信息與通信電磁場與電磁波第5章課件

第5章靜態(tài)場的解靜態(tài)場是指場量不隨時間變化的場。靜態(tài)場包括：靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時變電磁場的特例。分析靜態(tài)場，必須從麥克斯韋方程組這個電磁場的普遍規(guī)律出發(fā)，導出靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組，即描述靜態(tài)場特性的基本方程。再根據它們的特性，聯(lián)合物態(tài)方程推導出位函數的泊松方程和拉普拉斯方程。最后，靜態(tài)場問題可歸結為求泊松方程和拉普拉斯方程解的問題。通常求解這兩個方程的方法有：鏡像法、分離變量法和復變函數法，它們屬于解析法，而在近似計算中常用有限差分法。第5章靜態(tài)場的解靜態(tài)場是指場量不隨時間變化的場11.靜電場、恒定電場、恒定磁場的基本方程4.鏡像法、分離變量法、格林函數法、有限差分法重點：3.求解靜態(tài)場位函數方程的方法所依據的理論：對偶原理、疊加原理、唯一性定理

2.靜態(tài)場的位函數方程1.靜電場、恒定電場、恒定磁場的基本方程4.鏡像法25.1泊松方程和拉普拉斯方程5.1.1靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組對于靜態(tài)場，各場量只是空間坐標的函數，并不隨時間而變化，即與時間t無關。因此，靜態(tài)場的麥克斯韋方程組為：電流連續(xù)性方程為：5.1泊松方程和拉普拉斯方程5.1.1靜態(tài)場中的麥克3由上述方程組可知，靜態(tài)場與時變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場和磁場是彼此獨立存在的，即電場只由電荷產生，磁場只由電流產生。沒有變化的磁場，也沒有變化的電場。既然如此，我們就可以分別寫出靜電場、恒定電場和恒定磁場的基本方程。1、靜電場的基本方程靜電場是靜止電荷或靜止帶電體產生的場，其基本方程為

上式表明：靜電場中的旋度為0，即靜電場中的電場不可能由旋渦源產生；電荷是產生電場的通量源。由上述方程組可知，靜態(tài)場與時變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場4另外：電介質的物態(tài)方程為靜電場是一個有源無旋場，所以靜電場可用電位函數來描述，即2、恒定電場的基本方程載有恒定電流的導體內部及其周圍介質中產生的電場，即為恒定電場。當導體中有電流時，由于導體電阻的存在，要在導體中維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內部的電場也是恒定的。另外：電介質的物態(tài)方程為靜電場是一個有源無旋場，所以靜電場5

要想在導線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉為電能裝置稱為電源。恒定電流的形成+ABC-要想在導線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的6若一閉合路徑經過電源，則：即電場強度的線積分等于電源的電動勢若閉合路徑不經過電源，則：這是恒定電場在無源區(qū)的基本方程積分形式，其微分形式為從以上分析可知，恒定電場的無源區(qū)域也是一個位場，也可用一個標量函數來描述。另外：導體中的物態(tài)方程為若一閉合路徑經過電源，則：即電場強度的線積分等于電73、恒定磁場的基本方程這是恒定磁場的基本方程。從以上方程可知，恒定磁場是一個旋渦場，電流是這個旋渦場的源，電流線是閉合的。另外：磁介質中的物態(tài)方程為恒定電流的導體周圍或內部不僅存在電場，而且存在磁場，但這個磁場不隨時間變化，是恒定磁場。假設導體中的傳導電流為I，電流密度為,則有3、恒定磁場的基本方程這是恒定磁場的基本方程。從以上8靜電場既然是一個位場，就可以用一個標量函數的梯度來表示它:5.1.2泊松方程和拉普拉斯方程1、靜電場的位函數分布即式中的標量函數稱為電位函數。所以有對于均勻、線性、各向同性的介質，ε為常數,

即靜電場的位函數滿足的方程。靜電場既然是一個位場，就可以用一個標量函數的梯9上式即為在有電荷分布的區(qū)域內，或者說在有“源”的區(qū)域內，靜電場的電位函數所滿足的方程，我們將這種形式的方程稱為泊松方程。如果場中某處有ρ=0，即在無源區(qū)域，則上式變?yōu)槲覀儗⑦@種形式的方程稱為拉普拉斯方程。它是在不存在電荷的區(qū)域內，電位函數應滿足的方程。拉普拉斯算符在不同的坐標系中有不同的表達形式：上式即為在有電荷分布的區(qū)域內，或者說在有“源”的區(qū)域內，靜電10在直角坐標系中在圓柱坐標系中在球坐標系中在直角坐標系中在圓柱坐標系中在球坐標系中112、恒定電場的位函數分布根據電流連續(xù)性方程及物態(tài)方程并設電導率為一常數（對應于均勻導電媒質），則有則有在無源區(qū)域，恒定電場是一個位場，即有

