2007年數(shù)一真題試題+答案

2007年全年碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題： 1～10小題,每小題 4分,共40分,下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙 指定位置上．．．．(1)當(dāng)x 0時(shí),與 x等價(jià)的無窮小量是 ()(A)1ex.1.1x1.(D)1cosx.(B)lnx(C)1x答案：(B).(2)曲線y1ln(1ex)漸近線的條數(shù)為()x(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.答案：(D).(3)如圖,連續(xù)函數(shù)yf(x)在區(qū)間3,2,2,3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區(qū)2,0,0,2上的圖形分別是直徑為xf(t)dt,則下列結(jié)論正確間2的上、下半圓周,設(shè)F(x)0的是()3(A)F(3)F(2).(B)4(C)F(3)3F(2).(D)4答案： (C).

F(3)5F(2).4F(3)5F(2).4設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù),則下列命題錯(cuò)誤的是()．．若limf(x)(A)存在,則x0x(C)若limf(x)存在,則

f(0)0.若limf(x)f(x)(B)存在,則x0xx)f(0)存在.(D)若limf(x)f(存在,則

f(0) 0.f(0) 存在.x0x0xx答案： (D).(5)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,)上具有二階導(dǎo)數(shù),且f(x)0,令unf(n)(n1,2,),則下列結(jié)論正確的是()若(A)u1u2,則un必收斂.(B)若u1u2,則un必發(fā)散.(C)若uu,則u必收斂.(D)若uu,則u必發(fā)散.12n12n答案：(D).1(6)設(shè)曲線 L:f(x,y) 1(f(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ),過第Ⅱ象限內(nèi)的點(diǎn) M和第Ⅳ象限內(nèi)的點(diǎn)N, 為L上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的一段弧,則下列積分小于零 的是()．．．(A) f(x,y)dx. (B) f(x,y)dy.(C)f(x,y)ds.(D)fx(x,y)dxfy(x,y)dy.答案：(B).(7)設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān),則下列向量組線性相關(guān)的是()．．．．(A),,,,1.(B)1.1223312233(C),,22,2321.122,21.123(D)2233答案：(A).211100(8)設(shè)矩陣A121,B010,則A與B()112000(A) 合同,且相似. (B) 合同,但不相似.(C) 不合同,但相似. (D) 既不合同,也不相似.答案： (B).(9)某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊 ,每次射擊命中目標(biāo)的概率為 p(0 p 1),則此人第 4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為 ()(A) 3p(1p)2.(B) 6p(1p)2. (C)3p2(1 p)2. (D) 6p2(1 p)2.答案： (C).(10)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,X與Y不相關(guān),fX(x),fY(y)分別表示X,Y的概率且密度,則在Y y條件下, X的條件概率密度 fXY(xy)為()f(x)(A)fX(x).(B)fY(y).(C)fX(x)fY(y).(D)X.fY(y)答案：(A).二、填空題：11～16小題,每小題4分,共24分,請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.．．．211.(11)3exdxx2答案：e.2(12)設(shè)f(u,v)為二元可微函數(shù),zf(xy,yx),則z.x答案：zfyx)yxyf2(xy,yx)yxlny(x,y11x.(13)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y4y3y2e2x的通解為y.答案：非齊次線性微分方程的通解為yC1ex23x2e2x.Ce(14)設(shè)曲面:xyz1,則(xy)dS.答案：(xy)dSydS14343.33010 0(15)設(shè)距陣 A 0010 ,則A3的秩為.001000答案： r A3 1.