上課雙曲線簡單幾何性質(zhì)

定義|

|MF1|-|MF2||

=2a（０

<

2a<|F1F2|）yyMMF2圖象F1

o

F2

xxF1方程x2

y2

a2

b2

1y2

x2

a2

b21a.b.c

的關(guān)系c2

a

2

b2復(fù)習(xí)回顧：oYX標(biāo)方準(zhǔn)程x

2

y

2

2

1a

2

b范圍|x|a,|y|≤b對稱性關(guān)于X,Y軸,原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)(±a,0),(0,±b)焦點(diǎn)(±c,0)對稱軸A1A2

;

B1B2離心率e

ca準(zhǔn)線F1F2A1A2B2B1橢圓的圖像與性質(zhì)的幾何性質(zhì):

范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率.漸近線類比橢圓,探討雙曲線

1(a

0,

b

0)x2

y2a2

b2的簡單幾何性質(zhì)2

y

1(a

0,b

0)a2

b2一、探究雙曲線x21、范圍a2x2xyo(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)2、對稱性以-x代x方程不變，故圖像關(guān)于y

軸對稱；以-y代y方程不變，故圖像關(guān)于

x

軸對稱；。以-x代x且以-y代y方程不變，故圖像關(guān)于

原點(diǎn)對稱3、頂點(diǎn)(與對稱軸的交點(diǎn))

A1(a,0)、A2

(a,0)1

-a22

1

即x

a

x

a或x

aAa

2A3、頂點(diǎn)（1）雙曲線與對稱軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)是A1

(a,0)、A2

(a,0)xyo1-b

B2BbA1

-aa

A2（2）

如圖，線段A1A2

叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長為2a,a叫做實(shí)半軸長；線段B1B2

叫做雙曲線的虛軸，它的長為2b,b叫做雙曲線的

虛半軸長（3）實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線

y2

m(m

0)x24

漸近線圖2.2

7A1OF1A

2

F2B2B1xy直線的方程是x

y

0.a

b行線x

a,經(jīng)過B1

,B2

作x軸的平行線y

b,四條直線圍成一個(gè)矩形圖2.2

7.矩形的兩條對角線所在的如圖,經(jīng)過A1

,A2作y軸的平條直線逐漸接近,

條直線叫雙曲線的漸近線.也就是說,雙曲線與它的漸近線無限接近,

但

相交.雙曲線

1的各支向遠(yuǎn)處延伸時(shí),與這兩a2

b2由幾何畫板實(shí)驗(yàn)可以看到x2

y24、漸近線ay

b

x1A2AB12Bxyoab的漸近線方程是？22

1

ya2

b2思考（1）雙曲線x漸進(jìn)線方程可由雙曲線方程怎樣得到？bk

bak

ba(a,b)再化簡所得的直線方程.

1中的1為0,得

－

＝0求法:

x2

y2令

a2

b2名師點(diǎn)睛4、漸近線1A2AB12Bxyoab（2）等軸雙曲線的漸近線方程是什么？y

xbk

bak

ba(a,b)（3）利用漸近線可以較準(zhǔn)確的畫出雙曲線的草圖畫矩形

畫漸進(jìn)線

畫雙曲線的草圖【例2法二

由于雙曲線的漸近線方程是

y＝

2x，所以可設(shè)雙曲線方程±3x2

y2為9

－4

＝λ(λ≠0)．∵雙曲線過點(diǎn)

P(

6，2)6

4．∴9－4＝λ，λ1＝－3.y2

x2∴故所求雙曲線方程為4

－3

＝1.3根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)雙曲線的漸近線的方程為

2x±3

y＝0

且經(jīng)過

P(

6，2)；5(2)經(jīng)過點(diǎn)P(3，－2)，離心率e＝

2

.題型二

根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程【變式2】求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)一個(gè)焦點(diǎn)為(0，13)，且離心率為513；(2)漸近線方程為

y＝

1

，且經(jīng)過點(diǎn)

A(2，－3)．±2x法二

由雙曲線的漸近線方程為

y＝±1

，2xx2222可設(shè)雙曲線方程為 －y

＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在雙曲線上，22222∴ －(－3)

＝λ，即λ＝－8.y2

x2∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為8

－32＝1.5

離心率曲線的離心率e

c

1.與橢圓類似,雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比c

,a叫做雙曲線的離心率.因?yàn)閏

a

0,所以雙a思考

離心率可以刻畫橢圓的扁平程度,雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征?5、離心率e是表示雙曲線開口大小的一個(gè)量,e越大開口越大a2c22e

a2a2

b2a2b2

1等軸雙曲線的離心率e=?2離心率e

2的雙曲線是等軸雙曲線名師點(diǎn)睛定義圖象方程范圍對稱性頂點(diǎn)離心率漸近線|

|MF1|-|MF2|

|

=2a（０

<

2a<|F1F2|）

1

1y2

x2a2

b2yxoF

2F

1MxyF2F1M雙曲線定義的簡單幾何性質(zhì)y

b

x(

x

y

0)a

a

bae

c

1x2

y2a2

b2x≤－a或x≥ay≤－a或y≥a關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對稱（實(shí)軸、虛軸、中心）(－a,

0)

(a,

0)

(0,－a)

(0,

a)y=

±

x(

±

=0)雙曲線的幾何性質(zhì)導(dǎo)引標(biāo)準(zhǔn)方程x2

y2—

＝1a2

b2(a＞0，b＞0)y2

x2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1(－_c_，0)、F2(c_，0)F1(0，－c_)_、F2(0_，c_)_焦距|F1F2_|＝2_c_范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱性關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)A1(－a_，0_)、A2(_a_，0_)A1(0_，－a_)、A2(0，a_)軸長實(shí)軸長＝

2a

，虛軸長＝

2b離心率ce＝

a

(e＞1)漸近線x

ya±b＝0x

yb±a＝0續(xù)表圖形方程范圍對稱性關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)離心率yxOA2B2AB1.