這時同樣可以引入一個標量位函數使得這說明，在無源區(qū)域，恒定電場的位函數滿足拉普拉斯方程。

2、恒定電場的位函數分布根據電流連續(xù)性方程123、恒定磁場的位函數分布人為規(guī)定(1)磁場的矢量位函數這個規(guī)定被稱為庫侖規(guī)范于是有此式即為矢量磁位的泊松方程。恒定磁場是有旋場，即,但它卻是無散場，即引入一個矢量磁位后，由于，可得3、恒定磁場的位函數分布人為規(guī)定(1)磁場的矢13此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。在沒有電流的區(qū)域,所以有在沒有電流分布的區(qū)域內，恒定磁場的基本方程變?yōu)?2)磁場的標量位函數這樣，在無源區(qū)域內，磁場也成了無旋場，具有位場的性質，因此，象靜電場一樣，我們可以引入一個標量函數，即標量磁位函數此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。在沒有電流的區(qū)域14注意：標量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應用。即令以上所導出的三個靜態(tài)場的基本方程表明：靜態(tài)場可以用位函數表示，而且位函數在有源區(qū)域均滿足泊松方程，在無源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。因此，靜態(tài)場的求解問題就變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的問題。這兩個方程是二階偏微分方程，針對具體的電磁問題，不可能完全用數學方法求解。在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據。注意：標量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應用。即令以上所導出的155.2對偶原理如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數學形式，并且有相似的邊界條件或對應的邊界條件，那么它們的數學解的形式也將是相同的，這就是對偶原理。具有同樣數學形式的兩個方程稱為對偶性方程，在對偶性方程中，處于同等地位的量稱為對偶量。有了對偶原理后，我們就能把某種場的分析計算結果，直接推廣到其對偶的場中，這也是求解電磁場的一種方法。5.2對偶原理如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相161、ρ=0區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對偶靜電場恒定電場對偶量

1、ρ=0區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對偶靜電場恒172、ρ=0區(qū)域的靜電場與區(qū)域的恒定磁場的對偶靜電場恒定磁場對偶量

2、ρ=0區(qū)域的靜電場與區(qū)域的恒定磁場的對偶靜電185.3疊加原理和唯一性定理在研究具體的工程電磁場問題時，無論是靜電場、恒定電場、還是恒定磁場，都需要根據實際工程中給定的邊界條件，通過求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到標量電位函數或矢量磁位函數。5.3.1邊界條件的分類給定位函數的邊界條件通常有三類：第一類邊界條件直接給定整個場域邊界上的位函數值為邊界點S的位函數，這類問題稱為第一類邊界條件。5.3疊加原理和唯一性定理在研究具體的工程電磁19因為故上式相當于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強度的法向分量，這類問題稱為第二類邊界條件。第二類邊界條件只給定待求位函數在邊界上的法向導數值第三類邊界條件給定邊界上的位函數及其法向導數的線性組合這是混合邊界條件，稱為第三類邊界條件。因為故上式相當于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強度的法向205.3.2疊加原理若和分別滿足拉普拉斯方程，即和,則和的線性組合：必然也滿足拉普拉斯方程：式中a、b均為常系數。5.3.3唯一性定理唯一性定理可敘述為：對于任一靜態(tài)場，在邊界條件給定后，空間各處的場也就唯一地確定了，或者說這時拉普拉斯方程的解是唯一的。5.3.2疊加原理若和分別滿足拉普拉斯215.4鏡象法鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷來代替或等效實際電荷所產生的感應電荷，這個相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計算由源電荷和鏡象電荷共同產生的合成電場，而得到源電荷與實際的感應電荷所產生的合成電場，這種方法稱為鏡象法。一般可以考慮采用標量位函數來計算這個由電荷所產生的合成電場，這樣可以避免復雜的矢量運算。當然，這就需要假設鏡象電荷與源電荷共同產生了一個總的電位函數，它既能滿足給定的具體邊界條件，又在一定區(qū)域內滿足拉普拉斯方程。那么，根據唯一性定理，所假設的位函數就是該區(qū)域上的唯一的電位函數。因此，用鏡象法求解靜電場問題的關鍵是尋找合適的鏡象電荷，然后再引出位函數并求解，這是分析很多電磁問題的一種有效方法。5.4鏡象法鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電22鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷來代替或等效實際電荷所產生的感應電荷，這個相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計算由源電荷和鏡象電荷共同產生的合成電場，而得到源電荷與實際的感應電荷所產生的合成電場，這種方法稱為鏡象法。鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷235.4.1點電荷與無限大的平面導體的合成場計算如圖取直角坐標系，使z=0的平面與導體平面重合，并將+q電荷放在z軸上。這時整個電場是靜電場，是由電荷q和導體平面上的感應電荷產生的。點電荷q與導體平面之間的電位必須滿足下列條件：1、在z=0處，=0，因為無限大的導體平面電位為零；2、在z>0的空間里，除了點電荷所在的點外，處處應該滿足：5.4.1點電荷與無限大的平面導體的合成場計算如24用唯一性定理可以驗證，這個假設的電位函數就是我們所要求的合成場。如果設想把無限大導電平板撤去，整個空間充滿同一種介質ε，并在點電荷q的對稱位置上，放一個點電荷-q來代替導電平板上的感應電荷。那么在z>0空間里任一點p(x,y,z)的電位就應等于源電荷q與鏡象電荷-q所產生的電位之和。這時，p點的電位為用唯一性定理可以驗證，這個假設的電位函數就是我們所要求的合成251、若將源點電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電荷可以看成是由無限多個連續(xù)分布的點電荷組成的，用鏡象法同樣可計算出在z>0的空間任一點的電位。推廣1、若將源點電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電262、兩相交半無限大導體平面，在角區(qū)內的點電荷、線電荷的場也可用鏡象法求解。點電荷對于夾角為垂直的接地兩塊相連導電平面的鏡像:對于夾角為的兩個相連無限大導電平板間置有點電荷的問題，只要n為整數，在區(qū)域內的鏡像:2、兩相交半無限大導體平面，在角區(qū)內的點電荷、線電荷的場也可273、無限長通電直導線在一無限大磁介質平面上方在空間中一點P的磁場由電流和鏡象電流共同產生。4、當天線架設得比較低時，通常把地面假設為無限大的理想導電平面，地面的影響將歸結為鏡象天線所起的作用。3、無限長通電直導線在一無限大磁介質平面上方在空間中一點P的285.4.2電介質分界面的鏡象電荷如圖，如果分界面是介電常數為ε1和ε2的兩種無限大介質的邊界平面，在介質1中距分界面為h處置有一點電荷q，則求解介質空間中任一點的電場電位分布可以用鏡像法求解。設在介質ε1和ε2內的電位函數分別為φ1和φ2。在介質1中，除q點處以外,均有5.4.2電介質分界面的鏡象電荷如圖，如果分界面29φ1是點電荷q與介質分界面上感應束縛電荷共同產生的電位函數。介質分界面上的感應束縛電荷在介質1中產生的電場可以用處于z<0的區(qū)域內的一個鏡像電荷來等效。在介質2中的電場是源電荷通過介質分界面上的感應束縛電荷在下半空間作用的結果,在上半空間用一鏡象電荷代替界面上的感應束縛面電荷在下半空間產生的場，則φ2為：在介質分界面上，場存在的邊界條件是：則為了求介質1中的場，將整個空間充滿ε1介質，設在源電荷q對稱位置上的鏡像電荷為φ1是點電荷q與介質分界面上感應束縛電荷共同產生的電30即在介質ε2中，場是由產生的。將整個空間看成是充滿介質ε2，則介質ε2中的場由在源點電荷上的象電荷產生在介質1中，界面上p點的電場強度的切向分量在介質2中，電場是由產生的。電場強度切向分量為根據邊界條件可得即在介質ε2中，場是由產生的。將整個空間看成是充滿介31注意：1、鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時將會改變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯方程或泊松方程。2、鏡像電荷周圍的介質應該是與被討論的區(qū)間一致的。3、所得電位函數必須滿足原來的邊界條件。4、可以用類似的方法來處理兩種磁介質分界面兩邊的磁場計算問題。注意：325.4.3球形邊界問題

