工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)課件

第三章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第一節(jié)

定積分的概念第二節(jié)

微積分基本公式與基本定理第三節(jié)

兩種基本積分法第四節(jié)

定積分的應(yīng)用第五節(jié)

反常積分第六節(jié)

幾類簡單的微分方程第二節(jié)微積分基本公式與基本定理微積分基本公式微積分基本定理不定積分習(xí)題3.2(A)3(6)(8),4(3)(5)(7),9(1),13,14回顧2010-11-74/26微積分基本公式與基本定理n

i

id

0

i

1f

(

)x

limbaf

(

x)dxf

在[a,b]上有界。定義1.1（定積分）可積的必要條件：

mi

)xi

0nd

0

i

1可積的充要條件：lim(Mif

(

x)dx

(b

a)

f

()可積的充分條件：f

(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；或者f

(x)在區(qū)間[a,b]上只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)或者在[a,b]上單調(diào).積分中值定理：設(shè)f

C[a,b],則至少存在一點(diǎn)[a,b]，使ba如何計(jì)算定積分呢？積分中值公式bv(t

)d

t2.1微積分基本公式在變速直線運(yùn)動中,

位移函數(shù)s(t

)

與速度函數(shù)

v(t

)之間有關(guān)系:s(t

)

v(t

)物體在時(shí)間間隔

[a

,

b]

內(nèi)通過的位移為as(b)

s(a)af

(

x)dx猜測

F

(b)

F

(a).若f

(

x)在[a,b]上可積，F(xiàn)

(

x)

f

(

x)b?定義2.1（原函數(shù)）如果在區(qū)間I上，F(xiàn)(

x)

f

(

x),那么稱F

(

x)是f

(

x)在I上的一個(gè)原函數(shù)

.babaf

(

x)dx

F

(b)

F

(a

)

F

(

x)定理2.1

(Newton-Leibniz公式)設(shè)f

[a,b]，且f在區(qū)間[a,b]上有一個(gè)原函數(shù)F

,則證nk

1在區(qū)間[a,

b]內(nèi)任意

n

1個(gè)分點(diǎn)：a

x0

x1

L

xn

b,F

(b)

F

(a)

[F

(

xk

)

F

(

xk

1

)]n

F

'(k

)xkk

(

xk

1

,

xk

)n

f

(k

)xkk

1

k

11k

n由于f在[a,

b]上可積，在上式中令

d

max{xk

}

0,

得F

(b)

F

(a)

baf

(

x)dx微積分基本公式baf

(

x)dx

F

(b)

F

(a)ba

F

(

x)當(dāng)a

b時(shí)，f

(x)dx

F

(b)

F

(a)仍成立.ba注：例102(2cos

x

sin

x

1)dx

(2sin

x

cos

x

x)2

3

.例2

求解1dx.1x2x當(dāng)x

0時(shí)，1

的一個(gè)原函數(shù)是ln

|

x

|,dx1x12

12

ln

|

x

|

ln1

ln

2

ln

2.20為了利用Newton-Leibniz公式計(jì)算定積分，被積函數(shù)f必須有原函數(shù)。問題：f

滿足什么條件才有原函數(shù)？如何求

f

的原函數(shù)？2.2

微積分基本定理設(shè)函數(shù)f

(

x)在[a,b]上可積 則x

[a,b],

f在[a,

x]上也可積變上限積分

Φ(

x)

f

(

x)dx

x

xaaf

(t

)dtx

[a,b]定理2.2（微積分第一基本定理）

設(shè)f

C[a,b]，則由變上限積分確定的函數(shù)Φ：[a,b]

R在[a,b]上可導(dǎo)，并且f

(t

)dt

f

(x)

證明Φ

(

x)

dxdxa若其中x為區(qū)間[a,b]的端點(diǎn)，則Φ(x)是單側(cè)導(dǎo)數(shù).推論2.1

設(shè)f

C[a,b]，則f在區(qū)間[a,b]上必有原函數(shù)且變上限積分Φ(x)就是它的一個(gè)原函數(shù)。例302cos

udu,t20t所確定的函數(shù)

y

f

(

x

)的一階導(dǎo)數(shù)

.sin

udu,

y

求由參數(shù)方程x

解dtdx

sin2

tcos

udu,0y

wdy

dy

dw

cosdt

dw

dtw

t

2t

2

2tdtdxdyw

2t

cos

cos

t

2

2tdy

dtdx所以sin2

t一般的，如果f

(t

)連續(xù)，a(x)、b(x)可導(dǎo)，b(

x

)a(

x

)則F

(x)f

(t

)dt

的導(dǎo)數(shù)為

f b(

x)

b

(

x)

f a(

x)

a

(

x)證ca(

x

)cb(

x

)f(t

)dtF

(

x)

c

cf

(t

)dt

b(

x

)a(

x

)f

(t

)dt,F

(

x)

f

b(

x)b(

x)

f

a(

x)a(

x)b(x

)a(

x

)f

(t

)dtdxdF

(

x)

（c為常數(shù)）例412x2求limcos

x.te

dtx0解12cos

xte dt

dx

dxd

d12cos

xte

dt,

e2cos

x

(cos

x)2

sin

x

ecos

x

,x2cos

xlim

1x02te

dt

limx02

x2sin

x

e

cos

x12e

.法則.分析：這是0

型不定式，應(yīng)用0例5.

