第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析-考研試卷

第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析-考研試卷第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析33第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析一、單項選擇題X4.1(北京航空航天大學2001年考研題)下列敘述正確的是?f(t)為周期偶函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)只有偶次諧波。f(t)為周期偶函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)只有余弦偶次諧波分量。f(t)為周期奇函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)只有奇次諧波。f(t)為周期奇函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)只有正弦分量。X4.2(浙江大學2004年考研題)離散周期信號的傅氏變換(級數(shù))是。(A)離散的(B)非周期性的(C)連續(xù)的(D)與單周期的相同X4.3(浙江大學2004年考研題)如f(t)是實信號，下列說法不正確的是o(A)該信號的幅度譜是偶函數(shù)(B)該信號的幅度譜是奇函數(shù)(C)該信號的頻譜是實偶函數(shù)(D)該信號的頻譜的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)X4.4(浙江大學2004年考研題)已知f(t)2(t1),它的傅氏變換是o(A)2 (B)2ej(C)2e-j(D)-2X4.5(浙江大學2004年考研題)連續(xù)周期信號的傅氏變換(級數(shù))是。(A)連續(xù)的(B)周期性的(C)離散的(D)與單周期的相同X4.6(浙江大學2003年考研題)已知f(t)=ej2t(t),它的傅氏變換是o1(B)j(-2)(C)0(D)-j(-2)X4.7(浙江大學2003年考研題)sin(0t)(t)的傅氏變換為,(A)TOC\o"1-5"\h\zj2( 0) ( 0)( 0) ( 0)j2( 0) ( 0) 0220第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析34( 0) ( 0) 020 2ljOke的傅氏變換為。2X4.8(浙江大學2002年考研題)離散信號(A) ( 0)(B) ( 02)(C) ( 0)(D)n ( 02n)X4.9(浙江大學2002年考研題)離散時間非周期信號的傅氏變換是。(A)離散的(B)連續(xù)的(C)非周期性的(D)與連續(xù)時間非周期性信號的傅氏變換相同X4.10(浙江大學2002年考研題)某二階系統(tǒng)的頻率響應為統(tǒng)具有以下微分方程形式o(A)y3y2yf2(B)y3y2yf2(C)y3y2yf2f(D)y3y2yf2j2,則該系(j)23j2X4.11(浙江大學2002年考研題)周期信號f(t)(A)2n (t2n)的傅里葉變換是2n)nn)(B)

2n)n(C)n (n)(D)0.5 (n)nX4.12(北京郵電大學2004年考研題)求信號e(A) (2j5)t(t)的傅里葉變換ollej5(B)2j(5)2jHej2(D) 2j(5)5j(C)X4.13(北京郵電大學2004年考研題)如圖X4.13(a)所示的信號fl(t)的傅里葉變換Fl(j)已知，求如圖X4.13(b)所示的信號f2(t)的傅里葉變換為o第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析35(A)Fl(j)e(C)Fl(j)ejtO(B)Fl(j)ejtOjtO(D)Fl(j)ejtO(D)Fl(j)ejtO圖X4.13連續(xù)時間信號f(t)的最高頻率X4.14(北京郵電大學連續(xù)時間信號f(t)的最高頻率m=104rad/s；若對其取樣，并從取樣后的信號中恢復原信號f(t),則奈奎斯特間隔和所需低通濾波器的截止頻率分別為。(A)10-4s,104Hz(B)10-4s,5X103Hz(C)5X10-3s,5X103Hz(D)5X10-3s,104HzX4.15(北京郵電大學2003年考研題)設f(t)的頻譜函數(shù)為F(j)，則f(-0.5t+3)的頻率函數(shù)等于Oj1j(A)F(j)e2(B)F(j)e222222F(j2)ej633(D)2F(j2)ej6X4.16(東南大學2002年考研題)脈沖信號f(t)與2f(2t)之間具有相同的。(A)頻帶寬度(B)脈沖寬度(C)直流分量(D)能量(E)以上全錯X4.17(東南大學2002年考研題)假設信號fl(t)的奈奎斯特取樣頻率為1,f2(t)的奈奎斯特取樣頻率為2,則信號f(t)=fl(t+2)f2(t+l)的奈奎斯特取樣頻率為.(A) 1(B) 2(C) 1+212(E)以上全錯X4.18(東南大學2001年考研題)已知f(t)是周期為T的函數(shù)，則f(t)-f(t+2.5學的傅里葉級數(shù)中.(A)只可能有正弦分量(B)只可能有余弦分量(C)只可能有奇次諧波分量(D)只可能有偶次諧波分量(E)以上全錯第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析36X4.19(東南大學2001年考研題)已知某序列f(k)的離散傅里葉變換F(n)={l,2,3,4,5,6,7,8},n=0,1,2,3,4,5,6,7,則將f(k)循環(huán)位移4位后的序列的離散傅里葉變換為.{5,6,7,8,1,2,3,4,){-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,){1,-2,3,-4,5,-6,7,-8){-1,-2,_3>~4,~5,_6?~7,-8)X4.20(東南大學1999年考研題)已知信號f(t)的波形如圖X4.20所示，如其頻譜函數(shù)表達式為F(j)F(j)ej(),則等于o圖X4.20(A)4 (B)2 (C)-2 (D)以上全錯X4.21(北京航空航天大學2000年考研題)信號f(t)cost，當取樣頻率至2少為下列何值時，f(t)就唯一地由取樣值f(kT),k=0,1,2”確定。(A)4 (B)0.5 (C)2 (D)(sin50t)2X4.22(北京航空航天大學2000年考研題)信號f(t)，現(xiàn)在用取樣頻率(t)2s=50對f(t)進行沖激取樣，以得一個信號g(t),其傅里葉變換為G(j)?為確保G(j)=75F(j)， 。，則。的最大值是.(這里的F(j)是1"仕)的傅里葉變換。)(A)50 (B)100 (C)150 (D)25X4.23(北京航空航天大學2000年考研題)判斷下列三種說法哪一種是錯誤的(A)只要取樣周期1X2T0,信號f(t)=(t+TO)-(t-TO)的沖激串取樣不會有混疊。(B)只要取樣周期" /0,傅里葉變換為F(j) ( 0) ( 0)的信號f(t)的沖激串取樣不會有混疊。(C)只要取樣周期以 /0,傅里葉變換為F(j) () ( 0)的信號f(t)的沖激串取樣不會有混疊。第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析37X4.24(南京理工大學2000年考研題)圖X4.24所示信號f(t),其傅里葉變換為F(j)R()jX(),其實部R()的表達式為o

