2020屆江蘇省南通市2017級高三適應性考試數學試卷及答案(含附加題)

2020屆江蘇省南通市2017級高三適應性考試數學試卷

數學試卷數學I

注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求本試卷共4頁，包含填空題（共14題）、解答題（共6題），滿分為160分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y束后，請將答題卡交回。答題前，請您務必將自己的姓名、考試證號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在答題卡上。作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚。參考公式：x

ii=1樣本數據x,x，，的方差s2=丄刀（x-X）2x

ii=112nnini=1一、填空題：本大題共14小題,每小題5分,共計70分．請把答案填寫在答.題.卡.相.應.位.置.上.．1．已知集合A={1,31．已知集合A={1,3},B={xIx2-2x<0},則集合AIB=_▲2．3．4．I—1|I已知復數Z（1-i）=4-3i（i為虛數單位），則復數Z的模為▲:While1<6'；I—I+2；現有5位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄S-2/+3:EndWhile；如下：10,11,12,13,14,則康復時間的方差為▲.:PrintS；一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，則最后輸出的S的值第4題）5．5．一張方桌有四個座位,A先坐在如圖所示的座位上,B,C,D三人隨機坐到其他位置上，則A與B相對而坐的概率為▲（第5題）（第6題）6?已知向量abc在正方形網格中的位置如圖所示■若a=Xb+“（兒R）,TOC\o"1-5"\h\z的值為▲■7?將函數f（x）=sinJx+f丿的圖象向右平移申個單位長度，所得函數為偶函數,則9的最小正值是▲-8?已知｛a｝是等比數列，S是其前n項和■若a-4a=12,S=17S，則a的值為nn31422▲.9過雙曲線專-￥=1（b〉0）的右焦點F作漸近線的垂線,垂足為P.若厶POF的面積為后,則該雙曲線的離心率為10．已知直線ax+by-8=0（a,beR）經過點（1,-2）,則2a+丄的最小值是▲■4b11?過年了,小張準備去探望奶奶,到商店買了一盒點心?為了美觀起見,售貨員用彩繩對點心盒做了一個捆扎（如圖（1）所示）,并在角上配了一個花結?彩繩與長方體點心盒均相交于棱的四等分點處■設這種捆扎方法所用繩長為I,一1般的十字捆扎（如圖（2）所示）所用繩長為I?若點心盒的長、寬、高之2

比為2:2:1,則厶的值為▲12(第11題)12.已知函數f(x)=，則不等f(x-2)>f(x2)式的解集是13-已知A(x1,y1)'B(x2,y2)為圓M：x2+y2=4上的兩點，且學+y「1，設P(x,y)為弦AB的中點，則I3x+4y-101的最小值為—0000▲.已知等邊Habc的邊長為1,點D,E,F分別在邊AB,BC,AC上且s=S=1S■若AD=x,CE=y,則2的取值△ADF△DEF3△ABCx范圍為▲.二'解答題：本大題共6小題,共計90分.(本小題滿分14分)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,C,血B一血C=血B一血AsinAsinB+sinC⑴若5ABC面積為,求ab的值；(2)若2c+b=2a,求cosA■3

16．（本小題滿分14分）如圖，已知EA和DC都垂直于平面ABC,AB二AC=BC=AE=2CD,F是BE的中點.⑴若G為AF中點,求證：CG〃平面BDE；（2）求證：AF丄平面BDE.A17．（本小題滿分14分）A如圖，某度假村有一塊邊長為4百米的正方形生態(tài)休閑園ABCD其內有一以正方形中心0為圓心，、2百米為半徑的圓形觀景湖■現規(guī)劃修建一條從邊AB上點P出發(fā)，穿過生態(tài)園且與觀景湖相切的觀賞道PQ（其中Q在邊AD上）.⑵試問如何規(guī)劃設計，可使觀賞道PQ的長I最短?CB（1）設ZAPQ=9，求觀賞道PQ的長I關于9的函數關系式f（⑵試問如何規(guī)劃設計，可使觀賞道PQ的長I最短?CB18．（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：直+21=i（a>b>0）的離心率a2b2為空，點I，2丿在橢圓C上■若直線1與橢圓C有且只有一個公共點P，且1與直22

