線性代數(shù)：第三章-行列式

第三章行列式

本章要點(diǎn)流程:

首先介紹n階行列式的定義討論n階行列式的性質(zhì)利用定義及性質(zhì)計(jì)算行列式

最后討論行列式在解線性方程組以及在矩陣?yán)碚撝械膽?yīng)用§3.1行列式的概念

考察二階方陣，存在唯一的矩陣使，1.二階行列式即方程組有唯一解.其可逆的充要條件是：第三章行列式§3.1行列式的概念由消元法,上述方程組同解于方程組該方程組存在唯一解的充要條件為：定義：代數(shù)和二階行列式,為二階方陣記為或所確定的第三章行列式§3.1行列式的概念注：二階方陣可逆的充要條件為且例3.1設(shè)矩陣，(1)證明A可逆并求.（2）設(shè)，求矩陣X，使得：．第三章行列式§3.1行列式的概念類似地,對(duì)于三階方陣我們可以證明其可逆的充要條件為定義：此左邊的代數(shù)和為三階方陣A確定的三階行列式,記為2.三階行列式或，第三章行列式§3.1行列式的概念即第三章行列式§3.1行列式的概念（的余子式）（的余子式）（的余子式）例3.2計(jì)算三階行列式解第三章行列式§3.1行列式的概念定義3.1n階方陣所確定的n階行列式代表一個(gè)由A中元素根據(jù)一定的運(yùn)算關(guān)系所得的數(shù).當(dāng)n=1時(shí),當(dāng)n=2時(shí),3.n階行列式第三章行列式§3.1行列式的概念當(dāng)n>2時(shí),稱為的第i行第j列的元素．第三章行列式§3.1行列式的概念稱為的代數(shù)余子式．其中，的余子式．為A中劃去第i行和j列后余下元素構(gòu)成的n-1階行列式也可簡(jiǎn)記為或即注：第三章行列式§3.1行列式的概念注：n階方陣是一張數(shù)表,而n階行列式是一個(gè)數(shù).相關(guān)概念:上(下)三角行列式:主對(duì)角線以下(上)元素都為0的行列式。非奇異矩陣:行列式值不為0的方陣。第三章行列式§3.1行列式的概念主對(duì)角線:奇異矩陣:行列式值為0的方陣。

所在的對(duì)角線。行列式元素例3.3計(jì)算n階下三角行列式解由n行列式定義,按第1行元素展開第三章行列式§3.1行列式的概念第三章行列式§3.1行列式的概念特別地，對(duì)角形行列式注：以上結(jié)論在以后行列式的計(jì)算中可直接使用．例3.4計(jì)算4階行列式解由行列式定義,按第1行元素展開第三章行列式§3.1行列式的概念依第二行展開可以嗎？第四行呢？第二列呢？定理3.1n階行列式＝等于它的任一行(任一列)的每個(gè)元素與它們所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即:；r=1,2,…,n;；s=1,2,…,n.這兩個(gè)式子分別稱為行列式按第r行和第s列的展開式.第三章行列式§3.1行列式的概念行列式的按行（或列）的展開定理：例3.5計(jì)算5階行列式解將原行列式按第2行展開第三章行列式§3.1行列式的概念§3.2行列式的性質(zhì)設(shè)n

階行列式我們把D的行與列互換得到的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT,即第三章行列式§3.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與其轉(zhuǎn)置行列式值相等,注:

性質(zhì)1說明行列式中的行與列的地位是對(duì)稱的,因此,以后出現(xiàn)的對(duì)行成立的性質(zhì),對(duì)列也同樣成立。第三章行列式§3.2行列式的性質(zhì)由例4及性質(zhì)1可得：上三角行列式