圖X4.24(A)3Sa(2)(B)3Sa()(C)3Sa()(D)2Sa()X4.25(西安電子科技大學2005年考研題)信號f(t)的傅里葉變換為F(j)，則ej4tf(t-2)的傅里葉變換為.(A)F(j)e-2(j-4)(B)F[j()]e-j2(-4)(C)F[j()]ej2(+4)(D)F[j()]e-j2(+4)X4.26(西安電子科技大學2005年考研題)已知f(t)=Sa2(t),對f(t)進想沖激取樣，則使頻譜不發(fā)生混疊的奈奎斯特間隔Ts為o(A) 21s(B)s(C)s(D)s24X4.27(西安電子科技大學2004年考研題)系統(tǒng)的幅頻特性H(j)和相頻特性圖X4.27(a)、(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時，不會產(chǎn)生失真的是—|?'ja|圖X4.27(A)f(t)costcos8t(B)f(t)sin2tcos4t2(C)f(t)sin(2t)sin(4t)(D)f(t)cos4tx4.28(西安電子科技大學2004年考研題)信號f(t)F(j)等于

(Ad2(tl)e(t)的傅里葉變換dt j2jjjee2ejej(B(C(D2j2j2j2jX4.29(浙江大學2004年考研題)已知f(k)如圖X4.29所示，則X(ej)d的值為第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析38.TOC\o"1-5"\h\z<2 -…I] " ?1 一3J~3~~-I?i 25 4~~3 6~圖X4.29(A)2 (B) (C) (D)X4.30(洽爾濱工業(yè)大學2002年考研題)周期信號的頻譜一定是。(A)離散譜(B)連續(xù)譜(C)有限連續(xù)譜(D)無限離散譜X4.31(哈爾濱工業(yè)大學2002年考研題)周期奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)中，只可能含有。(A)正弦項(B)直流項和余弦項(C)直流項和正弦項(D)余弦項X4.32(東南大學2000年考研題)如圖X4.32的信號f(t)通過一截止頻率為50 rad/s,通帶內(nèi)傳輸幅值為1,相移為0的理想低通濾波器，則輸出的頻率分量為。圖X4.32(A)(B)aO/2alcos(20t)a2cos(40t)aO/2blsin(20t)b2sin(40t)(C)aO/2alcos(20t)(D)aO/2blsin(20t)X4.33(東南大學2000年考研題)信號的頻譜是周期的離散譜，則原時間信號為。(A)連續(xù)的周期信號(B)離散的周期信號(C)連續(xù)的非周期信號(D)離散的非周期信號X4.34(北京交通大學2004年考研題)已知實信號f(t)的傅里葉變換F(j)=R()+jX()，則信號y(t)l[f(t)f(t)]的傅里葉變換丫(j)等于2(A)R()(B)2R()(C)2R(2)(D)R(0.5)X4.35(北京交通大學2004年考研題)如圖X4.35所示周期信號f(t),其直流分量等于。(A)0(B)2(C)4(D)6第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析39圖X4.35答案：X4.1[D]X4.2[A]X4.3[C]X4.4[C]X4.5[C]X4.6[A]X4.7[C]X4.8[D]X4.9[B]X4.10[C]X4.11[C]X4.12[B]X4.13[A]X4.14[B]X4.15[D]X4.16[C]X4.17[C]X4.18[C]X4.19[C]X4.20[C]X4.21[D]X4.22[A]X4.23[A]X4.24[B]X4.25[B]X4.26[A]X4.27[B]X4.28[A]X4.29[C]X4.30[A]X4.31[A]X4.32[B]X4.33[B]X4.34[A]X4.35[C]二、判斷和填空題T4.1(北京郵電大學2004年考研題)兩個時間函數(shù)fl(t)、f2(t)在[tl,t2]區(qū)間內(nèi)相互正交的條件是oT4.2(北京郵電大學2004年考研題)已知沖激序列T(t)的傅里葉級數(shù)為。T4.3判斷以下說法是否正確，正確的打“ ，錯誤的打“X”。(1)(國防科技大學2002年考研題)所有連續(xù)的周期信號的頻譜都有收斂性。[](2)(國防科技大學2002年考研題)沒有信號可以既是有限時長的同時又有帶限的頻譜。［］(3)(北京航空航天大學2002年考研題)一個奇的且為純虛數(shù)的信號總是有一個奇的且為純虛數(shù)的傅里葉變換。［］T4.4判斷下列敘述的正誤，正確的在括號內(nèi)打“ ，錯誤的在括號內(nèi)打“義”。(1)(華中科技大學2004年考研題)長度為N的有限長序列f(k)的DFT,等于其z變換F(z)在單位圓上N個等間隔點的取樣值［］；等于其傅里葉變換F(ej)在一個周期(2)內(nèi)等間距點的取樣值［］；序列在單位圓上的z變換即為序列的頻譜，頻譜與z變換是一個符號代換［］：單位圓上的z變換即為序列的傅里葉變換［(2)(華中科技大學2003年考研題)離散信號(序列)的傅里葉變換，就是序列的離散傅里葉變換一DFT［］,快速計算DFT的算法簡稱FFT［n (tnT),其指數(shù)形式第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析40(3)(華中科技大學2003年考研題)周期連續(xù)時間信號的頻譜是離散頻率的非周期函數(shù)［］;非周期連續(xù)時間信號的頻譜是連續(xù)頻率的非周期函數(shù)［(4)(華中科技大學2002年考研題)兩個有限長序列，第一個序列的長度為5點，第二個為6點，為使兩個序列的線性卷積與循環(huán)卷積相等，則第一個序列最少應補6個零點［］;第二個序列最少應補4個零點［(5)(北京航空航天大學2001年考研題)f(t)為周期偶函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)只有偶次諧波［T4.5(浙江大學2002年考研題)多選題，圖T4.5所示信號的傅里葉變換為。