線x=-2相交于Q■⑵當直線1的斜率為2時'求直線⑵當直線1的斜率為2時'求直線1的方程;求T點坐標．(3)點T是X軸上一點,若總有PT?QT=求T點坐標．19．(本小題滿分16分)TOC\o"1-5"\h\z設數列｛a｝的前n項和為S,且滿足(n-2)S一nS+n=0,ngN*，n三2,a=2?nnnn-12(1)求數列｛a｝的通項公式；n(2)i己b=)1+—+丄,T=丫(b-1)■i'a2a2niii+1i=1求T；n求證：TInT<InT■n+1nn+120?(本小題滿分16分)已知函數f(x)=-ax2+(1-a)x,g(x)=xlnx-1ax2-x■若函數f(X)與g(x)在(0,+Q上均單調遞減，求實數a的取值范圍；當ag(-e,0](其中e為自然對數的底數)時,記函數g(x)的最小值為m.求證：-1<m<-2；2e記h(x)=g'(x)—f(x)—2lnx，若函數h(x)有兩個不同零點,求實數a的取值范圍.

2020屆江蘇省南通市2017級高三適應性考試數學11（附加題）注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求本試卷共2頁，均為非選擇題（第21?23題）。本卷滿分為40分，考試時間為30分鐘?？荚嚱Y束后，請將答題卡交回。答題前，請您務必將自己的姓名、考試證號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在答題卡上，并用2B鉛筆正確填涂考試號。作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位.［選做題】本題包如有作圖需!三/可用請選定其中兩并請并在答題卡相應的答題區(qū)域內作答.若多做，則按作答的前兩題評分■解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A.［選修4-2:矩陣與變換］（本小題滿分10分）已知a已知a，beR，矩陣M=3的特征值“3所對應的一個特征向量為11）求矩陣M；（2）若曲線C:y=9x2—2x在矩陣M對應的變換作用下得到另一曲線C,12求曲線C的方程.2B.［選修4-4：坐標系與參數方程］（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為t為參數）.在以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為p=4cos0，求直線l被曲線截得的弦長.（第（第22題）（第（第22題）C?［選修4-5:不等式選講］（本小題滿分10分）已知x,y,z是正頭數，且x+y+z=5，求證：x2+2y2+z2三10■【必做題】第22、23題,每小題10分,共計20分?請在答．題．卡．指．定．區(qū)．域．內作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟?22?（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0,1）,點B在直線i:y=-1上uuruuuruuur（uuuruur）點T滿足TB〃OA,AB人（AB-2TB）,T點的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點P（0,t）（t>0）的直線交曲線C于點m,N，分別過M,N作直線1的垂線,垂足分別為M，N?11若?MPN90°,求實數t的值；11點M關于y軸的對稱點為Q（與N不重合），求證：直線NQ過一定y+點，并求出這個定點的坐標.fTA,OxB1515.【解】(1)因為(sinB+sinC)(sinB-sinC)=sinA(sinB-sinA),分分23．（本小題滿分10分）已知數列{a}滿足：Ia-aIW丄，ngN*.nn+1nn證明：Ia-aIW,n,kgN*;n+knn證明：2mia-aiw,mGn*?2m2i2i=12020屆江蘇省南通市2017級高三適應性考試數學參考答案一、填空題：本大題共14小題,每小題5分,共計70分.1.{1}1.{1};2.5.1;;369.3、忑；?。?0.13.10-呼；14.5逅；~T；3.2；0；7.5兀；12，32；11.運.T；0丄2U3，〕■4.812.17；±4;-2,1)；二、解答題：本大題共6小題,共計90分.