全國高中數(shù)學聯(lián)賽第一試模擬試卷

全國高中數(shù)學聯(lián)賽第一試模擬試卷考試時間：120分鐘考試對象：全日制普通高級中學學生一、填空題（每小題8分，共64分）函數(shù)y二5—血X的最大值是。（原創(chuàng)）4-cosx已知數(shù)列｛a｝滿足a=36,a-a=2n（n&N*）,則的最小值為。（原n1n+1nn創(chuàng)）設(shè)a,b,c均為非零復(fù)數(shù)，令w=-丄+三i，若a二b二C，則口±￡的值為。22bcaa+b-c（改編自2013年全國高中數(shù)學聯(lián)賽遼寧省預(yù)賽）設(shè)B,C是定點且都不在平面“上,動點A在平面“上且sinZABC二乜，則A2點的軌跡是。（原創(chuàng)）已知f（x）為R上增函數(shù)，且對任意xeR，都有f[f（x）-3x]=4，則f⑶二。（改編自2013年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建省預(yù)賽）將全體正整數(shù)自小到大一個接一個地順序?qū)懗梢慌?，則從左至右的第2015個數(shù)字是。（原創(chuàng)）函數(shù)f(x)二轡5|x-kI的最小值是。(原創(chuàng))k=1a,b,c是不同的正整數(shù)，若集合{a+b,b+c,c+a}={n2,(n+1)2,(n+2)2},n為正整數(shù)，則a2+b2+c2的最小值是。(原創(chuàng))二、解答題(本大題共3小題，共56分)x3+3x9.(16分)已知函數(shù)f(x)=一一，數(shù)列｛x｝滿足：x=2，x=f(x)(neN*)，3x2+1x-1記b=log(-n+i——)(neN*).(原創(chuàng))n3x+1n+1求證：數(shù)列｛b｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛b｝的通項公式；nn記c=-nb(neN*)，求數(shù)列｛c｝的前n項和公式T.nnnn10.(20分)設(shè)點P為圓C:x2+y2=2上的動點，過點P作x軸的垂線,垂足為Q，1_umruur點M滿足V2mQ=PQ。(改編自2013年全國高中數(shù)學聯(lián)賽遼寧省預(yù)賽)求點M的軌跡C的方程；2過直線x=2上的點T作圓C的兩條切線，設(shè)切點分別為A、B，若直線1AB與⑴中的曲線C交于C、D兩點，求的取值范圍。2|AB|

11.(20分)設(shè)函數(shù)f(x)定義于閉區(qū)間［0,1］滿足f(0)二0,f(1)二1，同時對任意xye［0,1］，且x-y，都有f(寧)=(1-a2)f(x)+a2f(y),其中常數(shù)a滿足OVaVl，求a的值。(原創(chuàng))解答20+2麗15將函數(shù)式看做定點(4,5)與動點(cosx,sinx)連線的斜率。而動點(cosx,sinx)的軌跡是一個單位圓，設(shè)過點(4,5)的直線方程為y-5二k(x-4)，即y-kx+(4k-5)二0，當斜率取最大值時，該直線應(yīng)是單位圓的一條切線，于是原點到該直線距離為1，即有是原點到該直線距離為1，即有4k-5=.'：k2+1，所以k=15，因此最大值是k二十11由a=36,a一a=2n知，a—a=2（n一1），a一a=2（n一2），…，TOC\o"1-5"\h\z1n+1nnn-1n-1n-2a-a=2x1，a=36。n個等式左右兩邊分別相加，得a=n（n-1）+36。所211n以，=n-1+36。因此n=6時，a有最小值11。nnn

