《復(fù)變函數(shù)》筆記 - 知識(shí)點(diǎn)匯總3

復(fù)變函數(shù)16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)（JeromeCardan1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”。他是第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時(shí)，他把答案寫成=40，盡管他認(rèn)為和這兩個(gè)表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學(xué)》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)”與“實(shí)的數(shù)”相對(duì)應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來。數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星——虛數(shù)，于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)。德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（1646—1716）在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉（1707—1783）說；“一切形如，√-1，√-2的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈兯硎镜氖秦?fù)數(shù)的平方根。對(duì)于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻?！比欢?，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時(shí)間和空間的考驗(yàn)，最終占有自己的一席之地。法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾（1717—1783）在1747年指出，如果按照多項(xiàng)式的四則運(yùn)算規(guī)則對(duì)虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么它的結(jié)果總是的形式（a、b都是實(shí)數(shù)）（說明：現(xiàn)行教科書中沒有使用記號(hào)=-i，而使用=-1）。法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現(xiàn)公式了，這就是著名的棣莫佛定理。歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示一1的平方根，首創(chuàng)了用符號(hào)i作為虛數(shù)的單位。“虛數(shù)”實(shí)際上不是想象出來的，而它是確實(shí)存在的。挪威的測(cè)量學(xué)家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學(xué)術(shù)界的重視。德國(guó)數(shù)學(xué)家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實(shí)數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個(gè)平面上的點(diǎn)來表示。在直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a的點(diǎn)A，縱軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)b的點(diǎn)B，并過這兩點(diǎn)引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點(diǎn)C就表示復(fù)數(shù)a+bi。象這樣，由各點(diǎn)都對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來又稱“阿甘得平面”。高斯在1831年，用實(shí)數(shù)組（a，b）代表復(fù)數(shù)a+bi，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也象實(shí)數(shù)一樣地“代數(shù)化”。他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個(gè)名詞，還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法——直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合。統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)—一對(duì)應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)—一對(duì)應(yīng)。高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點(diǎn)，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間—一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。