1、如圖（page107,圖5.9），接地導體球，半徑為a，在球外與球心相距為d的p點處有一點電荷q，點電荷q將在導體球表面產生感應負電荷，球外任一點的電位應等于這些感應電荷與點電荷q產生的電位之和。5.4.3球形邊界問題1、如圖（page107,圖5.933設想把導體球移開，用一個鏡象電荷代替球面上的感應負電荷，為了不改變球外的電荷分布，鏡象電荷必須放在導體球內。又由于球對稱性，這個鏡象電荷必然在點電荷q與球心所在的同一條直線上。又由于靠近點電荷q的球面部分，感應電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在OM線段上，設在b點,OM=b，則位函數表達式為設想把導體球移開，用一個鏡象電荷代替球面上的感應負電荷，為了34可求出：可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷的位置和電量大小，則位函數表達式就確定了。采用鏡象法后，球面外區(qū)域的電位函數相對容易計算。2、如圖（page108,圖5.10），若導體球不接地，導體球上的靜電荷為0，并且球面電位不為0，但仍保持為等位面，為了滿足導體球上靜電荷為0的條件，還需加入另一鏡象電荷,使即：球面電位為：導體球外各點的電位由q,和共同產生：可求出：可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷355.4.4圓柱形邊界問題

一無限長帶電線，電荷密度為,與半徑為a的無限長導電圓柱的軸線平行，線與圓柱軸線的距離為d，無限長導電圓柱等效為接地。利用球形邊界的分析方法：導電圓柱體上的鏡象線電荷為:鏡象線電荷與圓柱軸線的偏心距離為:這樣，用鏡象線電荷取代圓柱形導電體，就把問題簡化為了求兩條平行等值異號線電荷的電位和電場。5.4.4圓柱形邊界問題一無限長帶電線，電荷密度365.5分離變量法分離變量法是求解拉普拉斯方程的基本方法，該方法把一個多變量的函數表示成為幾個單變量函數的乘積后，再進行計算。與完全的數學求解不同，針對具體物理問題使用該方法求解時，將要結合一些物理概念進行分析求解。通過分離變量，它將函數的偏微分方程分解為帶“分離”常數的幾個單變量的常微分方程。不同坐標系分解出來的單變量常微分方程的形式不同，其通解的形式也不同。坐標系的選擇應盡量使場域邊界面平行于坐標面。例如：矩形域應選直角坐標系；圓柱形域應選圓柱坐標系；球形域應選球坐標系。

5.5分離變量法分離變量法是求解拉普拉斯方程的375.5.1直角坐標系中的分離變量法如果所討論的場域的邊界面是平面，而且這些平面相互平行或相互垂直時，應選擇直角坐標系。在直角坐標系中，位函數φ的拉普拉斯方程為令φ為三個單變量函數的乘積，即代入上式，并在兩端同除以φ，可得上式的三項中，每一項都是一個獨立變量的函數，而三項之和若要等于0，則只有一個可能，就是每一項分別等于一個常數，而這三個常數之和為0。5.5.1直角坐標系中的分離變量法如果所討論的38并且即令