(16)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)1,則這兩數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率為.32答案：.三、解答題：17～24小題,共86分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、．．．證明過程或演算步驟 .(本題滿分11分)求函數(shù) f(x,y)x2 2y2x2y2,在區(qū)域D(x,y)x2y24,y0上的最大值和最小值 .答案： 函數(shù)在D上的最大值為 f(0,2)8,最小值為 f(0,0) 0.(本題滿分10分)計(jì)算曲面積分 I xzdydz2zydzdx3xydxdy, 其中 為曲面z 1x2y2(0z1)的上側(cè).4答案： I .3(本題滿分11分)設(shè)函數(shù) f(x),g(x)在 a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值 ,又f(a)＝g(a),f(b)＝g(b),證明：存在 (a,b),使得f''() g''().證明： 設(shè) (x) f(x) g(x),由題設(shè) f(x),g(x)存在相等的最大值 ,設(shè)x1 (a,b), x2 (a,b)使f(x1)maxf(x)g(x2)maxg(x).[a.b][a.b]若x1 x2,即f(x)與g(x)在同一點(diǎn)取得最大值 ,此時(shí),取 x1,有f() g()；若x1 x2,不妨設(shè) x1 x2,則 (x1) f(x1) g(x1) 0, (x2) f(x2) g(x2) 0,且(x)在 a,b上連續(xù),則由零點(diǎn)定理得存在 (a,b),使得 ( ) 0,即f() g()；由題設(shè) f(a)＝g(a),f(b)＝g(b),則 (a) 0 (b),結(jié)合 () 0,且 (x)在 a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo) ,應(yīng)用兩次使用羅爾定理知：存在 1 (a,),2 (,b),使得 (1)＝0,(2) 0.在[1, 2]再由羅爾定理 ,存在 (1,2)，使 () 0.即f() g() .(本題滿分10分)設(shè)冪級(jí)數(shù)an在(,)內(nèi)收斂,其和函數(shù)y(x)滿足y2xy4y0,y(0)0,y(0)1.nxn0(I)證明an22na,n1,2,.1求y(x)的表達(dá)式.答案：(I)證明：對(duì)yaxnn,求一階和二階導(dǎo)數(shù),得ynanxn1,yn(n1)anxn2,n0n1n2代入y2xy4y0,得n(n1)anxn22xnanxn14anxn0.n2n1n0即(n1)(n2)an2xn2nanxn4anxn0.n0n1n04于是2a24a00從而a2(n1)a2a0,n1,2,,n2n1an,n1,2,.n2nyxe2.(本題滿分11分)x1x2x30設(shè)線性方程組x12x2ax30(1)與方程x12x2x3a1(2)有公共解,求a得x14x2a2x30值及所有公共解.1110答案：當(dāng)a1時(shí),(Ab)0100,所以方程組的通解為k(1,0,1)T,k為任意常數(shù),此即為00000000方程組(1)與(2)的公共解.1 1 1 0當(dāng)a20110,此時(shí)方程組有唯一解(0,1,1)T,此即為方程組(1)與時(shí),(Ab)00110000(2)的公共解.(22)(本題滿分11分)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值11,22,32,1(1,1,1)T是A的屬于1的一個(gè)特征向量.記BA54A3其中E為3階單位矩陣.E,驗(yàn)證1是矩陣B的特征向量,并求B的全部特征值與特征向量；求矩陣B.答案：由A11,可得Ak)Ak11,k(I)1Ak1(A11是正整數(shù),則B1(A53A54A3421,11114AE)11E11是矩陣B的屬于特征值2于是1特征向量.所以B的所有的特征向量為：對(duì)應(yīng)于12的全體特征向量為k1,其中k1是非零任意常1數(shù),對(duì)應(yīng)于231的全體特征向量為k22k33,其中k2,k3是不同時(shí)為零的任意常數(shù).5200011(II)BP010P1101.001110(23)(本題滿分 11分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)2xy,0x1,0y1,0,其他,(I)求PX2Y；(II)求ZXY的概率密度fZ(z).答案：111PXdxxxy)dy(x5x2)dx7(I)2Y2(2.0008242zz2,0z1,(II)fZ(z)z24z4,1z2,0,其他.(24)(本題滿分11分)1,0x,2設(shè)總體X的概率密度為f(x;)1,x1,其中參數(shù)(01)未2(1)0,其他知,X1,X2,...Xn是來自總體 X的簡單隨機(jī)樣本 ,X是樣本均值 .(I) 求參數(shù) 的矩估