電磁場與電磁波課后答案(馮恩信著)西安交通大學出版社各章答案匯總

習題1.1已知』=2￡+31-大片=￡+；-2￡,求:(a)彳和B的大小(模)：(b)d和8的單位矢量：(c)ABi(d)AxBx(cM和8之間的夾角：⑴4在8上的投影.解：(a)/<和8的大小J=IJ|=J-：+/+E="J2,+3。+1，=>[[4=3.748=同=+B：+B：=712+l2+2:=R=2.45(b)4和8的單位矢量J1a=—=——(2.r+3y-z)=0.535r+0.80^-0.26T/43.74.B1ft=_=__(x4-^-2z)==0.408v+0.408j>-0.8l6fABN-*=4凡+4優(yōu)+48.=2+3+2=7XXJJ-一AxBAxB=xBAxB=xB、yz448，b：y23-1=-5.i+3,v-21-2(eM和。之間的夾角a根據(jù)［?后=ABcosa得cosa=ABcosa=AB7AB-9.163=0.764a=40.190⑴/在8上的投影--AB 7= =——=2.86B 2.45如果矢址4『和C在同一平面.證明4?(8xC)=0.證明：設矢量4、8和C所在平面為個平面A=Ai+AryB=Bxx+BryC=C,x+CtyxyzfixC=B,B、B:=(-G-JC,求+(/G-BCC+(比c,-紇CMacyc=(8￡-BC”A(ffxC)=Ox(S(Ct-filCx)iz=0已知d=fcosa+『sina、8=fcos夕-_psin/和C=￡cos/?+jsin/7,證明這三個矢量都是單位矢量，且三個矢量是共曲的.證明：I)三個矢員都是單位矢量J=|j|= +X；+￡=Vcos*a+sin"a=18=\b\=犧+B；+B；=JcoS夕+siii夕=1C=|c|=JC：+C：+C；=Jcos：#+sin：力=I2)三個矢魚是共面的xyzBxC=BiB、B=2cos/?sin(￡,Uc,C.-4(fixC)=Ox2cos^sin/Jzz=0A=x-￥2y-zB=axy-3z,當月時.求a.解：當；LJ時，AB=Q[?與=a+2+3=O所以a=-5證明三個矢量A=5x-5y.8=3￡-7夕一2和。=-21—2/—2形成一個三角形的三條邊,并利用矢積求此三角形的而枳.證明：因為A-B=2x+2y+zA+(—5)+C=0所以三個矢量4、8和C形成一個三角形此角形的而積為XB.B、BXB.B、Btxy5-53-70=V5:+5-+2O2/2=10.6P點和Q點的位置矢量分別為5f+12/+2和2i—3$，+2,求從P點到Q點的距離矢量及其長度.解：從P點到Q點的距離矢星為R=rQ-rr=(2x-3y+z)-(5x+12y+z)=-3x-15y從P點到Q點的矩離為T?=|?|=732+15:=15.3

解：設矢星C與西矢量4=4￡一3/+￡和8=2￡+?-2都正交，則（1）解：設矢星C與西矢量4=4￡一3/+￡和8=2￡+?-2都正交，則（1）AC=4C,-3C,+C=0（2）C=2Q+C,-C=0（2）+（2）得6C,-2Ct=0（I）+3x（2）得10C,-2C=0如果矢垃C是單位矢昆，則+9C；+25C：=1c=|q=JEF+c；+C=小+9C；+25C：=1所以Cx=-?=2 =0.169Jl+9+25C,=3C=0.507C.=5C,=0.845C=O.I69x+O.5O7y+O.S45z將直角坐標系中的矢量場E（x,y,z）=f，E（xj,z）=/分別用UI柱和圓球坐標系中的坐標分量表示.解：在圓柱坐標系中工「cosesin00F：cos^sinp0rcos。=-sinecos00Fvl=-sin3cos^00=-sin兒0 0 1兒0 0 100F\（p&,z）=cos閑-sin即cos/sin@0f,2'costpsin。0o-sin>=-sin>cos90—-sin。cos。01=cos。40 0 10 0 100F:（p.（p,z）=sin而+COS80

在圓球坐標系中一工「—sinOcos夕cosOcos/sinOsin/cosOsin夕cos。-sin。%、一sin夕sinOcos。cos?sin〃sin0。.cosO11￡」rq「sinOcosw=cosJcos/一sin。cos^sin(pco§。-sinJ°.cosJcos。［一§in/Fy(r,O,<p)=sinOcoscpp+cos0cos^—sin(p<p產(chǎn)；Ffn—sin0cos^cos^cos^sin0sin(pcos0sin^cos。-sin。F；%F-一sin。COS00屋sinJcos。sinOsinoCQsO0sinJsino=COS0COS0cosOsin0-sin1=cosOsin0-singCOS000cos。Fz(r,0,(p)=siUs\vpp+co9siqo0+cotp<p將同柱坐標系中的矢量場6（0,07）=2立6（0,0*）=3。用立角坐標系中的坐標分E（x,y,z）=2cos而+2sinE（x,y,z）=2cos而+2sin存乂因為（2）r 9￡（x,y,z）=20=+妙）一sin*cos。一sin*cos。0A（x,>>,z）=-3sin而+3cos@利用（2）式可得戶2（X，乂Z）=3。=I，、（xy-yx）y/x+y將例球坐標系中的矢星場6億夕⑺=5f，K3,0,（p）=0用直角坐標系中的坐標分量表示?解：根據(jù)44=sinOcos。sinSsin。cos?cos>cos"sin夕.sin夕cos。44（1）A.cos。-sin。04.得X'sin^cos^COS夕COS0一sin0F5'5sin夕cos。=sinOsin。cos夕sin°COS00=5sin夕sin。cos夕■sin60|_0_5cosH6（工,居工）=v5sincos（p+v5sinesine+￡5cos〃

