機(jī)械優(yōu)化設(shè)計復(fù)習(xí)資料0001

、填空題.用最速下降法求f(x)=10(X2-X1)+(1—\\最優(yōu)解時，設(shè)M。)=［—0.5,0.5卜，第一步迭代的搜索方向為.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計采用數(shù)學(xué)的規(guī)劃法，其核心一是最佳步長，二是搜索方向.當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下，在任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。.應(yīng)用外推法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始點，中間點和終點，他們的函數(shù)值形成趨勢高低高。.包含n個設(shè)計變量的優(yōu)化問題，稱為 n維優(yōu)化問題。6.函數(shù)16.函數(shù)1xtHx+Btx+c的梯度為 HX+B .與負(fù)梯度成銳角的方向為函數(shù)值下降方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值的丕變方向。.設(shè)G為n義n對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個非零向量d0,d1，滿足(do)Gdi=0，則d0，d1之間存在共在關(guān)系。.設(shè)計變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件是優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素。.對于無約束二元函數(shù)f(X1,X2)，若在X0=(X12,X3J點處取得極小值，其必要條件是在X0點的梯度為0，充分條件是在X0點的海條矩陣正定。.K-T條件可以敘述為在極值點處目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。.用黃金分割法求一元函數(shù)f(x)=X2-10x+36的極值點，初始搜索區(qū)間LT=L10,1。］，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到新區(qū)間」2.36101 。.優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件。14.牛頓法搜索方向dk=-(V2fQ)-1VfQ)其計算量大，且要求初始在級極小點附近位置。14..將函數(shù)f(X)=x2+x2-xx-10x-4x+60表示成—XTHX+BTX+C的形式1 2 12 1 2 21「 ，2-11「 ，2-1-LxX-212-12X1+D10X2」fXI-4-1+60X22」.存在矩陣H，向量d1，d2，當(dāng)滿足djHd2=0向量d1和向量d2是關(guān)于H共軛方向。.采用外點法求約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點形式時引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點。.采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點時，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最佳步長.對于一維搜索，搜索區(qū)間為［〃/］，中間插入兩個點a，b，a<b，計算出f(a)<f(b)，則縮短后1111 1 1的搜索區(qū)間為La,b」。1.由于確定搜索方向和最佳步長的方法不一致，派生出不同的無約束優(yōu)化問題過程中，懲罰因子具體有趨于0變化規(guī)律。.尋出等式約束極值條件時，將等式優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題的方法有消元法和拉格朗日乘子法.優(yōu)化問題中二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變小.優(yōu)化設(shè)計中，可行設(shè)計點為可行域內(nèi)的設(shè)計點。.方向倒數(shù)定義為函數(shù)在某點處沿某一方向的變化率.設(shè)f(Q為定義在凸集R上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則fG)在R上為凸函數(shù)充分必要條件是海賽矩陣GG)在R上處處大于0.在n維空間中互相共軛的非零向量是個數(shù)最多有n個。.約束優(yōu)化問題在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點。.外點懲罰函數(shù)法的迭代過程在可行域外進(jìn)行，懲罰項的作用是迫使迭代點逼近邊界或等式約束曲面二、選擇題.下面C__方法需要求海賽矩陣。.對于約束問題[31]t根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷M1)=I1,11為D，工⑴=},、為。.內(nèi)點懲罰函數(shù)用于求解—B—優(yōu)化問題。.拉格朗日乘子法師求解等式約束優(yōu)化問題的一種經(jīng)典法，它是一種_D—。.對于一維搜索，搜索區(qū)間為[〃/]，中間插入兩個點5，%，a<bj計算出f(〃)<f(4)，則縮短后的搜索區(qū)間為—D—。.―D―不是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。.