2022年秋高中數(shù)學第四章概率與統(tǒng)計4.2隨機變量4.2.4隨機變量的數(shù)字特征第1課時離散型隨機變量的均值課件新人教B版選擇性必修第二冊

第一課時離散型隨機變量的均值第四章內(nèi)容索引0102基礎落實?必備知識全過關重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學以致用?隨堂檢測全達標課標要求1.理解離散型隨機變量的均值的概念.2.會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出離散型隨機變量的均值.3.掌握離散型隨機變量的均值的性質(zhì)及兩點分布、二項分布和超幾何分布的均值公式.4.能運用離散型隨機變量的均值解決一些簡單的實際問題.基礎落實?必備知識全過關知識點一均值一般地,如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望(簡稱為期望).名師點睛

(1)均值E(X)刻畫的是X取值的“中心位置”,這是隨機變量X的一個重要特征,它刻畫的是隨機變量取值的平均水平.(2)隨機變量的均值與樣本平均值的關系:隨機變量的均值是一個常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本的平均值是一個隨機變量,它隨樣本的抽取的不同而變化.對于簡單隨機抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本平均值越來越接近于總體的均值.隨機變量X的均值反映了離散型隨機變量的平均水平.過關自診1.判斷正誤.(正確的打√,錯誤的打×)(1)離散型隨機變量的均值E(X)是一個隨機數(shù)值.(

)(2)隨機變量的均值相同,則兩個分布列也一定相同.(

)(3)若X服從兩點分布,則E(X)=p.(

)×離散型隨機變量的均值是一個常數(shù),它不具有隨機性.×兩個隨機變量的分布相同,則它們的均值一定相同;反之不一定成立.√若X服從兩點分布,則E(X)=p.知識點二常見的均值1.若離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布,則E(X)=p.2.若離散型隨機變量X服從參數(shù)為n和p的二項分布,即X~B(n,p),則E(X)=np.3.若離散型隨機變量X服從參數(shù)為N,n,M的超幾何分布,即X~H(N,n,M),則

過關自診籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分,罰球不中得0分.某運動員罰球命中的概率為0.7,求他罰球1次的得分X的均值.解X的可能值為0,1.P(X=0)=1-0.7=0.3,P(X=1)=0.7.故X的分布列為所以E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7.X10P0.70.3重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一求離散型隨機變量的均值【例1】某種有獎銷售的飲料,瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”或“謝謝購買”字樣.購買一瓶,若其瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”字樣即中獎,中獎概率為

.甲、乙、丙三位同學每人購買了一瓶該飲料.(1)求甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率;(2)求中獎人數(shù)ξ的分布列及均值E(ξ).所以中獎人數(shù)ξ的分布列為

規(guī)律方法

求離散型隨機變量的均值的步驟(1)確定取值:根據(jù)隨機變量X的意義,寫出X可能取得的全部值;(2)求概率:求X取每個值的概率;(3)寫分布列:寫出X的分布列;(4)求均值:由均值的定義求出E(X).其中準確寫出隨機變量的分布列是求解此類問題的關鍵.所以X的分布列為

探究點二離散型隨機變量均值的性質(zhì)【例2】已知隨機變量X的分布列為

若Y=-2X,則E(Y)=

.

規(guī)律方法

與離散型隨機變量均值的性質(zhì)有關問題的解題思路若給出的隨機變量ξ與X的關系為ξ=aX+b(a≠0),a,b為常數(shù).一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,由X的取值計算ξ的取值,求出對應的概率,再由定義法求得E(ξ).變式探究

本例條件不變,若Y=2X-3,求E(Y).探究點三均值的實際應用【例3】某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元.η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.(1)求事件A“購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(2)求η的分布列及均值E(η).ξ12345P0.40.20.20.10.1解

(1)由A表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”知,

表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”.P()=(1-0.4)3=0.216,P(A)=1-P()=1-0.216=0.784.(2)η的可能取值為200元,250元,300元.P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2.因此η的分布列為E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240.η200250300P0.40.40.2規(guī)律方法

1.實際問題中的均值問題均值在實際中有著廣泛的應用,如體育比賽的安排和成績預測、消費預測、工程方案的預測、產(chǎn)品合格率的預測、投資收益等,都可以通過隨機變量的均值來進行估計.2.概率模型的解答步驟(1)審題,確定實際問題是哪一種概率模型,可能用到的事件類型,所用的公式有哪些.(2)確定隨機變量的分布列,計算隨機變量的均值.(3)對照實際意義,回答概率、均值等所表示的結論.變式訓練2已知X的分布列為且Y=aX+3,E(Y)=,則a為(

)

A.1 B.2C.3

D.4答案

B

素養(yǎng)培優(yōu)【典例】某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲、乙兩種大樹各2棵.設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為

和,且各棵大樹是否成活互不影響.求移栽的4棵大樹中:(1)兩種大樹各成活1棵的概率;(2)成活的棵數(shù)ξ的分布列與數(shù)學期望.解

設Ak表示甲種大樹成活k棵,k=0,1,2,Bk表示乙種大樹成活k棵,k=0,1,2,則Ak,Bk(k=0,1,2)相互獨立,由n次獨立重復試驗中事件發(fā)生的概率公式,得規(guī)律方法

解決此類問題,首先應依據(jù)二項分布、兩點分布及超幾何分布的特點,判斷隨機變量屬于哪一種分布,再寫出隨機變量的分布列,然后利用數(shù)學期望公式求解.學以致用?隨堂檢測全達標1.已知隨機變量X的分布列如下表,隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=1,則x的值為(

)A.0.3 B.0.24 C.0.4 D.0.2答案

DX012P0.4xy2.某射手對靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的剩余子彈數(shù)目X的數(shù)學期望為(

)A.2.44 B.3.376C.2.376 D.2.4答案

C解析

X的可能取值為3,2,1,0,P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.4×0.6=0.24;P(X=1)=0.42×0.6=0.096;P(X=0)=0.43=0.064.所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.3.已知X的分布列為設Y=2X+1,則