在VABC中，由正弦定理—J=—=-一，3分sinAsinBsin3分得(b+c)(b-c)=a(b-a)，化間得a2+b2-c2=ab,TOC\o"1-5"\h\z在VABC中，由余弦定理得，cosC="+加_—=1,4分2ab2因為Ce(0,n)，所以C=3,又VABC面積為<3,可得丄absinC=-13，所以ab=4-7分2(2)因為2c+b=2a,3在VABC中,由正弦定理=—L=—J,所以2sinC+sinB=2sinAsinAsinBsinC3因為A+因為A+B+C=n所以3sinC+sin(A+C)=2sinA9分14分14分……2由⑴得c=n，所以2sinn+sin(A+n)=2sinA，TOC\o"1-5"\h\z3333化簡得3sinA-空cosA旦，所以sin(A-n)=1.?……11分22263因為0<A<2n，所以-n<A-n<n，3662所以cos(A-6)=\：1-sin2(A-￡)=~~，所以cosA=cos(a-n)+n]=疣巫-1.1所以cosA=cos66」3232616.（本小題滿分14分）證明：⑴取EF中點Q,連結GQ,因為G為AF中點，所以GQ〃AE,且gq=1AE.因為EA和DC都垂直于平面ABC,所以CD〃AE，又AE=2CD,所以GQ〃CD,且gq=cd.所以四邊形CDQG為平行四邊形，所以CG〃DQ,……4分又CGu平面BDE,dqu平面BDE,所以CG〃平面BDE.……6分(2)取AB中點P,連結FP,CP,因為F是BE的中點，所以FP〃AE，且fp=1AE.2因為EA和DC都垂直于平面ABC,所以CD〃AE.又AE=2CD,所以CD〃PF，且CD=PF,所以四邊形CDFP是平行四邊形.所以CP〃DF.……8分因為AC=BC,P為AB中點，所以CP丄AB，所以DF丄AB.因為EA垂直于平面ABC,cpu平面ABC,所以CP丄AE，所以DF丄AE.……10分因為ABIAE=A,AB,AEu平面ABE,所以DF丄平面ABE.因為afu平面ABE,99分99分所以圓心到直線PQ的距離為d=|2sin0+2cos0所以圓心到直線PQ的距離為d=|2sin0+2cos0-1sin0cos0|逅xsin20+cos20化間得2sin0+2cos0-1sin0cos0-P2=0-解得12sin0+2cos0一逅sin0cos02sin0+2cos0-y2nf(0)=,0e5分sin0cos0n5n12127分1214所以DF丄AF.因為AB=AEF是BE的中點，所以AF丄BE.因為BEIDF=F,BE,DFu平面BDE,所以AF丄平面BDE.?…分17．(本小題滿分14分)解：(1)以點A為原點,AB所在直線為X軸建立平面直角坐標系，則0(2,2),P(lcos0,0),Q(0,lsin0),所以直線PQ的方程為y二處丄(x-1cos0),“-1cos0即x-sin0+y-cos0-1sin0cosO=0-3分因為直線PQ與圓0相切，(2)因為f(0)=2sin0+2cos0f2,sin0cos0(sin0cos0)2則f，(0)=(cos0-sin0)(72sin0+77cos0-2(sin0cos0)266分66分11分11分14分因為侯12普'所以后n"22卻所以r2sin0+叮2cos0一2一2sin0cos0<0令廣（0）=0，得0=-,4則0GI!‘4］時,廣（°）＜0，f（0）單調遞減，0G4］時,廣（0）〉0,f（0）單調遞增，所以0=n時，f（0）取得最小值為2邁百米.4答：設計成ZAPQ=4時，可使觀賞道PQ的長I最短.18．（本小題滿分16分）【解】（1）設橢圓的焦距為2c，由題意，得＜丄+丄=1,a22b2C五a2'a2=b2+c2.解得｛；=于所以橢圓的方程為號+y2=!■3分⑵由題意'設直線l的方程為y=2x+m，y=2x+m,聯立方程組丿2得3x2+4mx+4m2一4=0，竽+y2=1聯立方程組丿〔2丿因為直線l與橢圓有且只有一個公共點，所以△=16m2一12（4m2，2i.'6所以直線I的方程為y=2x土號nnnnnn(3)當直線1的斜率不存在時，l與直線x=-2無交點，不符合題意,故直線1的斜率一定存在，設其方程為y二kx+m,y=kx+m,(\得xk2+1x2+4kmx+2m2—2=0-I天+y2=i，因為直線I與橢圓有且只有一個公共點，所以△=16k2m2-8(m2-1)(2k2+1)=0,化簡得：m2=2k2+1,所以2x=-竺,y=kx+m=丄，即P-竺PmPPm因為直線1與直線x=-2相交于Q,所以Q(-2,m-2k),8分10分設T(t，0)，r-j—<>——(2k\2k所以TP-TQ=1(-2-1)+1——=0,(m丿m艮卩+t+1](t+1)=0對任意的k,m恒成立,(m丿所以t+1=0即t=-1,所以點T坐標為(—1,0)?19．(本小題滿分16分)解：(1)因為(n-2)S-nS+n=0,nn-1所以n=2時，S=1,即a=1?11因為n三2時，(n-2)S-nS+n=0,nn-1即2S=na+n?nnn=1時也適合該式.所以n三2時,2S=na+n,14分16分nn+1nn+1所以b=i1所以b=i1(i+1)2i(i+1)+1