據此，我們可將拉普拉斯方程分解成三個帶分離常數的常微分方程。顯然，三個分離常數不可能全為實數，也不能全為虛數。至于將三個常數都假設為是某一個常數平方的負值，是因為要使方程的解成為一些特殊函數，以便于利用邊界條件來確定常數。并且即令據此，我們可將拉普拉斯方程分解成三個帶分離常39對于上面的式子，其解的形式如下：1、當，即為實數時，其解為2、當，即為實數時，其解為3、當，其解為根據取值的不同組合情況，其解的形式也有不同的組合，需要根據具體邊界條件來確定解的組合形式和待定系數。對于上面的式子，其解的形式如下：1、當405.5.2圓柱坐標系中的分離變量法如果待求場域的分界面與圓柱坐標系中某一坐標面相一致時，應選擇圓柱坐標系。在圓柱坐標系中，拉普拉斯方程的表達式為令待求函數代入上式，并在兩端同除以φ，再同乘以r2后得上式中第二項僅與φ有關，它應等于常數，設為-n25.5.2圓柱坐標系中的分離變量法如果41即代入上式后可得：因此便分離出三個常微分方程,它們的解的形式與n2及的取值有關,其可能的組合情況有多種。（見Page112）即代入上式后可得：因此便分離出三個常微分方程,它們的解的425.6格林函數法格林函數法是數學物理方法中的基本方法之一，可以用于求解靜態(tài)場中的拉普拉斯方程、泊松方程以及時變場中的亥姆霍茲方程。在線性電路理論中，為了求一線性電路對任意激勵的全響應，我們一般是在求得單位沖擊響應的基礎上，先求出零狀態(tài)響應，然后再加上零輸入響應。所謂格林函數法就是上述方法在空間域中的應用。邊值問題中的單位沖擊響應函數就是格林函數。更確切地說，格林函數是單位點源在一定的邊界條件下所建立的場的位函數，因而格林函數又稱為源函數。已知電荷分布就是已知空間電場激勵源的分布，因此只要知道點源的場，即可用疊加原理求出任意源的場。

5.6格林函數法格林函數法是數學物理方法中的基43格林函數的解題步驟是：首先用鏡像法或其他方法找到與待求問題對應的格林函數，然后將它代入由格林第二恒等式導出的積分公式即得所求。一般情況下，該積分有兩項；一項為零邊值響應，另一項為零激勵響應。對于靜電場問題而言，可以從單位點電荷（二維問題對應于單位線電荷，一維問題對應于單位面電荷）在特定邊界上產生的位函數，通過積分求得同一邊界的任意分布電荷產生的電位。本節(jié)以靜電場的邊值問題為例，說明格林函數法在求解泊松方程中的應用。格林函數的解題步驟是：首先用鏡像法或其他方法找到與待445.6.1靜電場邊值問題的格林函數法表達式假定已知某給定區(qū)域V內的電荷體密度，則待求電位滿足泊松方程與此相對應的格林函數滿足下列方程在上述第一式兩端乘與G，在上述第二式兩端乘與φ，二者相減再積分，可得5.6.1靜電場邊值問題的格林函數法表達式假定已知某給45使用格林第二恒等式當源點在區(qū)域V內時，有可得因而，上式可以寫為

使用格林第二恒等式當源點在區(qū)域V內時，有可得因而，上式可以46將上式的源點和場點互換，并且利用格林函數的對稱性，得

此式就是有限區(qū)域V內任意一點電位的格林函數表示式。式中的格林函數是在給定邊界形狀下的一般邊值問題的格林函數，為了簡化計算，我們可以對格林函數附加上邊界條件。與靜電場邊值問題一樣，格林函數的邊界條件也分為三類：

（1）第一類邊值問題的格林函數與第一類靜電場邊值問題相對應的是第一類邊值問題的格林函數，用G1表示。它在體積V內和邊界面S上滿足的方程為將上式的源點和場點互換，并且利用格林函數的對稱性，得此式就47即第一類邊值問題的格林函數在邊界面S上滿足齊次邊界條件。將它代入上式，可得出第一類靜電場邊值問題的解為與第二類靜電場邊值問題相對應的是第二類邊值問題的格林函數，用G2表示。它在體積V內和邊界面S上滿足的方程為（2）第二類邊值問題的格林函數在此條件下，第二類靜電場邊值問題的解為即第一類邊值問題的格林函數在邊界面S上滿足齊次邊界條件。將它48（3）第三類邊值問題的格林函數對于第三類靜電場邊值問題，使用第三類邊值問題的格林函數較為方便。其邊界條件由下式確定：

與第三類靜電場邊值問題相應的第三類邊值問題的格林函數G3所滿足的方程及邊界條件為

在此條件下，第三類靜電場邊值問題的解為（3）第三類邊值問題的格林函數對于第三類靜電場邊值問題，使用49從以上推導過程可看出，格林函數解法的實質是把泊松方程的求解轉化為特定邊界條件下點源激勵時位函數的求解。點源激勵下的位函數就是格林函數，格林函數所滿足的方程及邊界條件都比同類型的泊松方程要簡單。