即:性質(zhì)2互換行列式的兩行(列)，行列式變號(hào)．

推論1若行列式中有兩行(列)對(duì)應(yīng)元素相同，則行列式的值為零．

推論2

行列式的某一行(列)的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零．

即:對(duì)n階行列式,有:第三章行列式§3.2行列式的性質(zhì)第三章行列式§3.2行列式的性質(zhì)綜合定理3.1和上述推論,我們有：性質(zhì)3注：設(shè)A為n階方陣，k≠0,則|kA||A|第三章行列式§3.2行列式的性質(zhì)例3.7證明：奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣的行列式的值等于零．設(shè)A為3階方陣，，求的值.例3.6=

kn推論1

有一行(列)的元素全為零的行列式的推論2

行列式中如果有兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式等于零．

性質(zhì)4第三章行列式§3.2行列式的性質(zhì)值等于零．性質(zhì)5

第三章行列式§3.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)2，3，5涉及到對(duì)行列式關(guān)于行(列)的三種變換，這三種變換恰與矩陣的三種初等變換相對(duì)應(yīng)，因此我們也將行列式的這三種變換分別記為：行變換：列變換：第三章行列式§3.2行列式的性質(zhì)例3.8

已知，求下列各行列式的值(1)(2)(3)第三章行列式§3.2行列式的性質(zhì)例3.9

設(shè)n+m階分塊方陣

其中A,B分別為n,m階方陣,則:與（2）利用上述結(jié)論計(jì)算行列式

（1）第三章行列式§3.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)6定理3.2第三章行列式§3.2行列式的性質(zhì)其中為階方陣．則:若n階分塊對(duì)角陣均為n階方陣，則

若練習(xí)：設(shè)A，B均為三階方陣，且，，則§3.3行列式的計(jì)算第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算例3.10計(jì)算4階行列式

解－第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算利用上節(jié)的性質(zhì)2，3，5將行列式1.目標(biāo)行列式法:化成上(下)三角行列式來進(jìn)行計(jì)算.

第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算一行列式的計(jì)算方法注:

在化行列式為三角形行列式的過程中，要注意兩點(diǎn)：1.aii不能為零

2.避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù)例3.11

計(jì)算4階行列式解第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算例3.12計(jì)算行列式．解依第四行展開第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算利用上節(jié)的性質(zhì)2，3，5將行列式1.目標(biāo)行列式法:化成上(下)三角行列式來進(jìn)行計(jì)算.

第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算2.降階法：利用展開公式按一行（列）展開計(jì)算（當(dāng)行列式的某行（列）有較多的零時(shí)，一般采用此法）一行列式的計(jì)算方法例3.13計(jì)算行列式

解為了使D中的零元素增多，利用行列式性質(zhì)，得:第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算例3.14

計(jì)算行列式解第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算利用上節(jié)的性質(zhì)2，3，5將行列式1.目標(biāo)行列式法:化成上(下)三角行列式來進(jìn)行計(jì)算.

第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算2.降階法：利用展開公式按一行（列）展開計(jì)算（當(dāng)行列式的某行（列）有較多的零時(shí)，一般采用此法）3.(拆項(xiàng))分裂行列式法：利用性質(zhì)4來簡(jiǎn)化行列式的運(yùn)算.一行列式的計(jì)算方法第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算練習(xí)：證明注：用拆項(xiàng)法時(shí)每次只能拆開一行或一列。例3.15

計(jì)算n階行列式解：依第一列展開第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算因而有：由此推得：故有：再遞推得：第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算利用上節(jié)的性質(zhì)2，3，5將行列式1.目標(biāo)行列式法:化成上(下)三角行列式來進(jìn)行計(jì)算.

