數(shù)學(xué)七年級下：第一章 三角形的初步認識

PAGEPAGE7“第一章三角形的初步知識”分析本章主要內(nèi)容是在初步了解三角形的基礎(chǔ)上進一步學(xué)習(xí)三角形的一些基本性質(zhì)以及尺規(guī)作圖。在七年級上冊第7章中，學(xué)生已經(jīng)接觸了圖形的初步知識，體驗了從現(xiàn)實世界中抽象出幾何圖形，如直線、線段、射線、角；線與線之間的數(shù)量、位置關(guān)；角與角之間的數(shù)量、位置關(guān)系等，并引入了簡單的幾何符號描述，為本章三角形的邊、角關(guān)系的學(xué)習(xí)作好了知識上的準備，這也是為什么本冊要把這章放在第一章的原因之一，在學(xué)習(xí)內(nèi)容上有了更多的連續(xù)性。從這一章開始將比較深入地學(xué)習(xí)三角形的有關(guān)知識。三角形是最常見的幾何圖形之一，在現(xiàn)實生活和生產(chǎn)中有著非常廣泛的應(yīng)用，可以說三角形是學(xué)習(xí)“空間與圖形”的基礎(chǔ)。三角形的許多重要性質(zhì)是研究其它幾何圖形的依據(jù)。例如，多邊形可以分割成若干個三角形，并用三角形的知識去解決。根據(jù)三角形的性質(zhì)還可以推導(dǎo)許多其它章節(jié)中的重要結(jié)論。三角形全等是證明線段相等、角相等的重要工具，掌握三角形全等的判斷方法，一方面培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力，又為今后的進一步學(xué)習(xí)作好了準備?！俺咭?guī)作圖”因其應(yīng)用的廣泛性及在今后學(xué)習(xí)、工作中的重要性，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》重現(xiàn)了突出位置。通過對一些基本尺規(guī)作圖的要求，在操作過程中，培養(yǎng)學(xué)生積極探索精神，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作的實踐能力。課標(biāo)要求與教材地位1、原《大綱》與《課標(biāo)》對三角形初步知識要求的比較《大綱》《標(biāo)準》（1）理解三角形有關(guān)概念了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線）（2）了解全等三角形概念（探索并）理解全等三角形（3）靈活運用全等三角形的判定探索并掌握判定三角形全等的條件此外，《標(biāo)準》還要求利用較多的生活資料豐富學(xué)生對幾何圖形的認識與感受，欣賞并體驗幾何知識在生活中的廣泛應(yīng)用，注重使學(xué)生經(jīng)歷幾何建模過程與發(fā)現(xiàn)的探索過程，強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺和空間觀念，突出空間與圖形的文化價值。對圖形性質(zhì)的探索也提出了更高的要求，而對證明的難度與題目數(shù)量要求降低了。由原來的證明77條左右的幾何結(jié)論降為以6條基本性質(zhì)證明的40條左右的結(jié)論。在積累了一定的活動經(jīng)驗與掌握了一定的圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，從幾個基本的事實出發(fā)，證明一些有關(guān)三角形、四邊形的基本性質(zhì)，從而體會證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想。2、教材地位：三角形的知識在三個學(xué)段中的分布：第一學(xué)段：1、圖形的認識：=3\*GB3③辯認三角形等圖形；=5\*GB3⑤會用三角形拼圖；第二學(xué)段：1、圖形的認識：=7\*GB3⑦認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的內(nèi)角和是1800；=8\*GB3⑧認識按邊分按角分的各種三角形。2、測量：利用方格紙或割補等方法，探索并掌握三角形的面積公式。第三學(xué)段：1、圖形的認識（三角形）：=1\*GB3①了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線），會畫任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性。