5.6.2簡單邊界的格林函數下面我們給出一些簡單邊界形狀下第一類靜電場邊值問題的格林函數（為了書寫簡便，略去下標，用G表示）。

1、無界空間的格林函數

計算無界空間的格林函數，就是要計算無界空間中位于r’處的單位點電荷以無窮遠為電位參考點時在空間r處的電位，這一電位為從以上推導過程可看出，格林函數解法的實質是把泊松方程50因此，無界空間的格林函數為這是三維無界空間的格林函數。對于二維無界空間，格林函數為C是常數，取決于電位參考點的選取。

因此，無界空間的格林函數為這是三維無界空間的格林函數。對于二512、上半空間的格林函數

計算上半空間（z>0）的格林函數，就是求位于上半空間

r’處的單位點電荷以z=0平面為電位零點時，在上半空間任意一點r處的電位。這個電位可以用平面鏡像法求得，因而上半空間的格林函數為

式中2、上半空間的格林函數計算上半空間（z>0）的格林523、球內、外空間的格林函數

我們可以由球面鏡像法，求出球心在坐標原點、半徑為a的球外空間的格林函數式中3、球內、外空間的格林函數我們可以由球面鏡像法，求535.7有限差分法有限差分法是一種近似數值計算法，在一些工程技術計算中被廣泛使用。這種方法是在待求場域內選取有限個離散點，在各個離散點上以差分方程近似代替各點上的微分方程，從而把以連續(xù)變量形式表示的位函數方程，轉化為以離散點位函數值表示的方程組。結合具體邊界條件，求解差分方程組，即得到所選的各個離散點上的位函數值。有限差分法不僅能處理線性問題，還能處理非線性問題；不僅能求解拉普拉斯方程，也能求解泊松方程；不僅能求解任意靜態(tài)場的問題，也能求解時變場的問題；而且這種方法不受邊界形狀的限制。

5.7有限差分法有限差分法是一種近似數值計算法54函數f(x)的一階差分定義為Δf(x)=f(x+h)-f(x)式中h是自變量x的增量，即Δx=h,將下面的式子稱為f(x)的一階差商：當h很小時，差分Δf也很小，因此在近似計算中可用一階差商近似等于一階微分，即

二階差商為同樣可以定義二階差分為Δ2f(x)=Δf(x+h)-Δf(x)

函數f(x)的一階差分定義為當h很小時，差分Δf也很小，因此55令二階差商近似等于二階微商

差分方程就是在各離散點上，用和近似替代偏微分方程中的和，從而將拉普拉斯方程或泊松方程這樣的偏微分方程化為一組代數方程，即差分方程。(見Page118例5.2和例5.3)令二階差商近似等于二階微商差分方程就是在各離散點上，用56第5章靜態(tài)場的解靜態(tài)場是指場量不隨時間變化的場。靜態(tài)場包括：靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時變電磁場的特例。分析靜態(tài)場，必須從麥克斯韋方程組這個電磁場的普遍規(guī)律出發(fā)，導出靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組，即描述靜態(tài)場特性的基本方程。再根據它們的特性，聯(lián)合物態(tài)方程推導出位函數的泊松方程和拉普拉斯方程。最后，靜態(tài)場問題可歸結為求泊松方程和拉普拉斯方程解的問題。通常求解這兩個方程的方法有：鏡像法、分離變量法和復變函數法，它們屬于解析法，而在近似計算中常用有限差分法。第5章靜態(tài)場的解靜態(tài)場是指場量不隨時間變化的場571.靜電場、恒定電場、恒定磁場的基本方程4.鏡像法、分離變量法、格林函數法、有限差分法重點：3.求解靜態(tài)場位函數方程的方法所依據的理論：對偶原理、疊加原理、唯一性定理

2.靜態(tài)場的位函數方程1.靜電場、恒定電場、恒定磁場的基本方程4.鏡像法585.1泊松方程和拉普拉斯方程5.1.1靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組對于靜態(tài)場，各場量只是空間坐標的函數，并不隨時間而變化，即與時間t無關。因此，靜態(tài)場的麥克斯韋方程組為：電流連續(xù)性方程為：5.1泊松方程和拉普拉斯方程5.1.1靜態(tài)場中的麥克59由上述方程組可知，靜態(tài)場與時變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場和磁場是彼此獨立存在的，即電場只由電荷產生，磁場只由電流產生。沒有變化的磁場，也沒有變化的電場。既然如此，我們就可以分別寫出靜電場、恒定電場和恒定磁場的基本方程。1、靜電場的基本方程靜電場是靜止電荷或靜止帶電體產生的場，其基本方程為

上式表明：靜電場中的旋度為0，即靜電場中的電場不可能由旋渦源產生；電荷是產生電場的通量源。由上述方程組可知，靜態(tài)場與時變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場60另外：電介質的物態(tài)方程為靜電場是一個有源無旋場，所以靜電場可用電位函數來描述，即2、恒定電場的基本方程載有恒定電流的導體內部及其周圍介質中產生的電場，即為恒定電場。當導體中有電流時，由于導體電阻的存在，要在導體中維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內部的電場也是恒定的。另外：電介質的物態(tài)方程為靜電場是一個有源無旋場，所以靜電場61

