信息與通信電磁場與電磁波第5章課件

第5章靜態(tài)場的解靜態(tài)場是指場量不隨時(shí)間變化的場。靜態(tài)場包括：靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時(shí)變電磁場的特例。分析靜態(tài)場，必須從麥克斯韋方程組這個(gè)電磁場的普遍規(guī)律出發(fā)，導(dǎo)出靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組，即描述靜態(tài)場特性的基本方程。再根據(jù)它們的特性，聯(lián)合物態(tài)方程推導(dǎo)出位函數(shù)的泊松方程和拉普拉斯方程。最后，靜態(tài)場問題可歸結(jié)為求泊松方程和拉普拉斯方程解的問題。通常求解這兩個(gè)方程的方法有：鏡像法、分離變量法和復(fù)變函數(shù)法，它們屬于解析法，而在近似計(jì)算中常用有限差分法。第5章靜態(tài)場的解靜態(tài)場是指場量不隨時(shí)間變化的場11.靜電場、恒定電場、恒定磁場的基本方程4.鏡像法、分離變量法、格林函數(shù)法、有限差分法重點(diǎn)：3.求解靜態(tài)場位函數(shù)方程的方法所依據(jù)的理論：對偶原理、疊加原理、唯一性定理

2.靜態(tài)場的位函數(shù)方程1.靜電場、恒定電場、恒定磁場的基本方程4.鏡像法25.1泊松方程和拉普拉斯方程5.1.1靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組對于靜態(tài)場，各場量只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，并不隨時(shí)間而變化，即與時(shí)間t無關(guān)。因此，靜態(tài)場的麥克斯韋方程組為：電流連續(xù)性方程為：5.1泊松方程和拉普拉斯方程5.1.1靜態(tài)場中的麥克3由上述方程組可知，靜態(tài)場與時(shí)變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場和磁場是彼此獨(dú)立存在的，即電場只由電荷產(chǎn)生，磁場只由電流產(chǎn)生。沒有變化的磁場，也沒有變化的電場。既然如此，我們就可以分別寫出靜電場、恒定電場和恒定磁場的基本方程。1、靜電場的基本方程靜電場是靜止電荷或靜止帶電體產(chǎn)生的場，其基本方程為

上式表明：靜電場中的旋度為0，即靜電場中的電場不可能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場的通量源。由上述方程組可知，靜態(tài)場與時(shí)變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場4另外：電介質(zhì)的物態(tài)方程為靜電場是一個(gè)有源無旋場，所以靜電場可用電位函數(shù)來描述，即2、恒定電場的基本方程載有恒定電流的導(dǎo)體內(nèi)部及其周圍介質(zhì)中產(chǎn)生的電場，即為恒定電場。當(dāng)導(dǎo)體中有電流時(shí)，由于導(dǎo)體電阻的存在，要在導(dǎo)體中維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內(nèi)部的電場也是恒定的。另外：電介質(zhì)的物態(tài)方程為靜電場是一個(gè)有源無旋場，所以靜電場5

要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。恒定電流的形成+ABC-要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的6若一閉合路徑經(jīng)過電源，則：即電場強(qiáng)度的線積分等于電源的電動(dòng)勢若閉合路徑不經(jīng)過電源，則：這是恒定電場在無源區(qū)的基本方程積分形式，其微分形式為從以上分析可知，恒定電場的無源區(qū)域也是一個(gè)位場，也可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來描述。另外：導(dǎo)體中的物態(tài)方程為若一閉合路徑經(jīng)過電源，則：即電場強(qiáng)度的線積分等于電73、恒定磁場的基本方程這是恒定磁場的基本方程。從以上方程可知，恒定磁場是一個(gè)旋渦場，電流是這個(gè)旋渦場的源，電流線是閉合的。另外：磁介質(zhì)中的物態(tài)方程為恒定電流的導(dǎo)體周圍或內(nèi)部不僅存在電場，而且存在磁場，但這個(gè)磁場不隨時(shí)間變化，是恒定磁場。假設(shè)導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流為I，電流密度為,則有3、恒定磁場的基本方程這是恒定磁場的基本方程。從以上8靜電場既然是一個(gè)位場，就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示它:5.1.2泊松方程和拉普拉斯方程1、靜電場的位函數(shù)分布即式中的標(biāo)量函數(shù)稱為電位函數(shù)。所以有對于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)，ε為常數(shù),

即靜電場的位函數(shù)滿足的方程。靜電場既然是一個(gè)位場，就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯9上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有“源”的區(qū)域內(nèi)，靜電場的電位函數(shù)所滿足的方程，我們將這種形式的方程稱為泊松方程。如果場中某處有ρ=0，即在無源區(qū)域，則上式變?yōu)槲覀儗⑦@種形式的方程稱為拉普拉斯方程。它是在不存在電荷的區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)應(yīng)滿足的方程。拉普拉斯算符在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)形式：上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有“源”的區(qū)域內(nèi)，靜電10在直角坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中112、恒定電場的位函數(shù)分布根據(jù)電流連續(xù)性方程及物態(tài)方程并設(shè)電導(dǎo)率為一常數(shù)（對應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有則有在無源區(qū)域，恒定電場是一個(gè)位場，即有

這時(shí)同樣可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)使得這說明，在無源區(qū)域，恒定電場的位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。

2、恒定電場的位函數(shù)分布根據(jù)電流連續(xù)性方程123、恒定磁場的位函數(shù)分布人為規(guī)定(1)磁場的矢量位函數(shù)這個(gè)規(guī)定被稱為庫侖規(guī)范于是有此式即為矢量磁位的泊松方程。恒定磁場是有旋場，即,但它卻是無散場，即引入一個(gè)矢量磁位后，由于，可得3、恒定磁場的位函數(shù)分布人為規(guī)定(1)磁場的矢13此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。在沒有電流的區(qū)域,所以有在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程變?yōu)?2)磁場的標(biāo)量位函數(shù)這樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，因此，象靜電場一樣，我們可以引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，即標(biāo)量磁位函數(shù)此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。在沒有電流的區(qū)域14注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應(yīng)用。即令以上所導(dǎo)出的三個(gè)靜態(tài)場的基本方程表明：靜態(tài)場可以用位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域均滿足泊松方程，在無源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。因此，靜態(tài)場的求解問題就變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的問題。這兩個(gè)方程是二階偏微分方程，針對具體的電磁問題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個(gè)重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據(jù)。注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應(yīng)用。即令以上所導(dǎo)出的155.2對偶原理如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并且有相似的邊界條件或?qū)?yīng)的邊界條件，那么它們的數(shù)學(xué)解的形式也將是相同的，這就是對偶原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個(gè)方程稱為對偶性方程，在對偶性方程中，處于同等地位的量稱為對偶量。有了對偶原理后，我們就能把某種場的分析計(jì)算結(jié)果，直接推廣到其對偶的場中，這也是求解電磁場的一種方法。5.2對偶原理如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相161、ρ=0區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對偶靜電場恒定電場對偶量

