【名師一號(hào)】高中數(shù)學(xué) 2.3.2平面與平面垂直的判定 新人教A必修2

2.3.2平面與平面垂直的判定

1編輯ppt自學(xué)導(dǎo)引(學(xué)生用書P48)2編輯ppt1.理解兩個(gè)平面垂直的定義及判定定理,運(yùn)用它解決有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.2.了解二面角的概念,掌握二面角的表示方法.3編輯ppt課前熱身(學(xué)生用書P48)4編輯ppt

1.兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是__________,就說這兩個(gè)平面互相垂直.2.如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條______,那么這兩個(gè)平面互相垂直.3.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的空間圖形稱為________,這條直線叫做二面角的________.以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角,叫做二面角的________.4.二面角的大小,用它的平面角來度量,二面角的平面角是幾度,就說這個(gè)二面角是________.直二面角垂線二面角棱平面角幾度5編輯ppt名師講解(學(xué)生用書P49)

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兩平面相交成直二面角時(shí),兩平面垂直.兩平面相交的這一特殊位置關(guān)系,決定著平面與平面垂直的概念?性質(zhì)和判斷,涉及的空間知識(shí)極為豐富,是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一.除定義外,判斷兩平面垂直的最常用的判定定理是“一平面過另一個(gè)平面的垂線”.證明兩個(gè)平面垂直,通常是通過證明線線垂直、線面垂直來實(shí)現(xiàn)的,同時(shí),在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.7編輯ppt異面直線所成的角?斜線與平面所成的角?二面角統(tǒng)稱為空間角,其求解方法相同,步驟是:第一步,作出它們的平面角;第二步,證明所作的角滿足定義;第三步,將作出的角放在三角形中,計(jì)算出平面角的大小,又簡(jiǎn)稱為“一作?二證?三計(jì)算”.在計(jì)算時(shí),會(huì)受到三角函數(shù)知識(shí)的影響,因此學(xué)習(xí)直線和平面所成的角?二面角時(shí),僅僅了解這兩個(gè)概念即可,不要在其如何求解上過多糾纏,其求解方法將在選修中重點(diǎn)學(xué)習(xí).8編輯ppt典例剖析(學(xué)生用書P49)9編輯ppt題型一空間線與面的位置關(guān)系例1:(1)已知m?l是直線,α?β是平面,給出下列命題:①若l垂直于α內(nèi)兩條相交直線,則l⊥α;②若l平行于α,則l平行于α內(nèi)的所有直線;③若mα,lβ,則l⊥m,則α⊥β;④若lβ,且l⊥α,則α⊥β;⑤若mα,lβ,且α∥β,則l∥m.10編輯ppt其中正確的命題的序號(hào)是__________.解析:本題考查線與線?線與面?面與面的位置關(guān)系.命題①是線面垂直的判定定理,所以正確;命題②,l∥α,但l不能平行于α內(nèi)所有直線;命題③,l⊥m,不能保證l⊥α,即分別包含l與m的平面α?β可能平行也可能相交而不垂直;命題④,為面面垂直的判定定理,所以正確;命題⑤,α∥β,但分別在α?β內(nèi)的直線l與m可能平行,也可能異面.①④11編輯ppt(2)如果直線l?m與平面α?β?γ滿足l=β∩γ,l∥α,m α,m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ和l⊥mB.α⊥γ和m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β和α⊥γ12編輯ppt解析:在“命題”形式的選擇題中,應(yīng)會(huì)尋找恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來否定其中一些錯(cuò)誤命題,如下圖.正方體ABCD—A1B1C1D1中,取平面CDD1C1為β,對(duì)角面ABC1D1為γ,對(duì)角面A1B1CD為α,CB1為m,C1D1為l,于是由m∩β=C,可排除B?C兩項(xiàng);又由α∩β=CD,排除D項(xiàng);易證A正確.答案:A13編輯ppt規(guī)律技巧:(1)題的關(guān)鍵是將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言,要求考生根據(jù)符號(hào)提供的信息去畫圖,去進(jìn)行推理和判斷,試題形式上是填空題,實(shí)際上是多選題,是高考題型的一種新變化.