2020屆中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)新突破提分專練(07) 以圓為背景的綜合計(jì)算與證明

提分專練(七)以圓為背景的綜合計(jì)算與證明|類型1|圓與平行四邊形結(jié)合的問題1?如圖T7-1AB是OO的直徑，點(diǎn)C,D為半圓O的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE丄AD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:CE為OO的切線.判斷四邊形AOCD是否為菱形?并說(shuō)明理由.圖T7-1[2019?長(zhǎng)春]如圖T7-2，四邊形ABCD是正方形，以邊AB為直徑作OO,點(diǎn)E在BC邊上，連接AE交OO于點(diǎn)F,連接BF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G.(1)求證:△ABE^^BCG.⑵若ZAEB=55°，OA=3,求舒的長(zhǎng)?(結(jié)果保留n)圖T7-2[2018?河南]如圖T7-3AB是OO的直徑QO丄AB于點(diǎn)Q連接DA交OO于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作OO的切線交DO于點(diǎn)連接BC交DO于點(diǎn)F.求證:CE=EF：連接AF并延長(zhǎng)，交OO于點(diǎn)G填空：當(dāng)ZD的度數(shù)為時(shí),四邊形ECFG為菱形；當(dāng)ZD的度數(shù)為時(shí),四邊形ECOG為正方形.圖T7-3|類型2||類型2|與三角函數(shù)結(jié)合的問題[2019?鎮(zhèn)江]如圖T7-4,在2BC中,AB=AC,^AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)O作OD丄AO,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,以O(shè)為圓心,OD長(zhǎng)為半徑的圓過(guò)點(diǎn)B.(1)求證:直線AB與OO相切；[2019?隨州]如圖T7-5,在AABC中AB=AC,以AB為直徑的OO分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且ZBAC=2ZCBF.(1)求證BF是OO的切線；(2)若OO的直徑為3,sinZCBF=@,求BC和BF的長(zhǎng).3圖T7圖T7-56.[2018?成都]如圖T7-6,在Rt^ABC中,ZC=90°AD平分ABAC交BC于點(diǎn)D,O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,D的OO分別交ABAC于點(diǎn)Ef,連接OF交AD于點(diǎn)G.(1)求證:BC是OO的切線；⑵設(shè)AB=xAF=y,試用含x,y的代數(shù)式表示線段AD的長(zhǎng)；(3)若BE=8,sinB=5,求DG的長(zhǎng).13圖T7-6|類型3|圓與相似三角形結(jié)合的問題7.[2018?日照]如圖T7-7所示,00的半徑為4,點(diǎn)A是OO上一點(diǎn)，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.P是OO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，過(guò)點(diǎn)P作PE丄/于點(diǎn)5交OO于點(diǎn)民直徑PD的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)F,點(diǎn)A是宛的中點(diǎn).(1)求證:直線l是OO的切線;⑵若PA=6,求PB的長(zhǎng).圖T7-78.[2019?大慶]如圖T7-8,00是△ABC的外接圓AB是直徑,D是AC中點(diǎn)，直線OD與OO相交于E,F兩點(diǎn),P是OO外一點(diǎn)，且P在直線OD上，連接R4,PCAF,滿足/PCA=/ABC.(1)求證:PA是OO的切線；⑵證明:EF2=4OD?OP;(3)若BC=8,tanZAFP=2,求DE的長(zhǎng).3圖T7-8參考答案】1.解:(1)證明:如圖,連接OD,???點(diǎn)C,D為半圓O的三等分點(diǎn),:.ZAOD=ZCOD=ZCOB=60°.OA=OD,???△AOD為等邊三角形，:.ZDAO=60°,?AE//OC.CEIAD,CEIOC,CE為OO的切線.(2)四邊形AOCD為菱形.理由:?OD=OC,ZCOD=60°,?△OCD為等邊三角形,CD=CO.同理::AD=AO.AO=CO,AD=AO=CO=DC,?四邊形AOCD為菱形.2?解:(1)證明:J四邊形ABCD是正方形AB為OO的直徑,:.ZABE=ZBCG=ZAFB=90°,AB=BC,.