3.1,?,①2設(shè)上=◎=￡=k，則k3=1,k=1,?,①2,bca=k=1,o,?2。a一b+cbk一b+bk2k一1+k=k=1,o,?2。――――k,a+b一cbk+b一bk2k+1一k2k+1一k2橢圓，雙曲線，拋物線滿足sinZABC衛(wèi)的A點的軌跡是以B為錐頂，以BC為軸線的一個圓錐2面（母線與錐線的夾角為60°）。因為A點在平面兀上，從而其軌跡是圓錐面與平面兀的交線，所以軌跡可能是三種圓錐曲線的任何一種，即橢圓，雙曲線，拋物線均有可能。28依題意，f(x)一3x為常數(shù)。設(shè)f(x)一3x=m，則f(m)二4，f(x)=3x+m。?:3?+m=4，3?+m—4=0。易知方程3?+m—4=0有唯一一解m=1。???f(x)=3x+1，f⑶=33+1=28。0全體一位數(shù)共占據(jù)9個數(shù)位，全體兩位數(shù)共占據(jù)2x90=180個數(shù)位，接下來是順次排列的三位數(shù)，由于2015—9-180=1826，而竺=6082，因為33

608+99=707，所以第2013個數(shù)字是三位數(shù)707的末位數(shù)字，于是第2015個數(shù)字是三位數(shù)708的中間位置的數(shù)字0.1015056由于1,2,…，2015的中位數(shù)是1008，當x=1008時，函數(shù)取得最小值f(1008)=2(1+2+L+1007)=1015056。1297由n2+(n+1)2+(n+2)2=2(a+b+c)=偶數(shù)，所以n,n+1,n+2兩奇一偶，即n為奇數(shù)，顯然n>l，不妨設(shè)a<b<c，女口果n=3，貝V由a+b=9，a+c=16，b+c=25得a+b+c=25，此時推得a=0，矛盾。所以n>5，當n=5時，由a+b=25，a+c=36，b+c=49解得a=6，b=19，c=30，這時a2+b2+c2=1297。9.1)x_1=/(x)9.1)x_1=/(x)_1―n+1=n—x+1f(x)+1n+1nx3+3xnn3x2+11nx3+3x3x2+1+1x3_3x2+3x_1—nnn—x3+3x2+3x+1nnnx_14分)于是log(」!)=3log(匸!)，即b=3b，所以數(shù)列｛b｝成等比數(shù)列。

3x+13x+1n+1nnn+1n132+1nnb=_3n_1．………(8分)n又b=log(^_!)=_132+1nnb=_3n_1．………(8分)n(2)由(1)知，b=—3n-i，故c=(2)由(1)知，b=—3n-i，故c=n-3n-1,nnT=lx3o+2x3i+3x32+L+nx3n-1n，3T=lx31+2x32+3x33+L+nx3n,n3n-1于是—2T=1+3+32+L+3n—1—nx3n=—nx3n,n212分)nx3n3n—1(2n—1)-3n+1即T=—=n244???數(shù)列｛c｝的前n項和公式T=(2n—?3"+1(neN*)。nn416分)uuuruur10.(1)設(shè)點M(x，y)，由?MQ二PQ，得P(x,'2y)。由于點P在C:x2+y2二2上，所以x2+2y2二2，1即M的軌跡方程為x25分)(2)設(shè)點T(2,t)，A(xy')，B(x',y')1122則AT，BT的方程為x'x+y'y=2，x'x+y'y=2,1122又點T(2,t)在AT、BT上，則有：2x+ty=2①，112x+ty二2②，（8分）22由①、②知AB的方程為：2x+ty=2，

設(shè)點C(x,y),D(x,y)，則圓心O到AB的距離d=1122IAB1=2pr2-d2=2\：去扌；(10分)2x+ty=2又由<x2，得(t2+8)y2-4ty—4=o,—+y2=1I2-412+8于是yi+y24t-412+8于是yi+y24t12+8y1y2IABI則s>4，于是|cd|S3S3+6s2一321設(shè)_=m,s于曰LAB!于疋ICDI=<1+6m一32m3,15分)設(shè)f(m)=1+6m一32m3,f'(m)=6一96m2，令f(m)=0，得m=才，得因此因此a-孚。20分）f（m）在（0,4］上單調(diào)遞增’故f（m）e（佔’即|CDi的范圍為20分）20分）,1o2丿