數(shù)學(xué)七年級上：《有理數(shù)》知識梳理和考點(diǎn)透析

PAGE13浙教版數(shù)學(xué)七年級上總復(fù)習(xí)之有理數(shù)【知識點(diǎn)梳理】一、有理數(shù)的意義正數(shù)和負(fù)數(shù)知識點(diǎn)1負(fù)數(shù)的引入正數(shù)和負(fù)數(shù)是根據(jù)實(shí)際需要而產(chǎn)生的，隨著社會的發(fā)展，小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)已不能滿足實(shí)際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數(shù)量，怎樣表示它們呢？我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的的量規(guī)定為負(fù)的，這樣就產(chǎn)生了正數(shù)和負(fù)數(shù)。用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習(xí)慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù)。知識點(diǎn)2正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念像3、1.5、、584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)，在小學(xué)學(xué)過的數(shù)，除0以外都是正數(shù)，正數(shù)比0大。像－3、－1.5、、－584等在正數(shù)前面加“－”(讀作負(fù))號的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)比0小。零即不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。注意：（1）為了強(qiáng)調(diào)，正數(shù)前面有時(shí)也可以加上“＋”（讀作正）號，例如：3、1.5、也可以寫作＋3、＋1.5、＋。（2）對于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡單理解為：帶“＋”號的數(shù)是正數(shù)，帶“－”號的數(shù)是負(fù)數(shù)。例如：－a一定是負(fù)數(shù)嗎？答案是不一定。因?yàn)樽帜竌可以表示任意的數(shù)，若a表示的是正數(shù)，則－a是負(fù)數(shù)；若a表示的是0，則－a仍是0；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí)，－a就不是負(fù)數(shù)了（此時(shí)－a是正數(shù)）。知識點(diǎn)3有理數(shù)的有關(guān)概念有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。注：（1）有時(shí)為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù)，這時(shí)的分?jǐn)?shù)包括整數(shù)。但是本講中的分?jǐn)?shù)不包括分母是1的分?jǐn)?shù)。（2）因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以互化，上述小數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來表示，所以我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分?jǐn)?shù)。（3）“0”即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但“0整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，例如：、、0.6、－、－、－0.6等等。知識點(diǎn)4有理數(shù)的分類按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：注通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱為非負(fù)整數(shù)（也叫做自然數(shù)），負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為非正整數(shù)。如果用字母表示數(shù)，則a>0表明a是正數(shù)；a<0表明a是負(fù)數(shù)；a0表明a是非負(fù)數(shù)；a0表明a是非正數(shù)。數(shù)軸數(shù)軸是理解有理數(shù)概念與運(yùn)算的重要工具，數(shù)與表示數(shù)的圖形（如數(shù)軸）相結(jié)合的思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想。正如華羅庚教授詩云：數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)是難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！數(shù)與形的第一次聯(lián)姻——數(shù)軸，使數(shù)與直線上的點(diǎn)之間建立了對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，并由此成為數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。知識點(diǎn)1數(shù)軸的概念規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸數(shù)軸的定義包含三層含義：一，數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；二，數(shù)軸有三要素——原點(diǎn)、正方向、單位長度，三者缺一不可；三，原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據(jù)實(shí)際需要“規(guī)定”的（通常取向右為正方向）。