=3\*GB3③了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個三角全等的條件。之后是八上年級的特殊三角形概念、性質(zhì)與九上年級的相似三角形等，可以看出課標(biāo)對三角形的學(xué)習(xí)要求是從第一學(xué)段對三角形的特征感覺認識到第二學(xué)段對三角形的整體觀察、操作認識再到第三學(xué)段對三角形操作、實驗、探索，再到簡單的合理推理，體現(xiàn)了對幾何學(xué)習(xí)的認知邏輯。二、本章編寫特點1．利用實物原型，直觀地展示圖形世界中的奧妙，強調(diào)幾何建模的過程與探索。教材中涉及的概念都是從現(xiàn)實的背景出發(fā)，結(jié)合具體圖形，給出描述性的定義，讓學(xué)生根據(jù)圖形去理解。如全等的概念用三對完全相同的樹葉、郵票、拼圖板等來引導(dǎo)學(xué)生，通過觀察、對比、與同伴交流，得出能夠重合這種全等圖形的本質(zhì)屬性；二是從大量的實物原型，直觀地展示了豐富多彩的圖形世界中的奧妙。如用三角架鋼梁來說明三角形的穩(wěn)定性；用歷史上測量河寬的辦法說明三角形全等的實際應(yīng)用；工廠里測內(nèi)槽寬的卡鉗也是運用了三角形全等的原理等。這說明了三角形的學(xué)習(xí)是來源于實踐，服務(wù)于實踐。通過與現(xiàn)實圖形的結(jié)合，使學(xué)生從大量有趣的素材中，認識、體驗、理解三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法及應(yīng)用。這種把結(jié)論放到具體的情景中，聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗和活動經(jīng)驗，既增加了學(xué)生的直觀感受，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也使學(xué)生更好的理解和掌握原本是比較抽象的定理，并學(xué)會初步應(yīng)用。2、實驗推理并用，合理定位說理過程的要求，低起點邁小步逐步培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣。在七年級上冊“圖形的初步知識”一章中，學(xué)生已初步接觸了幾何語言。從初步接觸、逐漸加深，到比較嚴密完整地書寫出說理過程，還有很長的一個過程。幾何入門教學(xué)中是一個中學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的難點?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準》幾何證明方面的要求有所降低，但不是完全不要。本教科書在把握分寸的基礎(chǔ)上，采用實驗與推理并用，低起點、邁小步的辦法幫助學(xué)生逐步學(xué)會掌握。如用繩子來驗證三角形兩邊之和大于第三邊；用折紙來驗證三角形三個內(nèi)角的和等于180度；用填一個理由或一個結(jié)論的辦法訓(xùn)練較完整說理過程，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，慢慢養(yǎng)成說理有據(jù)的態(tài)度，尊重客觀事實的精神和質(zhì)問的習(xí)慣，形成說理的意識，而不是急于去追求說理的技巧速度與難度。3、轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)方式，強調(diào)動手操作，從操作中探性質(zhì)，從說理中求邏輯。因為本章還沒有出現(xiàn)公理體系，因此也不能從嚴格意義上證明命題。學(xué)生可以通過觀察、歸納、類比等方法去體驗，通過說理去驗證命題，這其中必然有許多必須動手操作的過程。這也為學(xué)生轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)方式創(chuàng)造了條件。例如，三角形兩邊的和大于第三邊；三角形三個內(nèi)角的和等于180度；說明兩個三角形全等等都是在折一折、比一比、拼一拼、做一做這些活動中得到確認，這本身也是一種探索過程。又如，畫三角形三條中線、三條角平分線、三條高及探索它們的一些特征，課本是通過“合作學(xué)習(xí)”的方式進行的。