初中數(shù)學思想方法大全剖析

PAGEPAGE10/13一、宏觀型思想方法數(shù)學思想是數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學能力、數(shù)學意識的橋梁，是靈活應(yīng)用數(shù)學知識、技能的靈魂。（一、轉(zhuǎn)化(化歸)思想解決數(shù)學問題就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程，把問題進行變換，使之化繁為簡、化難為易、化生疏為熟悉，變未知為已知，從而使問題得以解決。不是對原來的問題直接解答，而是想方設(shè)法對它進行變形，直到把它轉(zhuǎn)化成某個（某幾個）就是把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識把“復(fù)雜問題”轉(zhuǎn)化為“簡單問題可運用聯(lián)想類比實現(xiàn)轉(zhuǎn)化、利用“換元”、“添線”、消元法，配方法，進行構(gòu)造變形實現(xiàn)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。一般轉(zhuǎn)化為特殊，有些代數(shù)問題，通過構(gòu)造圖形，化抽象為具g、化綜合為單一；h、化一般為特殊。有加減法的轉(zhuǎn)化，乘除法的轉(zhuǎn)化，乘方與開方的轉(zhuǎn)化，添輔助線，設(shè)輔助元等等都是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體手段。因此，首先要認識到常用的很多數(shù)學方法實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化的方法應(yīng)用：A；B；CDE；F例子：減法轉(zhuǎn)化成加法（減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；除法轉(zhuǎn)化成乘法（除以一個不等于零的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；多項式的先化簡再代入求值；單項式乘單項式可化歸（特殊值法、特殊位置、設(shè)項、幾何中添輔助線等；圖形的變換（似變換；解斜三角形（多邊形）時將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形；（二、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學的研究對象是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系）和空間形式“形，而“數(shù)”和“形”是系進行研究，從而形成問題解決的一種重要數(shù)學思想（以數(shù)解形，以形助數(shù)。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀體現(xiàn)，把數(shù)和形結(jié)合起來，從而把隱蔽的問題明朗化、抽象AB（或不等式C平面直角坐標系中的應(yīng)用；D；E例如：在數(shù)軸上表示數(shù)；用數(shù)軸描述有理數(shù)的有關(guān)概念和運算（相反數(shù)、絕對值等概念，比較代數(shù)的不等式（組、方程和方程組，幾何的幾乎所有內(nèi)容；函數(shù)方面（建立直角坐標系使點；通過對圖形性質(zhì)的研究去解決數(shù)量關(guān)系的問題。數(shù)式與圖像之間的關(guān)系。④線段（角）的和、差、倍、分等問題，充分利用數(shù)來反映形。⑤解三角形，求角度和邊長，引入了三角函數(shù)，這是用代數(shù)方法解決幾何問題。⑥“圓”這一章中，賀的定義，點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等都是化為數(shù)量關(guān)系來處理的。⑦統(tǒng)計初步中統(tǒng)計的第二種方法是繪制統(tǒng)計圖表，用這些圖表的反映數(shù)據(jù)的分情況，發(fā)展趨勢等。實際上就是通過“形”來反映數(shù)據(jù)扮布情況，發(fā)展趨勢等。實際上就是通過“形”來反映數(shù)的特征，這是數(shù)形結(jié)合思想在實際中的直接應(yīng)用。（三、分類討論思想由于題目的約束較弱（條件趨一般）有必要考察全面（所有不同情況，才能把握問題的實質(zhì)，此時應(yīng)當進行適當分類，就每一種情形研究討論結(jié)論的真理性（正確性。在具體的求解過程中，整體問題轉(zhuǎn)化為部分問題后，事實上增加了題設(shè)條件。把一個復(fù)雜的問題分成若干個相對簡單的問題來處理。分為若干類，然后逐類進行討論，再把這幾類的結(jié)論匯總，得出問題的答案，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。分類討論的思想方法的實質(zhì)是把問題“分而治之，各個擊破確定同一分類標準（2）恰當?shù)貙θw對象進行分類，按照標準對分類做到“既不重復(fù)又不遺（3）（4）綜合概括小節(jié)，歸納得出結(jié)論。