1、ρ=0區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對偶靜電場恒172、ρ=0區(qū)域的靜電場與區(qū)域的恒定磁場的對偶靜電場恒定磁場對偶量

2、ρ=0區(qū)域的靜電場與區(qū)域的恒定磁場的對偶靜電185.3疊加原理和唯一性定理在研究具體的工程電磁場問題時(shí)，無論是靜電場、恒定電場、還是恒定磁場，都需要根據(jù)實(shí)際工程中給定的邊界條件，通過求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到標(biāo)量電位函數(shù)或矢量磁位函數(shù)。5.3.1邊界條件的分類給定位函數(shù)的邊界條件通常有三類：第一類邊界條件直接給定整個(gè)場域邊界上的位函數(shù)值為邊界點(diǎn)S的位函數(shù)，這類問題稱為第一類邊界條件。5.3疊加原理和唯一性定理在研究具體的工程電磁19因?yàn)楣噬鲜较喈?dāng)于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強(qiáng)度的法向分量，這類問題稱為第二類邊界條件。第二類邊界條件只給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值第三類邊界條件給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合這是混合邊界條件，稱為第三類邊界條件。因?yàn)楣噬鲜较喈?dāng)于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強(qiáng)度的法向205.3.2疊加原理若和分別滿足拉普拉斯方程，即和,則和的線性組合：必然也滿足拉普拉斯方程：式中a、b均為常系數(shù)。5.3.3唯一性定理唯一性定理可敘述為：對于任一靜態(tài)場，在邊界條件給定后，空間各處的場也就唯一地確定了，或者說這時(shí)拉普拉斯方程的解是唯一的。5.3.2疊加原理若和分別滿足拉普拉斯215.4鏡象法鏡象法是利用一個(gè)與源電荷相似的點(diǎn)電荷或線電荷來代替或等效實(shí)際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個(gè)相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計(jì)算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)生的合成電場，而得到源電荷與實(shí)際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合成電場，這種方法稱為鏡象法。一般可以考慮采用標(biāo)量位函數(shù)來計(jì)算這個(gè)由電荷所產(chǎn)生的合成電場，這樣可以避免復(fù)雜的矢量運(yùn)算。當(dāng)然，這就需要假設(shè)鏡象電荷與源電荷共同產(chǎn)生了一個(gè)總的電位函數(shù)，它既能滿足給定的具體邊界條件，又在一定區(qū)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程。那么，根據(jù)唯一性定理，所假設(shè)的位函數(shù)就是該區(qū)域上的唯一的電位函數(shù)。因此，用鏡象法求解靜電場問題的關(guān)鍵是尋找合適的鏡象電荷，然后再引出位函數(shù)并求解，這是分析很多電磁問題的一種有效方法。5.4鏡象法鏡象法是利用一個(gè)與源電荷相似的點(diǎn)電22鏡象法是利用一個(gè)與源電荷相似的點(diǎn)電荷或線電荷來代替或等效實(shí)際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個(gè)相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計(jì)算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)生的合成電場，而得到源電荷與實(shí)際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合成電場，這種方法稱為鏡象法。鏡象法是利用一個(gè)與源電荷相似的點(diǎn)電荷或線電荷235.4.1點(diǎn)電荷與無限大的平面導(dǎo)體的合成場計(jì)算如圖取直角坐標(biāo)系，使z=0的平面與導(dǎo)體平面重合，并將+q電荷放在z軸上。這時(shí)整個(gè)電場是靜電場，是由電荷q和導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的。點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體平面之間的電位必須滿足下列條件：1、在z=0處，=0，因?yàn)闊o限大的導(dǎo)體平面電位為零；2、在z>0的空間里，除了點(diǎn)電荷所在的點(diǎn)外，處處應(yīng)該滿足：5.4.1點(diǎn)電荷與無限大的平面導(dǎo)體的合成場計(jì)算如24用唯一性定理可以驗(yàn)證，這個(gè)假設(shè)的電位函數(shù)就是我們所要求的合成場。如果設(shè)想把無限大導(dǎo)電平板撤去，整個(gè)空間充滿同一種介質(zhì)ε，并在點(diǎn)電荷q的對稱位置上，放一個(gè)點(diǎn)電荷-q來代替導(dǎo)電平板上的感應(yīng)電荷。那么在z>0空間里任一點(diǎn)p(x,y,z)的電位就應(yīng)等于源電荷q與鏡象電荷-q所產(chǎn)生的電位之和。這時(shí)，p點(diǎn)的電位為用唯一性定理可以驗(yàn)證，這個(gè)假設(shè)的電位函數(shù)就是我們所要求的合成251、若將源點(diǎn)電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電荷可以看成是由無限多個(gè)連續(xù)分布的點(diǎn)電荷組成的，用鏡象法同樣可計(jì)算出在z>0的空間任一點(diǎn)的電位。推廣1、若將源點(diǎn)電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電262、兩相交半無限大導(dǎo)體平面，在角區(qū)內(nèi)的點(diǎn)電荷、線電荷的場也可用鏡象法求解。點(diǎn)電荷對于夾角為垂直的接地兩塊相連導(dǎo)電平面的鏡像:對于夾角為的兩個(gè)相連無限大導(dǎo)電平板間置有點(diǎn)電荷的問題，只要n為整數(shù)，在區(qū)域內(nèi)的鏡像:2、兩相交半無限大導(dǎo)體平面，在角區(qū)內(nèi)的點(diǎn)電荷、線電荷的場也可273、無限長通電直導(dǎo)線在一無限大磁介質(zhì)平面上方在空間中一點(diǎn)P的磁場由電流和鏡象電流共同產(chǎn)生。4、當(dāng)天線架設(shè)得比較低時(shí)，通常把地面假設(shè)為無限大的理想導(dǎo)電平面，地面的影響將歸結(jié)為鏡象天線所起的作用。3、無限長通電直導(dǎo)線在一無限大磁介質(zhì)平面上方在空間中一點(diǎn)P的285.4.2電介質(zhì)分界面的鏡象電荷如圖，如果分界面是介電常數(shù)為ε1和ε2的兩種無限大介質(zhì)的邊界平面，在介質(zhì)1中距分界面為h處置有一點(diǎn)電荷q，則求解介質(zhì)空間中任一點(diǎn)的電場電位分布可以用鏡像法求解。設(shè)在介質(zhì)ε1和ε2內(nèi)的電位函數(shù)分別為φ1和φ2。在介質(zhì)1中，除q點(diǎn)處以外,均有5.4.2電介質(zhì)分界面的鏡象電荷如圖，如果分界面29φ1是點(diǎn)電荷q與介質(zhì)分界面上感應(yīng)束縛電荷共同產(chǎn)生的電位函數(shù)。介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在介質(zhì)1中產(chǎn)生的電場可以用處于z<0的區(qū)域內(nèi)的一個(gè)鏡像電荷來等效。在介質(zhì)2中的電場是源電荷通過介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在下半空間作用的結(jié)果,在上半空間用一鏡象電荷代替界面上的感應(yīng)束縛面電荷在下半空間產(chǎn)生的場，則φ2為：在介質(zhì)分界面上，場存在的邊界條件是：則為了求介質(zhì)1中的場，將整個(gè)空間充滿ε1介質(zhì)，設(shè)在源電荷q對稱位置上的鏡像電荷為φ1是點(diǎn)電荷q與介質(zhì)分界面上感應(yīng)束縛電荷共同產(chǎn)生的電30即在介質(zhì)ε2中，場是由產(chǎn)生的。將整個(gè)空間看成是充滿介質(zhì)ε2，則介質(zhì)ε2中的場由在源點(diǎn)電荷上的象電荷產(chǎn)生在介質(zhì)1中，界面上p點(diǎn)的電場強(qiáng)度的切向分量在介質(zhì)2中，電場是由產(chǎn)生的。電場強(qiáng)度切向分量為根據(jù)邊界條件可得即在介質(zhì)ε2中，場是由產(chǎn)生的。將整個(gè)空間看成是充滿介31注意：1、鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時(shí)將會(huì)改變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯方程或泊松方程。2、鏡像電荷周圍的介質(zhì)應(yīng)該是與被討論的區(qū)間一致的。3、所得電位函數(shù)必須滿足原來的邊界條件。4、可以用類似的方法來處理兩種磁介質(zhì)分界面兩邊的磁場計(jì)算問題。注意：325.4.3球形邊界問題