(A)2ejSa()(B)0.5Sa(2)(C)Sa()ej1ej2(D)圖T4.5T4.6(北京郵電大學2004年考研題)若連續(xù)線性時不變系統(tǒng)的輸入為f(t),輸出為y(t),則系統(tǒng)無畸變傳輸?shù)臅r域表達式為y(t)=(,T4.7(北京郵電大學2003年考研題)已知沖激序列T(t)的傅里葉級數(shù)an,bn。T4.8(華南理工大學2004年考研題)連續(xù)周期信號f(t)cos(2t)3cos(6t)的三角形式傅里葉級數(shù)anbnT4.9(華南理工大學2004年考研題)設f(t)為一帶限信號，其截止頻率m=8rad/s.現(xiàn)對f(4t)取樣，則不發(fā)生頻譜混疊時的最大間隔max.,T4.10(華南理工大學2000年考研題)n (tnT),其三角形式sin(4t)*[cos(2t)sin(6t)](>tT4.11(電子科技大學2000年考研題)對帶通信號f(t)Sa(t)cos(4t)進行取樣，要求取樣后頻譜不發(fā)生混疊失真，所有可能的取樣頻率s的取值為。T4.12(南京理工大學2000年考研題)圖T4.12所示周期矩形脈沖信號f(t)的頻譜在0150kHz的頻率范圍內(nèi)共有根譜線。第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析41圖T4.12T4.13(西安電子科技大學2005年考研題)頻譜函數(shù)F(j)g4()cos()的傅里葉逆變換f(t)等于,T4.14(西安電子科技大學2005年考研題)如圖T4.14所示信號f(t)的傅里葉變換記為F(j),試求F(0)=,-I"I*F(j)d=o圖T4.14T4.15(西安電子科技大學2004年考研題)已知f(t)的頻譜函數(shù)1,2rad/sF(j) ,則對f(2t-l)進行均勻取樣的奈奎斯特(Nyquist)取樣間隔s0,2rad/s為。T4.16(西安電子科技大學2004年考研題)頻譜函數(shù)F(j)2(1 )的傅里葉逆變換f(t)=oT4.17(西安電子科技大學2002年考研題)頻譜函數(shù)F(j)f(t)=oT4.18(哈爾濱工業(yè)大學2002年考研題)若f(t)的奈奎斯特角頻率為0,則f(t)+f(t-tO)的奈奎斯特角頻率為,f(t)cos(0t)的奈奎斯特角頻率為 OT4.19(北京交通大學2001年考研題)周期信號f(t)雙邊頻譜Fn如圖T4.19所示，=1rad/s,則f(t)的三角函數(shù)表達式為。1的傅里葉逆變換j1圖T4.19第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析42sint的能量為.tsin(2t)sin(8t)*T4.21(國防科技大學2002年考研題)=2t8tT4.20(西安電子科技大學2004年考研題)信號f(t)2T4.22(北交通大學2004年考研題)已知一連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應H(j)1j,1j該系統(tǒng)的幅頻特性H(j)= 相頻特性 是否無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。T4.23(北交通大學2002年考研題)某理想低通濾波器的頻率特性jteO,OH(j) ，計算其時域特性h(t)=。其它0,答案：T4.1fl(t)f2*(t)dt02lTtT4.2eTnT4.3(1)X(2)V(3)XT4.4(1)J,V,X,V(2)X,V(3)J,V(4)X,J(5)XT4.5A,DT4.6y(t)Kf(ttO)T4.7an=2/T,bn=O1,n1T4.8an3,nLbn=00,其它T4.9Tmax322(t)T4.10lOcosT4.11s10rad/sT4.1231第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析43T4.13f(t)1Sa2(t ) 1Sa2(t )或tsin2(t)22(t)T4.14F(0)1,T4.150.25sT4.16 (t) F(j)d0ljtejJttT4.17 et(t)T4.18 0,30s2cos2(t)T4.19f(t)24cotT4.204T4.21sin(2t)16tT4.221,2arctan()，不是T4.23h(t)mSa[m(ttO)]三、畫圖、證明與分析計算題J4.1(浙江大學2004年考研題)已知頻譜F(j)如圖J4.IT所示，求f(t)。解：利用傅里葉變換的頻域微分性質(zhì):jtf(t)dF(j)(J4.1-1)d對F(j)求微分F(j),如圖J4.1-2所示。F(j)dF(j) ( 3) ( 3)gl(1.5)gl(1.5)d對F(j)求傅里葉逆變換，第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析44F1F1F(j)由式(J4.1-1)和式(J4.1-2)可得11jtf⑴即f(t)1cos(3t)1Sa(O.5t)cos(l.5t)1cos(3t)Sa(O.5t)cos(1.5t)jtJ4.2(浙江大學2004年考研題)圖J4.2T所示為一幅度調(diào)制系統(tǒng)，f(t)為帶限信號,其2最高角頻率為m,p(t)為沖激串序列，p(t)5msin(6mt)2,,h(t)5mt圖J4.2-1解:設f(t)的傅里葉變換F(j)如圖J4.2-2(a)所示。令Tm2m,Ts212Tm,s5m5m5Ts2 tn5 TstnTsTsTs(t)n nm2p(t)則p(t)傅里葉變換為，P(j)Tsss()TssP(j)如圖J4.2-2(b)所示。nn2 nssn第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析45圖J4.2-2X(j)S(j)F(j)X(j)如圖J4.2-3(a)所示。

