第二課時等差數列的性質與應用 課件-高二數學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

第二課時等差數列的性質與應用學習目標1.能根據等差數列的定義推出等差數列的性質,并能運用這些性質簡化運算.提升學生的數學抽象和邏輯推理素養(yǎng).2.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數列的等差關系,并解決相應的問題.提升學生的數學建模和數學運算素養(yǎng).知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究[問題1]在等差數列{an}中,任意兩項an與am有怎樣的關系?能否用它們求公差?(其中n>m,m,n∈N*).知識探究1.等差數列通項公式的推廣及幾何意義(1)an=am+(n-m)d(m,n∈N*).[做一做1]在等差數列{an}中,若a2=4,a4=2,則a6=

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答案:0[問題2]若數列{an},{bn}分別是公差為d,d′的等差數列,則數列{pan+qbn}(p,q為常數)是等差數列嗎?提示:由(pan+1+qbn+1)-(pan+qbn)=p(an+1-an)+q(bn+1-bn)=pd+qd′可知,數列{pan+qbn}(p,q為常數)是公差為pd+qd′的等差數列.2.若{an},{bn}分別是公差為d,d′的等差數列,則有數列結論{c+an}公差為d的等差數列(c為任一常數){c·an}公差為cd的等差數列(c為任一常數){an+an+k}公差為2d的等差數列(k為常數,k∈N*){pan+qbn}公差為pd+qd′的等差數列(p,q為常數)[思考1]等差數列去掉前面若干項后,剩下的項是否還構成等差數列?提示:是.改變了首項,公差不變.[思考2]等差數列中的奇數項、偶數項是否分別構成等差數列?提示:是.公差為原來的2倍.C解析:{a3n}為等差數列,公差為原來的3倍.故選C.[問題3]若數列{an}是等差數列,公差為d,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am,an,ap,aq這四項之間有什么樣的關系?提示:由等差數列的定義可知,am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d,ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,容易發(fā)現(xiàn)am+an=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因為m+n=p+q,故有am+an=ap+aq.3.等差數列“下標和”的性質在等差數列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則

.特別的,若m+n=2p(m,n,p∈N*),則有

.4.等差數列的項的對稱性在有窮等差數列中,與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….am+an=ap+aqam+an=2ap解析:(1)因為2a7=a8+5=a6+a8,因此,a6=5.故選A.[做一做3](1)(2021·四川成都高三月考)在等差數列{an}中,2a7=a8+5,則a6等于(

)A.5 B.10 C.55 D.60答案:(1)A解析:(2)由a2+a8=a4+a6,得a6=-1.(2)在等差數列{an}中,若a2+a8=-3,a4=-2,則a6=

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答案:(2)-1師生互動·合作探究[例1](1)在等差數列{an}中,a2+a6+a10=1,求a4+a8的值;探究點一等差數列的性質解:(2)法一設等差數列的公差為d,則a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=37,所以a2+a4+a6+a8=4a1+16d=2(2a1+8d)=74.法二由等差數列的性質可知,a3+a7=a4+a6=a2+a8,所以a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=2×37=74.(2)在等差數列{an}中,a3+a7=37,求a2+a4+a6+a8的值.方法總結等差數列運算的兩條常用思路(1)基本方法:根據已知條件,列出關于a1,d的方程(組),確定a1,d,然后求其他量.(2)巧用性質法:觀察等差數列中項的序號,若滿足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),則am+an=ap+aq=2ar.[針對訓練](1)在等差數列{an}中,a1+a8+a15=72,則a2+a14的值為(

)A.6 B.12 C.24 D.48解析:(1)由等差數列的性質知,2a8=a1+a15=a2+a14,由a1+a8+a15=72,所以a8=24,即a2+a14=2a8=48.故選D.(2)《周髀算經》中有這樣一個問題,從冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數列,若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺,芒種的日影子長為4.5尺,則冬至的日影子長為(