1、如圖（page107,圖5.9），接地導(dǎo)體球，半徑為a，在球外與球心相距為d的p點(diǎn)處有一點(diǎn)電荷q，點(diǎn)電荷q將在導(dǎo)體球表面產(chǎn)生感應(yīng)負(fù)電荷，球外任一點(diǎn)的電位應(yīng)等于這些感應(yīng)電荷與點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電位之和。5.4.3球形邊界問題1、如圖（page107,圖5.933設(shè)想把導(dǎo)體球移開，用一個(gè)鏡象電荷代替球面上的感應(yīng)負(fù)電荷，為了不改變球外的電荷分布，鏡象電荷必須放在導(dǎo)體球內(nèi)。又由于球?qū)ΨQ性，這個(gè)鏡象電荷必然在點(diǎn)電荷q與球心所在的同一條直線上。又由于靠近點(diǎn)電荷q的球面部分，感應(yīng)電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在OM線段上，設(shè)在b點(diǎn),OM=b，則位函數(shù)表達(dá)式為設(shè)想把導(dǎo)體球移開，用一個(gè)鏡象電荷代替球面上的感應(yīng)負(fù)電荷，為了34可求出：可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷的位置和電量大小，則位函數(shù)表達(dá)式就確定了。采用鏡象法后，球面外區(qū)域的電位函數(shù)相對容易計(jì)算。2、如圖（page108,圖5.10），若導(dǎo)體球不接地，導(dǎo)體球上的靜電荷為0，并且球面電位不為0，但仍保持為等位面，為了滿足導(dǎo)體球上靜電荷為0的條件，還需加入另一鏡象電荷,使即：球面電位為：導(dǎo)體球外各點(diǎn)的電位由q,和共同產(chǎn)生：可求出：可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷355.4.4圓柱形邊界問題

一無限長帶電線，電荷密度為,與半徑為a的無限長導(dǎo)電圓柱的軸線平行，線與圓柱軸線的距離為d，無限長導(dǎo)電圓柱等效為接地。利用球形邊界的分析方法：導(dǎo)電圓柱體上的鏡象線電荷為:鏡象線電荷與圓柱軸線的偏心距離為:這樣，用鏡象線電荷取代圓柱形導(dǎo)電體，就把問題簡化為了求兩條平行等值異號(hào)線電荷的電位和電場。5.4.4圓柱形邊界問題一無限長帶電線，電荷密度365.5分離變量法分離變量法是求解拉普拉斯方程的基本方法，該方法把一個(gè)多變量的函數(shù)表示成為幾個(gè)單變量函數(shù)的乘積后，再進(jìn)行計(jì)算。與完全的數(shù)學(xué)求解不同，針對具體物理問題使用該方法求解時(shí)，將要結(jié)合一些物理概念進(jìn)行分析求解。通過分離變量，它將函數(shù)的偏微分方程分解為帶“分離”常數(shù)的幾個(gè)單變量的常微分方程。不同坐標(biāo)系分解出來的單變量常微分方程的形式不同，其通解的形式也不同。坐標(biāo)系的選擇應(yīng)盡量使場域邊界面平行于坐標(biāo)面。例如：矩形域應(yīng)選直角坐標(biāo)系；圓柱形域應(yīng)選圓柱坐標(biāo)系；球形域應(yīng)選球坐標(biāo)系。

5.5分離變量法分離變量法是求解拉普拉斯方程的375.5.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法如果所討論的場域的邊界面是平面，而且這些平面相互平行或相互垂直時(shí)，應(yīng)選擇直角坐標(biāo)系。在直角坐標(biāo)系中，位函數(shù)φ的拉普拉斯方程為令φ為三個(gè)單變量函數(shù)的乘積，即代入上式，并在兩端同除以φ，可得上式的三項(xiàng)中，每一項(xiàng)都是一個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)，而三項(xiàng)之和若要等于0，則只有一個(gè)可能，就是每一項(xiàng)分別等于一個(gè)常數(shù)，而這三個(gè)常數(shù)之和為0。5.5.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法如果所討論的38并且即令