(b*(b*ssn11圖J4.2-3nssn11圖J4.2-3h(t)sin(6mt)t6mSa(6mt)TOC\o"1-5"\h\zH(j) gl2 m()H(j)如圖J4.2-3(b)所示。據(jù)圖J4.2-3(a)、(b),則可得圖J4.2-3(c),即Y(j) X(j ) H(j )Fj(s)F(j(s)F(j )* ( s) (s)則y(t)2f(t)cos(st)2f(t)cos(5mt)J4.3(浙江大學2003年考研題)設f(t)的傅里葉變換F(j)滿足以下條件:f(t)為實值信號，且f(t)0,t0；1t2Re[F(j)]ejtde。解：f(t)F(j)R()jX()因f(t)為實值信號，則R()R(),X( )X()f(t)F(j)R()jX()由式(J4.2-1)和式(J4.2~2)可得f(t)f(t)2R()即F1R() 12f(t)f(t) J4.2-1)J4.2-2)J4.2-3)(((第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析46由條件(2)可知12Re[F(j)]ejtdF1R()e(J4.2-4)t由式(J4.2-3)和式(J4.2-4)可得f(t)f(t)2et2et(t)2et(t)(J4.2-5)因f(t)0,t0,f(t)和f(-t)分別出現(xiàn)在正負時域,即f(t)f(t)(t),f(t)f(t)(t)(J4.2-6)由式(J4.2-5)和式(J4.2-6)可得f(t)(t)f(t) (t)2et(t)2et(t)由上式可得f(t)2et(t)J4.4（浙江大學2003年考研題）某一系統(tǒng)如圖J4.4-1所示，已知1f(t) cos(nt),n02T為取樣周期，取樣角頻率sMnp(t)n(tnT)2,cs,問：t2(1)當T=0.2時，信號x(t)不發(fā)生頻譜混疊，試確定M的最大值；(2)當T=O.1時,M=6,y(t)的傅里葉級數(shù)表示。圖J4.4-1JT,解：H(j)c0,nMM1nF(j)Fcos(nt) (n) (n)n02n02P(j)sn(n)s第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析47x⑴f⑴p(t)11X(j)F(j)*P(j)F(j(ns))2TnnMM1nM1n1F cos(nt) Fcos(nt) (n)n)n02n02n02sn(n)F(j)、X(j)如圖J4.4-2(a)、(b)所示。由圖可見，f(t)的最高頻率分量為m=M(rad/s)o(1)根據(jù)取樣定理，要使x(t)中不發(fā)生頻譜混疊，則要求取樣頻率s2m2M(2)T=0.1時,si52T10(rad/s)220(rad/s),Tcs2M=6時，m6(rad/s),根據(jù)取樣定理，x(t)中不會發(fā)生頻譜混疊，由圖J4.4-2(b)、(c),可得

Mn第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析48j2由此可知，2nMM1n (n)2nnF(n)nn1jn,nMFn2,20,nM則y(t)的傅里葉級數(shù)為y(t)FejntJ2nMM1nejnnt2nn2nMMM1j(nnt2)ne2cos(nnt)2n1J4.5(北京郵電大學2004年考研題)周期信號2f(t)3costsin5t2cos8t63(1)畫出單邊幅度譜和相位譜；(2)計算并畫出信號的功率譜。解：將f(t)的表示式變換為余弦函數(shù)形式，并與其三角形式的傅里葉級數(shù)相對比,2f(t)3costsin5t2cos8t633costcos5t2cos8t3Ancos(ntn)n0可得第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析49lrad/s,3, 1,An2, 0,n1n5n8n10,3n,n830,其余n其余n則f(t)的單邊幅度譜和相位譜如圖J4.5-l(a)、(b)所示。f(t)的功率譜為4.5,120.5,PnAn22,0,nIn5n8其余nf(t)的功率譜如圖J4.5T(c)所示。J4.6(北京郵電大學2004年考研題)圖J4.6T所示系統(tǒng)，已知f(北nejnt(,)(n1,1.5為整數(shù))，s(t)cost(,),系統(tǒng)函數(shù)H(j)o試畫出A、B、C各點信號的頻譜圖。MU圖J4.6-1解：據(jù)傅氏變換對：ejnt2 ( n),可得F(j)2n(n)則A點信號f(t)的頻譜F(j)如圖J4.6-2(a)所示。

第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析50x(t)f(t)s(t)f(t)costX(j)1F(j(D)F(j(D)2n1)(n1)2(n)則B點信號x(t)的頻譜X(j)如圖J4.6-2(b)所示。Y(j)X(j)H(j)2 ( 1) () (1)則C點信號y(t)的頻譜Y(j)如圖J4.6-2(d)所示。對Y(j)求傅氏逆變換可得y(t)1costJ4.7(北京郵電大學2004年考研題)利用傅里葉變換性質(zhì)證明：證明：利用能量等式：Sa2(t)dtf2(t)dtF(j)d可以證明。2因存在傅氏變換對：Sa(t)22g2(),則1Sa(t)dt2g2()d21d2 1J4.8(北京郵電大學2003年考研題)已知上連續(xù)因果LTI系統(tǒng)的頻響特性為H(j)R()jX(),證明：如果系統(tǒng)的沖激響應h(t)在原點無沖激，那么R()和X()1R()d,X()doX()滿足以下方程：R()1證明：由于是因果系統(tǒng)，故在t<0時，h(t)=OoX()1R()djd1jdX()jR()1R()jX()1H(j)jdjd

第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析51jlH(j)*112H(j)*2j2因sgn(t)j Fh(t)sgn(t)Fh(t)H(j)R(j)jX(j)即X()1R()djdR(j)jX(j)上式中，等號兩邊的實部和虛部分別相等，則得

R()得證。X()d, 1X()R()dJ4.9(北京郵電大學2002年考研題)已知系統(tǒng)輸入信號為f(t),且f(t)F(j),系統(tǒng)函數(shù)為H(j)2j,分別求下列兩種情況的系統(tǒng)響應y(t)。(1)f(t)ejt(2)F(j)解：⑴12jf(t)ejtF(j)2 ( 1)1)2jj4( 1)Y(j)F(j)H(j)21)2jj4( 1)y(t)F(2) 1Y(j)j2ejt2ej(t(2) 1Y(j)j2ejt2ej(t90)Y(j)F(j)H(j) 22j2 12j2jy(t)F1Y(j)4ej2t(t)2(t)y(t)F1Y(j)4ej2t(t)2(t)J4.10(北京郵電大學2002年考研題)利用傅里葉變換證明:sin() d第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析52證明：因存在傅氏變換對:g(t)Sa(),( 0),即2jtSa edg(t)2 (J4.10-1)Sad令式(J4.10T)中t=0,并據(jù)g(0)=1可得2