事實上，畫得是否準確，可以用三條線段或延長線是否交于一點來檢驗。這種奇妙的性質(zhì)雖然目前還無法證明，但通過以后的學(xué)習(xí)，一定能使學(xué)生得到滿意的答復(fù)。三角形的高的概念、畫法也是一樣，先動手畫，再與同伴交流讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)三角形的高的特征（交于一點；銳角三角形三條高的交點在三角形的內(nèi)部，直角三角形三條高的交點在直角頂點上，鈍角三角形三條高的交點在三角形的外部）。在本章中，課本強調(diào)直觀和操作，讓學(xué)生在觀察中學(xué)會分析，在操作中理解性質(zhì)，在活動中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在探索中增長才干。4、“把平面幾何豎起來”，注意空間與圖形內(nèi)容的整合。本章中還通過了直觀非形式化的手段體現(xiàn)了空間與圖形的整合。例如：教材P7例3中折疊椅子中算角度，教參P45的教案示例中補充的例2等地方。我們要理解與接受這是教材在逐步滲透發(fā)展學(xué)生的空間觀念，使教學(xué)內(nèi)容更緊密聯(lián)系學(xué)生生活實際和社會發(fā)展，使學(xué)生通過直接感受去理解和把握空間關(guān)系。教師在組織例題或習(xí)題時要考慮這方面的要求體現(xiàn)。二、教學(xué)建議1、三角形是最簡單、最基本的幾何圖形，許多圖形包括曲線形都可以通過三角形去研究。三角形在日常生活和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)生也有一定的感性認識。教學(xué)時教師要充分體現(xiàn)課本的編排意圖，盡量利用生活實物原型去展示，然后經(jīng)過觀察、聯(lián)想、交流、討論，師生共同歸納出有關(guān)三角形的一些概念、性質(zhì)。對于學(xué)生容易混淆的概念，應(yīng)在對比圖形中使學(xué)生理解、掌握。如三角形的外角的概念，學(xué)生往往從字面上理解，認為是三角形外面的角；外角和的概念則會理解為六個角的和，教學(xué)時可在變式圖形中從鄰補角去認識，充分利用信息技術(shù)處理六個外角與三個外角和的關(guān)系就可以少發(fā)生錯誤。2、自主探索學(xué)習(xí)在本章的體現(xiàn)更加突出，教師要考慮到這一點，在組織、引導(dǎo)、交流過程中應(yīng)該作好充分準備。如三角形的內(nèi)角和的探索途徑；外角性質(zhì)的探索途徑；在銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中畫高時，從高的特征、垂足和位置（尤其是對直角三角形、鈍角三角形，垂足位置在角的頂點或邊的延長線上）到三條高交于一點的關(guān)系步步深入等探索時，要讓學(xué)生通過操作、實驗、觀察、畫圖、計算、制作等途徑，使學(xué)生積極參與實踐活動，充分經(jīng)歷概念、性質(zhì)產(chǎn)生的過程，并注意培養(yǎng)如何從學(xué)生的活動中發(fā)現(xiàn)、歸納這些結(jié)論，嘗試用數(shù)學(xué)語言有條理的表達等方面下功夫。再如三角形全等的條件，除了記住SSS、SAS、ASA、AAS這些結(jié)論外，還應(yīng)該思考“具備什么條件才能使兩個三角形全等？”“兩邊一角對應(yīng)相等，角不是夾角行不行？為什么？如果不是夾角是否可對角作其它限制？”“條件還能少嗎？”等問題。然后通過動手操作等活動探索，感受合作學(xué)習(xí)的快樂，體會分析問題的方法，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)生探求知識的欲望，培養(yǎng)開拓創(chuàng)新的精神。3、繼續(xù)重視用幾何語言有條理表達能力的基礎(chǔ)培養(yǎng)。在七年級上冊第7章“圖形的初步知識”中，幾何語言的學(xué)習(xí)主要是描述性的，但從這一章開始初步進入推理階段，所以在表述上有更高的要求。課本的編排分三個層次逐步加深：首先是例題中的說理從1.1節(jié)的一段論到1.2的二段論到1.3的三段論；在課內(nèi)練習(xí)上也是先填一個符號，判斷一些邊、角的大小或關(guān)系；其次是說明三角形全等，或利用三角形全等的性質(zhì)來說明線段和角相等，完成說理過程。