據(jù)此，我們可將拉普拉斯方程分解成三個(gè)帶分離常數(shù)的常微分方程。顯然，三個(gè)分離常數(shù)不可能全為實(shí)數(shù)，也不能全為虛數(shù)。至于將三個(gè)常數(shù)都假設(shè)為是某一個(gè)常數(shù)平方的負(fù)值，是因?yàn)橐狗匠痰慕獬蔀橐恍┨厥夂瘮?shù)，以便于利用邊界條件來確定常數(shù)。并且即令據(jù)此，我們可將拉普拉斯方程分解成三個(gè)帶分離常39對于上面的式子，其解的形式如下：1、當(dāng)，即為實(shí)數(shù)時(shí)，其解為2、當(dāng)，即為實(shí)數(shù)時(shí)，其解為3、當(dāng)，其解為根據(jù)取值的不同組合情況，其解的形式也有不同的組合，需要根據(jù)具體邊界條件來確定解的組合形式和待定系數(shù)。對于上面的式子，其解的形式如下：1、當(dāng)405.5.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法如果待求場域的分界面與圓柱坐標(biāo)系中某一坐標(biāo)面相一致時(shí)，應(yīng)選擇圓柱坐標(biāo)系。在圓柱坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程的表達(dá)式為令待求函數(shù)代入上式，并在兩端同除以φ，再同乘以r2后得上式中第二項(xiàng)僅與φ有關(guān)，它應(yīng)等于常數(shù)，設(shè)為-n25.5.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法如果41即代入上式后可得：因此便分離出三個(gè)常微分方程,它們的解的形式與n2及的取值有關(guān),其可能的組合情況有多種。（見Page112）即代入上式后可得：因此便分離出三個(gè)常微分方程,它們的解的425.6格林函數(shù)法格林函數(shù)法是數(shù)學(xué)物理方法中的基本方法之一，可以用于求解靜態(tài)場中的拉普拉斯方程、泊松方程以及時(shí)變場中的亥姆霍茲方程。在線性電路理論中，為了求一線性電路對任意激勵(lì)的全響應(yīng)，我們一般是在求得單位沖擊響應(yīng)的基礎(chǔ)上，先求出零狀態(tài)響應(yīng)，然后再加上零輸入響應(yīng)。所謂格林函數(shù)法就是上述方法在空間域中的應(yīng)用。邊值問題中的單位沖擊響應(yīng)函數(shù)就是格林函數(shù)。更確切地說，格林函數(shù)是單位點(diǎn)源在一定的邊界條件下所建立的場的位函數(shù)，因而格林函數(shù)又稱為源函數(shù)。已知電荷分布就是已知空間電場激勵(lì)源的分布，因此只要知道點(diǎn)源的場，即可用疊加原理求出任意源的場。

5.6格林函數(shù)法格林函數(shù)法是數(shù)學(xué)物理方法中的基43格林函數(shù)的解題步驟是：首先用鏡像法或其他方法找到與待求問題對應(yīng)的格林函數(shù)，然后將它代入由格林第二恒等式導(dǎo)出的積分公式即得所求。一般情況下，該積分有兩項(xiàng)；一項(xiàng)為零邊值響應(yīng)，另一項(xiàng)為零激勵(lì)響應(yīng)。對于靜電場問題而言，可以從單位點(diǎn)電荷（二維問題對應(yīng)于單位線電荷，一維問題對應(yīng)于單位面電荷）在特定邊界上產(chǎn)生的位函數(shù)，通過積分求得同一邊界的任意分布電荷產(chǎn)生的電位。本節(jié)以靜電場的邊值問題為例，說明格林函數(shù)法在求解泊松方程中的應(yīng)用。格林函數(shù)的解題步驟是：首先用鏡像法或其他方法找到與待445.6.1靜電場邊值問題的格林函數(shù)法表達(dá)式假定已知某給定區(qū)域V內(nèi)的電荷體密度，則待求電位滿足泊松方程與此相對應(yīng)的格林函數(shù)滿足下列方程在上述第一式兩端乘與G，在上述第二式兩端乘與φ，二者相減再積分，可得5.6.1靜電場邊值問題的格林函數(shù)法表達(dá)式假定已知某給45使用格林第二恒等式當(dāng)源點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)時(shí)，有可得因而，上式可以寫為

使用格林第二恒等式當(dāng)源點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)時(shí)，有可得因而，上式可以46將上式的源點(diǎn)和場點(diǎn)互換，并且利用格林函數(shù)的對稱性，得

此式就是有限區(qū)域V內(nèi)任意一點(diǎn)電位的格林函數(shù)表示式。式中的格林函數(shù)是在給定邊界形狀下的一般邊值問題的格林函數(shù)，為了簡化計(jì)算，我們可以對格林函數(shù)附加上邊界條件。與靜電場邊值問題一樣，格林函數(shù)的邊界條件也分為三類：

（1）第一類邊值問題的格林函數(shù)與第一類靜電場邊值問題相對應(yīng)的是第一類邊值問題的格林函數(shù)，用G1表示。它在體積V內(nèi)和邊界面S上滿足的方程為將上式的源點(diǎn)和場點(diǎn)互換，并且利用格林函數(shù)的對稱性，得此式就47即第一類邊值問題的格林函數(shù)在邊界面S上滿足齊次邊界條件。將它代入上式，可得出第一類靜電場邊值問題的解為與第二類靜電場邊值問題相對應(yīng)的是第二類邊值問題的格林函數(shù)，用G2表示。它在體積V內(nèi)和邊界面S上滿足的方程為（2）第二類邊值問題的格林函數(shù)在此條件下，第二類靜電場邊值問題的解為即第一類邊值問題的格林函數(shù)在邊界面S上滿足齊次邊界條件。將它48（3）第三類邊值問題的格林函數(shù)對于第三類靜電場邊值問題，使用第三類邊值問題的格林函數(shù)較為方便。其邊界條件由下式確定：

與第三類靜電場邊值問題相應(yīng)的第三類邊值問題的格林函數(shù)G3所滿足的方程及邊界條件為

在此條件下，第三類靜電場邊值問題的解為（3）第三類邊值問題的格林函數(shù)對于第三類靜電場邊值問題，使用49從以上推導(dǎo)過程可看出，格林函數(shù)解法的實(shí)質(zhì)是把泊松方程的求解轉(zhuǎn)化為特定邊界條件下點(diǎn)源激勵(lì)時(shí)位函數(shù)的求解。點(diǎn)源激勵(lì)下的位函數(shù)就是格林函數(shù)，格林函數(shù)所滿足的方程及邊界條件都比同類型的泊松方程要簡單。

5.6.2簡單邊界的格林函數(shù)下面我們給出一些簡單邊界形狀下第一類靜電場邊值問題的格林函數(shù)（為了書寫簡便，略去下標(biāo)，用G表示）。

1、無界空間的格林函數(shù)