至此，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了。經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈——虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵。虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實(shí)數(shù)集才擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集。隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對(duì)于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)。復(fù)數(shù)的應(yīng)用系統(tǒng)分析在系統(tǒng)分析中，系統(tǒng)常常通過拉普拉斯變換從時(shí)域變換到頻域。因此可在復(fù)平面上分析系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的根軌跡法、奈奎斯特圖法（Nyquistplot）和尼科爾斯圖法（Nicholsplot）都是在復(fù)平面上進(jìn)行的。無論系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)在左半平面還是右半平面，根軌跡法都很重要。如果系統(tǒng)極點(diǎn)位於右半平面，則因果系統(tǒng)不穩(wěn)定；都位于左半平面，則因果系統(tǒng)穩(wěn)定；位於虛軸上，則系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)的全部零點(diǎn)都位於右半平面，則這是個(gè)最小相位系統(tǒng)。如果系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)關(guān)於虛軸對(duì)稱，則這是全通系統(tǒng)。信號(hào)分析信號(hào)分析和其他領(lǐng)域使用復(fù)數(shù)可以方便的表示周期信號(hào)。模值|z|表示信號(hào)的幅度，輻角arg(z)表示給定頻率的正弦波的相位。利用傅立葉變換可將實(shí)信號(hào)表示成一系列周期函數(shù)的和。這些周期函數(shù)通常用形式如下的復(fù)函數(shù)的實(shí)部表示：其中ω對(duì)應(yīng)角頻率，復(fù)數(shù)z包含了幅度和相位的信息。電路分析中，引入電容、電感與頻率有關(guān)的虛部可以方便的將電壓、電流的關(guān)系用簡(jiǎn)單的線性方程表示并求解。（有時(shí)用字母j作為虛數(shù)單位，以免與電流符號(hào)i混淆。）反常積分在應(yīng)用層面，復(fù)分析常用以計(jì)算某些實(shí)值的反常函數(shù)，藉由復(fù)值函數(shù)得出。方法有多種，見圍道積分方法。量子力學(xué)量子力學(xué)中復(fù)數(shù)是十分重要的，因其理論是建基於復(fù)數(shù)域上無限維的希爾伯特空間。相對(duì)論如將時(shí)間變數(shù)視為虛數(shù)的話便可簡(jiǎn)化一些狹義和廣義相對(duì)論中的時(shí)空度量(Metric)方程。應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用中，求解給定差分方程模型的系統(tǒng)，通常首先找出線性差分方程對(duì)應(yīng)的特征方程的所有復(fù)特征根r，再將系統(tǒng)以形為f(t)=e的基函數(shù)的線性組合表示。流體力學(xué)復(fù)函數(shù)於流體力學(xué)中可描述二維勢(shì)流(2DPotentialFlow)。碎形一些碎形如曼德勃羅集合和茹利亞集(Juliaset)是建基於復(fù)平面上的點(diǎn)的。數(shù)系理論的歷史發(fā)展數(shù)系理論的歷史發(fā)展表明，數(shù)的概念的每一次擴(kuò)張都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的進(jìn)步，但是這種進(jìn)步并不是按照數(shù)學(xué)教科書的邏輯步驟展開的。希臘人關(guān)于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)暴露出有理數(shù)系的缺陷，而實(shí)數(shù)系的完備性一直要到19世紀(jì)才得以完成。復(fù)數(shù)早在《九章算術(shù)》中就已被中國(guó)數(shù)學(xué)家所認(rèn)識(shí)，然而，15世紀(jì)的歐洲人仍然不愿意承認(rèn)復(fù)數(shù)的意義?！八脑獢?shù)”的發(fā)明，打開了通向抽象代數(shù)的大門，同時(shí)也宣告在保持傳統(tǒng)運(yùn)算定律的意義下，復(fù)數(shù)是數(shù)系擴(kuò)張的終點(diǎn)。人類發(fā)明的記數(shù)法并沒有束縛自己的想象力，中國(guó)古代“數(shù)窮則變”的思想對(duì)于當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)仍具有積極的意義。