i(i+1)1i(i+1)2S=(n—1)a+n—1,TOC\o"1-5"\h\zn-1n-1兩式相減得(n-2)a-(n-1)a+1=0,nn-1貝I](n-1)a-na+1=0,n+1n兩式相減得2(n-1)a-(n-1)a-(n-1)a=0,n22.nn-1n+1所以2a-a-a=0，，三2,nn-1n+1所以a-a=a-a.n+1nnn-1所以數列｛a｝為等差數列.n因為a=1,a=2,所以公差d=1,12所以a=1+(n-1)x1=n.4分n(2)①因為a二n,n'i2(i+1)2+(i+1)2+i2

i2(i+1)26分TOC\o"1-5"\h\z111111111n所以Tn=(1-2)+(2-3)+(3-4)+…+(n-苗)=1-市=荷②要證TInT<InT,只要證ln—J<lnn+1nn+1n+2n+1n+2n+1n+1n+2n+2lnln只要證(n+1)ln2,即證nn只要證(n+1)ln2,即證nn+1n+1n+21110分n+1Xn+1X〉1，令f(x)=xlnxx-1則f(x)=x-1-lnx,(x-1)212分易證x-1-lnx>0,故f'(x)>0在(1,+8)上恒成立.所以f(x)在(1,+J上單調遞增，因為n±l>n±2，所以f（n±l）>f（nil）.nn+1nn+1所以所證不等式立.……16分20．（本小題滿分16分）【解】(1)因為函數f(x)=-ax2+(1-a)x在(0,+a)上單調遞減，-a<0，所以\a1解得a21-吋W0,、—2a因為g(x)=xlnx-2ax2-x在(0,+x)上單調遞減，所以g'(x)=lnx+1-ax-1W0在(0,+a)上恒成立，即lnx-axW0在(0,+8)上恒成立，所以a三止在(0,+8)上恒x立.……2分令t(x)=也藝,則t'(x)=1-lnx,令t'(x)=0,得x=e,xx2當xw(0,e)時，t，(x)>0,t(x)單調遞增；當xe(e,+x)時，t，(x)<0,t(x)單調遞減,