從第四節(jié)開始都有這種類型的習(xí)題，且要求依次提高，先填一些重要或剛學(xué)過的理由，到后來基本上要求從頭到尾填寫理由；最后是作圖題中說明道理，這一點教師在教學(xué)過程中要重視，學(xué)生練習(xí)中也應(yīng)該明白為什么可以這樣作圖的道理。應(yīng)該說推理過程的書寫是一個難點，特別是新教材把原來初二第一學(xué)期的內(nèi)容提前到這里來上了，以前我們認為幾何學(xué)習(xí)開始是學(xué)生兩極分化點，雖然標(biāo)準要求降低證明的難度，減少演繹推理，但對推理過程的規(guī)范書寫是必須的，在教學(xué)中教師應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生通過推理過程的“完形填空”、教師正確的板書、課堂模仿、對合作小組其他成員的書寫過程互相反問、評價、修改等活動，逐步提高，循序漸進。教師不能操之過急，避免讓學(xué)生立馬做比較復(fù)雜的推理表述，要防止學(xué)生對學(xué)習(xí)幾何喪失信心，提前出現(xiàn)兩極分化。4、重視“尺規(guī)作圖”技能的培養(yǎng)。教師可先向?qū)W生介紹有關(guān)“尺規(guī)作圖”的歷史背景，引起學(xué)生的興趣，它獨特的魅力曾吸引了無數(shù)的數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)愛好者。學(xué)生可能對為什么要用沒有刻度的直尺感到不理解，這里教師不需要更多的解釋，重要的是掌握尺規(guī)作圖的步驟。為了達到這一目的，教師可以分步耐心引導(dǎo)。開始作圖時，先示范，教師一邊畫，一邊用幾何語言敘述；然后由教師敘述，學(xué)生畫；最后由學(xué)生畫，并寫出作法。作圖可以培養(yǎng)學(xué)生耐心、細致、踏實的作風(fēng)，養(yǎng)成正確作圖的習(xí)慣也有利于以后對復(fù)雜圖形的正確分析。教師示范切忌馬虎、潦草。5、課時及重難點：本學(xué)期較短，本章建議采用教參建議，新課9課時，復(fù)習(xí)評價2課時，機動2課時。三、本章教學(xué)中應(yīng)注意的問題1.本章還不能達到對定理的嚴格意義上的證明，因此也不能以完整演繹推理的證明來要求學(xué)生，只需要做到合情推理，讓學(xué)生借助于實驗、觀察、歸納、類比等方法獲得數(shù)學(xué)猜想，并進一步尋求證據(jù)，給出說理過程。步步有據(jù)是為了逐步培養(yǎng)、訓(xùn)練學(xué)生幾何語言的使用和邏輯思維能力，教師在這里不能操之過急，應(yīng)嚴格控制教學(xué)要求，把重心留在培養(yǎng)學(xué)生“說理有據(jù)”的態(tài)度和規(guī)范的書寫上，形成說理的意識和對幾何結(jié)論敢于質(zhì)疑的習(xí)慣。不要把傳統(tǒng)教材中有關(guān)的幾何題的難度來要求學(xué)生，增加學(xué)生的課業(yè)負擔(dān)。2、重視三角形全等在生活和生產(chǎn)中的應(yīng)用。課本中已經(jīng)展示了許多聯(lián)系生活和生產(chǎn)實際的例題和習(xí)題，除了課本中提供的問題以外，教師還可以發(fā)動學(xué)生去發(fā)現(xiàn)身邊存在的數(shù)學(xué)幾何問題，可以以小論文、作文、或?qū)W習(xí)體會等形式來漫談，并嘗試解決與創(chuàng)新。3.對于作圖題，應(yīng)該區(qū)分兩種不同的要求：在七年級上冊第7章中已經(jīng)出現(xiàn)的用直尺和圓規(guī)作線段等習(xí)題，只要求畫出圖形，說明結(jié)果，可以不寫出畫法，但要保留作圖痕跡。本章開始，尺規(guī)作圖題在無特殊說明的情況下，都要求寫出作法，但不要求證明。課本將這部分內(nèi)容安排在這一章，是作為全等三角形的應(yīng)用來考慮的。因此寫出作法后，可以要求學(xué)生能說明理由，以培養(yǎng)學(xué)生步步有據(jù)的較嚴格的邏輯思維能力。但作圖題的難度控制在課標(biāo)規(guī)定的要求范圍內(nèi)，不宜添加動態(tài)的或是軌跡方面的作圖題。詳見課標(biāo)P38—40。4、本章的探究題、C組題、閱讀材料有一定的難度，可能部分學(xué)生有困難，教師視學(xué)生實際情況可靈活處理，或作適當(dāng)提示，但不能包辦代替，我個人認為雖然本學(xué)期時間相對較緊張，但讓學(xué)生先自己嘗