變尺度發(fā)的迭代公式為x+1=x-aHVfQJ，下列不屬于H必須滿足的條件是―C。kk k.函數(shù)f(x)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的___A。.下面四種無約束優(yōu)化方法中，—D在構(gòu)成搜索方向時沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。.設(shè)f(x)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海賽矩陣G(x)在R上處處_A。.通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是B―。.一維搜索試探方法中，黃金分割法比二次插值法的收斂速度_A—。.下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法 黃金分割法的敘述，錯誤的是CD，假設(shè)要求在區(qū)間[a,b]插入兩點a1，a之，a1<a2。.與梯度成銳角的方法為函數(shù)值_A方向，與負(fù)梯度成銳角的方向為函數(shù)值—B__方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值的___C___方向。.二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點就是A―。.最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為向量_B。.下列關(guān)于共軛梯度法的敘述，錯誤的是A。.下列關(guān)于內(nèi)點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是A―。.設(shè)f（Q是定義在凸集D上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f（Q在D上嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是—B:.下列幾種無約束問題求解方法中，哪種算法需要計算海賽矩陣—A—。.關(guān)于正交方向和共軛方向之間的關(guān)系，下列說法正確的是B。.多元函數(shù)的海賽矩陣是其B__偏導(dǎo)數(shù)所形成的對稱矩陣。.關(guān)于變尺度優(yōu)化方法的變尺度矩陣Ak，下列說法不正確的是C。.關(guān)于梯度，下列說法不正確的是B―。.與梯度成銳角的方向為函數(shù)值___A方向。三、判斷題.二元函數(shù)等值線密度的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（X）.海賽矩陣正定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（J）.當(dāng)?shù)咏鼧O值點時，最速下降法會出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象，導(dǎo)致收斂速度慢。（J）.外點懲罰函數(shù)法的懲罰因子降低系數(shù)越小，則迭代次數(shù)越多。（J）.梯度法求解無約束優(yōu)化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向?qū)Ｙ惥仃嚬曹?。（X）.數(shù)值迭代法求極值的核心就是建立搜索方向和計算最佳步長。（J）.海賽矩陣負(fù)定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（X）.拉格朗日乘子法師求解無約束優(yōu)化問題的一種方法。（X）.凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。（J）.一維搜索的二次插值法用到了點的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)信息。（X）.二元函數(shù)等值線稀疏的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（J）.海賽矩陣正定的充要條件是它的主子式都小于零。（X）.外點懲罰函數(shù)法師只試用于不等式約束問題（X）.變尺度法求解優(yōu)化問題時需計算海賽矩陣（X）.梯度法求解無約束優(yōu)化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向相互垂直。（J）四、問答題.什么是一維搜索問題？答：當(dāng)方向dk給定時，求最佳步長a就是求一元函數(shù)f（%k+i）=f1xk+adk）=w（a）的極值問題，它k k k稱為一維搜索。.試述兩種一維搜索方向的原理，它們之間有何區(qū)別？答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：(1)、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點的位置，此點的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法(2)、插值法：沒有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。.共軛梯度法是利用梯度求共軛方向的，那共軛方向與梯度之間有什么關(guān)系？f(X)=1XtGX+bTX+c對于二次函數(shù)， 2 ，從Xk點出發(fā)，沿G的某一共軛方向dk作一維搜索，到達(dá)。