(2)排除法解立體幾何選擇題是常用的方法,本題是通過構(gòu)造正方體中的線和面來舉反例,尋找面面平行條件的關(guān)鍵是牢記定義和定理.14編輯ppt變式訓(xùn)練1:設(shè)有直線m\,n和平面α\,β,則下列命題中,正確的是()A.若m∥n,mα,nβ,則α∥βB.若m⊥α,m⊥n,nβ,則α∥βC.若m∥n,n⊥β,m α,則α⊥βD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,則α⊥β解析:C中,由m∥n,n⊥β,得m⊥β.又m α,∴α⊥β.答案:C15編輯ppt題型二用定義證明兩平面垂直例2:如圖,在四面體ABCD中, ,求證:平面ABD⊥平面BCD.16編輯ppt分析:△ABD與△BCD有公共邊BD,且都是等腰三角形.因此取BD的中點(diǎn)E,連結(jié)AE?CE.則∠AEC為二面角A-BD-C的平面角.證該角為直角即可.17編輯ppt證明:取BD的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,CE.由AB=AD=CB=CD知AE⊥BD,CE⊥BD∴∠AEC為二面角A-BD-C的平面角.在△ABD中,同理,在△BCD中,18編輯ppt∴AE2+CE2=a2=AC2∴AE⊥CE,即∠AEC=90°.∴平面ABD⊥平面BCD.規(guī)律技巧:在立體幾何中,常把空間問題,轉(zhuǎn)化為平面問題,用平面幾何知識(shí)求解.19編輯ppt變式訓(xùn)練2:如圖,已知:AB⊥β,AB∩β=B,ABα.求證:α⊥β.20編輯ppt證明:如下圖,設(shè)α∩β=a,則B∈a.21編輯ppt∵AB⊥β,aβ∴AB⊥a,在平面β內(nèi)作BE⊥a,則∠ABE為二面角α-a-β的平面角.∵AB⊥β,BEβ.∴AB⊥BE.∴∠ABE=90°即二面角α-a-β為直二面角∴α⊥β.22編輯ppt題型三面面垂直的判定例3:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E?F分別為AB?BB1的中點(diǎn).求證:平面DEF⊥平面A1BD1.23編輯ppt分析:畫出示意圖,利用正方體的性質(zhì),證面面垂直,可先證線面垂直,再用判定定理得證.24編輯ppt證明:如下圖所示.25編輯ppt由正方體的性質(zhì)知,A1D1⊥平面A1B1BA.EF平面A1B1BA,∴A1D1⊥EF.A1B⊥AB1,EF∥AB1,∴A1B⊥EF.又A1D1∩A1B=A1,∴EF⊥平面A1BD1.而EF平面DEF,∴平面DEF⊥平面A1BD1.26編輯ppt變式訓(xùn)練3:如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,求:(1)直線D1C與平面AC所成的角;(2)二面角D1—BC—D的大小.分析:∠D1CD是直線D1C與平面AC所成的角,也是二面角D1-BC-D的平面角.27編輯ppt解:(1)∵D1D⊥平面AC,∴D1C在平面AC上的射影是DC.∴∠D1CD是直線D1C與平面AC所成的角.在△D1CD中,D1D⊥CD,D1D=CD,∴∠D1CD=45°.∴直線D1C與平面AC所成的角是45°.28編輯ppt(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,∴BC⊥平面D1C.∴BC⊥D1C,BC⊥CD.∴∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.由(1)知∠D1CD=45°,∴二面角D1-BC-D的大小是45°.29編輯ppt易錯(cuò)探究30編輯ppt例4:在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,試問:截面ACB1與對(duì)角面BD1垂直嗎?錯(cuò)解:如圖所示,設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,連接B1O,則B1O是截面ACB1與對(duì)角面BD1的交線.因?yàn)锽1O是底面的斜線,所以截面ACB1與底面傾斜,從而截面ACB1不可能與對(duì)角面BD1垂直.31編輯ppt錯(cuò)因分析:錯(cuò)解從B1O傾斜于底面,就斷定截面ACB1不可能與對(duì)角面BD1垂直,這是沒有根據(jù)的,犯這種錯(cuò)誤主要是由于對(duì)空間中的線面關(guān)系的理解不夠透徹.正解:在正方形ABCD中,連結(jié)AC?BD,則AC⊥BD.又BB1⊥平面ABCD.AC平面ABCD,∴AC⊥BB1.又BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BD1.又AC在平面ACB1內(nèi),∴截面ACB1⊥對(duì)角面BD1.32編輯ppt技能演練(學(xué)生用書P50)