要想在導線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉為電能裝置稱為電源。恒定電流的形成+ABC-要想在導線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的62若一閉合路徑經過電源，則：即電場強度的線積分等于電源的電動勢若閉合路徑不經過電源，則：這是恒定電場在無源區(qū)的基本方程積分形式，其微分形式為從以上分析可知，恒定電場的無源區(qū)域也是一個位場，也可用一個標量函數來描述。另外：導體中的物態(tài)方程為若一閉合路徑經過電源，則：即電場強度的線積分等于電633、恒定磁場的基本方程這是恒定磁場的基本方程。從以上方程可知，恒定磁場是一個旋渦場，電流是這個旋渦場的源，電流線是閉合的。另外：磁介質中的物態(tài)方程為恒定電流的導體周圍或內部不僅存在電場，而且存在磁場，但這個磁場不隨時間變化，是恒定磁場。假設導體中的傳導電流為I，電流密度為,則有3、恒定磁場的基本方程這是恒定磁場的基本方程。從以上64靜電場既然是一個位場，就可以用一個標量函數的梯度來表示它:5.1.2泊松方程和拉普拉斯方程1、靜電場的位函數分布即式中的標量函數稱為電位函數。所以有對于均勻、線性、各向同性的介質，ε為常數,

即靜電場的位函數滿足的方程。靜電場既然是一個位場，就可以用一個標量函數的梯65上式即為在有電荷分布的區(qū)域內，或者說在有“源”的區(qū)域內，靜電場的電位函數所滿足的方程，我們將這種形式的方程稱為泊松方程。如果場中某處有ρ=0，即在無源區(qū)域，則上式變?yōu)槲覀儗⑦@種形式的方程稱為拉普拉斯方程。它是在不存在電荷的區(qū)域內，電位函數應滿足的方程。拉普拉斯算符在不同的坐標系中有不同的表達形式：上式即為在有電荷分布的區(qū)域內，或者說在有“源”的區(qū)域內，靜電66在直角坐標系中在圓柱坐標系中在球坐標系中在直角坐標系中在圓柱坐標系中在球坐標系中672、恒定電場的位函數分布根據電流連續(xù)性方程及物態(tài)方程并設電導率為一常數（對應于均勻導電媒質），則有則有在無源區(qū)域，恒定電場是一個位場，即有

這時同樣可以引入一個標量位函數使得這說明，在無源區(qū)域，恒定電場的位函數滿足拉普拉斯方程。

2、恒定電場的位函數分布根據電流連續(xù)性方程683、恒定磁場的位函數分布人為規(guī)定(1)磁場的矢量位函數這個規(guī)定被稱為庫侖規(guī)范于是有此式即為矢量磁位的泊松方程。恒定磁場是有旋場，即,但它卻是無散場，即引入一個矢量磁位后，由于，可得3、恒定磁場的位函數分布人為規(guī)定(1)磁場的矢69此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。在沒有電流的區(qū)域,所以有在沒有電流分布的區(qū)域內，恒定磁場的基本方程變?yōu)?2)磁場的標量位函數這樣，在無源區(qū)域內，磁場也成了無旋場，具有位場的性質，因此，象靜電場一樣，我們可以引入一個標量函數，即標量磁位函數此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。在沒有電流的區(qū)域70注意：標量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應用。即令以上所導出的三個靜態(tài)場的基本方程表明：靜態(tài)場可以用位函數表示，而且位函數在有源區(qū)域均滿足泊松方程，在無源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。因此，靜態(tài)場的求解問題就變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的問題。這兩個方程是二階偏微分方程，針對具體的電磁問題，不可能完全用數學方法求解。在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據。注意：標量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應用。即令以上所導出的715.2對偶原理如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數學形式，并且有相似的邊界條件或對應的邊界條件，那么它們的數學解的形式也將是相同的，這就是對偶原理。具有同樣數學形式的兩個方程稱為對偶性方程，在對偶性方程中，處于同等地位的量稱為對偶量。有了對偶原理后，我們就能把某種場的分析計算結果，直接推廣到其對偶的場中，這也是求解電磁場的一種方法。5.2對偶原理如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相721、ρ=0區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對偶靜電場恒定電場對偶量

1、ρ=0區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對偶靜電場恒732、ρ=0區(qū)域的靜電場與區(qū)域的恒定磁場的對偶靜電場恒定磁場對偶量

