1980年全國高考數(shù)學(xué)試題及其解析

1980年全國高考數(shù)學(xué)試題及其解析1980年全國高考數(shù)學(xué)試題及其解析理工農(nóng)醫(yī)類一、將多項(xiàng)式x5y-9xy5分別在下列范圍內(nèi)分解因式:(1)有理數(shù)范圍;(2)實(shí)數(shù)范圍(3)復(fù)數(shù)范圍.二、半徑為1、2、3的三個(gè)圓兩兩外切.證明:以這三個(gè)圓的圓心為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.三、用解析幾何方法證明三角形的三條高線交于一點(diǎn).(a、b、N都是正數(shù),a≠1,b≠1)五、直升飛機(jī)上一點(diǎn)P在地平面M上的正射影是A.從P看地平面上一物體B(不同于A),直線PB垂直于飛機(jī)窗玻璃所在的平面N(如圖).證明:平面N必與平面M相交,且交線l垂直于AB.(1)寫出f(x)的極大值M、極小值m與最小正周期T;(2)試求最小的正整數(shù)k,使得當(dāng)自變量x在任意兩個(gè)整數(shù)間(包括整數(shù)本身)變化時(shí),函數(shù)f(x)至少有一個(gè)值是M與一個(gè)值是m.七、CD為直角三角形ABC中斜邊AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC的面積成等比數(shù)列,求B(用反三角函數(shù)表示).、九、拋物線的方程是y2=2x,有一個(gè)半徑為1的圓,圓心在x軸上運(yùn)動(dòng).問這個(gè)圓運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),圓與拋物線在交點(diǎn)處的切線互相垂直.附加題問a、b應(yīng)滿足什么條件,使得對于任意m值來說,直線(L)與橢圓(E)總有公共點(diǎn).文史類一．（本題滿分8分）化簡二．（本題滿分10分）三．（本題滿10分）用解析法證明直徑所對的圓周角是直角。四．（本題滿分12分）某地區(qū)1979年的輕工業(yè)產(chǎn)值占工業(yè)總產(chǎn)值的20%，要使1980年的工業(yè)總產(chǎn)值比上一年增長10%，且使1980年的輕工業(yè)產(chǎn)值占工業(yè)總產(chǎn)值的24%，問1980年輕工業(yè)產(chǎn)值應(yīng)比上一年增長百分之幾？五．（本題滿分14分）六．（本題滿分16分）1．若四邊形ABCD的對角線AC將四邊形分成面積相等的兩個(gè)三角形，證明直線AC必平分對角線BD。2．寫出（1）的逆命題，這個(gè)逆命題是否正確？為什么？七．（本題滿分16分）如圖，長方形框架ABCD-A＇B＇C＇D＇。三邊AB、AD、AA＇的長分別為6、8、3.6，AE與底面的對角線B＇D＇垂直于E。1．證明A＇EB＇D＇;2.求AE的長。八．（本題滿分16分）1．把參數(shù)方程（t為參數(shù)）化為直角坐標(biāo)方程，并畫出方程的曲線的略圖。2．當(dāng)時(shí)，各得到曲線的哪一部分？又依直角三角形的性質(zhì),有AC2=AD·AB=c(c-x).但x2=c(c-x),AC2=x2,解法二:由題設(shè)有(CD·BD)2=(CD·AD)·(CD·AB),BD2=AD·AB.但AC2=AD·AB,BD=AC.兩端乘以正數(shù)sin,問題化為證明2sinsin2≤1+cos.而2sinsin2=4sin2cos=4(1-cos2)cos=4(1-cos)(1+cos)cos.所以問題又化為證明不等式(1+cos)[4(1-cos)cos-1]≤0.8t2(1-t2)≤(1+t2)2,即-9t4+6t2-1≤0,-(3t2-1)2≤0.不等式成立.九、解:設(shè)圓的方程為(x-k)2+y2=1.再設(shè)圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為P(x0y0).在P點(diǎn)拋物線的切線與圓的切線垂直,必須且只須圓的半徑與拋物線在P點(diǎn)相切.由(1)、(2)式消去y0,得x0=-k,將(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,將x0=-k代入,得4k2-2k-1=0,由于對稱性,圓與拋物線的另一交點(diǎn)(x0,-y0)處的切線也互相垂直.附加題解法一:消去參數(shù),得消去y,整理得(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0.(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)≥0.化簡并約去a2得(a2-1)m2-2bm+(1-b2)≥0.對任何m的值,要使這個(gè)式子永遠(yuǎn)成立,條件是即為所求的條件.解法二:直線(L)即y=mx+b;它通過P(0,b)點(diǎn),斜率為m.如果P(0,b)落在(E)內(nèi)或(E)上,如P1,則過P1點(diǎn)作任意直線(L)顯然與橢圓(E)總有公共點(diǎn).如果P(0,b)落在(E)外,如P2,那么由P2向橢圓作兩切線,則(E)上所有的點(diǎn)都在兩切線的一個(gè)夾角內(nèi),所以可以選擇斜率m的值,使直線(L)落在這個(gè)夾角的補(bǔ)角內(nèi),(L)與(E)就沒有公共點(diǎn)了.因此,(L)與(E)總有公共點(diǎn)的充要條件是p(0,b)點(diǎn)落在(E)內(nèi)或(E)上.要使(E)與y軸有公共點(diǎn),其充要條件是│a│≥1;這時(shí),(E)與y軸的文史類參考答案及解析一、解：原式=二、解略：方程組的解為三、證：將圓的直徑AB所在的直線取為X軸，圓心作為原點(diǎn)，不妨設(shè)定圓的半徑為1，于是圓的方程是x2+y2=1.A、B的坐標(biāo)是A（-1，0）、B（1，0）。設(shè)P(x,y)是圓上任一點(diǎn)，則有y2=1-x2.PA的斜率為，PB的斜率為，PAPB，APB為直角。四、解：設(shè)1979年的工業(yè)總產(chǎn)值為a，又設(shè)1980的輕工業(yè)產(chǎn)值比上一年增長x%，則按題意，1980年的輕工業(yè)產(chǎn)值為解得：x=32。答：略。五、解：六、證：1。SABC=SADC，且△ABC與△ADC有同底AC，兩高線相等：BE=DF。設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則RtBOERtDOF。OB=OD。即AC平分BD。（若E、O、F重合、則已有BO=BE=DF=DO）2．逆命題：若四邊形ABCD的對角線AC平分對角線BD，則AC必將四邊形分成兩個(gè)面積相等的三角形。這個(gè)逆命題是正確的。證明如下：在上圖中，由于OB=OD，BOE=DOF（對頂角），BEO=DFO=Rt，BOEDOF。BE=DF，即兩高線相等。SABC=AC·BE=AC·DF=SADC。七、解：1.八