－6－6－5－4－3－2－10123456知識點(diǎn)2數(shù)軸的畫法（1）畫一條直線（一般畫成水平的直線）。（2）在直線上選取一點(diǎn)為原點(diǎn)，并用這點(diǎn)表示零（在原點(diǎn)下面標(biāo)上“0”）。（3）確定正方向（一般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來。（4）選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長度取一點(diǎn)，依次表示為1，2，3……；從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長度取一點(diǎn)，依次表示為－1，－2，－3……注（1）原點(diǎn)的位置、單位長度的大小可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)選取；（2）確定單位長度時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況，有時(shí)也可以每隔兩個(gè)(或更多的)單位長度取一點(diǎn)，從原點(diǎn)向右，依次表示為2，4，6，……；從原點(diǎn)向左，依次表示為－2，－4，－6，……；知識點(diǎn)3數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示。正有理數(shù)可以用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可以用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示。知識點(diǎn)4利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。3、相反數(shù)知識點(diǎn)1相反數(shù)的概念（1）相反數(shù)的幾何定義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁，到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。如下圖，4與－4互為相反數(shù)，與－互為相反數(shù)。（2）相反數(shù)的代數(shù)定義：只有符號不同的兩個(gè)數(shù)（除了符號不同以外完全相同），我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。知識點(diǎn)2相反數(shù)的表示方法一般地，數(shù)a的相反數(shù)是－a。這里a表示任意的一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、或者0。知識點(diǎn)3多重符號的化簡（1）在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“＋”號，仍然與原數(shù)相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。（2）在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“－”號，就成為原數(shù)的相反數(shù)。如－（－3）就是－3的相反數(shù)，因此，－（－3）＝3。4、絕對值知識點(diǎn)1絕對值的概念（1）絕對值的幾何定義：一個(gè)數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，數(shù)a的絕對值記作“”（2）絕對值的代數(shù)定義：一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。即知識點(diǎn)2兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的比較因?yàn)閮蓚€(gè)負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系是：絕對值較大的負(fù)數(shù)一定在絕對值較小的負(fù)數(shù)的左邊，所以，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。比較兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的方法是：一、先分別求出這兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值；二、比較這兩個(gè)絕對值的大?。蝗?、根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷。知識點(diǎn)3有理數(shù)大小的比較法則正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。二、有理數(shù)的運(yùn)算1、有理數(shù)的加法知識點(diǎn)1有理數(shù)的加法把兩個(gè)有理數(shù)合成一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算叫做有理數(shù)的加法。相加的兩個(gè)有理數(shù)有以下幾種情況：（1）兩數(shù)都是正數(shù)；（2）兩數(shù)都是負(fù)數(shù)；（3）兩數(shù)異號，即一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)；（4）一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是0；（5）一個(gè)是負(fù)數(shù)，一個(gè)是0；（6）兩個(gè)都是0。知識點(diǎn)2有理數(shù)加法法則（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0。（3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。知識點(diǎn)3有理數(shù)加法的運(yùn)算定律（1）加法交換律：。（2）加法結(jié)合律：。