平面體系的幾何組成分析

建筑力學(xué)1平面體系的幾何組成分析2第四章平面體系的幾何組成分析基本概念平面體系的自由度幾何組成分析體系的幾何組成與靜定性的關(guān)系目錄34.1

幾何組成分析的概念4平面體系的幾何組成分析幾何不變體系：體系受到任意荷載作用后，在不考慮材料變形的條件下，幾何形狀和位置保持不變的體系。幾何可變體系：體系受到任意荷載作用后，在不考慮材料變形的條件下，幾何形狀和位置可以改變的體系。一、幾何不變體系、幾何可變體系4P瞬變體系：本來是幾何可變，經(jīng)微小位移后成為幾何不變體系。5（3）區(qū)分靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)，為結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算打下必要的基礎(chǔ)。二、幾何組成分析的目的（1）判別某一體系是否幾何不變，從而決定它能否作為結(jié)構(gòu)。（2）研究幾何不變體系的組成規(guī)則，以保證所設(shè)計的結(jié)構(gòu)能承受荷載而維持平衡。64.2

自由度和約束一、剛片在平面內(nèi)可以看成是幾何形狀不變的物體。

一根梁、一個柱、一根鏈桿、地基基礎(chǔ)、地球或體系中已經(jīng)肯定為幾何不變的某個部分都可看作一個平面剛片。7二、自由度

完全確定物體位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。xyOAxyxyOxyABθW=2W=3平面內(nèi)一點(diǎn)平面內(nèi)一剛片8三、約束（聯(lián)系）能減少自由度的裝置或連接。(1)鏈桿：xyO常見的約束：兩端用鉸與其它物體相連的桿。鏈桿可以是直桿、折桿、曲桿。1根鏈桿（單鏈桿），或1個活動鉸支座，相當(dāng)于1個約束。9(a)(b)(c)10(d)11(e)121個單鉸，或1個固定鉸支座，相當(dāng)于2個約束。(a)(b)13能形成虛鉸的是鏈桿(

)1

2

3

4

聯(lián)結(jié)兩剛片的兩根不共線的鏈桿相當(dāng)于一個單鉸即瞬鉸。單鉸瞬鉸定軸轉(zhuǎn)動繞瞬心轉(zhuǎn)動2，3（3）虛鉸（瞬鉸）AO1415(4)復(fù)鉸：

連接三個或三個以上剛片的鉸。

聯(lián)接三個剛片的一個復(fù)鉸減少了四個自由度，相當(dāng)于兩個單鉸，為四個聯(lián)系。聯(lián)接n個剛片的一個復(fù)鉸減少了2(n-1)個自由度，相當(dāng)于(n-1)個單鉸作用。xyxy1BAw=9-4=523w=9-2(n-1)=516連接n個剛片的復(fù)鉸

=(n-1)個單鉸所聯(lián)剛片數(shù)增加的約束數(shù)相當(dāng)單鉸數(shù)221342463n2(n-1)(n-1)17（5）固定鉸：

固定鉸為兩個聯(lián)系。xy1自由度=1BA18(6)剛結(jié)點(diǎn)W=6W=3一個單剛結(jié)點(diǎn)可減少三個自由度相當(dāng)于三個約束。19(a)(b)(c)20W=3m-(2n+r)W---平面體系的計算自由度；m---剛片數(shù)；(基礎(chǔ)不計入)n---單鉸數(shù)；

r---支座鏈桿數(shù)；

4.2.3平面體系的計算自由度各種體系自由度的計算公式：W＝3×3－2×2－5＝0按照各部件都是自由的情況，算出各部件自由度總數(shù)，再算出所加入的約束總數(shù)，將兩者的差值定義為：體系的計算自由度W。即：W=（各部件自由度總數(shù)）－（全部約束總數(shù)）21自由度的計算：W=3m-3r1-2r2-r3W:自由度數(shù)m:剛片數(shù)r1:固定端數(shù)r2:單鉸數(shù)r3:支鏈桿數(shù)w=3×4－3×1－2×5－1=－2w=3×3－3×1－2×3－2=－222例：計算平面體系的自由度。w＝3m－（2h＋r）剛片體系m＝11h＝7+42=15w＝311－（215＋3）＝023（2）鏈桿體系自由度的計算：w=2j－(b+r)鉸接點(diǎn)數(shù)支座鏈桿數(shù)桿件數(shù)w=－1j＝4b＝5r＝424w＝2j－(b+r)

＝2×8－（13＋3）＝0例：計算鏈桿體系自由度：w＝2j－(b+r)