數(shù)，是數(shù)學(xué)中的基本概念，也是人類文明的重要組成部分。數(shù)的概念的每一次擴(kuò)充都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的巨大飛躍。一個(gè)時(shí)代人們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，以及數(shù)系理論的完善程度，反映了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平。今天，我們所應(yīng)用的數(shù)系，已經(jīng)構(gòu)造的如此完備和縝密，以致于在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的一切領(lǐng)域中，它都成為基本的語言和不可或缺的工具。在我們得心應(yīng)手地享用這份人類文明的共同財(cái)富時(shí)，是否想到在數(shù)系形成和發(fā)展的歷史過程中，人類的智慧所經(jīng)歷的曲折和艱辛呢？一、記數(shù)法、位置制和零人類在進(jìn)化的蒙昧?xí)r期，就具有了一種“識(shí)數(shù)”的才能，心理學(xué)家稱這種才能為“數(shù)覺”（perceptionofnumber）。動(dòng)物行為學(xué)家則認(rèn)為，這種“數(shù)覺”并非為人類所獨(dú)有。人類智慧的卓越之處在于他們發(fā)明了種種記數(shù)方法?！吨芤住は缔o下》記載“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書契”。東漢鄭玄稱：“事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡”。以結(jié)繩和書契記數(shù)的方法實(shí)際上遍及世界各地，如希臘、波斯、羅馬、巴勒斯坦、伊斯蘭和中美洲國(guó)家都有文獻(xiàn)記載和實(shí)物標(biāo)本。直到1826年，英國(guó)財(cái)政部才決定停止采用符契作為法定記數(shù)器。隨著人類社會(huì)的進(jìn)步，數(shù)的語言也在不斷發(fā)展和完善。數(shù)系發(fā)展的第一個(gè)里程碑出現(xiàn)了：位置制記數(shù)法。所謂位置制記數(shù)法，就是運(yùn)用少量的符號(hào)，通過它們不同個(gè)數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。引起歷史學(xué)家、數(shù)學(xué)史家興趣的是，在自然環(huán)境和社會(huì)條件影響下，不同的文明創(chuàng)造了迥然不同的記數(shù)方法。如巴比倫的楔形數(shù)字系統(tǒng)、埃及象形數(shù)字系統(tǒng)、希臘人字母數(shù)字系統(tǒng)、瑪雅數(shù)字系統(tǒng)、印度—阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)和中國(guó)的算籌記數(shù)系統(tǒng)。最早發(fā)展的一類數(shù)系應(yīng)該是簡(jiǎn)單分群數(shù)系（simplegroupingsystem），如在公元前3400年埃及象形文字中就有實(shí)例,它是10進(jìn)的，但卻不是位置的。在公元前3000到2000年之間，巴比倫人發(fā)展了60進(jìn)位的定位數(shù)系（positionalnumeralsystem），它采用了位置制，卻不是10進(jìn)的。而最重要和最美妙的記數(shù)法則是10進(jìn)位位置制記數(shù)法。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace,1749–1827）曾經(jīng)寫道：用十個(gè)記號(hào)來表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來如此簡(jiǎn)單，以致我們忽視了它的真正偉績(jī)。但恰恰是它的簡(jiǎn)單性以及對(duì)一切計(jì)算都提供了極大的方便，才使我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當(dāng)我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這成就的偉大了。拉普拉斯的這段評(píng)論十分精彩，只可惜他張冠李戴，把這項(xiàng)發(fā)明歸之于印度?，F(xiàn)已有充分而確鑿的史料證明，10進(jìn)位位置制記數(shù)法最先產(chǎn)生于中國(guó)。這一點(diǎn)也為西方的一些數(shù)學(xué)史家所主張。李約瑟就曾指出“在西方后來所習(xí)見的‘印度數(shù)字’的背后，位置制已在中國(guó)存在了兩千年?！辈贿^，10進(jìn)位位置制記數(shù)法的產(chǎn)生不能單純地歸結(jié)為天才的智慧。記數(shù)法的進(jìn)步是與計(jì)算工具的改進(jìn)相聯(lián)系的。研究表明，10進(jìn)位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國(guó)，是與算籌的使用與籌算制度的演進(jìn)分不開的?！?”作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)的文明中是不可缺少的。