第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算2.降階法：利用展開公式按一行（列）展開計(jì)算（當(dāng)行列式的某行（列）有較多的零時(shí)，一般采用此法）3.(拆項(xiàng))分裂行列式法：利用性質(zhì)4來簡(jiǎn)化行列式的運(yùn)算.4.遞推歸納法一行列式的計(jì)算方法例3.16

計(jì)算n階行列式解將行列式按第一列展開等式右端的第一個(gè)行列式與原行列式形式上完全一致,

只是行列式的階數(shù)低了一階，設(shè)其為,則:第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算進(jìn)一步得:第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算例3.17

計(jì)算行列式的值。解：原式第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算n+1階行列式,注：第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算利用上節(jié)的性質(zhì)2，3，5將行列式1.目標(biāo)行列式法:化成上(下)三角行列式來進(jìn)行計(jì)算.

第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算2.降階法：利用展開公式按一行（列）展開計(jì)算（當(dāng)行列式的某行（列）有較多的零時(shí)，一般采用此法）3.(拆項(xiàng))分裂行列式法：利用性質(zhì)4來簡(jiǎn)化行列式的運(yùn)算.5.升階法：4.遞推歸納法在行列式中等值地添加一行一列,將行列式化為階數(shù)更高的行列式后簡(jiǎn)化計(jì)算.一行列式的計(jì)算方法二一些特殊行列式的處理第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算n+1階行列式1.例3.18

計(jì)算n階行列式解第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算2.行列式每行（列）元素之和為常數(shù)第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算練習(xí)：計(jì)算n階行列式第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算3.范德蒙(Vandermonde)行列式.例3.19證明n階范德蒙行列式

第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算其中

為滿足

的所有的乘積．

證我們對(duì)n使用數(shù)學(xué)歸納法.n=2時(shí),因?yàn)樗詎=2時(shí)結(jié)論成立.

假設(shè)原式對(duì)n-1階范德蒙行列式成立,即下證原式對(duì)n階范德蒙行列式也成立.第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算

Dn中,從第n行開始，由下往上，下一行減去上一行的x1倍第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算按第一列展開第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算從第1列提取公因子

，第2列提取公因子

,…,第n-1列提取公因子

，得:由歸納假設(shè)可得:

第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算所以范德蒙(Vandermonde)行列式第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算

練習(xí)1

計(jì)算行列式練習(xí)2

計(jì)算行列式．第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算2.行列式每行（列）元素之和為常數(shù)方法：把各列（行）都加到第一列（行）上，然后提取公因子，用消元法把該列（行）的（n-1）個(gè)元素消為零，再利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。二一些特殊行列式的處理第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算1.3.范德蒙(Vandermonde)行列式第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算利用上節(jié)的性質(zhì)2，3，5將行列式1.目標(biāo)行列式法:化成上(下)三角行列式來進(jìn)行計(jì)算.

第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算2.降階法：利用展開公式按一行（列）展開計(jì)算（當(dāng)行列式的某行（列）有較多的零時(shí)，一般采用此法）3.(拆項(xiàng))分裂行列式法：利用性質(zhì)4來簡(jiǎn)化行列式的運(yùn)算.5.升階法：4.遞推歸納法在行列式中等值地添加一行一列，將行列式化為階數(shù)更高的行列式計(jì)算.小結(jié)一行列式的計(jì)算方法利用上節(jié)的性質(zhì)2，3，5將行列式1.目標(biāo)行列式法:化成上(下)三角行列式來進(jìn)行計(jì)算.

第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算2.降階法：利用展開公式按一行（列）展開計(jì)算（當(dāng)行列式的某行（列）有較多的零時(shí)，一般采用此法）3.(拆項(xiàng))分裂行列式法：利用性質(zhì)4來簡(jiǎn)化行列式的運(yùn)算.4.遞推歸納法小結(jié)一行列式的計(jì)算方法2.行列式每行（列）元素之和為常數(shù)方法：把各列（行）都加到第一列（行）上，然后提取公因子，用消元法把該列（行）的（n-1）個(gè)元素消為零，再利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。二一些特殊行列式的處理第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算1.3.范德蒙(Vandermonde)行列式第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算結(jié)束語：以上示例表明了計(jì)算行列式最基本的一些做法。但一般來說，n階行列式的計(jì)算技巧性較高，同一題往往也會(huì)有不同的巧妙的解法，這有賴于理解的深入、經(jīng)驗(yàn)的積累以及綜合運(yùn)用已有知識(shí)基礎(chǔ)上的創(chuàng)新。我們應(yīng)該通過大量的練習(xí)進(jìn)行歸納總結(jié)，并在實(shí)際計(jì)算中結(jié)合行列式特點(diǎn)靈活應(yīng)用．第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算例3.20