2、有理數(shù)的減法知識點(diǎn)1有理數(shù)減法的意義有理數(shù)減法的意義與小學(xué)學(xué)過的減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法。減法是加法的逆運(yùn)算。知識點(diǎn)2有理數(shù)減法法則減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即3、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算知識點(diǎn)1有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義對于有理數(shù)的加減混合運(yùn)算中的減法，可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法。這樣一來，就將原來的混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法運(yùn)算。統(tǒng)一成加法以后的式子是幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的和的形式，有時(shí)，我們把這樣的式子叫做代數(shù)和。知識點(diǎn)2有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法一、運(yùn)用減法法則將有理數(shù)混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。二、運(yùn)用加法法則、加法交換律、加法結(jié)合律簡便運(yùn)算。4、有理數(shù)的乘法知識點(diǎn)1有理數(shù)乘法法則兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。知識點(diǎn)2有理數(shù)乘法法則的推廣（1）幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。（2）幾個(gè)數(shù)相乘，只要有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0。知識點(diǎn)3有理數(shù)乘法的運(yùn)算定律（1）乘法交換律：。（2）乘法結(jié)合律：。（3）分配律：。5、有理數(shù)的除法知識點(diǎn)1倒數(shù)的概念乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。由于，所以當(dāng)a是不為0的有理數(shù)時(shí)，a的倒數(shù)是。若a、b互為倒數(shù)，則ab＝1。知識點(diǎn)2有理數(shù)除法法則一、除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即。二、兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。6、有理數(shù)的乘方知識點(diǎn)1有理數(shù)乘方的意義求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫乘方。記作“”。乘方的結(jié)果叫做冪。在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，讀作的n次方，。知識點(diǎn)2乘方運(yùn)算的符號法則正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。知識點(diǎn)3科學(xué)計(jì)數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)記成“”的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位中只有一位的數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。如42000000＝4.2×。7、有理數(shù)的混合運(yùn)算知識點(diǎn)1有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。8、近似數(shù)與有效數(shù)字知識點(diǎn)1研究近似數(shù)的意義在生產(chǎn)實(shí)踐和實(shí)際生活中，不僅存在著大量的準(zhǔn)確數(shù)，同時(shí)也存在著大量的近似數(shù)。近似數(shù)就是與實(shí)際接近的數(shù)。出現(xiàn)近似數(shù)的原因有兩點(diǎn)：一是有時(shí)候不能得到完全準(zhǔn)確的數(shù)，如太陽的半徑大約是696000千米；二是有時(shí)也沒有必要弄得完全準(zhǔn)確，如買10千克大米，有時(shí)可能多一點(diǎn)，有時(shí)也可能少一點(diǎn)。知識點(diǎn)2精確度一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。知識點(diǎn)3有效數(shù)字四舍五入后的近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。方法技巧1：在只含有乘、除法的算式中，可以由“負(fù)”號的個(gè)數(shù)確定結(jié)果的符號?！柏?fù)”號有奇數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果為負(fù)；“負(fù)”號有偶數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果為正。方法技巧2：分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘除混合運(yùn)算，通常把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)。當(dāng)把乘除都化成乘積的形式時(shí)，應(yīng)先確定積和符號。含有多重括號，去括號的一般方法是由內(nèi)向外，即依次去掉小、中、大括號，也可以由外到內(nèi)。在進(jìn)行混合運(yùn)算時(shí)，要注意兩點(diǎn)：一是運(yùn)算順序，二是運(yùn)算符號。