)A.4 B.8.5 C.12.5 D.15.5探究點二等差數列的綜合應用(1)判斷數列{cn}是否為等差數列,并說明理由;(2)如果a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,試求數列{an}的公差d及通項公式.解:(2)因為a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,所以兩式相減得13d=-13,所以d=-1.因為a1+a3+…+a25=130,所以13a13=130?a13=10?a1+12d=a1-12=10,所以a1=22,所以an=22+(n-1)×(-1)=23-n.方法總結解決等差數列綜合問題的方法策略(1)結合等差數列的性質或利用等差中項.(2)利用通項公式,得到一個以首項a1和公差d為未知數的方程或不等式.(3)利用函數或不等式的有關方法解決.[針對訓練]已知{an}是等差數列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求數列{an}的通項公式;[針對訓練]已知{an}是等差數列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(2)若從數列{an}中,依次取出第2項,第4項,第6項,…,第2n項,按原來順序組成一個新數列{bn},試求出{bn}的通項公式.解:(2)a2=4,a4=8,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.當n>1時,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.所以{bn}是以4為首項,4為公差的等差數列.所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.[例3]某公司經銷一種數碼產品,第1年獲利200萬元,從第2年起由于市場競爭等方面的原因,利潤每年比上一年減少20萬元,按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產品,也不調整經營策略,從哪一年起,該公司經銷這一產品將虧損?探究點三等差數列的實際應用解:由題意可知,設第1年獲利為a1,第n年獲利為an,則an-an-1=-20(n≥2,n∈N*),每年獲利構成等差數列{an},且首項a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.若an<0,則該公司經銷這一產品將虧損,由an=-20n+220<0,解得n>11,即從第12年起,該公司經銷這一產品將虧損.方法總結(1)在實際問題中,若涉及一組與順序有關的數的問題,可考慮利用數列方法解決,若這組數依次成直線上升或下降,則可考慮利用等差數列方法解決.(2)在利用數列方法解決實際問題時,一定要分清首項、項數等關鍵量.[針對訓練]某市出租車的計價標準為1.2元/km,起步價為10元,即最初的4km(不含4km)計費10元,如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地,且一路暢通,等候時間為0,那么需要支付多少車費?解:根據題意,當該市出租車的行程大于或等于4km時,每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一個等差數列{an}來計算車費.令a1=11.2,表示4km處的車費,公差d=1.2,那么當出租車行至14km處時,n=11,此時需要支付車費a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即需要支付車費23.2元.備用例題[例1]在兩個等差數列2,5,8,…,197與2,7,12,…,197中,求它們的相同項構成數列的通項公式及相同項的個數.[例2]在通常情況下,從地面到10km高空,高度每增加1km,氣溫就下降某一個固定數值.如果1km高度的氣溫是8.5℃,5km高度的氣溫是-17.5℃,求2km,4km,8km高度的氣溫.解:用{an}表示自下而上各高度氣溫組成的等差數列,則a1=8.5,a5=-17.5,由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5,解得d=-6.5,所以an=15-6.5n.所以a2=2,a4=-11,a8=-37,即2km,4km,8km高度的氣溫分別為2℃,-11℃,-37℃.學海拾貝等差數列的函數特性——單調性若數列{an}是等差數列,首項為a1,公差為d,則an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).當d=0時,an=a1,an是n的常數函數.當d≠0時,an是n的一次函數.此時點(n,an)落在直線y=dx+(a1-d)(d≠0)上,這些點的橫坐標每增加1,函數值增加d.當d>0時,數列{an}是遞增數列;當d<0時,數列{an}是遞減數列.當d=0時,數列{an}是常數列.從函數角度研究等差數列可培養(yǎng)邏輯推理與數學運算的核心素養(yǎng).典例探究:已知在數列{an}中,a1=32,a17=-32,通項公式是項數n的一次函數.(1)求數列{an}的通項公式;解:(1)由題意知,數列{an}為等差數列,可設an=an+b,則a1=a+b=32,①a17=17a+b=-32.②由①②得a=-4,b=36.故an=-4n+36(n∈N*).解:(2)令-4n+36=-88,得n=31.故-88是數列{an}中的項.典例探究:已知在數列{an}中,a1=32,a17=-32,通項公式是項數n的一次函數.(2)-88是不是數列{an}中的項?(3)該數列從第幾項起開始為負?解:(3)令-4n+36<0,則n>9.故數列{an}從第10項起為負.當堂檢測D1.設Sn為等差數列{an}的前n項和,且2+a5=a6+a3,則a4等于(

)A.28 B.14 C.7 D.2解析:由等差數列{an}的性質可得a4+a5=a6+a3,又2+a5=a6+a3,則a4=2.故選D.2.(2022·浙江鎮(zhèn)海中學高二期中)在等差數列{an}中,a1+a3+a