6.4　數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

6.4

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第六章課標(biāo)要求1.通過方程的解,認(rèn)識復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示的四則運(yùn)算,了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.4.通過復(fù)數(shù)的幾何意義,了解復(fù)數(shù)的三角表示,了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系,了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.備考指導(dǎo)復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)高考的重要考點(diǎn),每年必考.題目難度較小,一般為選擇題或填空題的前1~2個小題,主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)的相關(guān)概念、幾何意義等.熟練并準(zhǔn)確地進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算是關(guān)鍵.同時要認(rèn)真審題,看清楚題目的最終要求,避免低級失誤.內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識落實(shí)【知識篩查】

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位.復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部,b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.(2)全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.(3)復(fù)數(shù)相等a+bi與c+di(a,b,c,d∈R)相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d.即兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部和虛部分別相等.特別地,a,b∈R,a+bi=0?a=0,b=0.2.復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)b=0時,它是實(shí)數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時,它是實(shí)數(shù)0;當(dāng)b≠0時,它叫做虛數(shù);當(dāng)a=0,且b≠0時,它叫做純虛數(shù).可以通過下圖表示:(2)集合表示

3.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a,b)表示.這個建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸.顯然,實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對應(yīng)的,復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量也是一一對應(yīng)的,即提示:互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于x軸對稱.4.復(fù)數(shù)加、減法的運(yùn)算法則及加法運(yùn)算律(1)加、減法的運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù),則z1+z2=(a+c)+(b+d)I,z1-z2=(a-c)+(b-d)I.(2)加法運(yùn)算律對任意z1,z2,z3∈C,有①交換律:z1+z2=z2+z1;②結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).溫馨提示1.|z-z0|表示復(fù)數(shù)z和z0所對應(yīng)的點(diǎn)的距離,當(dāng)|z-z0|=r(r>0)時,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以z0對應(yīng)的點(diǎn)為圓心,半徑為r的圓.2.若|z-z1|=|z-z2|,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以Z1(a,b)和Z2(c,d)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上.6.復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律①復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.②復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對任意復(fù)數(shù)z1,z2,z3∈C,有(2)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0)(a,b,c,d∈R),溫馨提示對復(fù)數(shù)除法的兩點(diǎn)說明(1)實(shí)數(shù)化:分子、分母同時乘分母的共軛復(fù)數(shù),化簡后即得結(jié)果,這個過程實(shí)際上就是把分母實(shí)數(shù)化,這與根式除法的分母“有理化”很類似.(2)代數(shù)式:注意最后結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開.7.復(fù)數(shù)的三角表示式(選學(xué))(1)定義:r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式,簡稱三角形式.其中,r是復(fù)數(shù)z的模;θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊,向量

所在射線(射線OZ)為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角.為了與三角形式區(qū)分開來,a+bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡稱代數(shù)形式.(2)非零復(fù)數(shù)z輻角θ的多值性以x軸非負(fù)半軸為始邊,向量

所在的射線為終邊的角θ叫復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角,因此復(fù)數(shù)z的輻角是θ+2kπ(k∈Z).(3)輻角的主值①定義及表示:在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值,通常記作argz,即0≤argz<2π.②唯一性:復(fù)數(shù)z的輻角的主值是確定唯一的.特別注意:當(dāng)z=0時,其輻角是任意的.(4)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化復(fù)數(shù)z=a+bi=r(cosθ+isinθ)的兩種表示形式之間的關(guān)系為8.復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義(選學(xué))(1)復(fù)數(shù)三角形式的乘法①定義:設(shè)z1,z2的三角形式分別是z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),則z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].這就是說,兩個復(fù)數(shù)相乘,積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積,積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.記憶:模數(shù)相乘,輻角相加.1.在復(fù)平面內(nèi),z1,z2對應(yīng)的點(diǎn)為A,B,z1+z2對應(yīng)的點(diǎn)為C,O為坐標(biāo)原點(diǎn),(1)四邊形OACB為平行四邊形;(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形;(3)若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形;(4)若|z1|=|z2|,且|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為正方形.2.復(fù)數(shù)模的兩個重要性質(zhì)(1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;(2)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.3.in(n∈N*)的性質(zhì)當(dāng)n∈N*時,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若a∈C,則a2≥0.(

)(2)已知z=a+bi(a,b∈R),當(dāng)a=0時,復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).(

)(3)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的虛部為bi.(

)(4)方程x2+x+1=0沒有解.(

)(5)由于復(fù)數(shù)包含實(shí)數(shù),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)兩個數(shù)能比較大小,因此在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)兩個數(shù)也能比較大小.(

)×××××2.(2021全國Ⅰ,文2)設(shè)iz=4+3i,則z=(

)

A.-3-4i B.-3+4i

C.3-4i

D.3+4iC3.設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)

對應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限CC5.已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=(1+i)·(2-i)的實(shí)部是

.3∵復(fù)數(shù)z=(1+i)(2-i),∴z=2-i+2i-i2=3+i,∴復(fù)數(shù)的實(shí)部為3.第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算例1

(1)(2021全國Ⅱ,理3)已知(1-i)2z=3+2i,則z=(

)B2解題心得利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求復(fù)數(shù)的一般方法:(1)復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算.(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算主要是利用分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算化簡.解題心得復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略

復(fù)數(shù)的加減法在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時,可類比合并同類項(xiàng),運(yùn)用法則(實(shí)部與實(shí)部相加減,虛部與虛部相加減)計算即可復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng),不含i的看作另一類同類項(xiàng),分別合并即可復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若a+i=2-bi,則(a+bi)2=(

)A.3-4i B.3+4i

C.4-3i

D.4+3iA∵a+i=2-bi,∴a+bi=2-i,即(a+bi)2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i.(2)已知

(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z=(

)A.1+i B.1-i

C.-1+i D.-1-i(3)(2021新高考Ⅰ,2)已知z=2-i,則

=(

)A.6-2i B.4-2i

C.6+2i

D.4+2iDC能力形成點(diǎn)2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念例2

(1)若z=1+i,則|z2-2z|=(

)A.0 B.1

C. D.2D由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.(2)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)

的四個說法:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共軛復(fù)數(shù)為1+i;p4:z的虛部為-1.其中正確的是(

)A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4CC解題心得求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的基本思路:復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及求復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān),所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念的問題時,需先把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根據(jù)題意求解.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為(

)(2)復(fù)數(shù)

的共軛復(fù)數(shù)是(

)A.2+i B.2-I

C.-1+i D.-1-iDD能力形成點(diǎn)3復(fù)數(shù)的幾何意義例3

(1)(2021新高考Ⅱ,1)復(fù)數(shù)

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為(

)(2)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱,z1=2+i,則z1z2=(

)A.-5 B.5

C.-4+i D.-4-iA由題意知z2=-2+i.因?yàn)閦1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故選A.A2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題的解決更加直觀.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2021廣東珠海二模)已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=1-i,z對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z,O為原點(diǎn),則