2022屆遼寧省葫蘆島市高中名校高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析_第1頁(yè)
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2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則=()A. B.C. D.2.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組則的最小值等于()A. B. C. D.3.已知數(shù)列滿(mǎn)足,則()A. B. C. D.4.已知圓錐的高為3,底面半徑為,若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為()A. B. C. D.5.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個(gè)表面中任選個(gè),則選取的個(gè)表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.6.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.7.下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)為()①命題“若,則”的否命題;②命題“若,則或”;③命題“若,則直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的逆命題.A.0 B.1 C.2 D.38.在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)點(diǎn),漸近線(xiàn)方程為的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.9.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則其共軛復(fù)數(shù)()A. B. C. D.10.函數(shù)(,,)的部分圖象如圖所示,則的值分別為()A.2,0 B.2, C.2, D.2,11.若直線(xiàn)與圓相交所得弦長(zhǎng)為,則()A.1 B.2 C. D.312.若數(shù)列為等差數(shù)列,且滿(mǎn)足,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.雙曲線(xiàn)的左右頂點(diǎn)為,以為直徑作圓,為雙曲線(xiàn)右支上不同于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),連接交圓于點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為,若,則_____.14.利用等面積法可以推導(dǎo)出在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值,類(lèi)比上述結(jié)論,利用等體積法進(jìn)行推導(dǎo),在棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和也為定值,則這個(gè)定值是______15.棱長(zhǎng)為的正四面體與正三棱錐的底面重合,若由它們構(gòu)成的多面體的頂點(diǎn)均在一球的球面上,則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為_(kāi)_____.16.記Sk=1k+2k+3k+……+nk,當(dāng)k=1,2,3,……時(shí),觀察下列等式:S1n2n,S2n3n2n,S3n4n3n2,……S5=An6n5n4+Bn2,…可以推測(cè),A﹣B=_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)的參數(shù)方程為(t為參數(shù),).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為.(l)求直線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程:(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)C相交于A,B兩點(diǎn),且.求直線(xiàn)的方程.18.(12分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,公差,、、成等比數(shù)列,數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線(xiàn)所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.20.(12分)在數(shù)列和等比數(shù)列中,,,.(1)求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21.(12分)已知函數(shù)的定義域?yàn)?,且滿(mǎn)足,當(dāng)時(shí),有,且.(1)求不等式的解集;(2)對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】

首先畫(huà)出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求的最小值.【詳解】解:作出實(shí)數(shù),滿(mǎn)足不等式組表示的平面區(qū)域(如圖示:陰影部分)由得,由得,平移,易知過(guò)點(diǎn)時(shí)直線(xiàn)在上截距最小,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫(huà)出可行域,利用幾何意義求值,屬于中檔題.3.C【解析】

利用的前項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,可計(jì)算出,然后利用裂項(xiàng)法可求出的值.【詳解】.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減,可得,故,因?yàn)橐策m合上式,所以.依題意,,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用求,同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法,考查計(jì)算能力,屬于中等題.4.B【解析】

計(jì)算求半徑為,再計(jì)算球體積和圓錐體積,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:設(shè)球半徑為,則,解得.故求體積為:,圓錐的體積:,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐,球體積,圓錐的外接球問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.5.A【解析】

根據(jù)線(xiàn)面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對(duì)數(shù),再求出四個(gè)面中任選2個(gè)的方法數(shù),從而可計(jì)算概率.【詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個(gè)面中任選個(gè)面共有種不同的選法,而選取的個(gè)表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率,解題關(guān)鍵是求出基本事件的個(gè)數(shù).6.B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.7.C【解析】

否命題與逆命題是等價(jià)命題,寫(xiě)出①的逆命題,舉反例排除;原命題與逆否命題是等價(jià)命題,寫(xiě)出②的逆否命題后,利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗(yàn)證正確;寫(xiě)出③的逆命題判,利用兩直線(xiàn)平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若,則”,令,可知該命題為假命題,故否命題也為假命題;②的逆否命題為“若且,則”,該命題為真命題,故②為真命題;③的逆命題為“若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行,則”,該命題為真命題.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路:(1)判斷一個(gè)命題的真假時(shí),首先要弄清命題的結(jié)構(gòu),即它的條件和結(jié)論分別是什么,然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行判斷.(2)當(dāng)一個(gè)命題改寫(xiě)成“若,則”的形式之后,判斷這個(gè)命題真假的方法:①若由“”經(jīng)過(guò)邏輯推理,得出“”,則可判定“若,則”是真命題;②判定“若,則”是假命題,只需舉一反例即可.8.B【解析】

