線線垂直、線面垂直、面面垂直的習(xí)題和答案解析

..線線垂直、線面垂直、面面垂直部分習(xí)及答案1．在四面體ABCD中,△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形．<第1題><1>求證：<第1題>2如圖,在三棱錐S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC．〔1求證：AB⊥BC；3.如圖,四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形,PA⊥底面ABCD,E為AB的中點,且PA=AB．〔1求證：平面PCE⊥平面PCD；〔2求點A到平面PCE的距離．4.如圖2-4-2所示,三棱錐S—ABC中,SB=AB,SC=AC,作AD⊥BC于D,SH⊥AD于H,求證：SH⊥平面ABC.5.如圖所示,已知Rt△ABC所在平面外一點S,且SA=SB=SC,點D為斜邊AC的中點.

<1>求證：SD⊥平面ABC；

<2>若AB=BC,求證：BD⊥平面SAC.

6.證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC7.如圖所示,直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=1,,側(cè)棱,側(cè)面的兩條對角線交點為D,的中點為M.

求證：CD⊥平面BDM.

8.在三棱錐Ａ－BCD中,BC＝AC,AD＝BD,作BE⊥CD,Ｅ為垂足,作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．9.如圖,過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求證：平面ABC⊥平面BSC．10.如圖,在長方體ABCD—A1B1C1D1中,AB＝2,BB1＝BC＝1,E為D1C1的中點,連結(jié)ED,EC,EB和<1>求證：平面EDB⊥平面EBC；<2>求二面角E－DB－C的正切值.11：已知直線PA垂直于圓O所在的平面,A為垂足,AB為圓O的直徑,C是圓周上異于A、B的一點。求證：平面PAC平面PBC。12..如圖1-10-3所示,過點S引三條不共面的直線,使∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°,若截取SA=SB=SC.求證：平面ABC⊥平面BSC13.如圖1-10-5所示,在四面體ABCD中,BD=a,AB=AD=BC=CD=AC=a.求證：平面ABD⊥平面BCD.14.如圖所示,△ABC為正三角形,CE⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=AC=2BD,M是AE的中點,求證：<1>DE=DA；<2>平面BDM⊥平面ECA；<3>平面DEA⊥平面ECA．

15.如圖所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分別是AB、PC的中點．

<1>求證：MN∥平面PAD；<2>求證：MN⊥CD；<3>若∠PDA=45°,求證：MN⊥平面PCD．

16.如圖1,在正方體中,為的中點,AC交BD于點O,求證：平面MBD答案與提示：1.證明：<1>取BC中點O,連結(jié)AO,DO．∵△ABC,△BCD都是邊長為4的正三角形,∴AO⊥BC,DO⊥BC,且AO∩DO＝O,∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD,∴BC⊥AD．2.[證明]作AH⊥SB于H,∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB,∴AH⊥平面SBC,又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC,而SA在平面SBC上的射影為SB,∴BC⊥SB,又SA∩SB=S,∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．3.[證明]PA⊥平面ABCD,AD是PD在底面上的射影,又∵四邊形ABCD為矩形,∴CD⊥AD,∴CD⊥PD,∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD,∴∠PDA為二面角P—CD—B的平面角,∵PA=PB=AD,PA⊥AD∴∠PDA=45°,取Rt△PAD斜邊PD的中點F,則AF⊥PD,∵AF面PAD∴CD⊥AF,又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD,取PC的中點G,連GF、AG、EG,則GFCD又AECD,∴GFAE∴四邊形AGEF為平行四邊形∴AF∥EG,∴EG⊥平面PDC又EG平面PEC,∴平面PEC⊥平面PCD．〔2[解]由〔1知AF∥平面PEC,平面PCD⊥平面PEC,過F作FH⊥PC于H,則FH⊥平面PEC∴FH為F到平面PEC的距離,即為A到平面PEC的距離．在△PFH與△PCD中,∠P為公共角,而∠FHP=∠CDP=90°,∴△PFH∽△PCD．∴,設(shè)AD=2,∴PF=,PC=,∴FH=∴A到平面PEC的距離為．4.[證明]取SA的中點E,連接EC,EB.∵SB=AB,SC=AC,∴SA⊥BE,SA⊥CE.又∵CE∩BE=E,∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE5.證明：<1>因為SA=SC,D為AC的中點,

所以SD⊥AC.