(x=rsin0cos^y=rsin0sin(p (2)z=rcos05得 E(x.y,z)=. =(xx+0+zf)JjT+y+z百人r,仇(p)=0=0x-A 1 ,44 C、r= 7(xv+yy+zz)Jx2+y2+z2V>=r^-——f(xy-yx)+尸F(xiàn)2(r,0,(p)=0=^xr= 1(xy-yx)x1 =：(xx+>y+zz)Jx+y Jx+y+z，=/1 ?I1 [-z(x-+y2)+xzx+j訝]7x2+y2ylx2+y2+z2計弟在回柱坐標系中西點尸(5.”/6,5)和0(2,”/3,4)之間的即席.解：兩點P(5,n/6,5)和0(2,n/3.4)之間的距離為?=J(X|-X2/+(乂一》2>+(Z|-Z2/=a/(5xcosCt/6)-2xcos(^/3))'+(5xsin(4'/6)-2xsin(4,/3))'+(5-4)2=7(3.33):+(0.76^+(1)2=VI2.69=3.56空間中同一點上有兩個矢量，取圓柱坐標系，/=3。+50-418=2。+而+3"求:?/f+8：(b)/x8：(c)4和8的單位矢fit；(d)4和8之間的夾角；(c)4和8的大?。孩?在8上的投影.解：(a)1+A=(3+2)p+(5+4)0+(-4+3)z=5p+9p-z(b)AxB<P紇,-4=3lp-l7^+2z3(b)AxB<P紇,-4=3lp-l7^+2z3/ (ip+50-4￡)=(25+4。+32)vy+TTTis=(2p+4^+3z)=y-^-(2p+4^+3f)(d)4和5之間的央加0=cos"1(土^)=cos-1(14)=68.4°AB38.077(0/1和8的大小，="；+/+/；=7.0718=正+比+比=5.385⑴4在8上的投影1*=(3。+50-4￡)y^(2Q+礪+3力=2.61.13矢量場中，取畫柱坐標系，已知在點P(l.”/22)矢量為彳=20+30,在點。(2./r,3)矢員為8=-3。+10￡；求:(aX+8：(b)4?8：(c)4和8之間的夾角.解：格換到直用坐標系=3.r=3.r+105+2yA4'B=2y+\GzA?R=9d和8之間的夾角*/5 —9e=cos"(^―)=cos1(——)=125.7AB 15.441.14計算在圓球坐標系中兩點P(I0,t/4,1/3)和0(2?。2,力之間的距離及從P點到Q點的距離矢量.解：根據(jù)同球坐標與口角坐標的關系x=rsin〃cos0<y=rsin〃sin(pz=rcostf.v,=rsin0cos^=10x0.707x0.5=3.535,必=rsml?sin^=lOx0.707x0.866=6.1224=rcos0=10x0.707=7.07x2=rsinOcos(p=2x1x(-1)=-2y2=rsin0sin^=2xlx=0z2=rcosO=2x0=0d=J(X|-》2尸+(必一%)2+(Z|-z2)2=7(3.535+2)2+(6.I22)2+(7.O7)2=10.871.15空間中的同一點上彳j兩個矢量，取圓球坐標系，4=39+3+50,8=25一3+40,求:(a)/l+8：(b)4?8；(c)/(和8的單位矢員：(d)/(和8之間的夾角：(c)/l和8的大?。孩裴茉赽上的投影.解：(a)/-"=5戶+904?8=25/和6的單位矢顯a=-^=(3戶+征+5。)：b=-7^(2戶一日+4。)735 V21彳和8之間的夾角/1 ~1/'*B. -1/ ru。0=cos( )=cos( )=22.75AB 27.11/和B的大小4+力+4：=5.928=正+解+8：=4.58⑴彳在8上的投影Ah=(3r+0+5<p)3(2戶一。+40)=5.455

V211.16求/(K,y,z)=x^y'z的梯度.

解.HTT?Vf=x-v—+z—=3x2y2zx2xx 解.HTT?Vf=x-v—+z—=3x2y2zx2xx y2zac cz1.17求標量場f(x9y9z)=xy^2z2在點(1,1,1)沿『=xf-2y+z方向的變化率?解:c->fCyav/=.v—+y—+z—=uv+.n-+4zza砂應/=. —(xv-2.0+i){x2+/+]￡f；xy-2x+4z

a，^ ^x2+y2+]所以孤小=石/w ZQJ ?W1.18由。1>=￡=+/一丁+￡丁，利用圓柱坐標和直角坐標的關系，推導公 0 a▽中=0巴+/3+￡蟲.dppd(p&解：在直角坐標系中▽中=￡蟲+/3+E3a0次(I)(2)DA.母.即.母VO=X—+y—+z—axoyci,, …、處，… .、加.加=(Qcos>_/sin>)——+(Qsin?+0cos夕)——+z——TOC\o"1-5"\h\z& CZacpdxc(pdxoppc(pZiDc4)dpc^>c(pcO. 1c<D——= -+ -=——SH10+ COS。0 Opdydtpdy dppd(p再由(6)一(9)式可得。 .?兇)］卻?VO=(pcos^?-^sin(p)(--cos。 -dppdtp一? ° 兇). 1a0.31)+(0sine+0cos0)(——sine+ cos(p)+z——dppd(p A.2 ， 。12.,p——.2 ， 。12.,p——cos*(p+(p sirTdp pdtp(P一(p—cos^sm^-p cos^sm^。卻.■-IN),+p。卻.■-IN),+p——sin*0+0 cos*(p+(p——dp pd(p dp8S”in°+/抑。即00sosin。+啰▽0=0電+@_1勁+￡效dppckpck1.19求/（p，*,Z）=pCO印的梯度.解：V/'=+z—=解：V/'=+z—=Qcos°-@sin@31.20由▽①利用回球班標和口用坐標的關系，推導4 1斑(p-： rsin。碑解：X=rsi㈤co取j=rsi㈤si呼z=rcor=yjx2+艮+z?&+/，0—arctg (p-arctg^、 xx-戶sin，cose+@cosecos9-0siney=rsinOsin°+OcosOsin9+0cos夕z=-cos"，sin〃弛=蟲蟲+蟲絲+以”

adrdxdOdxdtpdx加_M>drc4>d0M>c(pdycrdyc0dyc(pdyH)_2dr+&>cG+c4>d(p

必drdzcOdzc(pdzar-ar出?ar-ar出?=sin0cos^=sinOsin0cos。-cosGcostp—=—cos0sin^dyr由1.c——=—sm〃dzr切—sin。dxrsin^切_cos(pdyrsinff—=0(西文+竺變+/生)爆Wc°”%°Sc。,加iMdrdxdOdxc<pdxAI)fjr/M)G<Df)(D *+( + + -)(rsin6>sin(p+^cos0sintp4-^cos^)drdyvOdyv(pdy，兇)""和。夕’卻如、廠 口方小+( + + )(rcosO-ffsmff)orvzcttozc(pvz

=(-^-sin0cos^?)(5sinecose+JcosJcos伊一0sjn。)+(_L￡^cos6cos夕)(rsinGcos(p+AcosOcose—0sin(p)rd01cXP. - -一( sm(p)(rsin夕cos。+6>cos^cos^-^sine)rsin0c(p+(^^sjn6sine)(/sinesine+dcosesine+0cosQ)dr+(-^cos^sin(p)(rsinOsin。+0cos6sine+0cos0rcOIc4) .. . . ? °+(-： —cos^?)(戶sinesine+ecosesine+0cos°)rsin。c(pAb. ?+(——cos^)(rcosG-0sinff)dr+(」^^sin①(rcos0-^sin0)rdOrsin0卻V0)=r—+6>-—+^,a丫?orsin0卻求/S。,伊)=r2sinecos3的梯度。解：Dra31 -I)Vf=r----^(p -&rc^Orsinffcip=r2rsin8cos0+^cos^cos^^^rsin(p求梯度Vp,其中K為常數(shù).解：Veh=r--=rkekr在園球坐標系中，矢量場戶（廣）為戶（7）=二"其中〃為常數(shù)，證明矢量場戶（廣）對尸任意閉合曲線/的環(huán)量積分為年，即jFdl=0.I證明：根據(jù)斯托克思定理：p<//=JjVxFJSrrdr^xnOcp- k 1vxP(r\—Vvr—ddd-nvxr^rj—vx,r-1.r 廠sm夕&c(p—V4o廠0所以fr(//=JJvxF4ZS=o1.23證明(1) ：(2)VF((P)=F(0)V<D.證明:.v e—XY2dx.I.v e—XY2dx.Iaf，中即+V 中-v—； 'Vdy甲-砂中上T2dz工屋7中甲-dxdy.6小、①f.cT+z云中｝一記"三+.即v—.?=^(TVO-0V'E)(2)\7F((D)=x^-F+y-^-F+z^-F

dxdydz個 個 個=￡尸'=6+產(chǎn)'/=中+*二①=F'(①)▽①dx dy dz|hV/=lini-A，t。解:由▽/==+-ar 1 / ,v-J=、(rAr)^r*er解：rdA(1)=弘生+力dr 推導▽?4==L+T"+T.AK aaaz<d：.q」s?:,_：dr* -FAV圖IT"+會推導▽?1=，4(/14“)+’0+學和cycz pep p c(p rzIc? 1磯-——--(sin6M0)+- rsinffcff rsinffckp名利 十--4AdAxdip空rdpd(pdtpdxcpdydtpdyAAdS由TOC\o"1-5"\h\zV 帕d d^d——+-i +(Y^]~—ve veI 01Vgd d S場語Idv 0電 d(bo ddq iJq--+'必.son—+1y—d)uisiAsoo—+jz—^so3(*uis+4y—d),ins+Vt?1 \Q,IQ Q1,d)Qd