方法技巧3：靈活運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，適當(dāng)?shù)靥砑踊蛉ダㄌ柛淖冞\(yùn)算順序?？蛇_(dá)到簡化運(yùn)算的效果。湊整、分組、拆項(xiàng)、相消、分解相約、整體處理等是有理數(shù)運(yùn)算常用的方法與技巧。【考點(diǎn)透析】考點(diǎn)1：有關(guān)有理數(shù)的概念例1（1）如果收入100元記作+100元，那么支出50元記作_________元．（2）今年我市二月份的最低氣溫為－5℃，最高氣溫為13℃，那么這一天的最高氣溫比最低氣溫高Ａ．－18℃；B．18℃；Ｃ．13℃；Ｄ．5℃.（3）下列各數(shù)中，負(fù)數(shù)是（）A.-（-3）；B.-|-3|；C.（-3）2；D.-（-3）3.解析：（1）由題意知，把收入定為正，則支出應(yīng)為負(fù)，即支出50元記作-50元.（2）由題意知，13-（－5）=13+5=18（℃）.故應(yīng)選B.（3）本題主要考查符號運(yùn)算，則-（-3）=3；-|-3|=-3；（-3）2=9；-（-3）3=-（-27）=27.故應(yīng)選B.評注：解此類問題的關(guān)鍵是要弄清有理數(shù)的分類以及各類數(shù)的概念和本質(zhì)特征.不要被其外形所迷惑，尤其注意帶負(fù)號的數(shù)不一定是負(fù)數(shù).考點(diǎn)2：數(shù)軸、相反數(shù)、倒數(shù)例2（1）在所給數(shù)軸上畫出表示數(shù)–3，-1，|-2|的點(diǎn).··(1)01（2004年南通市）··(1)01（2）-的倒數(shù)是（）A.3；B.-3；C.；D.-.（3）若a與4互為相反數(shù)，則a=.······012-2-3-1(2)解析：（1）··根據(jù)所給數(shù)軸的單位長度依次······012-2-3-1(2)········（2）由互為倒數(shù)的概念知，-的倒數(shù)是-3.（3）由相相為反數(shù)的性質(zhì)得，a+4=0，得a=-4.評注：（1）求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，關(guān)鍵要準(zhǔn)確掌握相反數(shù)概念：只有符號不同的兩個(gè)數(shù)稱之為互為相反數(shù).若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0.（2）求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，關(guān)鍵要弄清倒數(shù)的概念：乘積為1的兩個(gè)數(shù)稱之為互為倒數(shù).若a、b互為倒數(shù)，則ab=1.考點(diǎn)3：有關(guān)絕對值的運(yùn)算例3（1）－|－8|的值是.（2）已知|a-1|=5，則a的值是（）6；B.-4；C.6或-4；D.-6或4.（3）已知（x–2）2與|y+3|互為相反數(shù)，則yx=.解析：（1）－|－8|=-8.（2）因?yàn)閨5|=5，|-5|=5，所以a–1=5或a–1=-5.則a=6或a=-4.故應(yīng)選C.（3）由（x–2）2與|y+3|互為相反數(shù)，所以（x–2）2+|y+3|=0.因?yàn)椋▁–2）2≥0，|y+3|≥0，所以x–2=0，y+3=0，即x=2，y=-3.故yx=（-3）2=9.評注：（1）絕對值是指表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.也就是說，|a|是非負(fù)數(shù)，即|a|≥0.（2）絕對值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).（3）若幾個(gè)數(shù)的絕對值的和等于0，則每個(gè)數(shù)都等于0.考點(diǎn)4：有關(guān)有理數(shù)大小的比較例4（1）在1，-1，-2這3個(gè)數(shù)中，任意兩數(shù)之和的最大數(shù)是（）A.1；B.0；C.-1；D.-3.（2）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上表示如圖，下列判斷正確的是（）····0a-1bA.a<0；B.a>1；C.····0a-1b解析：（1）由1+（-1）=0，1+（-2）=-1，-1+（-2）=-3，∴0>-1>-2.故應(yīng)選B.（2）答案A：實(shí)數(shù)a在原點(diǎn)的右邊，即a>0，故答案A錯誤；答案B：在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)a的長度小于數(shù)軸上規(guī)定的一個(gè)單位長度，即a<1，故答案B錯誤；答案C：實(shí)數(shù)b在表示-1的點(diǎn)的左邊，即b<-1，故答案C錯誤；答案D正確.評注：（1）正數(shù)>0>負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.（2）數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的大.考點(diǎn)5：有關(guān)有理數(shù)的運(yùn)算例5（1）計(jì)算2-（-3）的結(jié)果是（）A.-5；B.5；C.1；D.-1.（2）計(jì)算（-4）×（-）的結(jié)果是（）A.8；B.-8；C.-2；D.2.解析：（1）2-（-3）=2+3=5.（2）（-4）×（-）=4×=2.例6（1）計(jì)算：（-100）×（-20）-（-3）=.（2）計(jì)算：-9+5×（-6）-（-4）2÷（-8）.解析：（1）（-100）×（-20）-（-3）=2000+3=2003.（2）-9+5×（-6）-（-4）2÷（-8）=-9+（-30）-16÷（-8）=-9+（-30）-（-2）=-9+（-30）+2=-37.評注：對于有理數(shù)運(yùn)算總結(jié)如下口訣：加法運(yùn)算要熟練，減法運(yùn)算會轉(zhuǎn)換，乘除要把符號判，運(yùn)算順序嚴(yán)把關(guān)，運(yùn)算定律須靈變.考點(diǎn)6：有關(guān)科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)與有效數(shù)字例7（1）41080000用科學(xué)記數(shù)