(x,r,r)=f(x)+r2^G(g(x))+r￡〃(h(x))12 1 j 2 kXk+卜點，則xk+1點處的搜索方向dj應(yīng)滿足 j=1 k=1j(gk+1—g)=0，即終點Xk+1與始點Xk的梯度之差gk+1—gk與dk的共軛方向dj正交。.懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？答：懲罰函數(shù)求解約束優(yōu)化問題的基本原理是將約束優(yōu)化問題中的不等式和等式約束優(yōu)化函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合成新的目標(biāo)函數(shù)----懲罰函數(shù)，即求解該新的目標(biāo)函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解。.與最速下降法和牛頓法比較，試述變尺度法的特點。答：牛頓法對于二次正定函數(shù)只需作一次迭代就得到最優(yōu)解，特別是在極小點附近，收斂性很好、速度快，而最速下降法在極小點附近收斂速度很差。但牛頓法也有缺點，它要求初始點在最優(yōu)點附近，否則牛頓法不能保證其收斂，甚至也不是下降方向。因此，變尺度法就是在克服了梯度法收斂速度慢和牛頓法計算量、存儲量大的特點基礎(chǔ)上而發(fā)展起來。.試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。答主要用數(shù)值解法，利用計算機(jī)通過反復(fù)迭代計算求得最佳步長因子的近似值..寫出應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。X1=x0+a0d0.答：意義是從X0出發(fā)沿某一規(guī)定方向d0求函數(shù)的極值點，設(shè)此點為XI，再從X1出發(fā)沿dl方向求函數(shù)的極值點X2,如此繼續(xù)。.變尺度矩陣的搜索方向是什么？變尺度矩陣應(yīng)滿足什么條件？變尺度矩陣在極小點處逼近什么矩陣？并寫出其初始形式。答：搜索方向是擬牛頓方向S(0)=-A(0)Vf(X(k))，條件：(1)為保證迭代公式具有下降的性質(zhì)，要求變尺度矩陣中的每一個矩陣都是對稱正定的。(2)要求矩陣之間具有簡單的形式:Hk+1=Hk+Eko(3)要求矩陣必須滿足擬牛頓條件。變尺度矩陣在極小點處逼近海塞矩陣的逆矩陣。初始形式Hk=I(單位矩陣)。.在變尺度法中，變尺度矩陣Hk為什么要求都是正定對稱的？答：因為若要求搜索方向dk=—Hkgk為下降方向，即要求gTdk<0，也就是一g'Hkgk<0，這樣gTHkgk>0,即Hk應(yīng)為對稱正定。.什么是共軛方向？滿足什么關(guān)系？共軛與正交是什么關(guān)系？答：共軛方向是若干個方向矢量組成的方向組，具有某種共同的性質(zhì)，之間存在特定的關(guān)系。存在矩陣H,,一dd ，一d1T ,一d,一d一，, , , 、, 、 、一，向量d1，d2，當(dāng)滿足 Hd2=0，向量d1和向量d2是關(guān)于H共軛方向。共軛是正交的推廣，正交是共軛的特例。.請寫出應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱處理約束優(yōu)化設(shè)計問題的基本步驟。答：(1)編寫定義目標(biāo)函數(shù)的M文件 如：functionf=ws331(x)f=1000-x(1)人2-2*x(2)人2-x(3)人2-x(1)*x(2)-x(1)*x(3)(2)編寫定義約束方程函數(shù)的M文件 如：function[c,ceq]=ws332(x)C(小于等于0)=[-x(1);-x(2);-x(3)];Ceq(等于0)=[x(1)人2+x(2)人2+x(3)人2-25;8*x(1)+14*x(2)+7*x(3)-56];(3)在窗口調(diào)用求解命令求解.。求解格式為：x0=[-1,1][x,fval]=fmincon(@fun1,x0,[],[],[],[],[],[],@con)12.試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點。答：最速下降法此法優(yōu)點是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點是收斂比較快，對二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時及數(shù)量比較大。.何為優(yōu)化設(shè)計的可行設(shè)計域和可行設(shè)計點？答:可行域：滿足所有約束條件的設(shè)計點，它在設(shè)計空間中的活動范圍稱作可行域。在可行域內(nèi)的任意一點可以叫做可行設(shè)計點。.無約束優(yōu)化問題數(shù)值求解的一般步驟是什么？答：(1)編寫乂文件， functionf=fun1(x)如f=xA4-5*xA3+4*xA2-6*x+60目標(biāo)函數(shù)文件。(2)在命令窗口中調(diào)用無約束線性函數(shù)fminunc求解。(單變量用fminbnd)求解格式為：x0=[-1,1][x,fval]=fminunc(@fun1,x0)五、解答題.試用牛頓法求fG)="-2》+。-2X2》的最優(yōu)解，設(shè)初始點工(。)」2,11。.設(shè)有函數(shù)f(x)=X2+2X2-2X1X2-4X]，試?yán)脴O值條件求其極值點和極值。.試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X)=1.5X2+0.5x2-x1x2-2%的最優(yōu)解，設(shè)初始點x(o)=[-2,4]，迭代精度8=0.02(迭代一步)。.求目標(biāo)函數(shù)f(