＝2×10－（16＋3）＝125思考體系W等于多少幾何不變？W=0,體系是否一定幾何不變呢？W=3

×9-(2×12+3)=026W>0，表明體系缺少足夠的聯(lián)系，是幾何可變的；W=0，表明體系具有成為幾何不變所需的最少聯(lián)系數(shù)目。W<0，表明體系在聯(lián)系數(shù)目上還有多余，體系具有多余聯(lián)系。W＝2×6－8－3=1>0W＝2×6－9－4=－1W＝2×6－9－3=0由此可見，幾何不變體系必須滿足W≤0。如果不考慮支座鏈桿，只檢查體系本身，則必須滿足W≤3。27BA一、二剛片規(guī)則

兩剛片之間，用不完全交于一點(diǎn)也不完全平行的三根鏈桿聯(lián)結(jié)，或用一個單鉸和一根鉸桿聯(lián)結(jié)，且鉸和鏈桿不在同一直線上,則組成無多余約束的幾何不變體系。圖bABC圖a4.3幾何不變體系的基本組成規(guī)則

28(a)

(b)

(c)29二、三剛片規(guī)則

三剛片用不在同一直線上的三個鉸兩兩相聯(lián),則組成無多余約束的幾何不變體系。ABCⅠⅡⅢ30三剛片規(guī)則三剛片用不在同一直線上的單鉸相聯(lián)，該體系為幾何不變體系，且沒有多余約束。31例如三鉸拱無多余約束幾何不變體系大地、AC、BC為剛片；A、B、C為單鉸32二元體：是指由兩根不在同一直線上的鏈桿連接一個新結(jié)點(diǎn)的裝置。

在一個體系上增加或減去二元體，不會改變原有體系的幾何構(gòu)造性質(zhì)。

三、二元體規(guī)則

在一剛片上增加一個二元體，仍為沒有多余約束的幾何不變體。33加二元體組成結(jié)構(gòu)34如何減二元體？35IIIIIIOO是虛鉸嗎？有二元體嗎？是什么體系？36試分析圖示體系的幾何組成。無多余幾何不變有二元體嗎？沒有有虛鉸嗎？是什么體系？有37三個規(guī)則可歸結(jié)為一個三角形法則。B（b）AC（a）ABCB（c）AC（d）BAB（e）AC38IIIIIIIII【例2.1】試對圖示體系作幾何組成分析。無多余約束的幾何不變體系。無多余約束的幾何不變體系。39瞬變體系--原為幾何可變，經(jīng)微小位移后即轉(zhuǎn)化為幾何不變的體系。4.4瞬變體系與常變體系微小位移后，不能繼續(xù)位移不能平衡一、瞬變體系40瞬變體系

瞬變體系不可做為結(jié)構(gòu)使用。ABCPFACFABACABPFAC＝FAB＝P/(2sin)41在瞬時內(nèi)發(fā)生微小位移后，便成為幾何不變體系的，叫作幾何瞬變體系。瞬變體系在微小荷載作用下也會產(chǎn)生非常大的內(nèi)力。瞬變體系是絕對不能用來作為結(jié)構(gòu)使用的。1242幾種典型瞬變體系三鉸共線三桿延長線交于一點(diǎn)三桿平行且不等長三桿平行，鏈桿從剛片異側(cè)引出43二、常變體系常變體系--原為幾何可變，經(jīng)微小位移后仍為幾何可變的體系。P44幾種典型常變體系三桿平行且等長，且鏈桿在剛片的同側(cè)三桿交于一點(diǎn)約束不足45IIIIII【例2.2】試對圖示體系作幾何組成分析。幾何瞬變體系。464.5幾何組成分析的示例一、若某體系用不完全交于一點(diǎn)也不完全平行的三根鏈桿與基礎(chǔ)相連，則可以只分析該體系。（c）無多余約束的幾何不變體系。47二、加減二元體規(guī)則無多余約束的幾何不變體系。增加二元體是體系的組裝過程，應(yīng)從一個基本剛片開始。48二、加減二元體規(guī)則無多余約束的幾何不變體系。減去二元體是體系的拆除過程，應(yīng)從體系的外邊緣開始進(jìn)行。49I三、剛片的合成有一個多余約束的幾何不變體系。50【例2.3】試對圖示體系作幾何組成分析。幾何可變體系。51幾何組成分析的步驟：（1）若某體系用不完全交于一點(diǎn)也不完全平行的三根鏈桿與基礎(chǔ)相連，則可以只分析該體系。（2）找二元體，如有，可撤去或加上，使體系簡化。注意：加二元體時，必須把二元體加在幾何不變體上；減二元體時，二元體二桿鉸接處不同其它桿件聯(lián)結(jié)。（3）從直接觀察出的幾何不變部分開始，應(yīng)用體系組成規(guī)律，逐步擴(kuò)大不變部分直至整體。注意：