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+.uis- +，怩]’mUIS0s03 小.S03lVQ，d(hQ d dq dq'yd).uis—+F—^soo^uis 彷lhsOsojy--(f).soo'y—It? ,I, Qzt??? 上 *力。d ， /dQ+(曲ooy+㈤！s'/)；成031+(成03"夕+曲！S/)：血is+w(bod▲ )do(血！sy_成on'加is (如isjz-03*K)—0n0 【 Q生 電。0 危中 XQdiQ XQ電'取。0'VQ S修 d>Q'yQ &'陀-"d包而SO3—=—I00OQ。叩一型而竺的V

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4-sin0sin(p—(sin6?sin(pAt+cosOsin/44-cos^^,)|,、+cos<9sin^——一(sin"sin04,+cos0sin^f^+cos加JrdOcose3..c. .八. 」 .、+ (sint/sm+cos〃sin@4d4-cosJrsinff麗+COS0—(cos6Wr-sin0AO)dr一絲^三(co皿.-sin/)rc?TOC\o"1-5"\h\z=siir0cos2(p-rAr+sin0cos0cos2Ao-sinOcososineJ/dr dr dr+sin20sin2(pj4,+sin0cos0sin:p +sin0sinq)cos<p—Ar(f' (f' (f+cos*0—Ar-cos0sin0—^&&+-(sin0cosl9cos2(p—Ar+cos2"cos?(p- -cos0cos^sinq)—A)r dO dO dO-(sin<?cos0sin;(p—Ar-Feos2Osin，(p—Ao+cosdsin(pcQsq)—A)r dO 30 dO--(sin0cosG—Af-sin20—Ao)r dO dO十:(cos20cos2以4,-sintfcos0cos2(pA0)+—(cos20sin20At-sinOcoMsin，0%)r4--(sin:0Af4-sin6>cos6M^)r+—!—(-sin8sinpcos/二X,-cos6sin>cos伊二40+sin'>二4)rsm0 ckp cKp dip+—!—(sin"sintpcostp—A,.+cosdsin<pcos<p—Ae+cos2<p—AJrsmO dtp dip+—：——(sinOsin'斌+cosOsin,(pA0+sin"osgl)rsin^+——!——(sin/9cos2gt4,+cos0cos:(p.4o-sin”os04)，sin〃sinff///、cos?！竤in。sinff///、cos?！竤in。rsin。apw，）+rsin^cf)(sinOAo)+/?sin。ap1.26計算卜列矢量場的散度a)F=yzx4-zyyxzzb)戶=0+p0c)F=2r+rcosOf)rip解：cos20

sin"——(sin6!F；)+—J——=--sin^+rsin0cQcos20

sin"計算散度。（就），▽伉▽?（&*'），其中不為常矢量.解：▽?(3)=—^—(pp)=2P^P,聲中/① ， 1/ 2 1產(chǎn)①由中=f+f推尋中=上上（夕勺）+」7f&-6L pdpdpp-由廣解：+小&2#c<Pdpc34)c(pc<t>cd>.Ic<P——=- + =cOIp SI即 exexcpexc(pcppc(pTOC\o"1-5"\h\zc<Pepe^c(pcO .兇) 12——=———+-^——=S1np——+C0? dydycpdydipdp pcq)d20> zd . 15w c<D .I--=(cos>sin砂 Xcos。 sin/ )dx* dppd(p dpp d(p,d?①. "1訕、.1d, 2、=cos"(p——r-sm9cos夕——( )-sme (co印——)dp， dppd(ppd(pdp]d 2+sm^——(sin^—)p-c(p c<pz.s ia、，.m> i—r=(sm^—+cosp )(sm^——+cos0 'dy dp pd(pdp pdtp?i8,e .d1即 1a.=sin*(p——r+sMecose—( )+cos° (sin9——)dp' dppdtp pdtpdpIdz 抑、+cos^——(cos^—)p'd(p c(pc、“ ，^中 e/卻、.ia,ao)、V*<p=cos*(p——r-§m3cos9——( )-sin^p (cose——)dp' dppdippdipdp.ia.ao)+sm<p——(sm^—)0.c(pdip2a2o.a/ao、ie,.砧、+snrip——丁+sm夕cos伊——( )+cosq (sm°——)dp' dppd(p pd(pdpIdz+COSQ—r—(COS^——)p~dtpd(p護中.，1卸.1a:4) . 1卸=——r+sin~(P sin(z>cos^ +sinscoss-： dp' pdp pd(pdp p-dtp.,1d2^>+$?r二、，P?即,i&i) .i .iao),i次中4-COS*(P +cos/sin> COS0sme-r——4-COS*(p-r——rpdp pd(pdp p~dtp ..dqf1.29已知f(r)=x2z/(r)=p/(r>=r求▽丁.解：1.30求矢量場戶=加+0+zf穿過由1,0404;r.04z41確定的區(qū)域的封閉面的通M.解：F=pp+g)+Z2解法1:號戶?而=JJ戶?+JJ戶?,拉+JJ戶?，店+JJ戶?而s s( & & s<區(qū)為半徑為I的陰弧側(cè)由I；另為側(cè)平面；&卜端而：S4上端而.JjF-i/S=JJ(而+0+zf)?ipdtpdz=fjppdqxlz=n品, ooii^FdS=^(pp+q)+zz)-(~y)dxdz=-fj(j+ --)尸件xSjs, -io 7x'y*0=jdv-|dr=0I0jj戶”店=jj(加+。+君) 0(—力川/卬夕=0JJ廣而=JJ(即+0+三) ?⑶mR0=/r/2CJ 2-1目戶?而=0戶而+JJ戶?，云+JJ戶?，店+“戶?欣=3i/2S 易 & s S,解法2：c> 1cFVF=-—（pFJ+-—^+^-=2+1=3p卻 pcip也目戶/=jjjv?而，=川3,伍=3『=3”/2S V V\Adl xyz1.31|I|（VX/4）,n=11IT1'' 推導Vx/i=—^—―?a<toAf CyuL444解：l）設才=￡,/為邊長為Ay和也的?中心在（x,j，,z）的斑形回路JA,dl=-/.Az—（44—Az）A1,4-（/（,H—Ar）A^/I,.Av2）設萬=》,/為邊長為&?和川的.中心在（K,J，,Z）的矩形回路TOC\o"1-5"\h\zr-- dA dAjAdi=-/、Ar- +-^Ar）Az+（4+—^-AzJAr+4AzI ex （二cAtA,64AA AzvAz+ AzAvax dz