SadSadsin0)(J4.10-2) (1) >0時，令 ，代入式(J4.10-2)可得Sadsin(J4.10-3) (2) <0時，令sin dSadsin0)(J4.10-2) (1) >0時，令 ，代入式(J4.10-2)可得Sadsin(J4.10-3) (2) <0時，令sin d，代入式(J4.10-2)可得0)Sa0)(J4.10-4)d dsin綜合式(J4.10-3)和式(J4.10-4)可得sin() dJ4.11(北京郵電大學2002年考研題)圖J4.11T(a)所示為頻譜壓縮系統(tǒng)，已知f(t)ABcos(t),s(t)TS(t)n (tnTs),s2 ,求證該系統(tǒng)的輸Tsi.025出為y(t)=Kf(at),并確定K和壓縮比a值。tn圖J4.11-1解：f(t)的傅里葉變換為F(j)2A()B( ) ( )f(t)的頻譜F(j)如圖J4.11-2(a)所示。第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析53x(t)f(t)TS(t)X(j)F(j)*ss()F(j(ns))TsnX(j)如圖J4.ll-2(b)所示(其中， 1.025。s)由圖J4.11-1和圖J4.ll-2(b)可以得到如下結(jié)果，則輸出信號的頻譜為Y(j ) X(j )H(j )2 A ()B ( ( s)) ( ( s))求丫(j)的傅氏逆變換得圖J4.11-2y(t)ABcos(s)tABcos(0.025t)f(0.025t)可見，系數(shù)K=l,壓縮比a=0.025J4.12(華南理工大學2004年考研題)圖J4.12T(a)所示系統(tǒng)中，若f(t)的頻譜F(j)和sin(15), 30Hl(j)如圖J4.12T(b)所示，H2(j) ,若使輸出y(t)=f(t),0,, 30(1)畫出f2(t)的頻譜F2(j);(2)確定2的值；(3)求H3(j)，并畫出其波形圖。coU&)不/KjTS ? 301—Ifjn/?、f/u1 1fju J-：*(><) T%。8| T4UB—??COMCXl(a).〃i0④ |a 9 0)M TO T8 ? J01 0，圖J4.12-1解：由系統(tǒng)框圖可得1TaiF「-n 。 a(al1J.。["j,ihhiiTihh?r-Tl'It"I以-drO-?!)ifUo)A(b|■B匚自工J(ffl第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析54fl(t)f(t)cos(60t)F2(j)Fl(j)Hl(j)Fl(j)f3(t)f2(t)cos(2t)F3(j)1F2(j( 2))F2(j( 2))2Fl(j)、F2(j)、F3(j)分別如圖J4.12-2(a)、(b)、(c)所示。對照F(j)、F3(j),并考慮,欲使y(t)=f(t),即丫(j)=F(j)，應取260rad/soY(j)=F2(j)H2(j)H3(j)考慮H2(j)的特性,欲使丫(j)=F(j)y(t)=f(t),即y(t)=f(t),應滿足：112(j)113(j)K( 30) ( 30)其中，K為常數(shù)。則Y(j)=F2(j)H2(j)H3(j)=0.25KF(j)由此可得：0.25K=1,即K=4,則H3(j)rvi/]YS-3to? ?>K( 30) ( 30) 4 ( 30) ( 30)H2(j)sin(15)圖J4.12-2J4.13(華南理工大學2000年考研題)信號f(t)的傅里葉變換F(j),設給出以下條件：第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析55(1)f(t)是實值且非負的;F1(1j)F(j)Ae2t(t),A與t無關(guān)；F(j)d2 2求f(t)的閉合表達式。解：由條件(2)可得，(1j)F(j)A2jAAAF(j) (2j)(1j)1j2j求傅氏逆變換，f(t)Aete2t(t)(J4.13-1)據(jù)帕斯瓦爾方程以及條件(3)可得，If(t)dt22F(j)d1(J4.13-2)2由式(J4.13-1)可得f2(t)dtAeAe222tte2t(t)dt2e3te4t(t)dt22t對照式(J4.13-2)可得12Al212A1A2312f(t)2(ete2t) (t)J4.14(電子科技大學2000年考研題)今有L[]表示希爾伯特運算，h(t)為希爾伯特變換器的單位沖激響應,即LLf(t)]f(t)*h(t),若h(t)的傅里葉變換為H(j)=jsgn(),f(t)為實值信號。⑴求h(t)；(2)證明：L{L[f(t)]}-f(t)；(3)證明：解：(1)據(jù)傅氏變換對： f(t)L[f(t)]dt01jsgn()，可得t第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析56h(t)F(2)證明：1H(j)F1jsgn(j) 1t因L[f(t)]f(t)*h(t),則x(t)LL[f(t)]Lf(t)*h(t) f(t)*h(t)*h(t)f(t)*h(t)*h(t)對上式求傅氏變換，X(j)FLL[f(t)]F(j)H2(j)F(j)jsgn()F(j)2對上式求傅氏逆變換，x(t)F-lX(j)F-lF(j)f(t)即LL[f(t)]f(t)得證。(3)證明：f(t)L[f(t)]dtf(t)[f(t)*h(t)Jdtf(t)[f(t)*h(t)]ejtdt0TOC\o"1-5"\h\zFf(t)[f(t)*h(t)] 01 F(j)*F(j)H(j ) 021 F(j)*F(j)sgn( ) 0 j21F(j)*F(j) () ( ) 0j21F(j)*F(j)()F(j)*F(j)( ) 0j2上式中F(j)*F(j)() 0F(j())F(j)()dF(j)F(j)d00F(j)*F(j)( ) 0F(j())F(j)()dF(j)F(j)d0 0F(j)F(j)d0第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析57根據(jù)以上，可得f(t)L[f(t)]dt0J4.15(上海交通大學2000年考研題)已知F[e求：(1)F[tett]2,試借助傅里葉變換的性質(zhì)4tF］； 22tdF(j)djtf(t)解：(1)利用傅里葉變換的頻域微分性質(zhì):ejtf(t)tt21 2d242d1 1 2j4jtetet21j4(2)利用傅里葉變換的對稱性：若f(t)F(j)，則F(jt)2f()由(1)的分析結(jié)果，tet1 221t4t22j4t222( )ej2e2e1tJ4.16(華中科技大學2002年考研題)電路如圖J4.16T所示，Rl=1,L=1H,激勵電壓f(t)e2t,求uR⑴。解：先列出電路的微分方程,設電流iL(t)、電壓uL⑴如圖。iL(t)uR(t)diL(t)LuL(t)LuR(t)dtR列出回路電壓方程：f(t)uL(t)uR(t)對以上微分方程求傅氏變換LuR(t)uR(t)uR(t)uR(t)R第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析58(jl)UR(j)F(j)411141UR(j)F(j) 21j1j4 1j2j2j求傅里葉逆變換可得uR(t)4tie(t)e2t(t)e2t(t)33J4.17(電子科技大學2002年考研題)兩信號fl(t)、f2(t)的相關(guān)函數(shù)定義為r(t)fl()f2(t)do已知f1(t)et(t),r(t)e2t(t),求f2(t)o解：可以推證：R(j)Fr(t)Fl(j)F2(j)由已知條件，不難得出Fl(j)1,1jR(j)12jF2(j)求傅里葉逆變換，得R(j)1Fl(j)2j11j3 11j2j2jf2(t)3e2t(t) (t)J4.18(電子科技大學2002年考研題)有實信號f(t)(t),其傅里葉變換F(j)R()jX(),已知R()sin，要求：(1)計算X()；⑵求f(t)(t),并畫出波形。解：f(t)(t)F(j)R()jX()因f(t)(t)是實信號，故有R()R(),X( )X(),且f(t) (t) F( j ) R( )jX()則f(t) (t) f( t) ( t) F(j)F( j)2R()即f(t) (t) f( t) ( t) F12sin2sin2R()F1 g2(t)第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析59因f(t)(t)、f(-t)Gt)分別處于正負時域，故f(t) (t)gl(t0.5)對f(t)(t)求傅里葉變換，則得2sin20.5 JO.5sinf(t) (t)gl(t0.5)F(j)Saej

