近線越來越接近呢？顯著，只要考慮第一象限即可。證法1：如圖，設(shè)M〔*0,y0〕為第一象限內(nèi)雙曲線上的仍一點(diǎn)，那么y0=，M〔*0,y0〕到漸近線ay-b*=0的距離為：∣MQ∣===．點(diǎn)M向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)，*0隨著增大，∣MQ∣就漸漸減小，M點(diǎn)就無限接近于y=故把y=±叫做雙曲線的漸近線。

3．離心率的幾何意義∵e=，c＞a,∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得===e越小〔接近于1〕越接近于0，雙曲線開口越小〔扁狹〕e越大越大，雙曲線開口越大〔開闊〕

4．鞏固練習(xí)求以下雙曲線的漸近線方程，并畫出雙曲線。①4*2-y2=4②4*2-y2=-4已知雙曲線的漸近線方程為*±2y=0，分別求出過以下各點(diǎn)的雙曲線方程①M(fèi)〔4，〕②M〔4，〕[知識(shí)應(yīng)用與解題討論]例1求雙曲線9y2-16*2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。例2雙曲線型自然通風(fēng)塔的形狀，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程〔精確到1m〕

㈣提煉總結(jié)

1.雙曲線的幾何性質(zhì)及a、b、c、e的關(guān)系。

2.漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，其發(fā)覺證明蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。

3.雙曲線的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì)類似點(diǎn)和不同點(diǎn)。

雙曲線的幾何性質(zhì)教案3

一、課前預(yù)習(xí)目標(biāo)

理解并掌控雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)出這些性質(zhì)，并能詳細(xì)估量雙曲線的外形特征。

二、預(yù)習(xí)內(nèi)容

1、雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用。

類比橢圓的幾何性質(zhì)。

2。雙曲線的漸近線方程的導(dǎo)出和論證。

觀測(cè)以原點(diǎn)為中心，2a、2b長(zhǎng)為鄰邊的矩形的兩條對(duì)角線，再論證這兩條對(duì)角線即為雙曲線的漸近線。

三、提出迷惑

同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些迷惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中

課內(nèi)探究

1、橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)異同點(diǎn)分析

2、描述雙曲線的漸進(jìn)線的作用及特征

3、描述雙曲線的離心率的作用及特征

4、例、練習(xí)嘗試訓(xùn)練：

例1。求雙曲線9y2—16*2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。

解：

解：

5、雙曲線的第二定義

1〕、定義〔由同學(xué)歸納給出〕

2〕、說明

〔七〕小結(jié)〔由同學(xué)課后完成〕

將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式列表小結(jié)。