2、ρ=0區(qū)域的靜電場與區(qū)域的恒定磁場的對偶靜電745.3疊加原理和唯一性定理在研究具體的工程電磁場問題時，無論是靜電場、恒定電場、還是恒定磁場，都需要根據實際工程中給定的邊界條件，通過求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到標量電位函數或矢量磁位函數。5.3.1邊界條件的分類給定位函數的邊界條件通常有三類：第一類邊界條件直接給定整個場域邊界上的位函數值為邊界點S的位函數，這類問題稱為第一類邊界條件。5.3疊加原理和唯一性定理在研究具體的工程電磁75因為故上式相當于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強度的法向分量，這類問題稱為第二類邊界條件。第二類邊界條件只給定待求位函數在邊界上的法向導數值第三類邊界條件給定邊界上的位函數及其法向導數的線性組合這是混合邊界條件，稱為第三類邊界條件。因為故上式相當于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強度的法向765.3.2疊加原理若和分別滿足拉普拉斯方程，即和,則和的線性組合：必然也滿足拉普拉斯方程：式中a、b均為常系數。5.3.3唯一性定理唯一性定理可敘述為：對于任一靜態(tài)場，在邊界條件給定后，空間各處的場也就唯一地確定了，或者說這時拉普拉斯方程的解是唯一的。5.3.2疊加原理若和分別滿足拉普拉斯775.4鏡象法鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷來代替或等效實際電荷所產生的感應電荷，這個相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計算由源電荷和鏡象電荷共同產生的合成電場，而得到源電荷與實際的感應電荷所產生的合成電場，這種方法稱為鏡象法。一般可以考慮采用標量位函數來計算這個由電荷所產生的合成電場，這樣可以避免復雜的矢量運算。當然，這就需要假設鏡象電荷與源電荷共同產生了一個總的電位函數，它既能滿足給定的具體邊界條件，又在一定區(qū)域內滿足拉普拉斯方程。那么，根據唯一性定理，所假設的位函數就是該區(qū)域上的唯一的電位函數。因此，用鏡象法求解靜電場問題的關鍵是尋找合適的鏡象電荷，然后再引出位函數并求解，這是分析很多電磁問題的一種有效方法。5.4鏡象法鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電78鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷來代替或等效實際電荷所產生的感應電荷，這個相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計算由源電荷和鏡象電荷共同產生的合成電場，而得到源電荷與實際的感應電荷所產生的合成電場，這種方法稱為鏡象法。鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷795.4.1點電荷與無限大的平面導體的合成場計算如圖取直角坐標系，使z=0的平面與導體平面重合，并將+q電荷放在z軸上。這時整個電場是靜電場，是由電荷q和導體平面上的感應電荷產生的。點電荷q與導體平面之間的電位必須滿足下列條件：1、在z=0處，=0，因為無限大的導體平面電位為零；2、在z>0的空間里，除了點電荷所在的點外，處處應該滿足：5.4.1點電荷與無限大的平面導體的合成場計算如80用唯一性定理可以驗證，這個假設的電位函數就是我們所要求的合成場。如果設想把無限大導電平板撤去，整個空間充滿同一種介質ε，并在點電荷q的對稱位置上，放一個點電荷-q來代替導電平板上的感應電荷。那么在z>0空間里任一點p(x,y,z)的電位就應等于源電荷q與鏡象電荷-q所產生的電位之和。這時，p點的電位為用唯一性定理可以驗證，這個假設的電位函數就是我們所要求的合成811、若將源點電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電荷可以看成是由無限多個連續(xù)分布的點電荷組成的，用鏡象法同樣可計算出在z>0的空間任一點的電位。推廣1、若將源點電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電822、兩相交半無限大導體平面，在角區(qū)內的點電荷、線電荷的場也可用鏡象法求解。點電荷對于夾角為垂直的接地兩塊相連導電平面的鏡像:對于夾角為的兩個相連無限大導電平板間置有點電荷的問題，只要n為整數，在區(qū)域內的鏡像:2、兩相交半無限大導體平面，在角區(qū)內的點電荷、線電荷的場也可833、無限長通電直導線在一無限大磁介質平面上方在空間中一點P的磁場由電流和鏡象電流共同產生。4、當天線架設得比較低時，通常把地面假設為無限大的理想導電平面，地面的影響將歸結為鏡象天線所起的作用。3、無限長通電直導線在一無限大磁介質平面上方在空間中一點P的845.4.2電介質分界面的鏡象電荷如圖，如果分界面是介電常數為ε1和ε2的兩種無限大介質的邊界平面，在介質1中距分界面為h處置有一點電荷q，則求解介質空間中任一點的電場電位分布可以用鏡像法求解。設在介質ε1和ε2內的電位函數分別為φ1和φ2。在介質1中，除q點處以外,均有5.4.2電介質分界面的鏡象電荷如圖，如果分界面85φ1是點電荷q與介質分界面上感應束縛電荷共同產生的電位函數。介質分界面上的感應束縛電荷在介質1中產生的電場可以用處于z<0的區(qū)域內的一個鏡像電荷來等效。在介質2中的電場是源電荷通過介質分界面上的感應束縛電荷在下半空間作用的結果,在上半空間用一鏡象電荷代替界面上的感應束縛面電荷在下半空間產生的場，則φ2為：在介質分界面上，場存在的邊界條件是：則為了求介質1中的場，將整個空間充滿ε1介質，設在源電荷q對稱位置上的鏡像電荷為φ1是點電荷q與介質分界面上感應束縛電荷共同產生的電86即在介質ε2中，場是由產生的。將整個空間看成是充滿介質ε2，則介質ε2中的場由在源點電荷上的象電荷產生在介質1中，界面上p點的電場強度的切向分量在介質2中，電場是由產生的。電場強度切向分量為根據邊界條件可得即在介質ε2中，場是由產生的。將整個空間看成是充滿介87注意：1、鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時將會改變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯方程或泊松方程。2、鏡像電荷周圍的介質應該是與被討論的區(qū)間一致的。3、所得電位函數必須滿足原來的邊界條件。4、可以用類似的方法來處理兩種磁介質分界面兩邊的磁場計算問題。注意：885.4.3球形邊界問題