因此，X()2sin20.5A/iotfltl+/M>614A/iotfltl+/M>614)A/it>tfiti圖J4.18-1J4.19(電子科技大學2002年考研題)已知信號fl(t),其傅里葉變換為Fl(j)，如圖J4.19T所示。試求復函數(shù)y(t)=fl(t)+jf2(t)的傅里葉變換Y(j)與尸16)的關(guān)系式，并畫出Y(j)圖形。(其中，f2(t)fl()稱為fl(t)的希爾伯特變換)。t解：先求f2(t)的傅里葉變換F2(j)F2(j)f2(t)e

dt1f()Idejtdt t 1 1jtfl()edtdt1 1j(x)fl()edxd,x(令xt)fl()eJ1jxedxd x1jsgn()tfl()ejjsgn()d

fl()ejjsgn()djsgn()Fl(j)再求y(t)的傅里葉變換Y(j)Y(j)imj.19-2imj.19-2Ffl(t)jf2(t)Fl(j)jF2(j)[1sgn()]Fl(j)2Fl(j)()笫四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析60J4.20(西安交通大學2002年考研題)某連續(xù)時間LTI互聯(lián)系統(tǒng)如圖J4.20-1所示，其jdsin(ct)sin(3ct)c中：hl(t),H(j)e,h(t),h4(t) (t)。23dt2tt2(1)確定Hl(j)，并粗略畫出其圖形；(2)求整個系統(tǒng)的沖激響應h(t)；(3)判斷系統(tǒng)的下列性質(zhì)，并說明理由：A、記憶或無記憶；B、因果性；C、穩(wěn)定性。(4)當系統(tǒng)輸入f(t)sin(2ct)cos(0.5ct)時,求系統(tǒng)的輸出y(t)。圖J4.20-1解：(1)據(jù)傅氏變換對：Sa(ct)g()c2cf(t)jF(j)hl(t)對hl(t)求傅里葉變換，可得：dsin(ct)cdSa(ct) dt2t2dtHl()jg2c()Hl(j)如圖J4.20-2所示。(2)sin(3ct)H3(j)Fg6c()tH4(j) ()J分析圖J4.20-1,可得整個系統(tǒng)的沖激響應h(t)圖J4.2>2(t)hl(t)hl(t)*h2(t)*h3(t)*h4(t)對卜一式求傅里葉變換，可得:第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析61H(j)Hl(j) 1H2(j) 113(j)II4(j)11cjg2c()1eg6c()2j11cjg2c()1eg6c()2j2j1cg2c() 1e2jcg2c()cos求傅里葉逆變換，可得:h(t)c2sin(ct)Sa(ct)cSac(t) 22ct(2ct)Sa(ct)cSac(t) 22ct(2ct)(3)系統(tǒng)具有記憶性質(zhì)因為系統(tǒng)頻率響應函數(shù)H(j)存在相位延遲，說明沖激響應h(t)與系統(tǒng)在前一時刻的狀態(tài)有關(guān)，故該系統(tǒng)具有記憶性；由系統(tǒng)沖激響應h(t)的表達式可知，t<0時，h(t)W0,故該系統(tǒng)是非因果的；由系統(tǒng)沖激響應h(t)的表達式可知，隨t的增大，h(t)將趨向于0,故該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(4)求輸入信號f(t)的傅里葉變換F(j)：TOC\o"1-5"\h\zF(j)j( 2c)( 2c)y(t)f(t)*h(t)Y(j)F(j)H(j)j( 2c)( 2c)0.5c)( 0.5c0.5c)( 0.5c)2j1cg2c()1e20.5c)( 0.5c0.5c)( 0.5c)( 0.5c)( 0.5c)y(t)cos(ct)2TttTT2TtSa2SaSaJ4.21(中國科技大學2004年考研題)某連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應為h(t) 12TttTT2TtSa2SaSa(1)該系統(tǒng)的頻率響應H(j),并概要畫出其幅頻響應和相頻響應，它是什么類型(低通、高通、帶通、全通、線性相位等)濾波器？第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析62tsin t2T2tf(t)sin2cosntsin t2T2tf(t)sin2cosn時，求系統(tǒng)的n(2)當系統(tǒng)的輸入

tTn0 2T4輸出y(t)?解：(1)據(jù)傅氏變換對：Sa(ct)為便于表述，令0g2h(t) 0t0t)cc2,為便于表述，令0g2h(t) 0t0t)cc2,貝I」TOtSa2SaSa22220T1 0 022 2 212TSat2SatSatT2T對h(t)求傅里葉變換,lH(j)2TTj2 42jT2g()g()eg()e000000T22Tj2g0()cose4j02 2g0()cose2 0幅頻響應H(j)和相頻響應()分別為H(j) 1Tg0()1cos22()T由上式可知，系統(tǒng)是具有相位線性的低通濾波器。(2)先求f(t)的傅里葉變換tsintTn0t2T42Tnf(t)sin2cosnn0444n00Satsin(Ot)2cost(63Inn0) (OF(j)0)2244g0(

020)g0(tsintTn0t2T42Tnf(t)sin2cosnn0444n00Satsin(Ot)2cost(63Inn0) (OF(j)0)2244g0(