計(jì)算無界空間的格林函數(shù)，就是要計(jì)算無界空間中位于r’處的單位點(diǎn)電荷以無窮遠(yuǎn)為電位參考點(diǎn)時(shí)在空間r處的電位，這一電位為從以上推導(dǎo)過程可看出，格林函數(shù)解法的實(shí)質(zhì)是把泊松方程50因此，無界空間的格林函數(shù)為這是三維無界空間的格林函數(shù)。對于二維無界空間，格林函數(shù)為C是常數(shù)，取決于電位參考點(diǎn)的選取。

因此，無界空間的格林函數(shù)為這是三維無界空間的格林函數(shù)。對于二512、上半空間的格林函數(shù)

計(jì)算上半空間（z>0）的格林函數(shù)，就是求位于上半空間

r’處的單位點(diǎn)電荷以z=0平面為電位零點(diǎn)時(shí)，在上半空間任意一點(diǎn)r處的電位。這個(gè)電位可以用平面鏡像法求得，因而上半空間的格林函數(shù)為

式中2、上半空間的格林函數(shù)計(jì)算上半空間（z>0）的格林523、球內(nèi)、外空間的格林函數(shù)

我們可以由球面鏡像法，求出球心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為a的球外空間的格林函數(shù)式中3、球內(nèi)、外空間的格林函數(shù)我們可以由球面鏡像法，求535.7有限差分法有限差分法是一種近似數(shù)值計(jì)算法，在一些工程技術(shù)計(jì)算中被廣泛使用。這種方法是在待求場域內(nèi)選取有限個(gè)離散點(diǎn)，在各個(gè)離散點(diǎn)上以差分方程近似代替各點(diǎn)上的微分方程，從而把以連續(xù)變量形式表示的位函數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為以離散點(diǎn)位函數(shù)值表示的方程組。結(jié)合具體邊界條件，求解差分方程組，即得到所選的各個(gè)離散點(diǎn)上的位函數(shù)值。有限差分法不僅能處理線性問題，還能處理非線性問題；不僅能求解拉普拉斯方程，也能求解泊松方程；不僅能求解任意靜態(tài)場的問題，也能求解時(shí)變場的問題；而且這種方法不受邊界形狀的限制。

5.7有限差分法有限差分法是一種近似數(shù)值計(jì)算法54函數(shù)f(x)的一階差分定義為Δf(x)=f(x+h)-f(x)式中h是自變量x的增量，即Δx=h,將下面的式子稱為f(x)的一階差商：當(dāng)h很小時(shí)，差分Δf也很小，因此在近似計(jì)算中可用一階差商近似等于一階微分，即

二階差商為同樣可以定義二階差分為Δ2f(x)=Δf(x+h)-Δf(x)

函數(shù)f(x)的一階差分定義為當(dāng)h很小時(shí)，差分Δf也很小，因此55令二階差商近似等于二階微商

差分方程就是在各離散點(diǎn)上，用和近似替代偏微分方程中的和，從而將拉普拉斯方程或泊松方程這樣的偏微分方程化為一組代數(shù)方程，即差分方程。(見Page118例5.2和例5.3)令二階差商近似等于二階微商差分方程就是在各離散點(diǎn)上，用56第5章靜態(tài)場的解靜態(tài)場是指場量不隨時(shí)間變化的場。靜態(tài)場包括：靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時(shí)變電磁場的特例。分析靜態(tài)場，必須從麥克斯韋方程組這個(gè)電磁場的普遍規(guī)律出發(fā)，導(dǎo)出靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組，即描述靜態(tài)場特性的基本方程。再根據(jù)它們的特性，聯(lián)合物態(tài)方程推導(dǎo)出位函數(shù)的泊松方程和拉普拉斯方程。最后，靜態(tài)場問題可歸結(jié)為求泊松方程和拉普拉斯方程解的問題。通常求解這兩個(gè)方程的方法有：鏡像法、分離變量法和復(fù)變函數(shù)法，它們屬于解析法，而在近似計(jì)算中常用有限差分法。第5章靜態(tài)場的解靜態(tài)場是指場量不隨時(shí)間變化的場571.靜電場、恒定電場、恒定磁場的基本方程4.鏡像法、分離變量法、格林函數(shù)法、有限差分法重點(diǎn)：3.求解靜態(tài)場位函數(shù)方程的方法所依據(jù)的理論：對偶原理、疊加原理、唯一性定理

2.靜態(tài)場的位函數(shù)方程1.靜電場、恒定電場、恒定磁場的基本方程4.鏡像法585.1泊松方程和拉普拉斯方程5.1.1靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組對于靜態(tài)場，各場量只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，并不隨時(shí)間而變化，即與時(shí)間t無關(guān)。因此，靜態(tài)場的麥克斯韋方程組為：電流連續(xù)性方程為：5.1泊松方程和拉普拉斯方程5.1.1靜態(tài)場中的麥克59由上述方程組可知，靜態(tài)場與時(shí)變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場和磁場是彼此獨(dú)立存在的，即電場只由電荷產(chǎn)生，磁場只由電流產(chǎn)生。沒有變化的磁場，也沒有變化的電場。既然如此，我們就可以分別寫出靜電場、恒定電場和恒定磁場的基本方程。1、靜電場的基本方程靜電場是靜止電荷或靜止帶電體產(chǎn)生的場，其基本方程為

上式表明：靜電場中的旋度為0，即靜電場中的電場不可能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場的通量源。由上述方程組可知，靜態(tài)場與時(shí)變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場60另外：電介質(zhì)的物態(tài)方程為靜電場是一個(gè)有源無旋場，所以靜電場可用電位函數(shù)來描述，即2、恒定電場的基本方程載有恒定電流的導(dǎo)體內(nèi)部及其周圍介質(zhì)中產(chǎn)生的電場，即為恒定電場。當(dāng)導(dǎo)體中有電流時(shí)，由于導(dǎo)體電阻的存在，要在導(dǎo)體中維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內(nèi)部的電場也是恒定的。另外：電介質(zhì)的物態(tài)方程為靜電場是一個(gè)有源無旋場，所以靜電場61