應(yīng)用：A對問題的題設(shè)條件需分類討論；B對求解過程中不便統(tǒng)一表述的問題進行分類討論；C從圖像中獲取信息進行分類討論；D；E值范圍分不同情況討論。乘方的符號法則；整式分類；研究平方根、立方根時，把數(shù)按正數(shù)、0、負數(shù)分類；按定義或按大小對實數(shù)進行分類；（四、數(shù)學建模思想（表示的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)（如多項式、方程式、不等式、函數(shù)式以及圖形等。的的方法。此法多用于解決一些實際問題或較繁瑣的數(shù)學問題。實際問題數(shù)學模型實際問題數(shù)學模型實際問題的解數(shù)學模型的解地表述出來的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)，把實際應(yīng)用題中的等 量關(guān)系構(gòu)建在方程組的模式，或其他模式。就是找到 一種解決問題的數(shù)學方法。數(shù)學模型是對客觀事物的 空間形式和數(shù)量關(guān)系的一種反映。它可以是方程、函 數(shù)或其他數(shù)學式子，也可以是一個幾何基本圖形。利 用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法就是數(shù)學模型方 法它的基本步驟如下圖所示：模型有：方程模型，函數(shù)模型，幾何模型，三角模型，不等式模型和統(tǒng)計模型等等。應(yīng)用：A（合理、正確地畫出幾何圖形；B（時，先抽象出一次函數(shù)或二次函數(shù)關(guān)系式的數(shù)學模型（即建模，再用函數(shù)的知識來解決這些實際問題。方程思想在解決問題時，通過已知量和未知量的聯(lián)系，建立起方程或方程組，通過解方程或方程組，求出未知量的數(shù)值，從而使問題得以解決，這種通過立方程（組）去溝通已知和未知的聯(lián)系的數(shù)學思想，就稱為方程思想。符號語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（或方程組，再通過解方程（組）使問題獲得解決。求值問題，當未知數(shù)不能直接求出時，一般需設(shè)出未知數(shù)x去求結(jié)果，這是解題中常見的具有導(dǎo)向作用的一種思想。分析問題中的數(shù)量關(guān)系,尋找已知量與未知量之間的相等關(guān)系。通過適當設(shè)元,利用已知條件、公式、定理中的已知結(jié)論來構(gòu)造方程（組）,從而解決問題的一種思維方式。方程思想是把問題中的量劃分為已知量和未知量，并把這些量用字母表示（x表示未知量利用方程的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)使問題得以解決。例如：立方程（組）解應(yīng)用題；利用判別式和韋達定理確定一元二次方程中待定系數(shù)（數(shù)；二次三項式的因式分解；利用韋達定理解形如韋達定理的二元二次方程組；函數(shù)思想想。函數(shù)思想的實質(zhì)是用運動變化對應(yīng)的觀點去研究兩個變量間的相互依賴關(guān)系。（習xy）表示，把量與量的關(guān)系抽象概括為函數(shù)模型，用運動、變化和對應(yīng)的觀點，通過的。應(yīng)用：求最大（?。┲?；解決有關(guān)方程、不等式、圓的問題；解決大量的實際問題；（五、抽象和概括思維方法制的本質(zhì)屬性。本質(zhì)屬性的干擾，難以建立解題思路。答問題提供某種科學依據(jù)或一般原理。抽象和概括是密不可分的。抽象可以僅涉及一個對象，而概括則涉及一類對象。從不同角度考察同一事物會得到不同性質(zhì)的抽象，即不同的屬性。而概括則必須從多個對象的考察中尋找共同相通的性質(zhì)。數(shù)學思維側(cè)重于分析、提練、概括思維則側(cè)重于歸納、綜合。數(shù)學中的每一個概念都是對一類事物的多個對象通過觀察和分析，抽象出每個對象的各種屬性，再通過歸納、概括出各個對象的共同屬性而形成的。在解決數(shù)學問題方面，得出數(shù)學的模型、模式，總結(jié)出解題的規(guī)律和方法，都是通過分析、比較、抽象、歸納等思維環(huán)節(jié)，最后進行理論概括的結(jié)果幾何圖形都是由現(xiàn)實事物去其物理性質(zhì)，而只考慮其形狀、大小、位置抽象出來的，這也是解決現(xiàn)實生活中問題的一個途徑。（六、整體思想把握問題的內(nèi)容和解題的方向和策略。整體思想注重問題的整體結(jié)構(gòu)，將題中的某些元素或組合看成一個整體，從而化繁為簡，化難為易。把問題放到整體結(jié)構(gòu)中去考慮，就可以開拓解題思路，優(yōu)化解題過程。從整體觀點出發(fā)，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題思想方法。化簡：1/（a+2）（a+3）+1/（a+3）（a+4）+/1（a+4）（a+5）1/n（n+1）=1/n-1/（n+1），將原分式分離變形。即原式=1/（a+2）-1/（a+3）+1/（a+3）-1/（a+4）+1/（a+4）-1/（a+5）=1/（a+2）-1/（a+5）=3/（a+2）（a+5）例子:求代數(shù)式的值；乘法公式中的字母可以表示代數(shù)式；●系統(tǒng)化件（定義、標準方程、圖形、性質(zhì)制成圖表，進行比較，并形成系統(tǒng)化的知識。