早期的巴比倫楔形文字和宋代以前的中國(guó)籌算記數(shù)法，都是留出空位而沒有符號(hào)。印度人起初也是用空位表示零，后來記成點(diǎn)號(hào)“·”，最后發(fā)展為圈號(hào)。印度數(shù)碼在公元8世紀(jì)傳入阿拉伯國(guó)家。13世紀(jì)初，意大利的商人斐波那契（LeonadoFibonacci,1175-1250）編著《算經(jīng)》（LiberAbacci,1202），把包括零號(hào)在內(nèi)完整的印度數(shù)碼介紹到了歐洲。印度數(shù)碼和10進(jìn)位位置制記數(shù)法被歐洲人普遍接受后，在歐洲的科學(xué)和文明的進(jìn)步中扮演了重要的角色。二、大數(shù)記法古代希臘人曾經(jīng)提出一個(gè)問題：他們認(rèn)為世界上的沙子是無窮的，即使不是無窮，也沒有一個(gè)可以寫出來的數(shù)超過沙子的數(shù)。阿基米德（Archimedes,BC287-212）的回答是：不。在《數(shù)沙術(shù)》中，阿基米德以萬（myriad）為基礎(chǔ)，建立新的記數(shù)法，使得任何大的數(shù)都能表示出來。他的做法是：從1起到1億（原文是萬萬，myriadmyriads,這里按照中文的習(xí)慣改稱為億）叫做第1級(jí)數(shù)；以億（108）為第2級(jí)數(shù)的單位，從億到億億（108）2叫做第2級(jí)數(shù)；在以億億為單位，直到億億億（108）3叫做第3級(jí)數(shù)。直到第1億級(jí)數(shù)的最后一數(shù)億億。阿基米德算出充滿宇宙的沙子的數(shù)目不過是1051,即使擴(kuò)充到“恒星宇宙”，即以太陽(yáng)到恒星的距離為半徑的天球，也不過只能容納1063個(gè)沙粒！同樣的問題也出現(xiàn)在中國(guó)古代。漢代以前，數(shù)皆10進(jìn)，以10萬位億。韋昭解《國(guó)語·鄭語》第十六：“計(jì)億事，材兆物，收經(jīng)入，行垓極”。注稱“計(jì)，算也；材，裁也。賈唐說皆以萬萬為億，鄭后司農(nóng)云：十萬曰億，十億曰兆，從古數(shù)也?！薄稊?shù)術(shù)記遺》中則詳細(xì)記載了對(duì)大數(shù)的一整套命名和三種進(jìn)位方法?！稊?shù)術(shù)記遺》稱：黃帝為法，數(shù)有十等，及其用也，乃有三焉。十等者億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載；三等者，謂上、中、下也。其下數(shù)者。十十變之，若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也。中數(shù)者，萬萬變之，若言萬萬曰億、萬萬億曰兆，萬萬兆曰京。上數(shù)者，數(shù)窮則變，若言萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京也。從億至載，終于大衍?！稊?shù)術(shù)記遺》中的“大數(shù)之法”的數(shù)學(xué)意義并不僅僅在于它構(gòu)造了三種記數(shù)方法，更為重要的是它揭示了人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有限走向無限的艱難歷程。客觀的需要和數(shù)學(xué)的發(fā)展都促使人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)和把握越來越大的數(shù)。起初，對(duì)一些較大的數(shù)，人們還可以理解它，還能夠利用已有的記數(shù)單位去表示它。但是，隨著人們認(rèn)識(shí)的發(fā)展，這些大數(shù)也在迅速的擴(kuò)張，原有的記數(shù)單位難以為用。人們不禁要問：數(shù)有窮乎？這是數(shù)系發(fā)展中的需要回答的重大命題。《數(shù)術(shù)記遺》中記載的徐岳和他的老師劉洪的對(duì)話，精彩的闡明了“數(shù)窮則變”的深刻道理：徐岳問曰：數(shù)有窮乎？會(huì)稽（劉洪）答曰：吾曾游天目山中，見有隱者，世莫知其名，號(hào)曰天目先生，余亦以此意問之。先生曰：世人言三不能比兩，乃云捐悶與四維。數(shù)不識(shí)三，妄談知十。不辨積微之為量，詎曉百億于大千？黃帝為法，數(shù)有十等?！瓘膬|至載，終于大衍。會(huì)稽問曰：先生之言，上數(shù)者數(shù)窮則變，既云終于大衍，大衍有限，此何得無窮？先生答曰：數(shù)之為用，言重則變，以小兼大，又加循環(huán)。循環(huán)之理，且有窮乎！天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循環(huán)之理”，以有限來認(rèn)識(shí)無限，而指引這一途徑的重要思想是“言重則變”。即便是今日，“數(shù)窮則變”這一樸素的辯證思維所蘊(yùn)涵的深邃哲理仍值得人們深思。三、有理數(shù)系位置制記數(shù)法的出現(xiàn)，標(biāo)志著人類掌握的數(shù)的語言，已從少量的文字個(gè)體，發(fā)展到了一個(gè)具有完善運(yùn)算規(guī)則的數(shù)系。人類第一個(gè)認(rèn)識(shí)的數(shù)系，就是常說的“自然數(shù)系”。但是，隨著人類認(rèn)識(shí)的發(fā)展，自然數(shù)系的缺陷也就逐漸顯露出來。首先，自然數(shù)系是一個(gè)離散的、而不是稠密的數(shù)系[2]，因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個(gè)單位量的整數(shù)倍，而無法表示它的部分。