連接BD.在Rt△ABC中,有AD=DC=DB,

所以△SDB≌△SDA,所以∠SDB=∠SDA,所以SD⊥BD.

又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.

<2>因為AB=BC,D是AC的中點,所以BD⊥AC.

又由<1>知SD⊥BD,所以BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線,

所以BD⊥平面SAC.

6.證明：連結(jié)ACAC為A1C在平面AC7.證明：如右圖,連接、、,則.

∵,∴為等腰三角形.

又知D為其底邊的中點,∴.

∵,,∴.

又,∴.∵為直角三角形,D為的中點,∴,.

又,,∴.

.即CD⊥DM.

∵、為平面BDM內(nèi)兩條相交直線,∴CD⊥平面BDM.

8.證明：取AB的中點Ｆ,連結(jié)CF,DF．∵,∴．∵,∴．又,∴平面CDF．∵平面CDF,∴．又,,∴平面ABE,．∵,,,∴平面BCD．9.證明：如圖,已知PA=PB=PC=a,

由∠APB=∠APC=60°,△PAC,△PAB為正三角形,

則有：PA=PB=PC=AB=AC=a,

取BC中點為E

直角△BPC中,,,

由AB=AC,AE⊥BC,

直角△ABE中,,,,

在△PEA中,,,

∴,

平面ABC⊥平面BPC.10.證明：<1>在長方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝2,BB1＝BC＝1,E為D1C1的中點．∴△DD1E為等腰直角三角形,∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴,即DE⊥EC在長方體ABCD－中,BC⊥平面,又DE平面,∴BC⊥DE．又,∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB過DE,∴平面DEB⊥平面EBC．<2>解：如圖,過E在平面中作EO⊥DC于O．在長方體ABCD－中,∵面ABCD⊥面,∴EO⊥面ABCD．過O在平面DBC中作OF⊥DB于F,連結(jié)EF,∴EF⊥BD．∠EFO為二面角E－DB－C的平面角．利用平面幾何知識可得OF＝,<第10題>又OE＝1,所以,tanEFO＝．11.〔1[證明]∵C是AB為直徑的圓O的圓周上一點,AB是圓O的直徑∴BC⊥AC；又PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴BC⊥PA,從而BC⊥平面PAC．∵BC平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC．.12.證明：如圖1-10-4所示,取BC的中點D,連接AD,SD.由題意知△ASB與△ASC是等邊三角形,則AB=AC,∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中,SD=a,又AD==a,∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC,∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.13.證明：取BD的中點E,連接AE,CE.則AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中,AB=a,BE=BD=,∴AE=,同理,CE=.在△AEC中,AE=EC=,AC=a,∴AC2=AE2+EC2,即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD,∴平面ABD⊥平面BCD14.證明：<<1>取EC的中點F,連接DF．

∵CE⊥平面ABC,

∴CE⊥BC．易知DF∥BC,CE⊥DF．

∵BD∥CE,∴BD⊥平面ABC．

在Rt△EFD和Rt△DBA中,

∵,,

∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．

<2>取AC的中點N,連接MN、BN,MNCF．

∵BDCF,∴MNBD．N平面BDM．

∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BN．

又∵AC⊥BN,∴BN⊥平面ECA．

又∵BN平面MNBD,∴平面BDM⊥平面ECA．

<3>∵DM∥BN,BN⊥平面ECA,∴DM⊥平面ECA．

又∵DM平面DEA,

∴平面DEA⊥平面ECA．

15.證明：<1>取PD的中點E,連接AE、EN,

則,

故AMNE為平行四邊形,∴MN∥AE．

∵AE平面PAD,MN平面PAD,

∴MN∥平面PAD．

<2>要證MN⊥CD,可證MN⊥AB．

由<1>知,需證AE⊥AB．

∵PA⊥平面ABCD,

∴PA⊥AB．又AD⊥AB,

∴AB⊥平面PAD．

∴AB⊥AE．即AB⊥MN．

又CD∥AB,∴MN⊥CD．

<3>由<2