所以t(x)=丄，所以a三丄.maxee圍為故實數a的取值范圍為……4分2)因為g'(x)-lnx一ax,所以g'，(x)=—一a=1-ax2)xx當ae(-e,0]時,-ae[0,e),所以g〃(x)=丄-a=>0恒成立，xx所以g'(x)=lnx-ax在(0,+)上單調遞增.因為g，(1)=-a±0,g，(丄)=-1-a=-e+a<0,eee所以3xe電,1,使得g'(x)=0?，即lnx-ax=0-0e000所以當0<x<x時,g'(x)<0,g(x)單調遞減;0當x<x時,g'(x)>0,g(x)單調遞增0從而m=g(x從而m=g(x)=g(x)=xlnxmin000ax2-x0xlnx-x0TOC\o"1-5"\h\z令9(x)=呼-x,xe如,1],則0(x)=<02e」2所以9(x)=呼-x在C,1]單調遞減，2e_因此9(x)29(1)=-1,9(x)<9(1)=-各-e2e-1Wm-1Wm<-(3)以10分2e'因為f(x)=-ax2+(1-a)x,g(x)=xlnx-所以h(x)=g'(x)-f(x)-2lnx=ax2+(a-1)x+Inx+1-ax-1-2lnx,即h(x)=ax2-x-lnx.所以h(x)=2ax-1-丄=2ax2—x—1,xx當aW0時,h(x)<0在(0,+a)上恒成立,則h(x)在(°,+8)上單調遞減,故h(x)不可能有兩個不同的零點.……12分當a〉0時，h(x)=x2fa-空蟲斗，令F(x)=a-吐業(yè),kx2丿x2則函數h(x)與函數F(x)零點相同.因為F'(x)=x—1+2】nx,令G(x)=x-1+2lnx,x3則G'(x)=1+2〉0在(0,+Q上恒成立，因為G(1)=0，則xx(0,1)1(1+a)F'(x)—0+F(x)遞減極小值遞增所以F(x)的極小值為F(1)=a-1,所以要使F(x)由兩個不同零點,則必須F(1)=a-1<0,所以a的取值范圍為(0,1).14分因為F(1)<0,F(丄)〉0,又F(x)在(0,1)內連續(xù)且單調，e所以F(x)在(0,1)內有唯一零點.0000-竊>占宇=0,且子>1aa又F(x)在(1,+8)內連續(xù)且單調，所以F(x)在(1,+8)內有唯一零點.所以滿足條件的a的取值范圍為(0,1).…16分21．【選做題】A?［選修4-2:矩陣與變換］(本小題滿分10分)解】(1)因為解】(1)因為b的特征值“3所對應的一個特征向量,所以Mj「:九j「,即a1丁:3丁113b11所以矩陣M:2130所以:b:3,解得〔所以矩陣M:2130(2)設曲線C上任一點Q(x,y)在矩陣M的作用下得到曲線C上一點1002P(x，y),解得y0：x-2y-所以j2Xo：yo：X'解得y0：x-2y-因為y=9x2—2x,00(\所以x—2y=g。2-2?2，即曲線C的方程為y2=x.……V332丿10分B.［選修4-4：坐標系與參數方程］(本小題滿分10分)【解】曲線的直角坐標方程為3分即(x-2)2+y2=4,圓心(2,0),半徑r=2,直線l的普通方程為x-*3y—1=0,6分所以圓心(2,0)到直線l的距離d=2,所以直線l被曲線C截得的線段長度L=2"2-d2=2門2—()=石510分C.［選修4-5:不等式選講］(本小題滿分10分)已知x,y,z是正實數，且x+y+z=5,求證：x2+2y2+z2三10.證明：由柯西不等式得12+證明：由柯西不等式得12++12三(x+y+z)26分因為x+y+z=5,所以(x2+2y2+z2)-5仝25,2所以x2+2y2+z2三10,當且僅當a=2b=c時取寺號.10分【必做題】第22、23題,每小題10分,共計20分.請在答．題．卡．指．定．區(qū)．域．內作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22．(本小題滿分10分)解：(1)設T的坐標為(x,y),則B為(x,-1),因為A(0,1)，所以TB=(0,-1-y),AB=(x,-2)uuur(uuuruur)uuur(uuuruur)因為ABA\AB-2TB/,所以AB?AB2TB=0,uuuruuuruur所以AB2-2AB?TB0,所以x2+4-(4+4y)=0,A=16k2+16t>0x+x=4k12x?x-4t12uuuuruuuur①因為?MPN90。,所以PM?PN01111uuuuruuuur因為PM=(x,-1-t),PN=(x,-1-t)1112所以xx+(t+1)2=0，所以-4t+(t+1)2=012解得6分②因為點M關于y軸的對稱點為Q，所以Q(-x,y)(x+x?0)11122222xx12=-txx12=-t4所以直線NQ過定點,定點坐標為x2x2~2~2x+xx+x42121~2~2x+xx+x42121QN所以直線NQ的方程為：y-y=—4(x+x)141TOC\o"1-5"\h\z(x-x)xxxx2x2令x=0得：y=2+i+y=i2-「+十41444(0,-t)……10分(2)法二：設M(2m,m2),N(2n,n2)(m1n)因為M,N,P三點共線，所以k=kMPNP所以竺二=g，化簡得：(mn+t)(m-n)=02