\ZBAF+ZABF=90°,ZABF+ZEBF=90°,:./EBF=/BAF,在AABE與ABCG中，^BAF=乙EBF,{AB=BC,^ABE=乙BCG,:.△ABEmKBCG(ASA).(2)連接OF,?.?ZABE=ZAFB=90o,ZAEB=55。,.??ZBAE=90°-55°=35°,；?/BOF=2/BAE=70°.JOA=3,???品的長(zhǎng)二70沁18063?解:⑴證明:連接OC.?:CE是OO的切線,.?.OCICE.??■/FCO+/ECF=90。.?:DO丄/5???ZE+ZEFO=90。?:上CFE=/BFO,.ZB+ZCFE=90°.?：OC=OB,?上FCO=/B.:.ZECF=ZCFE.CE=EF.(2)：AB是OO的直徑,???ZACB=90。:.ZDCF=90°..\ZDCE+ZECF=90°,ZD+ZEFC=90°.由(1)得ZECF=ZCFE,:./D=/DCE.ED=EC.ED=EC=EF.即點(diǎn)E為線段DF的中點(diǎn).①四邊形ECFG為菱形時(shí),CF=CE.：CE=EF,?CE=CF=EF.△CEF為等邊三角形.：ZCFE=60°.：?ZD=30。故填30。.②四邊形ECOG為正方形時(shí),MCO為等腰直角三角形.:,ZCEF=45°.?：/CEF=/D+/DCE,???ZD=ZDCE=22.5°故填22.5°.4?解:⑴證明:連接05如圖所示.?:AB=AC,???/ABC=/ACB.?:ZACB=ZOCD,:.ZABC=ZOCD.：OD丄AO,:.ZCOD=90°,.??ZD+ZOCD=9O°:OB=OD,?.ZOBD=ZD,:./OBD+/ABC=90。,即ZABO=90°,:.AB丄OB,?:點(diǎn)B在OO上，???直線AB與OO相切.(2)TZABO=90。，???OA=dAB2+OB2=752+122=13,TAC=AB=5,?OC=OA-AC=8,.?.tanZBDOa=-8=2OD123故答案為：235.解：(1)證明：連接AE,?:AB為直徑，:?/AEB=90o,：?AE丄BC.?：AB=AC,；?BE=EC,/BAE=/CAE.：/BAC=2/CBF,：?/BAE=/CBF.?：ZBAE+ZABE=90。，?；ZCBF+ZABE=90。,:.AB丄BF,；?BF是OO的切線.(2)由(1)得ZBAE=ZCBF,；?sinZCBF=sinZBAE=A3:ZAEB=90°,AB=3,；?BE=ABsinZBAE=73,:.BC=2BE=273.過(guò)點(diǎn)C作CH丄BF于H點(diǎn),在RtACBH中,CH=BCsinZCBF=2,BH=2V2,JCH丄BFAB丄BF,；?AB//CH,:.△FCHs^FAB,：.BFAB?RF-2、［22…—?BF3:.BF—6^2.6.［解析］(1)連接OD,根據(jù)同圓半徑相等及角平分線條件得到ZDAC—ZODA,得OD/AC,切線得證⑵連接EF,DF,根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角，證明ZAFE-90。,可得EF//BC,因此ZB-ZAEF,再利用同弧所對(duì)圓周角相等可得ZB—ZADF,從而證明△ABDs^ADF,可得AD與ABAF的關(guān)系(3)根據(jù)ZAEF-ZB,利用三角函數(shù)，分別在Rt^DOB和Rt^AFE中求出半徑和AF,代入(2)的結(jié)論中，求出AD,再利用兩角對(duì)應(yīng)相等，證明△OGDs&GA,再利用對(duì)應(yīng)邊成比例，求出DG:AG的值，即可求得DG的長(zhǎng).解:⑴證明:連接OD,JOA—OD,:.ZOAD—ZODA,JAD平分ZBAC,???ZOAD—ZDAC,:.ZDAC—ZODA,:、OD/AC,:.ZODB—ZC—90°,?OD丄BC.JOD為OO的半徑,:BC是OO的切線.

(2)連接EF,DF.'：(2)連接EF,DF.'：AE為OO的直徑，.??ZAFE=90°,???ZAFE=ZC=90。，:.EF//BC,：?上B=/AEF.:/ADF=/AEF,：?/B=/ADF.又:ZOAD=ZDAC,:.△ABDs^ADF,：ab=ad,：.ad2=AB.AF,:.AD=J^.ADAFV⑶設(shè)OO半徑為r,在RtADOB中,sinB=a=5,OB13.:亠=且，解得r=5,：AE=10.r813在Rt^AFE中,sinZAEF=sinB=皿,AE?：AF=10x135013：?AD=J18X50=30413.1313:ZODA=ZDAC,ZDGO=ZAGF,:?△OGDs^fGA,DG=OD_=13?DG=13?，:,AGAF10AD-DG10：DG=30413.237?解:⑴證明:連接OA.?：OA=OP,??.ZOAP=ZOE4.???點(diǎn)A是龐的中點(diǎn)，.\DA=AE,:./DPA=/APB,:.ZOAP=ZAPB.：?OA//PB.?PB丄l,:.OA丄l,???直線l是OO的切線.⑵連接AD；：PD是直徑，:.ZPAD=90°,?ZPAD=ZPBA.又:ZDPA=ZAPB,:.△PADsAPBA,^ER=￡A,即8=6,?PB=9.PAPB6PB28?解:⑴因?yàn)辄c(diǎn)D是AC中點(diǎn)/