(完整版)不等式解法

解（解（I）得：x>l+>/2,解（II）得：1-V2<X<1.不等式解法補充講義第一課時：分式與高次不等式解法分式不等式的解法：化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)型：方法：移項'通分'右邊化為。'左邊化為需的形式筒<。》嘰<。將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解如:筒>0。筒<。》嘰<。蟲boo卩g(x)[g(X)H0例1解不等式：—<0.x+7解法1：化為兩個不等式組來解:?—3x+7<0。OxW或一7vx<3O-7vx<3.???原不等式的解集是&|-7vxv3}.解法2：化為二次不等式來解：Y—3???-——V0O（X-3）（x+7）<0O—7vxv3,x+7???原不等式的解集是{x|-7<x<3}r—3例2：解不等式^-<0jv+7x—3解：???<0o（兀一3）（/+7）<0且％工一70-7vx53x+7???原不等式的解集是{x|-7<x<3}Y—3例3：解不等式丄—1<1X+1x—3.x—3.-—10八~解：x+7x+1x+7.?.原不等式的解集^x\x>-7}r"—?r—1練習(xí)：1.解不等式一>0x-1x2-2x-l>0x2-2x-l>0解：原不等式等價于(I)彳9x-1>0,0“屮一2+,x-1<0,???原不等式的解集為{XIX>l+V2或1—V2<X<1}.3r-1I2?解不等式一iv<2原不等式的解集為{x|--<x<5}?x+24高次不等式的解法：數(shù)軸標(biāo)根法(零點分段法)或者(穿針引線法)的步驟①將不等式化為(x-x1Xx-x2Xx-x3)---(x-xJ>0(<0)形式,并將各因式x的系數(shù)化“+”；求方程(x—“)(x——xj???(x—心)=0各根，并在數(shù)軸上表示出來(從小根到人根按從左至右方向表示)。由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點若不等式(X的系數(shù)化“+”后)是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“V0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.(方程有重根時，奇數(shù)重根按正常情況穿過，偶數(shù)重根則不穿過，反彈回來后繼續(xù)穿根。即“奇穿偶不穿”。)例解不等式:(x-l)(x+4)(x-3)>0；原不等式的解集為:{x|-4<x<l或x>3}?例2.解不等式：廠冇"解：???x2解：???x2-3x+2x2-2x-350<=>2(x2-3x+2)(x2-2x-3)<0x2-2x-3h0(x-(x-l)(x-2)(x-3)(x+1)<0(x-3)(x+1)H0用根軸法(零點分段法)畫圖如卜?:???原不等式的解集為{x|-l<x<l或2<x<3}?例3：解不等式(x-2)2(x-3)3U+1)<0解析：①檢查各因式中x的符號均正；求得相應(yīng)方程的根為：」，2,3(注意：2是二重根，3是三重根)；在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個根穿一次(自右上方開始)，如下圖:④.??原不等式的解集為(-1,2)U(2,3)練習(xí):(1)(x-3r(.v+2X4-.v)<0解析：由已知，（—3）&+2皿-4）",用數(shù)軸穿根法易得原不等式的解集為：｛x\x<-2.或^4,必=3｝（3）思路導(dǎo)引：解分式不等式的關(guān)鍵是去分母。但本題分母正負(fù)不明，若直接去分母應(yīng)分類討論,較為復(fù)雜，使用移項通分化為標(biāo)準(zhǔn)形式的方法較好。解析：將宀化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得：（一曲+.\+1）>0,3+2x-X"（x一3）（x+1）因為P+x+l>0恒成立，所以，（Y~2J>0o（x-3皿+I）用數(shù)軸穿根法易得原不等式的解集為：｛v|-l<x<2,或r>3｝。不等式解法補充講義第二課時：絕對值不等式解法一、基本解法與思想解含絕對值的不等式的基本思想是等價轉(zhuǎn)化，即采用正確的方法去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式來解，常用的方法有公式法、定義法、平方法。（一）、公式法：即利用\x\>a與岡va的解集求解。當(dāng)d>0時，不等式卜|>的解集是｛x\x>色或iv-a｝,不等式兇va的解集是｛x|-a<x<a\\當(dāng)gvO時，不等式\x\>a的解集是｛x|xe/?｝,不等式\x\<a的解集是0；例1：解關(guān)于x的不等式x2+3x-8<10解：原不等式等價于-10v/+3兀_8<10,即「或:<一$[x2+3x-8<10[-6<x<3???原不等式的解集為（-6-2）U（-1,3）練習(xí)：解關(guān)于x的不等式4v|2x—3|<7。<卄吟心a｛a>0）,（二）、定義法:即利用|?|=Jo（?=o）,去掉絕對值再解。-a（ci<0）.分析：由絕對值的意義知t\a\=aOaMO,問=—aOaWO。Y解:原不等式等價于—<0?x（x+2）<0?-2<x<0ox+2