①虛鉸的識別②非直桿用直桿代替③找鉸接三角形④機(jī)動分析中，每根桿件或作為鏈桿都必須只能使用一次，不得遺漏，也不得重復(fù)。⑤對較復(fù)雜系統(tǒng)應(yīng)該首先進(jìn)行計算自由度52平面體系的幾何組成分析習(xí)題課計算體系的自由度w

（1）w＞0：幾何可變體系；無需再進(jìn)行幾何組成分析。（2）w

0：體系滿足幾何不變的必要條件，尚需進(jìn)行幾何組成分析。w=3m－(2h+r)剛片體系m:剛片數(shù)h:單鉸數(shù)r:支座鏈桿數(shù)w=2j－(b+r)

鏈桿體系j:鉸接點(diǎn)數(shù)b:桿件數(shù)r:支座鏈桿數(shù)532.體系的幾何組成分析規(guī)則一（二元體規(guī)則）:在一個剛片上加上或減去一個二元體，并不改變體系的幾何不變性或可變性。規(guī)則二（兩剛片規(guī)則）:兩剛片用三根即不相交于一點(diǎn)又不完全平行的鏈桿相聯(lián)，該體系為幾何不變體系，且沒有多余約束。規(guī)則三（三剛片規(guī)則）:三剛片用不在同一直線上的單鉸相聯(lián)，該體系為幾何不變體系，且沒有多余約束。分析步驟：（1）由規(guī)則一可將二元體逐一撤除使分析簡化。（2）將基礎(chǔ)、體系中的一根鏈桿、一根梁或某些幾何不變的部分視為剛片。（3）應(yīng)用規(guī)則二、三進(jìn)行判斷。54III1.計算平面體系的自由度并分析其幾何組成。無多余聯(lián)系的幾何不變體系。兩剛片規(guī)則二元體規(guī)則w＝3m－（2h＋r）＝34－（23＋6）＝0剛片體系55II有一個多余聯(lián)系的幾何不變體系。兩剛片規(guī)則二元體規(guī)則III2.計算平面體系的自由度并分析其幾何組成。w＝3m－（2h＋r）＝33－（23＋6）＝－1剛片體系有一個多余聯(lián)系I56Ii無多余聯(lián)系的幾何不變體系。三剛片規(guī)則IIIIABC3.計算平面體系的自由度并分析其幾何組成。w＝2j－（b＋r）＝26－（8＋4）＝0鏈桿體系57Ii3.瞬變體系。IIIIACB58II瞬變體系。IIII4.計算平面體系的自由度并分析其幾何組成。w＝2j－（b＋r）＝29－（13＋5）＝0鏈桿體系59AIIIIIIBC無多余聯(lián)系的幾何不變體系。5.計算平面體系的自由度并分析其幾何組成。w＝3m－（2h＋r）＝34－（25＋2）＝0剛片體系w＝3m－（2h＋r）＝32－（21＋4）＝060AIIIIIIBC無多余聯(lián)系的幾何不變體系。6.計算平面體系的自由度并分析其幾何組成。w＝2j－（b＋r）＝27－（11＋3）＝0鏈桿體系61II瞬變體系IIII7.計算平面體系的自由度并分析其幾何組成。w＝2j－（b＋r）＝28－（13＋3）＝0鏈桿體系62IIIIII8.計算平面體系的自由度并分析其幾何組成。w＝2j－（b＋r）＝28－（13＋3）＝0鏈桿體系無多余聯(lián)系的幾何不變體系63II9.計算平面體系的自由度并分析其幾何組成。幾何可變體系1Iw=2j-(b+r)=28-(13+3)=0324567864II10.計算平面體系的自由度并分析其幾何組成。幾何不變體系Iw=2j-(b+r)=28-(13+3)=065有一個多余聯(lián)系的幾何不變體系。11.計算平面體系的自由度并分析其幾何組成。w＝3m－（2h＋r）＝36－（28＋3）＝－1剛片體系有一個多余聯(lián)系兩剛片規(guī)則二元體規(guī)則66習(xí)題1.幾何不變且無多余約束的體系自由度必定為零。（）2.三個剛片由三個鉸相聯(lián)的體系一定是靜定結(jié)構(gòu)。（）３.有多余約束的體系一定是超靜定結(jié)構(gòu)。（）4.在任意荷載作用下，僅用靜力平衡方程即可確定全部反力和內(nèi)力的體系是幾何不變體系。（