33編輯ppt基礎(chǔ)強(qiáng)化1.若平面α與平面β不垂直,那么α內(nèi)能與β垂直的直線()A.有0條B.有一條C.有2條 D.有無數(shù)條答案:A34編輯ppt2.過一條直線與一個(gè)平面垂直的平面的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.無數(shù) D.1或無數(shù)解析:當(dāng)a⊥α?xí)r,過a與平面α垂直的平面有無數(shù)個(gè);當(dāng)a不垂直α?xí)r,過a與平面α垂直的平面有一個(gè).答案:D35編輯ppt3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,則()A.α∥γ B.α⊥γC.α與γ相交,但不垂直 D.以上都有可能解析:垂直同一平面的兩個(gè)平面,相交?平行都有可能.答案:D36編輯ppt4.如下圖,ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,則在平面PAB?平面PAD?平面PCD?平面PBC及平面ABCD中,互相垂直的有()37編輯pptA.3對(duì) B.4對(duì)C.5對(duì) D.6對(duì)解析:互相垂直的平面有:平面PAB⊥平面PAD.平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面PBC,平面PAD⊥平面PCD.共5對(duì).答案:C38編輯ppt5.若兩條直線a與b異面,則過a且與b垂直的平面()A.有且只有一個(gè)B.可能有一個(gè),也可能不存在C.有無數(shù)多個(gè)D.一定不存在解析:當(dāng)a⊥b時(shí),存在一個(gè).當(dāng)a不垂直b時(shí),不存在.答案:B39編輯ppt6.自二面角內(nèi)任一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線,則兩垂線所成的角與二面角的關(guān)系是()A.相等 B.互補(bǔ)C.互余 D.無法確定解析:根據(jù)平面四邊形內(nèi)角和等于360°知,它們互補(bǔ).答案:B40編輯ppt7.在四面體ABCD中,若有兩組對(duì)棱互相垂直,則另一組對(duì)棱所成的角為________.90°41編輯ppt解析:借助于正方體做出判斷.如圖所示:在四面體ABCD中,有AB⊥CD,AC⊥BD.另一組對(duì)棱BC⊥AD.因此,另一組對(duì)棱所成的角為90°.42編輯ppt8.如圖,已知三棱錐D—ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等,且 BC=2,則以BC為棱,以面BCD與BCA為面的二面角為________.°9043編輯ppt解析:取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,DE,由題意知AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠AED為所求二面角的平面角.計(jì)算得 AD=2.∴AE2+DE2=AD2,∴∠AED=90°.44編輯ppt能力提升45編輯ppt9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)棱(1)求證:PD⊥平面ABCD;(2)求證:平面PAC⊥平面PBD;(3)求證:∠PCD為二面角P-BC-D的平面角.46編輯ppt證明:(1)∵∴PC2=PD2+DC2,∴PD⊥DC.同理可證:PD⊥AD,又AD∩DC=D,∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,而四邊形ABCD為正方形,∴AC⊥BD,又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PDB.47編輯ppt又AC平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC,BC⊥DC,∴BC⊥平面PDC,∴BC⊥PC.∴∠PCD為二面角P-BC-D的平面角.48編輯ppt10.如圖,已知△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且EC?DB在平面ABC的同側(cè),M為EA的中點(diǎn),CE=CA=2BD.求證:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.49編輯ppt證明:(1)如下圖,取AC中點(diǎn)N,連結(jié)MN,BN.∵△ABC為正三角形,∴BN⊥AC,∵EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,50編輯ppt∴EC∥BD,EC⊥BN.又M為AE中點(diǎn),EC=2BD,∴MN BD,∴四邊形MNBD是平行四邊形.∴BN DM.由BN⊥AC,BN⊥EC,得BN⊥平面AEC,∴DM⊥平面AEC,∴DM⊥AE,∴AD=DE.51編輯ppt(2)∵DM⊥平面AEC,DM平面BDM,∴平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM⊥平面AEC,DM平面ADE,∴平面DEA⊥平面ECA.52編輯ppt