二、邏輯型思想方法（一、演繹推理是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成。例如，凡同邊數(shù)的正多邊形都是相似的。這兩個正多邊形的邊數(shù)是相同的，所以這兩個正多邊形也是相似的。這里有三個判斷，第一個判斷提供了一般的原理原則，叫做三段論的大前提；第二個判斷指出了一個特殊場合的情況，叫做小前提；聯(lián)合這兩個判斷，說明一般原則和特殊情況間的聯(lián)系，因而得出的第三個判斷，叫做結(jié)論。公理化推理的邏輯快樂（二、歸納與猜想在解決數(shù)學問題時，從特殊的、簡單的、局部的例子出發(fā)，通過觀察類比聯(lián)想進而猜想結(jié)果的思想方法。通過對一系列特殊問題的研究，概括出一類問題的一般性規(guī)律的思維方法?！駭?shù)學歸納法的全部對象后歸納得出結(jié)論來。n＝1n0)時成立，這n＝kn＝k＋1何自然數(shù)（或n≥n0n∈N）n＝k＋1最終實現(xiàn)目標完成解題。n數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。（三、比較的思維方法、邏輯思維的規(guī)律，但是卻能獲得研究發(fā)現(xiàn)，是確定解題方法的導(dǎo)火索。相互聯(lián)系中表現(xiàn)出自己的許多屬性。比較是一種判斷性的思維活動，是確定所研究的對象的相同點和差異點的思維方法。應(yīng)用：ABC比較。區(qū)別上明鑒，在聯(lián)系上溝通；類比方法（推出它們在其他方面也可能相似，從而去建立猜想和發(fā)現(xiàn)真理的方法。通過類比可發(fā)現(xiàn)新舊知識的相同點和不同點，利用已有知識來認識新知識和加深理解新知識。通分、約分、運算等；由假分數(shù)化成帶分數(shù)繼而化為整數(shù)部分和分數(shù)部分的和，聯(lián)想到在分子對比方法把兩個幾何圖形的特征加以對比，才能發(fā)現(xiàn)它們的區(qū)別和聯(lián)系才能深刻地理解，才能識別。例如：線段的中點和角平分線的區(qū)別和聯(lián)系；（四、舉反例證明假命題的方法、反駁●反駁闡明真理，反駁的作用則在于揭露謬誤，捍衛(wèi)真理。反駁與證明又是密切聯(lián)系的，如果確定了常用的反駁法有以下三種：⑴構(gòu)造一反例。即舉出一個例子，說明它具備命題的全部條件，但不具有命題的結(jié)論。⑵假定命題成立，推出荒謬結(jié)果，從而證明了該命題是虛假的。例如，證明“零可以作除數(shù)”是錯誤的。2-2=3-32(1-1)=3(1-1)2=3⑶論證與該命題相矛盾的命題是真實的，根據(jù)矛盾律則推出原命題是虛假的是假命題，只需舉出一個反例就可以了。舉反例是證明一個命題是假命題的一般方法?！穹醋C法反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/n/至多有(n1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的(Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律AA應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論→推導(dǎo)出矛盾→結(jié)論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。（五在由幾個簡單的、個別的、特殊的情況去研究、探索、歸納出一般的規(guī)律、性質(zhì)或公式，例子：研究冪的運算規(guī)律；從具體例子，并歸納二次根式的性質(zhì)；運用二次根式的性質(zhì)化簡二次根式；（六、分析法和綜合法立的條件，每一步的目的明確，容易找到證題思路，但表達啰嗦。直截了當、簡單清晰，但有時不容易把握方向，找不準證題思路。所以，研究數(shù)學問題時，一般總是先用分析法去想，在分析的基礎(chǔ)上用綜合法寫出來。例如：立方程解應(yīng)用題；三、操作技巧型思想方法數(shù)學基本方法是做好題、迅速做題、準確做題的關(guān)鍵。1.分解因式法還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。是進行分式運算的關(guān)鍵（通分、約分、去分母時一般都需先分解因式元二次方程組；2.通分3.約分分式運算；4.去分母分式運算；配方法形式。要的恒等變形的方法。配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形（）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預(yù)測，并且合理運用“裂項”與“添項xy線的平移變換等問題。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；3b3a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋2)2＋（1