3）設鹵=2./為邊長為At和與，的.中心在（X,乂z）的矩形回路Lr SA MA-dl=一4-(4+--Af)At+(4+――Ax)Ar+4Av\ oxdAr34——lai，Ae十一-4vAv??dxdAtdAy--+--d\fdx1.32計算矢量場F=x）a+2vzy一￡的旋度=￡(-2『)+y(04-0)+2(-x4-0)-2yx-xz1.33計算▽xp,Vxr,Vx(zp),Vx^已知A-yx-xy,計算彳?(VxA)解:J(VxJ)=(j左一爐)?(-2z)=0對于任意矢量,若』=Ax(x9y)x+Av(x.y)y44(x,y)4(qy)0dA證明矢量場E-yzi+同+小￡既是無散場，乂是無旋場.已知￡=￡0cos停―sin施，求和VxE。解：-Ic>, 1C> 1cEmV￡=-^—(r*EJ+—!——(sin6E0)+- r*cr rsin6d9 rsinGexp=與三(/E。cos0)+—5—三仁山0(-Eosin0))rer rsix\02E0cos。2￡0cos， =0r0rsin麗rE0rsinfiE^rOgrOg商一rE。sin6>rs\nff(p

g加0=—(-Eosirt?+&siW)=0

證明▽x(a>/)=<I>VX/+▽<!>xA?解：A

X-dVx他4)==—金中44一嗎.也一%+4dydzdzdx4一嗎.也一%+4dydzdzdxg4dyf= -)+y(——dy改dz也）十五也一四｝dxdxdy+只4不-4萬）+y（4云—4M）+z（4工-4不）=0Vx4+V<l>x/(已知▽戶=<y(.v)J(v)J(z),VxF=O,計算戶解：根據(jù)亥姆霍茲定理F(r)=-V<^r)+VxA(r)其中出=(川辛47r”,J\r▽'?M)出=(川辛47r”,J\r▽'?M)A(r)4k"J1tlV'因為Vx戶=0,因此「=0：對于▽戶=6（x）6（j，）6（z）V'.Ffr')T^rV'.Ffr')T^ry/(X-X-)1+(y-y')i+(Z-Z')2所以已知▽戶=0,Vx戶=z<J(x)J(^)J(z),計算戶解：根據(jù)亥姆在茲定理F(r)=-V^r)+VxX(r)其中…力"a4京平\r~r]2-、1rffV,xF(f,)..../)=蔡叫下丁州因為▽?戶=0,因此中=0；對于yxr=hy(x)d(pMf(z)粉)=，W畢畢/，4”?■-j(x-x,)2+(y-y,y+(z-z,)2=z—!—=—^―(rco3-@siM)4m，A加所以F(r)=VxA(r)00arjar.STr第2章習題2-1.已知真空中有四個點電荷％=1C,%=2C<7,=4C.g4=8C,分別位于(1,0,0),(0,1,0).(-1,0,0,).(0,-1.0)^i.求(0。1)點的電場強度.解：R=-x+z;R2=-y+z;R^=￡+云用=y+zr_1nA,%凡、qA.仇由、-3*+6〃+1524叫R；R：R；R： 4吟香2-2.己知線電荷密度為p,的均勻線電荷陽成如圖所示的幾種形狀,求P點的電場通度，題2-2圖題2-2圖解:(c)題2-3圖-|解:(c)題2-3圖-|p,aid<p<12冠?。in柄、-cosqK)d(p= -y由對稱性后=E+員+員+及=o由對稱性點=&+艮+M=o建立坐標系如圖所示.兩條半無限長線電荷產(chǎn)生的電場為Ea=￡,+￡,=-^-{(x-^)-(x+y)}4叫a半徑為a的半圓環(huán)發(fā)電荷產(chǎn)生的電場為rPl*Eh=4y2人"總電場為后=瓦+瓦=023真空中無限長的半徑為a的半邊間筒上電荷密度為￡,求軸級上的電場強度.解:在無限長的半邊刷筒上取寬度為的窄條,此窄條可看作無限長的線電荷，電荷線密度為q=padg,對砂積分，可得其空中無限長的半徑為a的半邊倒筒在軸線上的電場強度為2?4.真空中無限長的寬度為a的平板上電荷密度為?求空間任一點上的電場強度.解：在平板上f處以寬度為dk的無限長窄條,可看成無限長的戰(zhàn)電荷,電荷線密度為pt=，dx',在點(工了)處產(chǎn)生的電場為

其中3—:0=,7)“行7(x-y)-+y對x'積分可用無限長的寬度為a的平板上的電荷在點(x,y)處產(chǎn)生的電場為員”,)=白了盧陪4”4叫//2(x-x)+yp,4-「(、+。/2廠+尸-x4-all x-a/2=-——{xIn -+y2(antg arctg 4席q (x-a!2y y y2?5.已知真空中電荷分布為p、=b;『=ar為場點到坐標原點的那離.a.b為常數(shù).求電場強度.解：由于電荷分布具仃球?qū)ΨQ性，電場分布也具有球?qū)ΨQ性，取一半徑為r的球面，利用高斯定理::E

g-%舊

--

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E.邊￡

目”目、半徑為r的球面內(nèi)的電量為——r；〃<5a'A+56/4zr 5因此.電場強度為5獷/+5獷

5%/26在@1柱坐標系中電荷分布為-;r<aP=a0;r>ar為場點到z軸的距離,a為常數(shù)。求電場強度.解：由于電荷分布具仃軸對稱性?電場分布也具有軸對稱性，取一半徑為r,單位長度的的柱面，利用高斯定理肘肩=，<￡。等式左邊為^EdS=2m-Ec半徑為r、高為I的圜柱面內(nèi)的電量為2m，'因此，電場強度為2-7.在直角坐標系中電荷分布為p(x,y,z)=求電場強度.解：由于電荷分布具仃而對稱性.電場分布也具仃而對稱性，取一對稱的方形封閉曲，利用高斯定理，穿過面枳為S的電通信為E,2S，方形封閉而內(nèi)的電量為2.vSp0;.v<a2asp0;x>a因此,電場強度為—；|.v|<aE,=-￡°Ps^.-X>a、￡。2-8,在直角坐標系中電荷分布為、\\4\x\<ap（K,），,Z）={ ??0;卜］>a求電場強攻.題2—8圖解：由于電荷分布具有面對稱性,電場分布也具仃面對稱性.取一對稱的方形封閉面，利用高斯定理，穿過面枳為S的電通量為E,2s，方形封閉面內(nèi)的電量為因此.電場強度為

——;0<x<a -——;-a<x<02/ P_]2/——;0<x<a -——;-a<x<02/ P_]2/題2-9圖解:由電場的處加性，空腔中某點的電場等于完全均勻埴充電荷的大球在該點的電場。完全均勻填充負電荷的小球在該點的電場之和.利用高斯定理,可求得完全均勻填充電荷的大球在該點的電場為E=應43%完全均勻填充負電荷的小球在該點的電場為所以,空腔中某點的電場為￡=瓦+瓦=—（』）=3%5為從球心指向空腔中心的笑見.2-10.已知電場分布為—^■x\—b/2<k<1后=< x\x>b!2-x\x<bll求電荷分布.解:由▽?后=0//得p=￡0V-E='b'忖<0：忖>1疣3%〃2廠-V2 / ,-1題2—10圖：b/2儲22-11,已知在圓柱坐標中，電場分布為E=~'a<r<b 其中C為常數(shù),求電荷分布.Q\r<a,r>b解：由▽?巨=0//,得p=eyEx-?*在avrvb，VE=V-(—)=0(在陰柱坐標系)r在r<a,r>b,VE=0因此p=0在r-a.r-b仃面電優(yōu)電荷面密度為￡?cr,r=a-4C/b;r=b2-i2.n在網(wǎng)球坐標系中電位為(b-a)\r<aO(r)=(―-a)\a<r<b求電荷分布.解:由=褥體電荷密度p=-r0V;<Jj(b-a)\r4a對中(，?)=(--?);?<r<br0;r>b求拉普拉斯運算得V20=O因此 p=0下面計算r=a,r=b的分界面上的面電荷.- -X6E=V?D=f—or￡5)=^r<aab,￡5)=0/26面電荷密度p?=D“= 面電荷密度p?=D“= =<eQb/a;r=a