設(shè)

f

(

x)在[0,

)內(nèi)連續(xù),且

f

(

x)

0,

證明t

f

(t

)d

tx0f

(t

)d

t

f

(

x)F

(

x)

xt

f

(t

)d

t0xf

(t

)d

t0在(0,

)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:F

(x)f

(t

)d

t

20xx

f

(

x)f

(t

)d

t

2xf

(

x)x(

x

t

)

f

(t

)d

t0f

(

x)

(

x

)

f

(

)

x

0

F

(x)在（0，)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù).只要證F

(

x)

00

0f

(t

)d

t

2x(0

x)x0再論原函數(shù)若F

(

x)

f

(

x)

則對于任意常數(shù)C,

F(

x)

C

f

(

x)設(shè)G是f

在I

上的任一原函數(shù)，則G(x)

F

(x)

0,從而G(x)

F

(x)

C

,即G(x)

F

(x)

C

,C為任意常數(shù).問題：F

(x)

C是否包含了f的所有原函數(shù)？定理2.3(微積分第二基本定理)設(shè)F是

f

在

I

上的一個(gè)原函數(shù)，C為任意常數(shù)，則F+C就是f在I

上的所有原函數(shù).證：2.3

不定積分定義2.2（不定積分）函數(shù)

f

在區(qū)間

I上的所有原函數(shù)的一般表達(dá)式，稱為f

在I上的不定積分。記作

f

(

x)dx.

x

dx

ln

x

C

C

1例如f

:

被積函數(shù);

f

(

x)dx

:

被積式若F是

f

在

I

上的一個(gè)原函數(shù)，則

f

(

x)dx

F

(

x)

C其中任意常數(shù)C稱為積分常數(shù).

3

x2dx

x3

cos

xdx

sin

x

Cd[

f

(x)dx]

f

(x)dx,

F

(

x)dx

F

(

x)

C

,

dF

(

x)

F

(

x)

C

.可見，微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.性質(zhì)2.1

(f

(

x)

g(

x))dx

f

(

x)dx

g(

x)dx其中，為任意常數(shù).dxd

f

(x)dx

f

(

x),性質(zhì)2.2設(shè)f

與g

在區(qū)間I

上的原函數(shù)存在，則基本積分表(1)

kdx

kx

Cx

1

C1(2)

x

dx

12x

x

1

dx

1

Cxx

C

1

dx

21x(

1)ln

x

C(3)dx

(k是常數(shù));1

1

x2

dx

arctan

x

C;(4)

x251x

225

1

C

.

C275xdx

x

2dx7x

21

x21(5)dx

arcsin

x

C;cos

xdx

sin

x

C;sin

xdx

cos

x

C;dx

cos2

x(10)

sec2

xdx

tan

x

C;(6)

exdx

e

x

C;(7)

axdx

ax

C;ln

asec

x

tan

xdx

sec

x

C;csc

x

cot

xdx

csc

x

C;

shxdx

chx

C;

chxdx

shx

C;(12)(13)(14)(15)dx

sin2

x(11)

csc2

xdx

cot

x

C;23)dx.例6

求不定積分

(1

x21

x2解

(1

x23

21

x21

x21

)dx

3例7

求不定積分

3arctan

x

2arcsin

x

C1

x

x2解

x(1

x2

)dx.原積分x(1

x

)2x

(1

x2

)dx

1 1

1

x

x

dx2xdx

1dx

arctan

x

ln

x

C

.

11

x21dx

21

x2例82

2x

(1

x

)1

2

x2dx

x2

(1

x2

)21

x

x2

dx

1

dx

1

dx

1

arctan

x

C

.1

x2

xx2例911

cos

2

xdx

dx11

2cos2

x

1

1

12 cos2

x2dx

1

tan

x

C

.例102

2(1)

sin2

xdx

1

cos

xdx2

1

(1

cos

x)dx2

1

(

x

sin

x)

C

cos2

x

sin2

xcos

2

x(2)dx

cos2

x

sin2

x

dxcos2

x

sin2

xdxdx

1

sin2

x

cos2

x1

cot

x

tan

x

C例11(1)

axexdx

(ae)xdx

Cln(ae)(ae)x)dx(2)

(tan2

x

11

x2)dx

tan

x

x

arctan

x

C

(sec2

x

1

11

x2(3)

(1

x)3dx

(1

3

x

3

x2

x3

)dx

x

3

x

2

x

3

1

x4

C2

4已知一曲線

y

f

(

x

)

在點(diǎn)(

x,

f

(

x

))

處的切線斜率為sec2

x

sinx，且此曲線與y

軸的交點(diǎn)為(0,5)，求此曲線的方程.解dxQ

dy

sec2

x

sin

x,y

sec2

x

sin

xdx

tan

x

cos

x

C

,Q

y(0)

5,

C

6,所求曲線方程為y

tan

x

cos

x

6.例121.微積分基本公式2.變上限積分(

x)

xaf

(t

)dt3.變上限積分的導(dǎo)數(shù)(

x)

f

(

x)f

(

x)dx

F

(b)

F

(a)ba小結(jié)4.不定積分

f

(

x)dx

F

(

x)

C

,

F

(

x)

f

(

x)f

(

x)

x2

4

x

23

31.設(shè)10

02f

(

x)

x

xf

(

x)d

x

2練習(xí)題2f

(x)d

x

,求f

(

x).解：定積分為常數(shù),故應(yīng)用積分法定此常數(shù).f

(

x)d

x

a

,f

(x)d

x

b

,則1

20

0f

(

x)

x2

bx

2a設(shè)10a

f

(

x)d

x

3x

bx23x32bx21b

20f

(

x)dx

30

2ax

021

b3

2

2a2

3

2ax

2b

4a8a

1

,

b

43

32.汽車以每小時(shí)36

km

的速度行駛,ms

)

10(