b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝2[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…結(jié)合其它數(shù)學知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；1 1 1x2x2＝(x＋x2－2＝(x－x2＋2；……等等。應(yīng)用：因式分解；化簡根式；證明等式和不等式；解一元二次方程；一元二次方程求根公式的進而求得拋物線的頂點坐標（或最大、最小值）和對稱軸；求函數(shù)的極值和解析式；推導(dǎo)拋物y=ax2+bx+cxA(x,0)、B(x,0)之間的距離公式（P234；1 2消元法解方程組的基本思想是消元，將多元逐步變?yōu)槎?、一元方程來解決。⑵加減消元法⑶把兩方程相乘或相除；⑷降次法⑴因式分解降次法：解一元二次方程、二元二次方程組；⑵換元法：化，使問題易于解決。解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，2x＝t（t>0），二次不等式求解和指數(shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知x1x識中有某點聯(lián)系進行換元x1x

x＝sin2α，α∈[0,

2]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該x、yx2＋y2＝r2（r>0）時，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。S Sx＋y＝Sx＝2＋t，y＝2－t我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍t>0α∈[0,2]。如：解可化為一元二次方程的分式方程、分式方程組；二次三項式的因式分解；9.待定系數(shù)法某種關(guān)系，從而解答數(shù)學問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。f(x)g(x)的充要條件af(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。① 利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程；② 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；③ 利用定義本身的屬性列方程；④ 利用幾何條件列方程。程。求函數(shù)解析式的重要方法（據(jù)已知自變量和函數(shù)值〈或者點的坐標〉來確定函數(shù)的解析式；10.特殊化方法在探索某問題的過程中，先拋開其一般的情形，而抓住其個別的、局部的特殊情形，并通過對（的研究洞察出一般情形所應(yīng)用：AB求規(guī)律。特殊值法和輔助線的添加11.幾何變換法平移、旋轉(zhuǎn)變換，軸對稱，相似變換（1）（2）（3）12.面積法且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關(guān)系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積法。它是幾何中的一種常用方法。也很容易想到。應(yīng)用：⑴利用面積法求線段的長；⑵利用面積法證線段等式；⑶利用面積法證線段不等式；⑷利用面積法求線段的比割補法、分解組合思想能把在內(nèi)容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具備的條件不完全一樣的數(shù)學問題，通過對問題的分解、拆割，或者合成、拼補等手段，將問題轉(zhuǎn)化為符合公式、定理所要求的形式，并運用公式、定理來加以解決。1、因式分解：x22xyy2a22abb2 ；2CEDB90A45E30,求重疊部分的面積。ABDE6,11/13PAGEPAGE13/13分解圖形法簡化。定義法說，定義是基本概念對數(shù)學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法。公式法比較法比差法；比商法構(gòu)造法在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學方法，我們稱為構(gòu)造法。運用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學知識互相滲透，有利于問題的解決。判別式法與韋達定理ax2+bx+c=0（a、b、cR，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根三角運算中都有非常廣泛的應(yīng)用。韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)等簡單應(yīng)用外，還可以求根的對稱函數(shù)，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。逆向變換的方法例如:公式和法則的逆向運用；參數(shù)法（數(shù)，以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學的任務(wù)就是信息，順利地解答問題。用字母表示數(shù)會用字母表示數(shù)，進行式的運算和討論一些數(shù)學問題。如會列方程解應(yīng)用題，會用換元