要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。恒定電流的形成+ABC-要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的62若一閉合路徑經(jīng)過電源，則：即電場強(qiáng)度的線積分等于電源的電動(dòng)勢若閉合路徑不經(jīng)過電源，則：這是恒定電場在無源區(qū)的基本方程積分形式，其微分形式為從以上分析可知，恒定電場的無源區(qū)域也是一個(gè)位場，也可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來描述。另外：導(dǎo)體中的物態(tài)方程為若一閉合路徑經(jīng)過電源，則：即電場強(qiáng)度的線積分等于電633、恒定磁場的基本方程這是恒定磁場的基本方程。從以上方程可知，恒定磁場是一個(gè)旋渦場，電流是這個(gè)旋渦場的源，電流線是閉合的。另外：磁介質(zhì)中的物態(tài)方程為恒定電流的導(dǎo)體周圍或內(nèi)部不僅存在電場，而且存在磁場，但這個(gè)磁場不隨時(shí)間變化，是恒定磁場。假設(shè)導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流為I，電流密度為,則有3、恒定磁場的基本方程這是恒定磁場的基本方程。從以上64靜電場既然是一個(gè)位場，就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示它:5.1.2泊松方程和拉普拉斯方程1、靜電場的位函數(shù)分布即式中的標(biāo)量函數(shù)稱為電位函數(shù)。所以有對于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)，ε為常數(shù),

即靜電場的位函數(shù)滿足的方程。靜電場既然是一個(gè)位場，就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯65上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有“源”的區(qū)域內(nèi)，靜電場的電位函數(shù)所滿足的方程，我們將這種形式的方程稱為泊松方程。如果場中某處有ρ=0，即在無源區(qū)域，則上式變?yōu)槲覀儗⑦@種形式的方程稱為拉普拉斯方程。它是在不存在電荷的區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)應(yīng)滿足的方程。拉普拉斯算符在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)形式：上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有“源”的區(qū)域內(nèi)，靜電66在直角坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中672、恒定電場的位函數(shù)分布根據(jù)電流連續(xù)性方程及物態(tài)方程并設(shè)電導(dǎo)率為一常數(shù)（對應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有則有在無源區(qū)域，恒定電場是一個(gè)位場，即有

這時(shí)同樣可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)使得這說明，在無源區(qū)域，恒定電場的位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。

2、恒定電場的位函數(shù)分布根據(jù)電流連續(xù)性方程683、恒定磁場的位函數(shù)分布人為規(guī)定(1)磁場的矢量位函數(shù)這個(gè)規(guī)定被稱為庫侖規(guī)范于是有此式即為矢量磁位的泊松方程。恒定磁場是有旋場，即,但它卻是無散場，即引入一個(gè)矢量磁位后，由于，可得3、恒定磁場的位函數(shù)分布人為規(guī)定(1)磁場的矢69此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。在沒有電流的區(qū)域,所以有在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程變?yōu)?2)磁場的標(biāo)量位函數(shù)這樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，因此，象靜電場一樣，我們可以引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，即標(biāo)量磁位函數(shù)此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。在沒有電流的區(qū)域70注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應(yīng)用。即令以上所導(dǎo)出的三個(gè)靜態(tài)場的基本方程表明：靜態(tài)場可以用位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域均滿足泊松方程，在無源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。因此，靜態(tài)場的求解問題就變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的問題。這兩個(gè)方程是二階偏微分方程，針對具體的電磁問題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個(gè)重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據(jù)。注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應(yīng)用。即令以上所導(dǎo)出的715.2對偶原理如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并且有相似的邊界條件或?qū)?yīng)的邊界條件，那么它們的數(shù)學(xué)解的形式也將是相同的，這就是對偶原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個(gè)方程稱為對偶性方程，在對偶性方程中，處于同等地位的量稱為對偶量。有了對偶原理后，我們就能把某種場的分析計(jì)算結(jié)果，直接推廣到其對偶的場中，這也是求解電磁場的一種方法。5.2對偶原理如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相721、ρ=0區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對偶靜電場恒定電場對偶量

1、ρ=0區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對偶靜電場恒732、ρ=0區(qū)域的靜電場與區(qū)域的恒定磁場的對偶靜電場恒定磁場對偶量