一%aIb;r=b2-13.分別計算方形和供|形均勻線電荷在軸線.上的電位.(b)(a)(b)解：其中</*=z2其中</*=z2+(￡/2)2方膨均勻線電荷在軸線上的電位為小，、Pt「"+―/2+1/241(z)=上Lhi/ 叫ylz2+1)/2-L/2(b)圓形均勻線電荷在軸線上的電位api中⑶_Pi7ad<p'api中⑶4加"J/+z?2￡0>la2+z2-14.計算題2-5給出的電荷分布的電位。解：題2-5給出的電荷分布的電場為5分/，。'+5/爐由電位的定義，電位為a>(r)=JErdrr對于r>a〃，、｝a3+5ba2Ja^+5ha2中(r)= -dr= Jr5%廠 5cor對于r<a.zxI。'+5bfr/a，+5baa: r44)(r)= ；—dr+ 7dr= + ?5/廠 \5￡oa- 5e020eo2?！辍?-15四偶極子電荷與Bl球坐標位置為g(a,n/2,0).一夕他,”/2,1/2),q(a,n!2,n),求r?“處的電位.解：其中凡=>一甲/?,=[r2+r)--2r-r\],/2R,名巾一2尸=r-r\r1lri斗。1lrir\；.

—*-[,+ ]：—*-[!+—：-]；R、「rR2rrTOC\o"1-5"\h\z1 lri k3包 1 1ri U-*-[?+ ]：?-[l+—^―]/?, r r /?4 r rq -ija(x+v)-rJ"=^4Gr 2吟「=—sin6(cos°+sing)2%廣2-16.匕知電場強度為E=3.r+4y-5f.試求點(0,0,0)。點(1,2,1)之間的電壓.題2—16圖h解：匕&=<D(a)-<D(〃)=]后./.解法I：從點"(0.0,0)到點6(1,2,1)的路徑/取/1(0.0,0)到點(1,0.0卜+4點(1,0,0)到點(1,2,0)-+/，點(1,2,0)到點(1,2,1)I 2 IVha=^Edl=\Edl^Edl+j￡?加=[3公+[4由，一/5以=6/ 4 /) 0 0 0解2E="V4>中=T3x+4y-5z)囁=皿0。0)-皿121)=62-17.已知在球坐標中電場強度為E=^r.試求點。點（兒仇,心）之間的電壓.廠 *解：從點（*d.%）到點（大區(qū),心）的路徑/取4（，.4,必）到點（。,如例）+4點（?；?夕2）到點（。，2,外）十。點（。,外,外）到點（60,仍）2-18.已知在圓柱坐標中電場強度為E=-p.試求點（a泌.0）與點（瓦6⑼之間的電壓.P解:點（a用⑼到點（瓦夕2,0）之間路徑，取4 他,0）到點（"死,0）+4點（6序.0）到點（仇夕：,0）V=^E-tU=JE-i/Z+JE? =j—p-pdp=2In—i i, i, &P a2-19.半徑為a,長度為L的脫柱介質(zhì)樣均勻極化,極化方向為軸向.極化強度為戶=?￡（兄為常數(shù)）.求介質(zhì)中的束縛電荷.解：（I）介質(zhì)中的束縛電荷體密度為〃'=-▽戶=0（2）介質(zhì)表面的束縛電荷面密度為p',-nP在醐柱介質(zhì)棒的側(cè)面上束縛電荷ifu密度為零;在上下端面上束縛電荷面密度分別為p\-士兄-2-20.求上堰中的束縛電荷在軸線上產(chǎn)生的電場.解：上下端而上束縛電荷產(chǎn)生的電場由例限,舊盤形電荷產(chǎn)生的電場為式中a為圓盤半徑.對上式做變換,z'=z-L/2,p、=耳，可上端面上束縛電荷產(chǎn)生的電場為白1-jZ—/2 )；z>L/2-二(1+/'一)：z"/2左。V(z-￡/2)2+a2同理,做變換,z'=z+￡/2,p,=一兄,可下端而上束縛電荷產(chǎn)生的電場為z+L/2J(z+L/2/+a'z+A/2yj(z+L/2)2+a2Y,z>-L!2):z<-L/2上卜端面上束縛電荷產(chǎn)生的總電場為z+L/2z-L/2J(z+L/2)+z+L/2J(z+L/2/+a'z+A/2yj(z+L/2)2+a2Y,z>-L!2):z<-L/2上卜端面上束縛電荷產(chǎn)生的總電場為z+L/2z-L/2J(z+L/2)+a‘^(z-L/2y==];z>L/2+a:p3-2+2]/ / _];-￡/2<z<￡/2yl(z+L/2)2+a2yl(z-L/2)+a2z+L/2J(z+L/2)'+/J(zT/2『==J;z<-￡/2+a22-21.半徑為a的介質(zhì)球均勻極化,P=P^z,求束縛電荷分布.解：(I)介質(zhì)中的束縛電荷體密度為“=-▽/=()(2)介質(zhì)表面的束縛電荷面密度為//,=方?戶=2?戶4=4coO2-22.求上題中束縛電荷在球中心產(chǎn)生的電場。解:介質(zhì)表面的束海電荷傳球心產(chǎn)生的電場在介質(zhì)球衣囹取半徑為r=asmO寬度為dl=ad0的環(huán)帶，可看成半徑為r=asi㈤.z=-“cos"電荷線密度為Pt=aP?os()dO的線電荷陰環(huán)，例中給出了線電新圓環(huán)的電場，對6枳分得E”,jfsinecosS/e 匕2e?1[(as+(aco^):J,' 36c題2-22題2-22圖2-23.無限長的線電荷位于介電常數(shù)為￡的均勻介質(zhì)中，線電荷密度四為常數(shù)，求介質(zhì)中的電場強度.解：設無限長的線電荷沿z軸放置，利用島斯定理，容易求得介質(zhì)中的電場強度為E?=/一 p為場點到線電荷的距國.Imp2-24.半徑為a的均勻帶電球殼.電荷而密度已為常數(shù).外包一層厚度為d、介電常數(shù)為￡的介質(zhì)，求介質(zhì)內(nèi)外的電場強度.解:由于電荷與介質(zhì)分布具力球?qū)ΨQ性，以半徑為r的球而，采用高斯定理dS=(/上式左右兩邊分別為4m4m由此得。=土2因為力=矩，所以a'p,—三工；〃<r<</+￡r2azpt―^-rjr>a+d￡or'2-25.兩同心導體球殼半徑分別為a、b,兩導體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為￡.內(nèi)、外導體球殼電位分別為匕0.求兩導體球殼之間的電場和球殼面上的電荷面密度.解：設內(nèi)導體帶電荷為q.由于電荷與介質(zhì)分布具仃球?qū)ΨQ性，取半徑為r的球面，采用高斯定理,兩導體球殼之間的電場為民4您r得出兩杼體球殼之間的電壓為得出(1-1)