根據(jù)所求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為,可設(shè)所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為k.再把點(diǎn)代入,求得k的值,可得要求的雙曲線(xiàn)的方程.【詳解】∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為設(shè)所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為k.又在雙曲線(xiàn)上,則k=16-2=14,即雙曲線(xiàn)的方程為∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)的方程,雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,以及雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出,然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫(xiě)出即可.【詳解】由,所以其共軛復(fù)數(shù).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念,難度較易.10.D【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象,求出周期,根據(jù)周期公式求出,求出,根據(jù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),求出,即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知:,函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),,則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查的是的圖像的運(yùn)用,在解答此類(lèi)題目時(shí)一定要挖掘圖像中的條件,計(jì)算三角函數(shù)的周期、最值,代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求出結(jié)果11.A【解析】

將圓的方程化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心坐標(biāo)為,半徑為,因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相交所得弦長(zhǎng)為,所以直線(xiàn)過(guò)圓心,得,即.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線(xiàn)中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì),若,則求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【詳解】解:因?yàn)?,由等差?shù)列性質(zhì),若,則得,.為數(shù)列的前項(xiàng)和,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)如果為等差數(shù)列,若,則.(2)要注意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用,如.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系得,交圓于點(diǎn),所以,建立等式,兩式作商即可得解.【詳解】設(shè),交圓于點(diǎn),所以易知:即.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系求解斜率關(guān)系,涉及雙曲線(xiàn)中的部分定值結(jié)論,若能熟記常見(jiàn)二級(jí)結(jié)論,此題可以簡(jiǎn)化計(jì)算.14.【解析】

計(jì)算正四面體的高,并計(jì)算該正四面體的體積,利用等體積法,可得結(jié)果.【詳解】作平面,為的重心如圖則,所以設(shè)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為則故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查類(lèi)比推理的應(yīng)用,還考查等體積法,考驗(yàn)理解能力以及計(jì)算能力,屬基礎(chǔ)題.15.【解析】

由棱長(zhǎng)為的正四面體求出外接球的半徑,進(jìn)而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長(zhǎng),可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,進(jìn)而求出體積與表面積,設(shè)內(nèi)切圓的半徑,由等體積,求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由題意可知:多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于,連接,如圖則,且為外接球的直徑,可得,設(shè)三角形的外接圓的半徑為,則,解得,設(shè)外接球的半徑為,則可得,即,解得,設(shè)正三棱錐的高為,因?yàn)椋?,所以,而,所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,所以,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,,即解得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意借助幾何體的直觀圖進(jìn)行分析.16.【解析】

觀察知各等式右邊各項(xiàng)的系數(shù)和為1,最高次項(xiàng)的系數(shù)為該項(xiàng)次數(shù)的倒數(shù),據(jù)此計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)所給的已知等式得到:各等式右邊各項(xiàng)的系數(shù)和為1,最高次項(xiàng)的系數(shù)為該項(xiàng)次數(shù)的倒數(shù),∴A,A1,解得B,所以A﹣B.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理,意在考查學(xué)生的推理能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)將消去參數(shù)t可得直線(xiàn)的普通方程,利用x=ρcosθ,可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為直角坐標(biāo)方程.(2)利用直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得答案.【詳解】(1)由消去參數(shù)t得(),由得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為:(2)由得,圓心為(1,0),半徑為2,圓心到直線(xiàn)的距離為,∴,即,整理得,∵,∴,,,所以直線(xiàn)l的方程為:.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的互化,考查直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,考查分析能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18.(1),();(2).【解析】

(1)根據(jù)是等差數(shù)列,,、、成等比數(shù)列,列兩個(gè)方程即可求出,從而求得,代入化簡(jiǎn)即可求得;(2)化簡(jiǎn)后求和為裂項(xiàng)相消求和,分組求和即可,注意討論公比是否為1.【詳解】(1)由題意知,,,由得,解得.又,得,解得或(舍).,.又(),().(2),①當(dāng)時(shí),.②當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】此題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,裂項(xiàng)相消求和等知識(shí)點(diǎn),考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想,屬于一般性題目.19.(1)(2)【解析】

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),不等式為.若,則,解得或,結(jié)合得或.若,則,不等式恒成立,結(jié)合得.綜上所述,不等式解集為.(Ⅱ)則的圖象與直線(xiàn)所圍成的四邊形為梯形,令,得,令,得,則梯形上底為,下底為11,高為..化簡(jiǎn)得,解得,結(jié)合,得的取值范圍為.點(diǎn)睛:含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類(lèi)討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.20.(1),(2)【解析】

(1)根據(jù)與可求得,再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用錯(cuò)位相減求和即可.【詳解】解:(1)依題意,,設(shè)數(shù)列的公比為q,由,可知,由,得,又,則,故,又由,得.(2)依題意.,①則,②①-②得,即,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及錯(cuò)位相減求和等.屬于中檔題.21.(1);(2).【解析】

(1)利用定義法求出函數(shù)在上單調(diào)遞增,由和,求出,求出,運(yùn)用單調(diào)性求出不等式的解集;(2)由于恒成立,由(1)得出在上單調(diào)遞增,恒成立,設(shè),利用三角恒等變換化簡(jiǎn),結(jié)合恒成立的條件,構(gòu)造新函數(shù),利用單調(diào)性和最值,求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又因?yàn)楹停?/p>

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