2、ρ=0區(qū)域的靜電場與區(qū)域的恒定磁場的對偶靜電745.3疊加原理和唯一性定理在研究具體的工程電磁場問題時(shí)，無論是靜電場、恒定電場、還是恒定磁場，都需要根據(jù)實(shí)際工程中給定的邊界條件，通過求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到標(biāo)量電位函數(shù)或矢量磁位函數(shù)。5.3.1邊界條件的分類給定位函數(shù)的邊界條件通常有三類：第一類邊界條件直接給定整個(gè)場域邊界上的位函數(shù)值為邊界點(diǎn)S的位函數(shù)，這類問題稱為第一類邊界條件。5.3疊加原理和唯一性定理在研究具體的工程電磁75因?yàn)楣噬鲜较喈?dāng)于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強(qiáng)度的法向分量，這類問題稱為第二類邊界條件。第二類邊界條件只給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值第三類邊界條件給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合這是混合邊界條件，稱為第三類邊界條件。因?yàn)楣噬鲜较喈?dāng)于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強(qiáng)度的法向765.3.2疊加原理若和分別滿足拉普拉斯方程，即和,則和的線性組合：必然也滿足拉普拉斯方程：式中a、b均為常系數(shù)。5.3.3唯一性定理唯一性定理可敘述為：對于任一靜態(tài)場，在邊界條件給定后，空間各處的場也就唯一地確定了，或者說這時(shí)拉普拉斯方程的解是唯一的。5.3.2疊加原理若和分別滿足拉普拉斯775.4鏡象法鏡象法是利用一個(gè)與源電荷相似的點(diǎn)電荷或線電荷來代替或等效實(shí)際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個(gè)相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計(jì)算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)生的合成電場，而得到源電荷與實(shí)際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合成電場，這種方法稱為鏡象法。一般可以考慮采用標(biāo)量位函數(shù)來計(jì)算這個(gè)由電荷所產(chǎn)生的合成電場，這樣可以避免復(fù)雜的矢量運(yùn)算。當(dāng)然，這就需要假設(shè)鏡象電荷與源電荷共同產(chǎn)生了一個(gè)總的電位函數(shù)，它既能滿足給定的具體邊界條件，又在一定區(qū)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程。那么，根據(jù)唯一性定理，所假設(shè)的位函數(shù)就是該區(qū)域上的唯一的電位函數(shù)。因此，用鏡象法求解靜電場問題的關(guān)鍵是尋找合適的鏡象電荷，然后再引出位函數(shù)并求解，這是分析很多電磁問題的一種有效方法。5.4鏡象法鏡象法是利用一個(gè)與源電荷相似的點(diǎn)電78鏡象法是利用一個(gè)與源電荷相似的點(diǎn)電荷或線電荷來代替或等效實(shí)際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個(gè)相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計(jì)算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)生的合成電場，而得到源電荷與實(shí)際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合成電場，這種方法稱為鏡象法。鏡象法是利用一個(gè)與源電荷相似的點(diǎn)電荷或線電荷795.4.1點(diǎn)電荷與無限大的平面導(dǎo)體的合成場計(jì)算如圖取直角坐標(biāo)系，使z=0的平面與導(dǎo)體平面重合，并將+q電荷放在z軸上。這時(shí)整個(gè)電場是靜電場，是由電荷q和導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的。點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體平面之間的電位必須滿足下列條件：1、在z=0處，=0，因?yàn)闊o限大的導(dǎo)體平面電位為零；2、在z>0的空間里，除了點(diǎn)電荷所在的點(diǎn)外，處處應(yīng)該滿足：5.4.1點(diǎn)電荷與無限大的平面導(dǎo)體的合成場計(jì)算如80用唯一性定理可以驗(yàn)證，這個(gè)假設(shè)的電位函數(shù)就是我們所要求的合成場。如果設(shè)想把無限大導(dǎo)電平板撤去，整個(gè)空間充滿同一種介質(zhì)ε，并在點(diǎn)電荷q的對稱位置上，放一個(gè)點(diǎn)電荷-q來代替導(dǎo)電平板上的感應(yīng)電荷。那么在z>0空間里任一點(diǎn)p(x,y,z)的電位就應(yīng)等于源電荷q與鏡象電荷-q所產(chǎn)生的電位之和。這時(shí)，p點(diǎn)的電位為用唯一性定理可以驗(yàn)證，這個(gè)假設(shè)的電位函數(shù)就是我們所要求的合成811、若將源點(diǎn)電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電荷可以看成是由無限多個(gè)連續(xù)分布的點(diǎn)電荷組成的，用鏡象法同樣可計(jì)算出在z>0的空間任一點(diǎn)的電位。推廣1、若將源點(diǎn)電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電822、兩相交半無限大導(dǎo)體平面，在角區(qū)內(nèi)的點(diǎn)電荷、線電荷的場也可用鏡象法求解。點(diǎn)電荷對于夾角為垂直的接地兩塊相連導(dǎo)電平面的鏡像:對于夾角為的兩個(gè)相連無限大導(dǎo)電平板間置有點(diǎn)電荷的問題，只要n為整數(shù)，在區(qū)域內(nèi)的鏡像:2、兩相交半無限大導(dǎo)體平面，在角區(qū)內(nèi)的點(diǎn)電荷、線電荷的場也可833、無限長通電直導(dǎo)線在一無限大磁介質(zhì)平面上方在空間中一點(diǎn)P的磁場由電流和鏡象電流共同產(chǎn)生。4、當(dāng)天線架設(shè)得比較低時(shí)，通常把地面假設(shè)為無限大的理想導(dǎo)電平面，地面的影響將歸結(jié)為鏡象天線所起的作用。3、無限長通電直導(dǎo)線在一無限大磁介質(zhì)平面上方在空間中一點(diǎn)P的845.4.2電介質(zhì)分界面的鏡象電荷如圖，如果分界面是介電常數(shù)為ε1和ε2的兩種無限大介質(zhì)的邊界平面，在介質(zhì)1中距分界面為h處置有一點(diǎn)電荷q，則求解介質(zhì)空間中任一點(diǎn)的電場電位分布可以用鏡像法求解。設(shè)在介質(zhì)ε1和ε2內(nèi)的電位函數(shù)分別為φ1和φ2。在介質(zhì)1中，除q點(diǎn)處以外,均有5.4.2電介質(zhì)分界面的鏡象電荷如圖，如果分界面85φ1是點(diǎn)電荷q與介質(zhì)分界面上感應(yīng)束縛電荷共同產(chǎn)生的電位函數(shù)。介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在介質(zhì)1中產(chǎn)生的電場可以用處于z<0的區(qū)域內(nèi)的一個(gè)鏡像電荷來等效。在介質(zhì)2中的電場是源電荷通過介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在下半空間作用的結(jié)果,在上半空間用一鏡象電荷代替界面上的感應(yīng)束縛面電荷在下半空間產(chǎn)生的場，則φ2為：在介質(zhì)分界面上，場存在的邊界條件是：則為了求介質(zhì)1中的場，將整個(gè)空間充滿ε1介質(zhì)，設(shè)在源電荷q對稱位置上的鏡像電荷為φ1是點(diǎn)電荷q與介質(zhì)分界面上感應(yīng)束縛電荷共同產(chǎn)生的電86即在介質(zhì)ε2中，場是由產(chǎn)生的。將整個(gè)空間看成是充滿介質(zhì)ε2，則介質(zhì)ε2中的場由在源點(diǎn)電荷上的象電荷產(chǎn)生在介質(zhì)1中，界面上p點(diǎn)的電場強(qiáng)度的切向分量在介質(zhì)2中，電場是由產(chǎn)生的。電場強(qiáng)度切向分量為根據(jù)邊界條件可得即在介質(zhì)ε2中，場是由產(chǎn)生的。將整個(gè)空間看成是充滿介87注意：1、鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時(shí)將會(huì)改變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯方程或泊松方程。2、鏡像電荷周圍的介質(zhì)應(yīng)該是與被討論的區(qū)間一致的。3、所得電位函數(shù)必須滿足原來的邊界條件。4、可以用類似的方法來處理兩種磁介質(zhì)分界面兩邊的磁場計(jì)算問題。注意：885.4.3球形邊界問題

1、如圖（page107,圖5.9），接地導(dǎo)體球，半徑為a，在球外與球心相距為d的p點(diǎn)處有一點(diǎn)電荷q，點(diǎn)電荷q將在導(dǎo)體球表面產(chǎn)生感應(yīng)負(fù)電荷，球外任一點(diǎn)的電位應(yīng)等于這些感應(yīng)電荷與點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電位之和。5.4.3球形邊界問題1、如圖（page107,圖5.989設(shè)想把導(dǎo)體球移開，用一個(gè)鏡象電荷代替球面上的感應(yīng)負(fù)電荷，為了不改變球外的電荷分布，鏡象電荷必須放在導(dǎo)體球內(nèi)。又由于球?qū)ΨQ性，這個(gè)鏡象電荷必然在點(diǎn)電荷q與球心所在的同一條直線上。又由于靠近點(diǎn)電荷q的球面部分，感應(yīng)電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在OM線段上，設(shè)在b點(diǎn),OM=b，則位函數(shù)表達(dá)式為設(shè)想把導(dǎo)體球移開，用一個(gè)鏡象電荷代替球面上的感應(yīng)負(fù)電荷，為了90可求出：可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷的位置和電量大小，則位函數(shù)表達(dá)式就確定了。采用鏡象法后，球面外區(qū)域的電位函數(shù)相對容易計(jì)算。2、如圖（page108,圖5.10），若導(dǎo)體球不接地，導(dǎo)體球上的靜電荷為0，并且球面電位不為0，但仍保持為等位面，為了滿足導(dǎo)體球上靜電荷為0的條件，還需加入另一鏡象電荷,使即：球面電位為：導(dǎo)體球外各點(diǎn)的電位由q,和共同產(chǎn)生：可求出：可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷915.4.4圓柱形邊界問題