ab

所以E,所以E,=1r1ab球殼面上的電荷面密度為W|Pi(r=a)=Dn(r=a)=t￡f(r=a)=---J [aah￡y|P\r=b)=D?(r=b)=eE,(r=6)=-J b'ab2-26兩同心導體球殼半徑分別為a.b.兩導體之間有兩層介質(zhì).介電常數(shù)為向、￡,,介質(zhì)界面半徑為c,內(nèi)外導體球光電位分別為匕0.求兩導體球殼之間的電場和球殼面上的電荷面密度以及介質(zhì)分界面上的束縛電荷而密度.解：設內(nèi)導體帶電荷為q,由于電荷「介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為r的球面,采用高斯定理可得，。=工，4叱兩導體球殼之間的電場為―2-^r；c―2-^r；c<r<b4鹿：廠兩導體球殼之間的電壓為V=JErdr=J]'/,dr+JJ、dr=-^—(---)+—? ?4nstr 4您；；尸 4?:)ac4加：cbP,(r=a)=D?(r=a)=—~~-7-：-： [( )+—(—T)l0-ac￡2cbpAr=6)=2(r=b)=-p\(r=C)=tf0(Er(r=C|)-￡r(r=c))2-27圜柱形電容器,內(nèi)外導體半徑分別為a、b.兩導體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為e,介質(zhì)的擊穿場強為E%.求此電容器的耐壓.gaga解：設柱形電容器長度為L,內(nèi)導體電量為g,利用高斯定理,可得Er=—2—’ 2血L內(nèi)外導體同的電壓為V=\-^—dr=-^—\n-*2^Lr 2您La因此_幺_=二2m:L.bIn—所以電場可表示為E,=r-一內(nèi)導體表面的電場為所以V=aEuhi-如果介質(zhì)的擊穿場強為曷.則電容器的耐壓為 V=aEh^2-28已知真空中-吶外半徑分別為a、b的介質(zhì)球殼,介電常數(shù)為￡,在球心放一電量為q的點電荷.（I）用介質(zhì)中的高斯定理求電場強度：（2）求介質(zhì)中的極化強度和束縛電荷.解：（I）由題意.電場具仃球?qū)ΨQ結(jié)構.采用高斯定理目力?而=夕，在半徑為r的球而上SD,=t^T4k由力=屈得―2―r；a<r<b4疝r(nóng)2(2)戶=￡o/W=￡o(￡,-1龍=(￡一%)后€4獷’"=_▽.戶=_匕且幺▽?(!(?)=0￡4〃尸p\=Pit這里。=￡」二_、一?￡。qp*(r=a)=Pn= re4%rpft(r=b)=Pn=E~￡°￡4就2-29某介質(zhì)的介電常數(shù)為￡=az","和"均為常數(shù)，若介質(zhì)中的電場強度為恒值且只有z分量，證明VD=—.Z證：D=￡E=az',Euz▽力=4（az-Eo）=〃az"'Eo=—dz z2-30.有三層均勻介質(zhì),介電常數(shù)分別為%,%,小,取坐標系使分界均平行于xy面.已知三層介質(zhì)中均為勻強場,且瓦=3f+2￡.求瓦，瓦.解：因為三層介質(zhì)中均為勻強場，E,=3.￡+2z.設第二、三層介質(zhì)中的電場強度分別為&=E,xx+E2ty-^E2.zxM=%￡+&$+42由邊界條件￡,=E?可得%=&.—，E“=E、）=Elt=0由邊界條件?？傻肈2.=D,.=Dj.=2et.即EZt=2e,/￡,:Ei;-2sJ所以E,=3x+2f|/e2z,E,=3x+2s}/Eyz2-31.半徑為a的耳體球中有兩個半徑均為b的球形腔，在其中個空腔中心有個電量為q的點電荷在該球形空腔中心，如圖所示，如果導體球上的總電量為0,求導體球腔中及球外的電場強度.解：（I）在仃點電荷的空腔中,由于對稱性,電場強度為E=夕凡為從空腔中心指4在■“與向讀空腔中場點的位js矢量.（2）在另一沒有點電荷的空腔中，由于靜電屏敝,該空腔中的電場強度為專.（3）在導體球外，由于導體球為等位體,除了導體球面上外.導體球外沒有電荷,因此導體球外電場具有球?qū)ΨQ性,且導體球上的電量為q,所以導體球外的電場強度為題2.31圖題2.31圖82.32圖2-32.同軸眼柱形電容器內(nèi)外半徑分別為a、b,導體之間一半蟆充介電常數(shù)為/的介質(zhì),另一半填充介電常數(shù)為&的介質(zhì),當電壓為V時，求電容器中的電場和電荷分布.解：設同軸電容器長度為/.內(nèi)導體上的電量為q,在內(nèi)外導體之間以半徑為r的圓柱面，利用高斯定理DiiS=qs在兩個半柱面上,電場強度分別相等,上式變?yōu)榧?/(￡禺，+EzE2r)=q由介質(zhì)邊界條件E”=￡2r=￡r,可徹必與+s2)rb ■內(nèi)外導體之間的電壓為V=[Ecdr=——士——In—： 2萬(與+與)?.萬(0+E、)> >>-r-由此得g=、? -.從而得電荷分布為“In-“In-%介順側(cè)"，=<￡2介質(zhì)側(cè)psa%介順側(cè)"，=<￡2介質(zhì)側(cè)psa2-33zM半空間為介電常數(shù)為明的介質(zhì)，z<0半空間為介電常數(shù)為名的介質(zhì).當(1)電量為q的點電荷放在介質(zhì)分界面上：(2)電荷線密度為0的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面上.求電場強度.解：(I)電量為q的點電新放在介質(zhì)分界面上以點電荷為中心作以半徑為r的球.利用高斯定理jjbds=<is設上、下半球面上的電位移矢量分別回、D,,根據(jù)對稱性，在上、下半球面上大小分別相等,有2"(Dt+D2)=q根據(jù)邊界條件￡,=E0.因此2“(勺￡”+siEII)=q

2；r(￡]+邑)/(2)電荷線密度為0的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面上以線電荷為軸線作以半徑為r單位長度的陰柱而，利用高斯定理S設上、下半柱面上的電位移矢量分別&、d,,根據(jù)對稱性，在上、下半柱面上大小分別相等，有7tr(D,+D,)=p,根據(jù)邊界條件用，=E“，因此E,=E,=Eu=EuPt2-34.面積為A.間距為d的平板電容器電壓為V,介電常數(shù)為￡厚度為t的介質(zhì)板分別按如圖a.b所示的方式放置在兩導電平板之間.分別計算兩種情況卜電容器中電場及電荷分布.題2.34題2.34圖愀(a)設導體板之間介質(zhì)。空氣中的電場分別為瓦、瓦.那么瓦、瓦滿足關系Eft+E0(d-/)=V￡Er=￡0E0(邊界條件)求解以上兩式福r_V c8,Vt.= sc0= t+er(d-t) t+cr(d-t)根據(jù)廿體表面上的邊界條件a=￡>.,在上、下橋體表面上的電荷面密度為eVp,=± /+￡,("一)(b)由圖可見，導體板之間介質(zhì)與空氣中的電場為E=V/d根據(jù)導體表面上的邊界條件"，=。"，在上、下導體板與空氣的界面上的電荷面密度為Po.=±￡°yId在上、卜導體板與介版的界面上的電荷面密度為Pc=土W/d2-35在內(nèi)外半徑分別為4和6之間的隨柱形區(qū)域內(nèi)無電荷，在半徑分別為“和b的圓桿面上電位分別為P和0.求該圓柱形區(qū)域內(nèi)的電位和電場.解：由電荷分布可知，電位儀是夕的函數(shù),電位滿足拉普拉斯方程，方程為

