2023屆湖北省鄂東南三校聯(lián)考高三上學(xué)期階段（一）數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆湖北省鄂東南三校聯(lián)考高三上學(xué)期階段（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合A＝{x∈Z|－1≤x≤2}，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合A，B，利用交集定義能求出．【詳解】集合，集合，∴．故選：D．2．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】先將復(fù)數(shù)化簡，然后求出其模，最后代入求出答案即可.【詳解】由已知得，所以，所以.故選:C.3．若a，b是異面直線，直線，則c與b的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交【答案】D【解析】通過反證法的思想，可以判斷出選項(xiàng)正誤.【詳解】若a，b是異面直線，直線，則c與b不可能是平行直線．否則，若，則有，得出a，b是共面直線．與已知a，b是異面直線矛盾，故c與b的位置關(guān)系為異面或相交，故選：D4．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及中間值0，1，分析即得解【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D.5．如圖，在正方形ABCD中，|AB|=2，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2個(gè)單位的速度在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→D→A方向，以每秒1個(gè)單位的速度在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng).點(diǎn)M與點(diǎn)N同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒），△AMN的面積為f（t）（規(guī)定A，M，N共線時(shí)其面積為零，則點(diǎn)M第一次到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，y=f（t）的圖象為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，寫出的解析式，根據(jù)解析式分析選項(xiàng)可得答案．【詳解】①0≤t≤1時(shí)，f（t）=；②時(shí)，；③時(shí)，；④時(shí)，；所以，其圖象為選項(xiàng)A中的圖象，故選：A．6．在中，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用切化弦和三角恒等變換判斷出“”是“”的充分條件，利用“1”的代換將化為，判斷出“”不是“”的必要條件.【詳解】若，則，即，所以.所以，即，所以，所以，所以，所以“”是“”的充分條件；若，則，即，所以，所以或，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，上面記載了一道有名的“孫子問題”，后來南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《算書九章大衍求一術(shù)》中將此問題系統(tǒng)解決.“大衍求一術(shù)”屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題，后傳入西方，被稱為“中國剩余定理”.現(xiàn)有一道同余式組問題:將正整數(shù)中，被4除余1且被6除余3的數(shù)，按由小到大的順序排成一列數(shù)，記的前項(xiàng)和為，則（

）A．495 B．522 C．630 D．730【答案】C【分析】歸納出被4除余1且被6除余3的正整數(shù)的形式，即得通項(xiàng)公式，確定數(shù)列是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得結(jié)論．【詳解】被4除余1的正整數(shù)為形式，被6除余3的正整數(shù)為形式，被4除余1且被6除余3的數(shù)最小的正整數(shù)是9，它們可表示為，即，是等差數(shù)列，，，，故選：C．8．如圖，在半徑為2的扇形中，，點(diǎn)是弧上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，垂直于所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，垂直于所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，所以.設(shè)，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，取得最小值為.故選：C.二、多選題9．已知，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的性質(zhì)，利用作差法和基本不等式對選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)?，，，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，，所以，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，故D正確．故選：BCD．10．在中，內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法正確的是（

）A．若，則符合條件的有兩個(gè)B．若，則是鈍角三角形C．若，則D．若，則為等腰三角形【答案】BC【分析】由正弦定理得，判斷A錯(cuò)誤；由余弦定理得，判斷B正確；由正弦定理得，判斷C正確；將已知式子移項(xiàng)平方得，判斷錯(cuò)誤；【詳解】由正弦定理得，顯然無解，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，所以是鈍角三角形，故B正確；因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，所以，即，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤.故選:.11．如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且與平面的垂線垂直，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡是一條線段B．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等C．與平面所成最大角的正切值為D．與所成角的正弦值的取值范圍為【答案】ACD【分析】分別取的中點(diǎn)，證得平面平面即可判斷A；因得，由此可判斷B；由已知得為與平面所成的角，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，所成的角最大，求出正切值可判斷C；與所成角即為與所成角，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)所成角最小，當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)時(shí)所成角最大，求出其正弦值可判斷D．【詳解】設(shè)正方體的棱長為2．由題意知平面，連接，由，得，則共面．分別取的中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，同理可得平面．又是平面?nèi)的兩條相交直線，所以平面平面，而平面，所以平面，得點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；連接，連接交與，因，則，所以到平面的距離是到平面距離的2倍，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x等于到平面的距離，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為與平面所成的角．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，取最小值，此時(shí)最大，即與平面所成的角最大，其正切值為，故C正確；與所成角即為與所成角，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)所成角最小，即在中，，，；當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)時(shí)，，所成角最大為，其正弦值為1，所以與所成角的正弦值的取值范圍為，故D正確．故選：ACD．12．定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．C．的圖象在處的切線方程為D．和的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為10【答案】ABD【分析】選項(xiàng)A，轉(zhuǎn)化為，分析即得解；選項(xiàng)B，結(jié)合以及是偶函數(shù)可得的周期為2，分析即得解；選項(xiàng)C，先求解時(shí)的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求解切線斜率，分析即得解；選項(xiàng)D，畫出和的圖象，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】由的定義域?yàn)椋傻?