一無限長帶電線，電荷密度為,與半徑為a的無限長導(dǎo)電圓柱的軸線平行，線與圓柱軸線的距離為d，無限長導(dǎo)電圓柱等效為接地。利用球形邊界的分析方法：導(dǎo)電圓柱體上的鏡象線電荷為:鏡象線電荷與圓柱軸線的偏心距離為:這樣，用鏡象線電荷取代圓柱形導(dǎo)電體，就把問題簡化為了求兩條平行等值異號(hào)線電荷的電位和電場。5.4.4圓柱形邊界問題一無限長帶電線，電荷密度925.5分離變量法分離變量法是求解拉普拉斯方程的基本方法，該方法把一個(gè)多變量的函數(shù)表示成為幾個(gè)單變量函數(shù)的乘積后，再進(jìn)行計(jì)算。與完全的數(shù)學(xué)求解不同，針對具體物理問題使用該方法求解時(shí)，將要結(jié)合一些物理概念進(jìn)行分析求解。通過分離變量，它將函數(shù)的偏微分方程分解為帶“分離”常數(shù)的幾個(gè)單變量的常微分方程。不同坐標(biāo)系分解出來的單變量常微分方程的形式不同，其通解的形式也不同。坐標(biāo)系的選擇應(yīng)盡量使場域邊界面平行于坐標(biāo)面。例如：矩形域應(yīng)選直角坐標(biāo)系；圓柱形域應(yīng)選圓柱坐標(biāo)系；球形域應(yīng)選球坐標(biāo)系。

5.5分離變量法分離變量法是求解拉普拉斯方程的935.5.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法如果所討論的場域的邊界面是平面，而且這些平面相互平行或相互垂直時(shí)，應(yīng)選擇直角坐標(biāo)系。在直角坐標(biāo)系中，位函數(shù)φ的拉普拉斯方程為令φ為三個(gè)單變量函數(shù)的乘積，即代入上式，并在兩端同除以φ，可得上式的三項(xiàng)中，每一項(xiàng)都是一個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)，而三項(xiàng)之和若要等于0，則只有一個(gè)可能，就是每一項(xiàng)分別等于一個(gè)常數(shù)，而這三個(gè)常數(shù)之和為0。5.5.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法如果所討論的94并且即令

據(jù)此，我們可將拉普拉斯方程分解成三個(gè)帶分離常數(shù)的常微分方程。顯然，三個(gè)分離常數(shù)不可能全為實(shí)數(shù)，也不能全為虛數(shù)。至于將三個(gè)常數(shù)都假設(shè)為是某一個(gè)常數(shù)平方的負(fù)值，是因?yàn)橐狗匠痰慕獬蔀橐恍┨厥夂瘮?shù)，以便于利用邊界條件來確定常數(shù)。并且即令據(jù)此，我們可將拉普拉斯方程分解成三個(gè)帶分離常95對于上面的式子，其解的形式如下：1、當(dāng)，即為實(shí)數(shù)時(shí)，其解為2、當(dāng)，即為實(shí)數(shù)時(shí)，其解為3、當(dāng)，其解為根據(jù)取值的不同組合情況，其解的形式也有不同的組合，需要根據(jù)具體邊界條件來確定解的組合形式和待定系數(shù)。對于上面的式子，其解的形式如下：1、當(dāng)965.5.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法如果待求場域的分界面與圓柱坐標(biāo)系中某一坐標(biāo)面相一致時(shí)，應(yīng)選擇圓柱坐標(biāo)系。在圓柱坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程的表達(dá)式為令待求函數(shù)代入上式，并在兩端同除以φ，再同乘以r2后得上式中第二項(xiàng)僅與φ有關(guān)，它應(yīng)等于常數(shù)，設(shè)為-n25.5.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法如果97即代入上式后可得：因此便分離出三個(gè)常微分方程,它們的解的形式與n2及的取值有關(guān),其可能的組合情況有多種。（見Page112）即代入上式后可得：因此便分離出三個(gè)常微分方程,它們的解的985.6格林函數(shù)法格林函數(shù)法是數(shù)學(xué)物理方法中的基本方法之一，可以用于求解靜態(tài)場中的拉普拉斯方程、泊松方程以及時(shí)變場中的亥姆霍茲方程。在線性電路理論中，為了求一線性電路對任意激勵(lì)的全響應(yīng)，我們一般是在求得單位沖擊響應(yīng)的基礎(chǔ)上，先求出零狀態(tài)響應(yīng)，然后再加上零輸入響應(yīng)。所謂格林函數(shù)法就是上述方法在空間域中的應(yīng)用。邊值問題中的單位沖擊響應(yīng)函數(shù)就是格林函數(shù)。更確切地說，格林函數(shù)是單位點(diǎn)源在一定的邊界條件下所建立的場的位函數(shù)，因而格林函數(shù)又稱為源函數(shù)。已知電荷分布就是已知空間電場激勵(lì)源的分布，因此只要知道點(diǎn)源的場，即可用疊加原理求出任意源的場。

5.6格林函數(shù)法格林函數(shù)法是數(shù)學(xué)物理方法中的基99格林函數(shù)的解題步驟是：首先用鏡像法或其他方法找到與待求問題對應(yīng)的格林函數(shù)，然后將它代入由格林第二恒等式導(dǎo)出的積分公式即得所求。一般情況下，該積分有兩項(xiàng)；一項(xiàng)為零邊值響應(yīng)，另一項(xiàng)為零激勵(lì)響應(yīng)。對于靜電場問題而言，可以從單位點(diǎn)電荷（二維問題對應(yīng)于單位線電荷，一維問題對應(yīng)于單位面電荷）在特定邊界上產(chǎn)生的位函數(shù)，通過積分求得同一邊界的任意分布電荷產(chǎn)生的電位。本節(jié)以靜電場的邊值問題為例，說明格林函數(shù)法在求解泊松方程中的應(yīng)用。格林函數(shù)的解題步驟是：首先用鏡像法或其他方法找到與待1005.6.1靜電場邊值問題的格林函數(shù)法表達(dá)式假定已知某