解微分方程得=qInp+c*2利用邊界條件0(a)=C1Ina+c2=V0(/1)=c?|InA+c2=<?TOC\o"1-5"\h\zV V得Ci= ,c,= Inh.a* .aIn- In—b b因此^(P)=T^—ln±Pa2?36在半徑分別為“和6的兩同軸導電惻筒圍成的區(qū)域內(nèi).電荷分布為〃= /為常數(shù).若介質(zhì)介電常數(shù)為￡.內(nèi)導體電位為V.外導體電位為0。求兩導體間的電位分布.解：由電荷分布可知,電位僅是的函數(shù),電位滿足泊松方程1d,M)、 A (/- ) rdrdr er解微分方程得0(r)= ，+gfair+c2€利用邊界條件4>(a)=-4。+qIna+g=V€<1)(/>) b+5Inb+c.=0e得V--(b-a) V--[b-a)cx= ： ,c,=—b+ InbTOC\o"1-5"\h\z1b ?￡ .b-In— In-\o"CurrentDocument"a aAj V (b-a)b<P(r)=-(ft-r)+ In—￡f0a乙 0=0b“/題2.37圖題2.38圖2-37乙 0=0b“/題2.37圖題2.38圖解：由題窟，在網(wǎng)柱坐標系中，電位儀是e的函數(shù)，在導電平板之間電位方程為1/?c▽-<!>= r=0PM其通解為4>=cx（p-￥c0由邊界條件<D（^=0）=0;<U（^=rz）=r,得Vq=一,q=oa所以，中=—(pa2-38.由導電平板制作的金屬盒勿圖所示,除盒）的電位為V外,其余盒壁電位為0,求盒內(nèi)電位分布.解：用分離變量法,可得電位的通解為①哼xs畔利用邊界條件①（二=0）=利用邊界條件①（二=0）=0;6（二=6）=/，可求出系數(shù)=-1A二16Piwi7T:sh(ab)4.=0（m、n為奇數(shù)）（m、n為偶數(shù)）2-39在后=￡；￡的勻強電場中沿z軸放一根半徑為a的無限長甘電圈柱后，求電位及電場。(1)(2)(1)(2)a2.39圖解：由分離變量法，無限長導電㈣柱外的電位的通解為<t)(p,^)=c0In〃+4,+ +d"*Xcosm(p+bmsinm(p)設3(夕=0)=0,當夕too時的電位等于無導電圓柱的電位，即0<!>(/?—?oo)= —?00)=JE(,-xdx=-Eox=-Eopco中要使式（1）的電位在夕―8時等于式（2）.可得到系數(shù)q= =0, =0.d.=0再由導體界面的邊界條件<P（p=。）=0得4=a%o，d“i=0因此.電位的特解為中(0,0)=-E0(p )co彰P2-40.在無限大的導電平板上方卻導電平板h處平行放置無限長的線電荷，電荷線密度為pt,求導電平板上方的電場.解:用鏡像法，導電平板的影響等效為僚像位置的一個電荷線密度為-0的線電荷，導電平板上方的電場為小白(黑馬2您0廠r；式中工、r2分別為線電荷及其鏡像線電荷到場點的距離矢量.2-41由無限大的導電平板折成45’的角形區(qū)，在該角形M中某?由(公,必,z。)有一點電荷q，用鏡像法求電位分布.解:如圖將空間等分為8個M,在每個區(qū)中以原來的導電向為鏡而可以依次找到鏡像位置.原電荷的位置為(x0,)，o，Zo),另外7個鏡像電荷在圓柱坐標系中的坐標為：(yo，Xo，Zo).(-yo，xo,zo),(-X。，兒，z<,).(-.v0,-y0,z0),(一汽,-%匕0),(yo，-Xo，Zo),(x0,-yo，Zo).鏡像電荷為d=-q\qz=q；q、=-q；q?=q；q、=-q\qb=q：%=-q對于場點(x,乂z),電荷到場點的陽崗矢量為r,=(x-x()x+(y->l)y+(z-z,)z：i=0,…72-42半徑為a,帶電量為Q的導體球附近距球心f處有一點電荷q,求點電荷q所受的力.解：點電荷q受到的力(場)力兩部分，一部分等效為鏡像電荷/的力.另一部分等效為位于球中心的點電荷夕”的力.由鏡像法，鏡像電荷/的大小和位置分別為,aa-q=-彳q；d=—由于包圍導體球的總電量為Q.所以位于位于球中心的點電仙/0W；因此點電荷q受到的力為P=￡q12+”“/_uqlf2-43內(nèi)外半徑分別為a、b的導電球殼內(nèi)距球心為d(d<a)處有一點電荷q,當(I)導電域殼電位為零：(2)導電球殼電位為V：(3)耳電球殼上的總電量為Q：分別求導電球殼內(nèi)外的電位分布.題2-43圖解：(1)導電球光電位為零由于導電球光電位為軍.導電球殼外無電荷分布,因此導電球殼外的電位為零.導電球殼內(nèi)的電位的電位由導電球殼內(nèi)的點電荷和導電球殼內(nèi)壁上的電荷產(chǎn)生,而導電球殼內(nèi)壁上的電荷可用位于導電球殼外的鏡像電荷等效,兩個電荷使導電球光內(nèi)壁血上的電位為手，因此鏡像電荷的大小、捫球心的如離分別為.a,q=-"74:/=Ta a導電球殼內(nèi)的電位為中=，_{2_9}4~4r,其中「、〃分別為場點與點電初及鏡像電荷的小離,用惻球坐標表示為rt=-Jr2+d2-2rdcoffr2=^+(~)2-2r(^-)co@(2)導電球殼電位為V當導電球殼電位為V時，從恃電球外看,導電球而是等位面,且導電球外的電位是球?qū)ΨQ的，其電位滿足中=￡r利用邊界條件得0>=—導體球殼內(nèi)的電位可看成兩部分的疊加，一那分是內(nèi)彳i點電荷但球殼為本時的電位，這一部分的電位同前：另一部分是內(nèi)無點電荷但球殼電位為V時的電位,這一部分的電位為V.因此導電球殼電位為V時.導電球殼內(nèi)的電位為

4)=3｛幺_今+/4在14r,我中rrr,分別為場點與點電荷及鏡像電荷的距離.(3)橋電球殼上的總電量為Q當導電球殼上的總電量為Q時，從導電球外看，導電球面是等位面，且導電球外的電位是球?qū)ΨQ的，導電球殼內(nèi)的總電信為Q+qJUll位滿足中二吆4在()，.導電球殼上的電位為U="生4..同上得,導電球殼內(nèi)的電位為中=，_匕里｝+U

4.r,r.2-44無限大導電平面上有導電半球,半徑為a.在半球體正上方距球心及導電平面h處有一點電荷q，求該點電荷所受的力.e-q題2Y4圖解：要使導體球而和平而上的電位均為零，應有三個鏡像電荷，如圖所示.三個鏡像電荷