計(jì)算n階行列式解利用加邊法：

將原行列式加一行一列元素后得到新的n+1階行列式:

第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算顯然這是一個(gè)我們介紹過的范德蒙行列式.則:第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算的余子式，因此原行列式第三章行列式§3.3行列式的計(jì)算而原行列式即D(x)中

的值為D(x)展開式中

的系數(shù)的相反數(shù)，即:

§3.4行列式的應(yīng)用一.方陣可逆的充要條件伴隨矩陣:

設(shè)A是一個(gè)n階方陣,將A中元素aij都換成它的代數(shù)余子式Aij,再轉(zhuǎn)置所得的矩陣A的伴隨矩陣.

第三章行列式§3.4行列式的應(yīng)用定理3.3n階方陣A可逆的充要條件是:且若A可逆,則:第三章行列式§3.4行列式的應(yīng)用注：由定理3.3和定理2.2可知:n階方陣A,B可逆

AB可逆.例3.21

求矩陣

的逆矩陣．

解因?yàn)?/p>

所以A可逆.第三章行列式§3.4行列式的應(yīng)用第三章行列式§3.4行列式的應(yīng)用因此,當(dāng)n較大時(shí),此方法計(jì)算量較大,推薦初等變換的方法.第三章行列式§3.4行列式的應(yīng)用，其中Ai為ni階方陣．則

A可逆的充要條件為:可逆．第三章行列式§3.4行列式的應(yīng)用推論2推論1n階方陣A可逆的充要條件是：存在B使得AB=I或BA=I若n階方陣此時(shí):

例3.22

設(shè)方陣A滿足等式.（1）證明A可逆，并求.（2）證明A＋2I可逆，并求.證明：由得：由推論1可得：A可逆，且(1)(2)證明：由得：由推論1可得：A+2I可逆，且第三章行列式§3.4行列式的應(yīng)用3.設(shè)n階方陣A滿足：證明：A-3I可逆，并求其逆。

計(jì)算行列式的值.1.2.練習(xí)例3.23

設(shè)且滿足,求矩陣B.

第三章行列式§3.4行列式的應(yīng)用解因?yàn)閨A-2I|=-1,所以A-2I可逆，上式兩邊同時(shí)左乘(A-2I)-1得：由得：又|A+2I|=27≠0,所以A+2I可逆，且因此二.矩陣秩的刻劃定義3.2

設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，在A中任取k行、k列，位于這些行和列相交處的元素，按它們?cè)瓉淼南鄬?duì)位置組成一個(gè)k階行列式，稱為A的一個(gè)k階子式.

第三章行列式§3.4行列式的應(yīng)用第三章行列式§3.4行列式的應(yīng)用例如:構(gòu)成一個(gè)2階子式：

構(gòu)成一個(gè)3階子式：

(1)請(qǐng)大家考察一下A的所有三階子式的值；(2)求A的秩.定理3.4

設(shè)矩陣

.則

的充要條件是A至少有一個(gè)r階子式不等于零,且A的所有r+1階子式

（如果存在）全為零．即:矩陣的秩等于矩陣非零子式的最高階數(shù)．第三章行列式§3.4行列式的應(yīng)用例如，對(duì)矩陣

得一個(gè)3階子式取1,2,3行和1,2,4列故

,而A的4階子式均為零.三.克萊姆(Cramer)法則GabrielCramer瑞士1704-1752第三章行列式