同時(shí)，作為運(yùn)算的手段，在自然數(shù)系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運(yùn)算。這些缺陷，由于分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的出現(xiàn)而得以彌補(bǔ)。有趣的是這些分?jǐn)?shù)也都帶有強(qiáng)烈的地域特征。巴比倫的分?jǐn)?shù)是60進(jìn)位的，埃及采用的是單分?jǐn)?shù)(unitfraction)，阿拉伯的分?jǐn)?shù)更加復(fù)雜：?jiǎn)畏謹(jǐn)?shù)、主分?jǐn)?shù)和復(fù)合分?jǐn)?shù)。這種繁復(fù)的分?jǐn)?shù)表示必然導(dǎo)致分?jǐn)?shù)運(yùn)算方法的繁雜，所以歐洲分?jǐn)?shù)理論長(zhǎng)期停滯不前，直到15世紀(jì)以后才逐步形成現(xiàn)代的分?jǐn)?shù)算法。與之形成鮮明對(duì)照的是中國(guó)古代在分?jǐn)?shù)理論上的卓越貢獻(xiàn)。原始的分?jǐn)?shù)概念來源于對(duì)量的分割。如《說文·八部》對(duì)“分”的解釋：“分，別也。從八從刀，刀以分別物也?！钡?，《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)是從除法運(yùn)算引入的。其“合分術(shù)”有云：“實(shí)如法而一。不滿法者，以法命之?！边@句話的今譯是：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一個(gè)分?jǐn)?shù)。中國(guó)古代分?jǐn)?shù)理論的高明之處是它借助于“齊同術(shù)”把握住了分?jǐn)?shù)算法的精髓：通分。劉徽在《九章算術(shù)注》中所言：眾分錯(cuò)雜，非細(xì)不會(huì)。乘而散之，所以通之。通之則可并也。凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也。齊者，子與母齊，勢(shì)不可失本數(shù)也。有了齊同術(shù)，就可將分?jǐn)?shù)化異類為同類，變相違為相通。劉徽深得其中奧秘，稱：“然則齊同之術(shù)要矣。錯(cuò)綜度數(shù)，動(dòng)之斯諧，其猶佩?解結(jié)，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀(jì)乎?！比菀鬃C明，分?jǐn)?shù)系是一個(gè)稠密的數(shù)系，它對(duì)于加、乘、除三種運(yùn)算是封閉的。為了使得減法運(yùn)算在數(shù)系內(nèi)也同行無阻，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)就是必然的了。盈余與不足、收入與支出、增加與減少是負(fù)數(shù)概念在生活中的實(shí)例，教科書在向?qū)W生講授負(fù)數(shù)是也多循此途。這就產(chǎn)生一種誤解：似乎人類正是從這種具有相反意義的量的認(rèn)識(shí)而引進(jìn)了負(fù)數(shù)的。歷史的事實(shí)表明：負(fù)數(shù)之所以最早為中算家所引進(jìn)，這是由中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，算法高度發(fā)達(dá)和籌算機(jī)械化的特點(diǎn)所決定的。負(fù)數(shù)的概念和算法首先出現(xiàn)在《九章算術(shù)》“方程”章，因?yàn)閷?duì)“方程”進(jìn)行兩行之間的加減消元時(shí)，就必須引入負(fù)數(shù)和建立正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。劉徽的注釋深刻的闡明了這點(diǎn)：今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。正算赤，負(fù)算黑，否則以斜正為異。方程自有赤黑相取，左右數(shù)相推求之術(shù)。而其并減之勢(shì)不得廣通，故使赤黑相消奪之?！食嗪谙嚯s足以定上下之程，減益雖殊足以通左右之?dāng)?shù)，差實(shí)雖分足以應(yīng)同異之率。然則其正無入負(fù)之，負(fù)無入正之，其率不妄也。負(fù)數(shù)雖然通過阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀(jì)和17世紀(jì)的大多數(shù)數(shù)學(xué)家并不承認(rèn)它們是數(shù)，或者即使承認(rèn)了也并不認(rèn)為它們是方程的根。如丘凱（NicolasChuquet，1445-1500）和斯蒂費(fèi)爾（Stifel,1486-1567）都把負(fù)數(shù)說成是荒謬的數(shù)，是“無稽之零下”?？ǖ?Cardan,1501-1576)把負(fù)數(shù)作為方程的根，但認(rèn)為它們是不可能的解，僅僅是一些記號(hào)；他把負(fù)根稱作是虛有的。韋達(dá)(Vieta,1540-1630)完全不要負(fù)數(shù)，巴斯卡（Pascal,1623-1662）則認(rèn)為從0減去4純粹是胡說。負(fù)數(shù)是人類第一次越過正數(shù)域的范圍，前此種種的經(jīng)驗(yàn)，在負(fù)數(shù)面前全然無用。