圓的方程講義

的方程知識(shí)梳理：、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓，定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是半徑．2．確定圓的幾何要素：(1)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓，圓心在任意兩點(diǎn)連線段的中垂線上，三點(diǎn)確定的三角形叫該圓的內(nèi)接三角形，該圓叫做這個(gè)三角形的外接圓，圓心叫做三角形的外心．(2)圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，只要圓心和半徑確定下來，圓也就確定下來了，因此求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立條件．.圓心為缶，b)半徑為r(r>0)的圓的方程為：(x—a)2+(y—b)2=r2,稱作圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.特別地，圓心在原點(diǎn)、半徑為r的圓方程為x2+y2=。..點(diǎn)P(x0,y0)與圓(x—a)2+(y—b，=r2的位置關(guān)系.P在圓外Q(x0—a)2+(y0—b)2>r2,P在圓上q(x0—a)2+(y0—b)2=r2,P在圓內(nèi)o(x0—a)2+(y0—b)2<r2.二、圓的一般方程(，玲(,E\D2+E2—4F.圓的一般萬程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配萬得"+2+［丫+萬^=4-,、一一/DE\,一1~~-⑴當(dāng)D2+E2—4F〉。時(shí)，方程表示以1—萬，一］)為圓心，WD2+E2—4F為半徑的圓;,、，?一人/DE)(2)當(dāng)D2+E2—4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)［—I，一,)⑶當(dāng)D2+E2—4F<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，它不表示任何圖形..二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件是：八=Cw0,B=0,D2+E2—4F>0.點(diǎn)P(x0,y0)與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2—4F>0)的位置關(guān)系是:P在圓內(nèi)o'一?二+一：IP在圓上o—二+1,：+「‘一P在圓外o■+.3+「「一」14．求軌跡方程的五個(gè)步驟：(1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；⑵設(shè)點(diǎn)：寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|p(M)};⑶列式：用坐標(biāo)(x,y)表示條件p(M)，列出方程F(x,y)=0；⑷化簡(jiǎn)：化方程F(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；(5)查漏、剔假：證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．典型例題：類型一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1：寫出下列方程表示的圓的圓心和半徑．(1)x2+y2=2；(2)(x—3)2+y2=4；⑶X2+(y—1)2=9；⑷(x+1)2+(y+2)2=8.練習(xí)1：已知圓的方程為x—a)2+(y—b)2=r(r>0),試根據(jù)下列條件，分別寫出a、b、r應(yīng)滿足的條件：(1)圓心在x軸上；(2)圓與y軸相切；(3)圓過原點(diǎn)且與y軸相切；(4)圓與兩坐標(biāo)軸均相切.練習(xí)2：已知圓C的方程為(x—5)+(y—6)=10，試判斷點(diǎn)M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在圓上，圓內(nèi),還是在圓外？例2：過兩點(diǎn)P(2,2)、Q(4,2),且圓心在直線x—y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x—3)2＋(y—3)2=2B．(x＋3)2＋(y＋3)2=2C.(x—3)2+(y—3)2=\；'2D.(x+3)2+(y+3)2=\：5練習(xí)1：求經(jīng)過點(diǎn)A(10,5)、B(—4,7),半徑為10的圓的方程.練習(xí)2：求滿足下列條件的方程

(1)圓心在原點(diǎn)，半徑是3；(2)圓心在點(diǎn)C((1)圓心在原點(diǎn)，半徑是3；(3)圓心在直線5x—3y=8上，又圓與坐標(biāo)軸相切練習(xí)3：求以42,2)、B(5,3)、C(3,—1)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.類型二圓的一般方程個(gè)圓？例3：m是什么實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x、y的方程(2m2+m—1)X2+(m2—m+2)y2+m+2=0表示個(gè)圓？練習(xí)1：已知方程X2+y2+2mx—2y+m2+5m=0表示圓，求:(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)圓心坐標(biāo)和半徑.練習(xí)2：x2+y2—x+y+R=0表示一個(gè)圓，則R的取值范圍是()(-8,2](-8,2](-8,2)C．D．求^ABC的外接圓的一般方程.例4：已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,4)、B(-2,求^ABC的外接圓的一般方程.練習(xí)1：求過點(diǎn)C(—1,1)和D(1,3)且圓心在直線y=x上的圓的一般方程.練習(xí)2：AABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(—1,5),B(-2,-2),C(5,5)，求其外接圓的方程.例5：等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2),底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5),求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．練習(xí)2：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)(8,0)的距離等于M到(2,0)的距離的2倍，那么點(diǎn)M的軌跡方程是()A.x2+y2=32b.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16d,x2+(y-1)2=16小練習(xí)：.已知圓的方程是(x-2)2+(y—3)2=4,則點(diǎn)?(3,2)滿足()A.是圓心B.在圓上

C.在圓內(nèi)D.在圓外.圓（%+1）2+。―2）2=4的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.（－1,2），2B.（1，－2），2C.(—1,2),4D.(1,—2),4.已知4(3,—2),B(—5,4),則以AB為直徑的圓的方程是(A.(%—1)2+(y+1)2=25B.(%+1)2+(y—1)2=25C.(%—1)2+(y+1)2=100D.(%+1)2+(y—1)2=100B.(1,-1);D.(-1,1);.圓12+yB.(1,-1);D.(-1,1);A.(-1,；)；C.(1,-1)；5.方程％2+y2+a%+2ay+2a2+a—1=0表示圓，則a的范圍是（）A.aA.a<—2或a>2B.—3<a<2C.—2<a<0D.—2<a<3TOC\o"1-5"\h\z.圓%2+y2—2%+6y+8=0的周長(zhǎng)等于()A.^2B.2C.272D.4.若點(diǎn)P(—1,小)在圓%2+y2=m2上，則實(shí)數(shù)m=..點(diǎn)P(1,—2)和圓C：%2+y2+m2X+y+m2=0的位置關(guān)系是.求經(jīng)過點(diǎn)?（5,1）,圓心為點(diǎn)C（8,—3）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.課后練習(xí)：.（211—121.、一.一一.點(diǎn)p172-,干J與圓%2+y2=1的位置關(guān)系是（）1+t21+t2A.在圓內(nèi)B.在圓外C.在圓上D.與t有關(guān).圓(%+2)2+y2=5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱的圓的方程是()A.(%—2)2+y2=5B.%2+(y—2)2=5C.(%+2)2+(y+2)2=5D.%2+(y+2)2=5.方程2%2+2y2—4%+8y+10=0表示的圖形是()A.一個(gè)點(diǎn)B.一個(gè)圓C.一條直線D.不存在.已知點(diǎn)P是圓C：%2+y2+4%+ay—5=0上任意一點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于直線2%+y—1=0的對(duì)稱點(diǎn)在圓C上，則實(shí)數(shù)a等于()A.10B.—10C.20D.—20.過點(diǎn)4(1,2),且與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切的圓的方程為()A.(%—1)2+(y—1)2=1或(%—5)2+(y—5)2=