020)g0(0)第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析Y(j)F(j)H(j2T2g0()cos0.5cos2( 0)0.5cos20.5cos2( 0)0.5cos20) 44 8 80.840)0)440.840)0)44y(t)20.84cos(J4.22(上海大學2003年考研題)已知f(t)的波形如圖J4.22-1所示,求:(1)f(t)的傅里葉變換Fl(j)；(2)f(6-2t)的傅里葉變換F2(j)o/It.用22-24t)20.842Tt)解:(1)對f(t)求導數(shù)，得/It.用22-24t)20.842Tt)解:(1)對f(t)求導數(shù)，得f(t),如圖J4.22-2所示,f(t)gl(t1.5)gl(t1.5)3Ff(t)j2SasinjF(j)2 23F(j)Sasin3SaSa2即Fl(j)2F(j)2 23Sasin3SaSa(2)據(jù)傅里葉變換的尺度變換性質(zhì)：f(atb)3F(j)Sasin3SaSa2即Fl(j)2F(j)2 23Sasin3SaSa(2)據(jù)傅里葉變換的尺度變換性質(zhì)：f(atb)1jaFjeaabf(62t)12244 3j33 33Saj3FjeSaSaej3Sae2即F2(j)3SaSaej324 43SaSaej324 4J4.23(中國地質(zhì)大學2004年考研題)已知輸入f(t)x(t)cos(0t),且x(t)的頻譜為第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析64X(j)，當O,X(j)0,設線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)(1)證明：信號f(t)產(chǎn)生系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為yzs(t)x(t)sin(0t)； (2)寫出頻率特性函數(shù)，并說明該濾波器為何種濾波器。解：(1)設x(t)的頻譜X(j)如圖J4.23-1(a)X(0)X(0)21II(j)F圖J4.23-1jsgn()jitY(jF(j)ll(j)F(jX(0)X(0)jsgn()21jX(0)X(0)2y(t)x(t)sin(Ot)(2)由(1)可知1H(j)FA/<n0圖0圖J4.24-1jsgn()ntH(j)sgn()故系統(tǒng)為全通濾波器。J4.24(浙江大學2001年考研題)已知某一穩(wěn)定LTI系統(tǒng)：H(j)輸入f(t)如圖J4.247所示，求：j,22(1)系統(tǒng)沖激響應h(t)； (2)系統(tǒng)的初始狀態(tài)(t=0)； (3)t>0時，，系統(tǒng)響應y(t)o解：(1)對H(j)作部分分式展開，然后求傅氏逆變換H(j)

h(t)2e2tet(t)(2)由圖J4.24T可知，f(t)一直作用于系統(tǒng)(從t開始)，若設j2123j2j2j1f(t)1,t,即有f(t)=l的直流信號一直作用于系統(tǒng)，則系統(tǒng)的初始狀態(tài)(t=0_)第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析65就是系統(tǒng)在t=0_時零狀態(tài)響應。f(t)1F(j)2 ()jY(j)F(j)H(j)2()3j2jY(j)F(j)H(j)2()3j2y(t)0可見，系統(tǒng)的初始狀態(tài)(t=0_)為：y(0_)0,y(0_)0(3)t>0時，由系統(tǒng)頻率響應函數(shù)H(j)可知，系統(tǒng)的微分方程為y(t)3y(t)2y(t)f(t) (t)對微分方程求傅氏變換得Yzs(j)求傅氏逆變換，可得111jlj2j3j2yzs(t)ete2t(t)因系統(tǒng)的初始狀態(tài)yzi(0)yzi(0_)y(0_)0,故yzi(t)0

則y(t)yzs(t)yzs(t)2ete2tJ4.25(重慶大學2002年考研題)系統(tǒng)函數(shù)H(j)和激勵f(t)如圖J4.25T(a)、(b)所示，求系統(tǒng)響應y(t)。(t)解：fO(t)為f(t)的第一個TTfO(t)gTtgTt4422TTFO(j)jTSasin的頻域分析664 4第四章傅里葉變換和系統(tǒng)則周期信號f(t)的傅氏變換為2n2nFjOTTn2n(t)解：fO(t)為f(t)的第一個TTfO(t)gTtgTt4422TTFO(j)jTSasin的頻域分析664 4第四章傅里葉變換和系統(tǒng)則周期信號f(t)的傅氏變換為2n2nFjOTTn2n22Tj2Sasin2F(j)Tj4考慮H(j)的特性，可得12nsin2nn2nY(j)F(j)H(j)16 2 2 16TTT3T3j4求傅氏逆變換，可得16 2 2 16TTT3T3j4求傅氏逆變換，可得2 2j4y(t)43 6 2sint3sintTTJ4.26(西安交通大學2002年考研題)f(k)是一個6點有限長序列，其中f(4)的值未知，jj用b表示，f(k){l,0,2,2,b,1}}。若F(e)代表f(k)的DTFT,Fl(n)是代表在每隔處的樣本，即2Fl(n)F(ej) n2,0n3由Fl(n)作4點IDFT,得到4點序列fl(k){4,1,2,2}。試問能否根據(jù)fl(k)確定f(k)中的b值，若能，請求出b值。解：據(jù)fl(k)與f(k)的關(guān)系，可得F(e)jk f(k)ejjkf(k)ejkk05F1(n)F(e) n25jkn5jk f(k)ef(k)e2k0 nk02j2nnf(0)f(l)e1bejj2nf(2)ejnnjnnf(3)ej3n2f(4)ef(5)ej5n22n2e2ej3n2第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析67對fl(k)求DFT：Fl(n)fl(k)ek0N1jknNfl(k)ek0jnnJknfl(O)fl(l)e4JJfl(2)e2eJfl(3)eJn2