在數(shù)系發(fā)展的歷史進(jìn)程中，現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)有時(shí)不僅無用，反而會(huì)成為一種阻礙。我們將會(huì)看到，負(fù)數(shù)并不是惟一的例子。四、實(shí)數(shù)理論的完善無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，擊碎了Pythagoras學(xué)派“萬物皆數(shù)”的美夢(mèng)。同時(shí)暴露出有理數(shù)系的缺陷：一條直線上的有理數(shù)盡管是“稠密”，但是它卻漏出了許多“孔隙”，而且這種“孔隙”多的“不可勝數(shù)”。這樣，古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，就徹底的破滅了。它的破滅，在以后兩千多年時(shí)間內(nèi)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，起到了深遠(yuǎn)的影響。不可通約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來眾說紛紜。兩個(gè)不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋，而被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)達(dá)芬奇（LeonardodaVinci,1452-1519）把它們稱為是“無理的數(shù)”（irrationalnumber），開普勒（J.Kepler,1571-1630）稱它們是“不可名狀”的數(shù)。這些“無理”而又“不可名狀”的數(shù)，找到雖然在后來的運(yùn)算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實(shí)實(shí)在在的數(shù)，卻一直是個(gè)困擾人的問題。中國(guó)古代數(shù)學(xué)在處理開方問題時(shí)，也不可避免地碰到無理根數(shù)。對(duì)于這種“開之不盡”的數(shù)，《九章算術(shù)》直截了當(dāng)?shù)亍耙悦婷庇枰越邮?，劉徽注釋中的“求其微?shù)”，實(shí)際上是用10進(jìn)小數(shù)來無限逼近無理數(shù)。這本是一條完成實(shí)數(shù)系統(tǒng)的正確道路，只是劉徽的思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他的時(shí)代，而未能引起后人的重視。不過，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)關(guān)注的是數(shù)量的計(jì)算，對(duì)數(shù)的本質(zhì)并沒有太大的興趣。（李）而善于究根問底的希臘人就無法邁過這道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希臘數(shù)學(xué)家，如歐多克斯（Eudoxus）、歐幾里得（Euclid）在他們的幾何學(xué)里，都嚴(yán)格避免把數(shù)與幾何量等同起來。歐多克斯的比例論（見《幾何原本》第5卷），使幾何學(xué)在邏輯上繞過了不可公度的障礙，但就在這以后的漫長(zhǎng)時(shí)期中，形成了幾何與算術(shù)的顯著分離。17、18世紀(jì)微積分的發(fā)展幾乎吸引了所有數(shù)學(xué)家的注意力，恰恰是人們對(duì)微積分基礎(chǔ)的關(guān)注，使得實(shí)數(shù)域的連續(xù)性問題再次突顯出來。因?yàn)椋⒎e分是建立在極限運(yùn)算基礎(chǔ)上的變量數(shù)學(xué)，而極限運(yùn)算，需要一個(gè)封閉的數(shù)域。無理數(shù)正是實(shí)數(shù)域連續(xù)性的關(guān)鍵。無理數(shù)是什么？法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（A.Cauchy,1789-1875）給出了回答：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。然而按照柯西的極限定義，所謂有理數(shù)序列的極限，意即預(yù)先存在一個(gè)確定的數(shù)，使它與序列中各數(shù)的差值，當(dāng)序列趨于無窮時(shí)，可以任意小。但是，這個(gè)預(yù)先存在的“數(shù)”，又從何而來呢？在柯西看來，有理序列的極限，似乎是先驗(yàn)地存在的。這表明，柯西盡管是那個(gè)時(shí)代大分析學(xué)家，但仍未能擺脫兩千多年來以幾何直覺為立論基礎(chǔ)的傳統(tǒng)觀念的影響。變量數(shù)學(xué)獨(dú)立建造完備數(shù)域的歷史任務(wù)，終于在19世紀(jì)后半葉，由維爾斯特拉斯（Weierstrass,1815-1897）、戴德金（R.Dedekind1831-1916）、康托（G.Cantor,1845-1918）等人加以完成了。1872年，是近代數(shù)學(xué)史上最值得紀(jì)念的一年。這一年，克萊因（F.Kline,1849-1925）提出了著名的“埃爾朗根綱領(lǐng)”（ErlangerProgramm），維爾斯特拉斯給出了處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的著名例子。