練習(xí)：方程2練習(xí)：方程2：+2的解集為x+3xTOC\o"1-5"\h\z不等式I—>—^―的解集是；\2-x\2-x{x|-3<x<2gJu>o}：{jv|x><0}(三)、平方法:解|/(x)|>|g(x)|型不等式。例3：解不等式|x-l|>|2x-3|o解:原不等式o(x—1)，>(2x—3)'o(2x—3)2_(x—1)'<04U>(2x-3+x-l)(2x-3-x+l)<00(3x-4)(x-2)<0O—<X<2。說明:求解中以平方后移項再用平方差公式分解因式為宜。練習(xí)：解關(guān)于X的不等式|2x-l|<|x+2|解：原不等式A)化為(2x—1)~v(x+2)""(2x—1)~—(x+2)~<0(四)、分類討論法：即通過合理分類去絕對值后再求解。(四)、分類討論法：即通過合理分類去絕對值后再求解。例4解不等式卜-1|+卜+2|<5。分析：由卜一1|=0,卜+2|=0,得x=l和x=2.-2和1把實數(shù)集合分成三個區(qū)間，即x<-2,-2<x<l,x>l,按這三個區(qū)間可去絕對值，故可按這三個區(qū)間討論。解：當(dāng)x<-2解：當(dāng)x<-2時，得x<-2-(x-l)-(x+2)<5當(dāng)-2WxW1當(dāng)-2WxW1時，得2-2<x<L—(x—l)+(x+2)<5解得：-2<x<l當(dāng)兀>1時，得x>當(dāng)兀>1時，得x>1,(x-l)+(x+2)<5.解得：l<x<2綜上，原不等式的解集為—3<X<2｝O說明：(1)原不等式的解集應(yīng)為各種情況的并集；(2)這種解法又叫“零點分區(qū)間法”，即通過令每一個絕對值為零求得零點，求解應(yīng)注意邊界值。練習(xí)：解關(guān)于x的不等式|2x-l|-x<|x+3|+l[x<—3解：當(dāng)2時,得仁2—+可+1，無解■c1-3<x<-31當(dāng)一3<x<—,得彳一~2，解得：一一—龍>丄12‘解得：x>-2x—1—xvx+3+l2[-(2x-l)-x<x+3+l龍>丄12‘解得：x>-2x—1—xvx+3+l綜上所述，原不等式的解集為(一扌，|)1綜上所述，原不等式的解集為(一扌，|)當(dāng)x>-時，得不等式解法補充講義第三課時：含參數(shù)不等式解法解含參數(shù)的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那么如何討論呢？對含參一元二次不等式常用的分類方法有三種：一、按疋項的系數(shù)d的符號分類，即0>04=0衛(wèi)<0；例1.解不等式0妒-5ax+6a>0(ah0)分析因為ghO，△>(),所以我們只要討論二次項系數(shù)的正負(fù)。解va(x2-5x+6)=a(x-2\x-3)>0.??當(dāng)d〉o時，解集為｛x|x<2或r>3｝：當(dāng)GVO時，解集為｛.r|2<x<3｝練習(xí)：解不等式：Cix2+(^+2)a+1>0分析：本題二次項系數(shù)含有參數(shù)，△=(d+2)‘—4d=/+4>0,故只需對二次項系數(shù)進(jìn)行分類討論。解：VA=(?+2)2-4f/=+4>0解得方程a亍+(a+2b+l=解得方程a亍+(a+2b+l=0兩根“-a-2-yja2+42。-a-2+yja2+42a???當(dāng)d>0時,解集為<x\x>-a-2+/r+4_4-a-2-Ja~+4???當(dāng)d>0時,解集為<x\x>或xv

2a2ci當(dāng)d=0時，不等式為2x+l>0,解集為.,An,*?釘i_ci_2+Ja_+4_ci_2_Jq?+42ci2a二、按判別式△的符號分類，即厶>O,A=O,AvO；例2：解不等式x2+ax+4>0分析本題中由于亍的系數(shù)大于0,故只需考慮△與根的情況。解：???△=/-16???當(dāng)?g(-4,4)即△<()時，解集為R；當(dāng)a=±4即△=()時，解集為LxG/?_aj^-l：I2J當(dāng)“>4或即△>(),此時兩根分別為x嚴(yán)土也匸H,%嚴(yán)土空匚H,顯然X]>x2,不等式的解集為?X-ci+^Ja2一16十y-a-^a2-16x>wU〈22練習(xí):解不等式(m2+l)r2-4x+l>0(7WG/?)解因m2+1>0,△=(—A-4防+1)=4(3-m2)所以當(dāng)m=土羽,即△=()時，解集為｛x|x=*｝；當(dāng)一V3</??<V3,即△>()時，解集為+弧(2_丁3_小_,:nr+1nr+1當(dāng)tn<-V3IS/77>a/3,即△<()時，解集為R。三、按方程。亍+加+。=0的根X],兀的大小來分類，即xk<x2,xt=x2,x1<x2例題3：解不等式x~—(o—)x4-1<0(dH0)a分析：此不等式可以分解為：(x-a)U-丄)<0,故對應(yīng)的方程必有兩解。本題a只需討論兩根的大小即可。解：原不等式可化為：(x-a\x一丄)v0,令°=丄，可得：a=±laa

?'?當(dāng)d<—1或?'?當(dāng)d<—1或0<a<1時,ClCI當(dāng)d=l或G=—1時，。=丄，可得其解集為0；a當(dāng)—0或時,當(dāng)—0或時,a>丄,解集為<x|丄aa<x<a練習(xí)：不等式疋-5ax+6a‘>0,a0分析此不等式△=(—5d)‘—24,=/>0,又不等式可分解為(x-2aXx-3a)>0,故只需比較兩根2d與3d的人小.解原不等式可化為：(x—2d)U—3a)〉0,對應(yīng)方程(x-2a\x-3a)=0的兩根為=2a,x2=3a,當(dāng)gaO時，即2a-<3a,解集為｛x|x〉3a或￥v2a｝