, 2的電量和位置分別為cf——q、z=—,2———；—q,N=—hhn h點電荷q所受的力為三個鏡像電荷的電場力,Wr_zq，,alh+alh 1 ""4^(h-a2/h)2%(h+a2/h)2~(2h)2力的正方向向上.2-45無眼大導電平面上方平行放皆根半徑為a的無限長導電網(wǎng)柱，該導電圓柱軸線距導電平面為h.求導電惻柱與導電平面之間單位長度的電容.解:如果無限長導電同柱上彳J電荷線密度『廠導電平而可用鏡像位置的線電荷等效,鏡像電荷踐密度為由導體SI柱的鏡像法可求得導體閩柱的電位?,那么，單位導體園柱與導電平面之問的電容為C=Ek= 2登 _①.,h+4h2-a2.In( )0o題2Y5圖2-46zX）半空間為介電常數(shù)為q的介質(zhì)，”0半空間為介電常數(shù)為6的介質(zhì)，在界面兩邊題界面為h的對稱位置分別放置電量分別為%和%的點電荷.分別才即兩個點電荷所受得力.解：利用鏡像法，計算z>0半空間的場時,原來的問題可等效為圖236（b）,計算z<0半空間的場時.原米的問題可等效為圖2.46（c）.這樣上半空間的電位可表示為①?=—!—（—+—）4叫八仁式中乙為小到場點的印漓，口為％的鏡像位置的電荷夕’2到場點的距離：卜半空間的電位可表示為中、=7匚（%+%式中r,為％到場點的即禹,。為（7,的械像位置的電荷力到場點的距離.利用邊界條件，中?=82和D["=D、,得s ,（%+夕；）/G=0；+%）/生（%-入）=⑷一生）由此得, 2s. ￡.-￡,q，= q# F與+% ￡1+%g?和夕2所受的斥力分別為f一9q' f、_q'g1T6%2TOC\o"1-5"\h\z°Q1 °Q1 ℃U El e2* °q2 。＜(a) (b) (c)題2Y6圖2-47.兩同心導體球殼半徑分別為a、b,兩導體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為￡,求兩導體球殼之間的電容.解：設內(nèi)導體帶電荷為q，由于電荷。介質(zhì)分仙具方球?qū)ΨQ性，取半徑為r的球面，采用席斯定理，兩導體球光之間的電場為兩導體球光之間的電壓為V=\Erdr=： 4定”6兩導體球殼之間的電容為q4m:ahC=-= Vb-a2-48兩同心導體球殼半徑分別為a、b.兩導體之間有兩層介質(zhì),介電常數(shù)為勺、%,介質(zhì)界面半徑為c,求兩導體球克之間的電容.解：設內(nèi)導體帶電荷為q.由于電荷。介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為r的球曲.采用高斯定理可得.D,=-^-4k兩導體球殼之間的電場為q——--<r<cE,=,E,=,q，八-2■--\c<r<b4鹿，廠兩導體球殼之間的電壓為v=f￡,4/r=jq-Jr+fq—drJJ4痛廠,4灰，廠9 O < c?=—―)+工(口)

4店iac4%cb兩導體球殼之間的電容為C=-=fEfdr={-rJr+[―-~hdrVIJ4貶1廣14處,廠a a i t*4/r￡1ac￡2cb2-49面積為A.間距為d的導電乎板之間放置介電常數(shù)為￡,限度為t的介質(zhì)板,如圖a、b所示.分別計算兩種情況卜導電平板之間的電容.題2-49圖解：(a)設導體板之間介質(zhì)與空氣中的電場分別為E，、瓦，那么E,、瓦滿足關系

E,t+E0(d-t)=V￡￡,=/七 (邊界條件)求解以上兩式存F_V Fr~t+￡r(d-t)' 「+￡,("7)根據(jù)導體表面上的邊界條件p,=￡).,在上、下導體表面上的電荷面密度為eVp,=± t+￡,(d-/)電容為C=—=———V /+%(dT)(b)由圖可見，導體板之間介質(zhì)與空氣中的電場為E=Vld根據(jù)導體表面上的邊界條件p, 在上、下導體板。空氣的界面上的電荷而密度為Pa.=±E,yid在上、卜導體板與介斷的界面上的電荷面密度為p*.=±Wld電容為C_0a，4+P.A_ -，)］口，2-50兩塊沿z方向無限箍伸的導電平板夾的為9=30",和0=6的圓柱面相截.兩板之間的電壓為V..忽略邊緣效應,求兩塊板間的電位分布.電場，以及單位長度的電容.題2.50圖解：在圈柱坐標系中，電位只和少有關，在兩塊導電平板之間此方程的通解為中(3)此方程的通解為中(3)=，0+0利用邊界條件，a>(0="/6)=『.<D(<p=0)=0?~、6/①(°)=—<pn電場強度為板上單位長度的電量為板上單位長度的電量為板上單位長度的電容為2-51真空中半徑為a的導體球電位為V,求電場能量.解：用兩種方法求解.I）用電位求電場能量Wc=^ii=^zC=2m:oaV22）用電場強度求電場能量導體球內(nèi)的電場強度為零.導體球外的電場強度為電場能量為憶=JJJ^e0E2dV=：/j（與尸4/dr=2uEaaVzV 412-52.網(wǎng)球形電容器內(nèi)導體的外半徑為a.外導體的內(nèi)半徑為b,內(nèi)外導體之間填充兩層介電常數(shù)分別為￡「小的介質(zhì),界面半徑為c,電壓為V.求電容器中的電場能量.解:設回球形電容器內(nèi)導體上的電荷為q.由高斯定理可求得在內(nèi)外導體之間D=^-4k從而可求得內(nèi)外導體之間的電壓為嗣球形電容器的電容為電場能量為2-53長度為d的圓柱形電容湍內(nèi)導體的外半徑為a.外導體的內(nèi)半徑為b,內(nèi)外導體之間壤充兩層介電常數(shù)分別為6的介質(zhì),界面半徑為c,電壓為V.求電容器中的電場能量.解：設圓柱形電容器內(nèi)導體上的電荷為q，用高斯定理.在內(nèi)外導體之間Dr=-^—2nrd內(nèi)外導體之間的電壓為h € h ? 1/1\Edr=\(DI€i)t/r+f(D/f,)dr=—^―{—In上+—In—)I： ： 2加￡,as2e內(nèi)外導體之何的電容為C_q_ 2煙16d尸1ci_b%In—+exIn—電場能量為w=6c=2g4"'2 .c.b￡,In—FeyIn-

.ac2-54兩個點電荷電量均為q,放在介電常數(shù)為￡的介質(zhì)中.間距為d，求互位能.解：兩個點電荷的互位能為將一個點電荷從無限遠移到和另一個間距為4處外力做的功心金4位d2-55兩尺寸為aXa的平行導電平板之間即曲為d.帶電量分別為±g,”i將介電常數(shù)為￡的介質(zhì)板插入導電板之間深度為x時.分別求介質(zhì)板所受的電場力.題2.55圖解：設空氣填充部分和介質(zhì)埴充部分導電平板上的電荷密度分別為±0“由導體邊界條件得A=p“.D,=p,j：由介質(zhì)邊界條件得居=蒞或生==，因此空'I填充部分和介質(zhì)填充部分導電平板上的電量分別為%=Sg=a(a-x)p?,<7：=Sa>=axpE.由夕=%+%及0,=2。“得&闖a(a-x)￡]+axs2￡、qPm=- 7 q(a-x)￡i+oxa*g+*C)TS*g+*C)TS啟｝IV=由虛功原理，時于常電荷系統(tǒng)，介質(zhì)所受的沿x方向電場力為q:ad(￡2一與)2[a(a-x)￡14-axe2]笫3司習題3T半徑為。的薄圓盤上電荷而密度為繞其I列弧軸級以用頻率0旋轉(zhuǎn)形成電流.求電流而密度.解：圓盤以角頻率/旋轉(zhuǎn).I網(wǎng)盤上半徑為r處的速度為加.因此電流面密度為Z=P.v=p^rctxp3-2在銅中,每立方米體積中大約有8.5X10”個自由電子.如果銅線的橫截面為10c，/,電流為1500/。計算1)電流密度：2)電子的平均漂移速度：解：1)電流密度J=L=-'50°=1.5x106J//nSlOxlO-42)電子的平均漂移速度</=0，，/7=eTV=1.6xlO^xS^xlO2"=1.36xl0'℃/mJJ1.5x10* ..in4.v=——= -=1.1