1、如圖（page107,圖5.9），接地導體球，半徑為a，在球外與球心相距為d的p點處有一點電荷q，點電荷q將在導體球表面產生感應負電荷，球外任一點的電位應等于這些感應電荷與點電荷q產生的電位之和。5.4.3球形邊界問題1、如圖（page107,圖5.989設想把導體球移開，用一個鏡象電荷代替球面上的感應負電荷，為了不改變球外的電荷分布，鏡象電荷必須放在導體球內。又由于球對稱性，這個鏡象電荷必然在點電荷q與球心所在的同一條直線上。又由于靠近點電荷q的球面部分，感應電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在OM線段上，設在b點,OM=b，則位函數表達式為設想把導體球移開，用一個鏡象電荷代替球面上的感應負電荷，為了90可求出：可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷的位置和電量大小，則位函數表達式就確定了。采用鏡象法后，球面外區(qū)域的電位函數相對容易計算。2、如圖（page108,圖5.10），若導體球不接地，導體球上的靜電荷為0，并且球面電位不為0，但仍保持為等位面，為了滿足導體球上靜電荷為0的條件，還需加入另一鏡象電荷,使即：球面電位為：導體球外各點的電位由q,和共同產生：可求出：可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷915.4.4圓柱形邊界問題

一無限長帶電線，電荷密度為,與半徑為a的無限長導電圓柱的軸線平行，線與圓柱軸線的距離為d，無限長導電圓柱等效為接地。利用球形邊界的分析方法：導電圓柱體上的鏡象線電荷為:鏡象線電荷與圓柱軸線的偏心距離為:這樣，用鏡象線電荷取代圓柱形導電體，就把問題簡化為了求兩條平行等值異號線電荷的電位和電場。5.4.4圓柱形邊界問題一無限長帶電線，電荷密度925.5分離變量法分離變量法是求解拉普拉斯方程的基本方法，該方法把一個多變量的函數表示成為幾個單變量函數的乘積后，再進行計算。與完全的數學求解不同，針對具體物理問題使用該方法求解時，將要結合一些物理概念進行分析求解。通過分離變量，它將函數的偏微分方程分解為帶“分離”常數的幾個單變量的常微分方程。不同坐標系分解出來的單變量常微分方程的形式不同，其通解的形式也不同。坐標系的選擇應盡量使場域邊界面平行于坐標面。例如：矩形域應選直角坐標系；圓柱形域應選圓柱坐標系；球形域應選球坐標系。

5.5分離變量法分離變量法是求解拉普拉斯方程的935.5.1直角坐標系中的分離變量法如果所討論的場域的邊界面是平面，而且這些平面相互平行或相互垂直時，應選擇直角坐標系。在直角坐標系中，位函數φ的拉普拉斯方程為令φ為三個單變量函數的乘積，即代入上式，并在兩端同除以φ，可得上式的三項中，每一項都是一個獨立變量的函數，而三項之和若要等于0，則只有一個可能，就是每一項分別等于一個常數，而這三個常數之和為0。5.5.1直角坐標系中的分離變量法如果所討論的94并且即令

據此，我們可將拉普拉斯方程分解成三個帶分離常數的常微分方程。顯然，三個分離常數不可能全為實數，也不能全為虛數。至于將三個常數都假設為是某一個常數平方的負值，是因為要使方程的解成為一些特殊函數，以便于利用邊界條件來確定常數。并且即令據此，我們可將拉普拉斯方程分解成三個帶分離常95對于上面的式子，其解的形式如下：1、當，即為實數時，其解為2、當，即為實數時，其解為3、當，其解為根據取值的不同組合情況，其解的形式也有不同的組合，需要根據具體邊界條件來確定解的組合形式和待定系數。對于上面的式子，其解的形式如下：1、當965.5.2圓柱坐標系中的分離變量法如果待求場域的分界面與圓柱坐標系中某一坐標面相一致時，應選擇圓柱坐標系。在圓柱坐標系中，拉普拉斯方程的表達式為令待求函數代入上式，并在兩端同除以φ，再同乘以r2后得上式中第二項僅與φ有關，它應等于常數，設為-n25.5.2圓柱坐標系中的分離變量法如果97即代入上式后可得：因此便分離出三個常微分方程,它們的解的形式與n2及的取值有關,其可能的組合情況有多種。（見Page112）即代入上式后可得：因此便分離出三個常微分方程,它們的解的985.6格林函數法格林函數法是數學物理方法中的基本方法之一，可以用于求解靜態(tài)場中的拉普拉斯方程、泊松方程以及時變場中的亥姆霍茲方程。在線性電路理論中，為了求一線性電路對任意激勵的全響應，我們一般是在求得單位沖擊響應的基礎上，先求出零狀態(tài)響應，然后再加上零輸入響應。所謂格林函數法就是上述方法在空間域中的應用。邊值問題中的單位沖擊響應函數就是格林函數。更確切地說，格林函數是單位點源在一定的邊界條件下所建立的場的位函數，因而格林函數又稱為源函數。已知電荷分布就是已知空間電場激勵源的分布，因此只要知道點源的場，即可用疊加原理求出任意源的場。

5.6格林函數法格林函數法是數學物理方法中的基99格林函數的解題步驟是：首先用鏡像法或其他方法找到與待求問題對應的格林函數，然后將它代入由格林第二恒等式導出的積分公式即得所求。一般情況下，該積分有兩項；一項為零邊值響應，另一項為零激勵響應。對于靜電場問題而言，可以從單位點電荷（二維問題對應于單位線電荷，一維問題對應于單位面電荷）在特定邊界上產生的位函數，通過積分求得同一邊界的任意分布電荷產生的電位。本節(jié)以靜電場的邊值問題為例，說明格林函數法在求解泊松方程中的應用。格林函數的解題步驟是：首先用鏡像法或其他方法找到與待1005.6.1靜電場邊值問題的格林函數法表達式假定已知某