，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；因?yàn)?，所以，又是偶函?shù)，所以，所以的周期為2，所以，故正確；當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以，又，所以的圖象在處的切線方程為，即，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對稱.畫出和的圖象如圖所示：由圖可得和的圖象有10個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于直線對稱，則所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于，故D正確.故選：.三、填空題13．已知向量滿足，則__________.【答案】15【分析】將左右平方得到，代入求出所求值.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以，得，所?故答案為：15.14．等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，若，則______.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比，從而列出關(guān)系式，又，接著用表示，代入到關(guān)系式中，可求出的值.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，則成等比，且，所以，又因?yàn)?，即，所以，整理?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，是一道基礎(chǔ)題。解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比.15．用表示三個(gè)數(shù)中最小值，則函數(shù)的最大值是___________．【答案】6【詳解】試題分析：由分別解得，則函數(shù)則可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為6【解析】分段函數(shù)的最值問題16．在側(cè)棱長為，底面邊長為2的正三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，M，N分別為PE和平面PAF上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】【分析】取中點(diǎn),連接交于點(diǎn),,易證得面,要求的最小,即求最小,可得平面，又可證明∥,再把平面繞旋轉(zhuǎn),與面共面,.結(jié)合數(shù)據(jù)解三角形即可.【詳解】解：取中點(diǎn),連接交于點(diǎn),,易證得面,要求的最小,即求最小,可得平面，又可證明∥,再把平面繞旋轉(zhuǎn),與面共面,又可證得.因?yàn)?，，又因?yàn)?，所以,所以，即，所以,所以,可得，.故答案為：.四、解答題17．已知關(guān)于的不等式的解集是．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)若，，且，求的最小值．【答案】(1)，．(2)【分析】（1）利用不等式的解集和對應(yīng)方程的根的關(guān)系求出實(shí)數(shù)；（2）先求出，利用基本不等式求解的最小值.【詳解】(1)因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以和是方程的兩個(gè)根，所以解得當(dāng)，時(shí)，的解集是，符合題意，所以，．(2)由（1）知，，所以，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，所以的最小值為．18．已知數(shù)列滿足且，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將已知條件與兩式相減，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解；（2）利用裂項(xiàng)相消求和法求出即可證明.【詳解】(1)解：因?yàn)?，所以，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以；(2)證明：，所以，由，得，所以，綜上，.19．如圖，在五面體中，四邊形為直角梯形，，，且.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求五面體的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】利用余弦定理求出，進(jìn)而利用勾股定理得到，則可證明平面，所以平面平面；根據(jù)第一問建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出每個(gè)線段長度，利用錐體體積公式求出五面體的體積.【詳解】(1)證明：因?yàn)樵谥?，，所以，解得，因?yàn)椋?又且平面，所以平面，又平面，故平面平面.(2)結(jié)合（1）及已知，，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即，令得故.又平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，或（舍），結(jié)合錐體的體積公式可得，故五面體的體積為.20．已知函數(shù).(1)若，求在區(qū)間上的值域；(2)若關(guān)于x的方程在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題設(shè)令，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)研究的值域即可；（2）將問題化為在上有零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)并討論參數(shù)a求范圍.【詳解】(1)由題設(shè)，又，令，則開口向上且對稱軸為，由，，，所以，即在區(qū)間上的值域?yàn)?(2)由在上有解，令，則，所以在上有零點(diǎn)，則，即或，而開口向上，對稱軸為，當(dāng)，對稱軸，則，可得，此時(shí)無解；當(dāng)，即對稱軸，若，對稱軸，此時(shí)只需，可得或，此時(shí)；若，對稱軸，此時(shí)只需，可得或，此時(shí)無解；若，對稱軸，此時(shí)只需，可得，此時(shí)無解；綜上，.（應(yīng)用參變分離法，研究右側(cè)對應(yīng)區(qū)間的值域范圍亦可）21．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足__________.(1)求角的大??；(2)若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，求面積的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）通過正弦定理將等式中的邊轉(zhuǎn)換為對應(yīng)角的正弦值，①中用正弦的半角公式展開計(jì)算即可；②中用三角函數(shù)的恒等變換計(jì)算即可；③中用余弦的二倍角公式計(jì)算即可.其中①③還涉及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用.（2）根據(jù)已知條件，用正弦定理將的轉(zhuǎn)換為正弦值，代入三角形面積公式中，化簡即可求出的面積取值范圍.【詳解】(1)①由可得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即；，得（舍去）,.故.②由可得，即因?yàn)闉殇J角三角形，所以，且故.③由得化簡可得；因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即故.(2)已知,角與角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn),故,根據(jù)正弦定理;設(shè)即，；因?yàn)闉殇J角三角形，所以，得；即故的面積取值范圍為：22．已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為0，無極大值(2)【分析】（1）先求出導(dǎo)數(shù)，再令，二次求導(dǎo)后可得，則可得在上單調(diào)遞增，由于，從而可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可求得極值，（2）問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，令，求導(dǎo)后分，討論函數(shù)的單調(diào)性及最值，當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的最小值，然后分，和判斷函數(shù)的零點(diǎn)，從而可求得結(jié)果.【詳解】(1)若，所以，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以的極小值為0，無極大值.(2)若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，令，則，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上至多有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以