也正是在這一年，實(shí)數(shù)的三大派理論：戴德金“分割”理論；康托的“基本序列”理論，以及維爾斯特拉斯的“有界單調(diào)序列”理論，同時(shí)在德國(guó)出現(xiàn)了。努力建立實(shí)數(shù)的目的，是為了給出一個(gè)形式化的邏輯定義，它既不依賴幾何的含義，又避免用極限來定義無理數(shù)的邏輯錯(cuò)誤。有了這些定義做基礎(chǔ)，微積分中關(guān)于極限的基本定理的推導(dǎo)，才不會(huì)有理論上的循環(huán)。導(dǎo)數(shù)和積分從而可以直接在這些定義上建立起來，免去任何與感性認(rèn)識(shí)聯(lián)系的性質(zhì)。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發(fā)展的漫長(zhǎng)歲月的過程中已經(jīng)被證明。因此，必要的嚴(yán)格性只有通過數(shù)的概念，并且在割斷數(shù)的概念與幾何量觀念的聯(lián)系之后才能完全達(dá)到。這里，戴德金的工作受到了崇高的評(píng)價(jià)，這是因?yàn)椋伞按鞯陆鸱指睢倍x的實(shí)數(shù)，是完全不依賴于空間與時(shí)間直觀的人類智慧的創(chuàng)造物。實(shí)數(shù)的三大派理論本質(zhì)上是對(duì)無理數(shù)給出嚴(yán)格定義，從而建立了完備的實(shí)數(shù)域。實(shí)數(shù)域的構(gòu)造成功，使得兩千多年來存在于算術(shù)與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數(shù)不再是“無理的數(shù)”了，古希臘人的算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，也終于在嚴(yán)格的科學(xué)意義下得以實(shí)現(xiàn)。五、復(fù)數(shù)的擴(kuò)張復(fù)數(shù)概念的進(jìn)化是數(shù)學(xué)史中最奇特的一章，那就是數(shù)系的歷史發(fā)展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續(xù)性。人們沒有等待實(shí)數(shù)的邏輯基礎(chǔ)建立之后，才去嘗試新的征程。在數(shù)系擴(kuò)張的歷史過程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認(rèn)識(shí)，而天才的直覺隨著勇敢者的步伐已經(jīng)到達(dá)了遙遠(yuǎn)的前哨陣地。1545年，此時(shí)的歐洲人尚未完全理解負(fù)數(shù)、無理數(shù)，然而他們智力又面臨一個(gè)新的“怪物”的挑戰(zhàn)。例如卡丹在所著《重要的藝術(shù)》（1545）中提出一個(gè)問題：把10分成兩部分，使其乘積為40。這需要解方程x(10-x)=40，他求得的根是和，然后說“不管會(huì)受到多大的良心責(zé)備，”把和相乘，得到25—（—15）=40。于是他說，“算術(shù)就是這樣神妙地搞下去，它的目標(biāo)，正如常言所說，是有精致又不中用的。”笛卡爾（Descartes,1596-1650）也拋棄復(fù)根，并造出了“虛數(shù)”（imaginarynumber）這個(gè)名稱。對(duì)復(fù)數(shù)的模糊認(rèn)識(shí)，萊布尼茲（Leibniz,1646-1716）的說法最有代表性：“圣靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個(gè)理想世界的端兆，那個(gè)介于存在與不存在之間的兩棲物，那個(gè)我們稱之為虛的—1的平方根?！敝钡?8世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們對(duì)復(fù)數(shù)才稍稍建立了一些信心。因?yàn)椋还苁裁吹胤?，在?shù)學(xué)的推理中間步驟中用了復(fù)數(shù)，結(jié)果都被證明是正確的。特別是1799年，高斯（Gauss,1777-1855）關(guān)于“代數(shù)基本定理”的證明必須依賴對(duì)復(fù)數(shù)的承認(rèn)，從而使復(fù)數(shù)的地位得到了近一步的鞏固。當(dāng)然，這并不是說人們對(duì)“復(fù)數(shù)”的顧慮完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（DeMorgan,1806-1871）在他的著作《論數(shù)學(xué)的研究和困難》中依然認(rèn)為：已經(jīng)證明了記號(hào)是沒有意義的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通過這些記號(hào)，代數(shù)中極其有用的一部分便建立起來的，它依賴于一件必須用經(jīng)驗(yàn)來檢驗(yàn)的事實(shí)，即代數(shù)的一般規(guī)則可以應(yīng)用于這些式子（復(fù)數(shù)）?！覀冎?，18世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上的“英雄世紀(jì)”，人們的熱情是如何發(fā)揮微積分的威力，去擴(kuò)大數(shù)學(xué)的領(lǐng)地，沒有人會(huì)對(duì)實(shí)數(shù)系和復(fù)數(shù)系的邏輯