.1

F1F2yB2B1xO.

.A

A2F2F1

1(a

b

0)a2

b2x2

y2

a

x

a

b

y

bA1（-

a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）e

c

(0

e

1)aF1(-c,0)

F2(c,0)1F

(-c,0)F2(c,0)

1

(a

0,b

0

)a2

b2x2

y2x

a

或

x

a，y

R關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱A1（-

a，0），A2（a，0）e

c

(e

1)a漸近線無ay

b

x例3：1、雙曲線9x2-16y2=144的實(shí)半軸長頂點(diǎn)坐標(biāo)是

漸近線方是等于

4

虛半軸長等于

3

4,0x34y

1x2

y216

9

0)x

y4

.3(或5離心率e=

4

。條件。（用“充分條件”“必要條件”“充要條件”填空。）2、離心率e=

2

是雙曲線為等軸雙曲線的充要61頁

練（1）（3）61頁

練習(xí)

2徑為13

m

,下口半徑為25m,高55m.試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出此雙曲線方程(精確到1

m

).例4

雙曲線型冷卻塔的外形,

是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面(圖2.2

8

1

)它的最小半徑為12

m,上口半1圖2.2

8C`Cxy2圖2.2

81312A`

O

AB`

25

B解

如圖2.2

82,

建立直

a2

b2x2

y2角坐標(biāo)系xOy,使小圓的直徑AA`在x軸上,圓心與原點(diǎn)重合.這時(shí),上、下口的直徑

CC`,BB`都平行于x

軸,且|

CC`|

13

2,|

BB`|

25

2.設(shè)雙曲線的方程為

1

a

0,b

0

,

令點(diǎn)C的坐標(biāo)為13,y

,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為25,y

55.因?yàn)辄c(diǎn)B,C

在雙曲線上,所以A`AC`Cxy2圖2.2

81312OB`

25

B232122222252

1

,

1b2yb2

1

.

負(fù)值舍125b

由方程2

,得y

代所以,所求雙曲線的方解：設(shè)d是點(diǎn)M到直xll

'..FO由題意知.M

d|

MF

|

55516

.4|

x

|d

4(x

5)2

y2即兩邊平方，并化簡得：9x2

16

y2

144.

點(diǎn)M

的軌跡是實(shí)軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線..y例5、點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（5，0）的距離和它到，求點(diǎn)M的軌跡。5定直線

l

:

x

16

的距離的比是常數(shù)45

1.16

9x2

y2即

雙曲線的第二定義：是常數(shù)e

c

(e

1)，則這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線.動(dòng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和它到一條定直線l的距離的比a定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.

1，a2

b2x2

y2對于雙曲線

a2右焦點(diǎn)F2

(c，0)，對應(yīng)的右準(zhǔn)線方程是x

c

.a2左焦點(diǎn)F1

(c，0)對應(yīng)的左準(zhǔn)線方程是x

c

.a2c焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的準(zhǔn)線方程是：y

yll

'..FF

’

Od

.Mx61頁

練習(xí)

361頁

練習(xí)

4例6：

，過雙曲線

1的右焦點(diǎn)F2,傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求|AB|x2

y23

6F1yOAB

F2

x分析:求弦長問題有兩種方法:法一:如果交點(diǎn)坐標(biāo)易求,可直接用兩點(diǎn)間距離公式代入求弦長;法二:但有時(shí)為了簡化計(jì)算,常設(shè)而不求,運(yùn)用

定理來處理.法一:設(shè)直線AB的方程為y

33

(

x

3)與雙曲線方程聯(lián)立得A、B的坐標(biāo)為(3,

2

3),(

9

,

2

3

)5

5由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|=

1635例6：

，過雙曲線

1的右焦點(diǎn)F2,傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求|AB|x2

y23

6F12F

xyOAB3法二:設(shè)直線AB的方程為

y

3

(

x

3)與雙曲線方程聯(lián)立消y得5x2+6x-27=0由兩點(diǎn)間的距離公式得1 2121 2(33|

AB

|

(

x

x

)2

(

y

y

)2

(1 2

x

)2

2

3

5

x

16設(shè)A、B的坐標(biāo)為(x1,y1)、(x2,y2),則2

1

25

5x

6

,

x

x

27*活頁規(guī)范訓(xùn)練1．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，(

)．C．4B．－4解析

由雙曲線方程mx2＋y2＝1，知m<0，則雙，則a2＝1，a＝1，又虛軸長是實(shí)軸長的2倍，∴b＝2，答案

A則m的值為A．－

14D.

142曲線方程可化為

y

1

1x2m

1

b2

4m1∴

，∴m＝－

4

，故選A.2．雙曲線3x2－y2＝3的漸近線方程是(

)．解析答案

CA．y＝±3x

B．y＝±

3

x13C．y＝±

3

x

D．y＝±

3

x3y22令

x

0

，則y＝±

3x.3．已知中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸且經(jīng)過點(diǎn)P(1，3)，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()．

1D∴e2∴雙曲線為等軸雙曲線，故設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，又點(diǎn)P(1，3)在雙曲線上，則λ＝1－9＝－8，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為答案

D

1

.故選D.A.

x2

12

y4

4B.

y22

x

184

4x2

y2C.

8