jnn3n2對比以上Fl(n)的兩個表達式，不難得到:l+b=4b=3J4.27(清華大學2002年考研題)線性時不變系統(tǒng)的頻率特性如圖J4.27T(b)所示，系統(tǒng)輸入f(t)如圖J4.27-1(a)所示，請給出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yzs(t)波形圖或解析表示。圖J4.27-1圖J4.27-1解：由圖J4.27-l(b)可得H(j)H(j)ee2e2()j2e2e2()j2令x(t)f(t),其波形如圖J4.27-2(a)所示,則X(j)jF(j)1F(j)X(j)X(j)H(j)2X(j)jYzs(j)F(j)H(j)由上式可知，yzs(t)2x(t)2f(t),其波形如圖J4.27-2(b)所示。圖J4.27-2J4.28(西安電子科技大學2002年考研題)如圖J4.28-1所示線性時不變連續(xù)系統(tǒng)，已知第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析68hl(t)dsin(2t)sin(6t)jJt。,H(j)e,h(t) (t),h(t)234dt2ntnt圖J4.28-1(1)求復合系統(tǒng)的頻率響應11(j)和沖激響應h(t)；(2)若輸入f(t)sin(4t)cost,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yzs(t)；(3)求響應yzs(t)的功率。解：(1)H3(j)hl(t)dsin(2t)IdSa(2t),dt2Jitdt2h4(t)sin(6t)6Sa(6t)nt據(jù)傅氏變換對:Sa以及傅氏變換的時域微分性質(zhì)：fjF(j),可得Hl(j2g4()gl2(H(j)Hl(jH2(j)H3(j)H4(j求傅氏逆變換,2jlg4()可得11g4(2gl2()lh(t)(2)Sa2tSa2(tF(j))H(j)4)4)4)4)Yzs(j)F(j4)4)4)4)g4(4)4)yzs(t)cost(3)yzs(t)是周期信號,變換和系統(tǒng)的頻域分析69其周期為T=2。yzs(t)的歸一化平均功率為第四章傅里葉1T/21Pyzs(t)2dtTT/22COStdt0.5J4.29(西安電子科技大學2004年考研題)已知信號f(t)如圖J4.29-1所示，其傅里葉變換F(j)F(j)ej()o求：(1)F(j0)的值;(2)積分F(j)d解：(1)據(jù)傅氏變換定義式:F(j)f(t)ejtdt令上式中的=0,則得F(j0)f(t)ejtdt0f(t)dt3(tl)dt3(t3)dt121113(2)由傅氏逆變換定義式：f(t)令上式中t=0,則得F(j)ejtdf(0)由此可得12F(j)ejtdt012F(j)d(3)EF(j)d2nf(0)6f(t)dt3(t1)dt3(t3)dt48211J4.30(北京理工大學2000年考研題)已知系統(tǒng)框圖如圖J4.學-1(a)、(b)所示，其中xl(t)sinlOOtt,x2(t)Tn(tnT)。圖J4.30-1(1)畫出xl(t)、x2(t)頻譜圖；第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析70(2)在如圖J4.30T(a)所示系統(tǒng)中,若要求y(t)xl(t0.03),試確定x2(t)的周期T及框圖中H(j)；(3)在如圖J4.30T(b)所示系統(tǒng)中，若要求y(t)xl(t),試確定x2(t)的周期T及框圖中H(j)。解：(1)對xl(t)、x2(t)求傅里葉變換，lOOtxl(t)sinJiXI(j)g200()X2(j)2 ()2nx2(t)Tn(tnT)(n),2Txl(t)>*2?)的頻譜分別如圖14.30-2(@)、(b)所示。圖J4.30-2(2)在圖J4.30-1(a)系統(tǒng)中,s(t)xl(t)x2(t)

S(j)XI(j)*Xl(j)XI(j)*2 (n)Xl(n)22nn頻譜函數(shù)S(j)如圖J4.30-3(a)所示。Y(j)S(j)H(j)H(j)XI(n)(J4.30-1)因y(t)xl(t0.03),則Y(j)XI(j)ejO.03 (J4.30-2)由圖J4.30-3(a)可知，要使S(j)中不出現(xiàn)頻譜混疊，則要求200rad/s,即T100So對比式(J4.30-1)和式(J4.30-2)可知，ll(j)應具有如圖J4.30-3(b)所示頻譜特性，即H(j)g2c()ejO.03,而且100c0.5。圖J4.30-3第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析71WueI(3)在圖J4.30T(b)系統(tǒng)中，頻譜函數(shù)S(j)與(2)相同，如圖J4.30-3(a)所示。Y(j)S(j) 1H(j) 1H(j)XI(n)(J4.30-3)n因y(t)xl(t),則Y(j)XI(j)(J4.30-4)由圖J4.30-3(a)可知，要使S(j)中不出現(xiàn)頻譜混疊，則要求200rad/s,即T對比式(J4.30-3)和式(J4.30-4)可知,H(J)應滿足:100SoH(j ) g2 c( ), 100 c 0.5即H(j) 1 g2 c( ), 100 c 0.5H(j)的頻譜特性如圖J4.30-3(c)所示。J4.31(北京理工大學2000年考研題)一連續(xù)時間理想低通濾波S,其頻率響應是100H(j) ,當基波周期為T,其傅里葉級數(shù)系數(shù)Fn的信號f(t)輸入到濾波器時，濾波器的輸出為y(t),且y(t)=f(t)。問對于什么樣的n值，才能Fn0?解：將濾波器系統(tǒng)及其頻率響應畫于圖J4.31T(a)、(b)。周期信號f(t)基波角頻率： 周期信號f(t)的傅里葉變換：212rad/sTF(j)2nFn(n)周期信號f(t)的頻譜是離散譜，據(jù)理想低通濾波S的頻率特性可知，輸入信號中8 96rad/s的頻率分量均可無衰減地通過理想低通濾波S；而對于輸入信號中9108rad/s的頻率分量將被理想低通濾波S所濾除。為使y(t)=f(t),則f(t)的所有頻率分量均應處于理想低通濾波S的通帶之內(nèi)，即f(t)只能包含角頻率為0,,2,...,8的諧波分量；對于9的諧波分量，F(xiàn)n0,(n9)。第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析72J4.32(北京理工大學2001年考研題)考濾圖J4.32-1所示系統(tǒng)，其中，f(t)是周期T的實周期信號，其傅里葉級數(shù)為f(t)2nFenjnt,已知p(t)cos(t),th(t)Sa2 2(1)求系統(tǒng)的輸出y(t)；(2)若把p(t)改為p(t)sin(t),重新求y(t)；(3)基于(1)、(2)的結(jié)果，請回答：如果要求分別確定一-個周期信號f(t)任一個傅里葉系數(shù)Fn的實部和虛部，應如何選擇p(t)?解：h(t)SaH(jF(jH(j)、FnFn*。F(j(1))分別如圖J4.32-2(a)、(b)所示。因f(t)是實周期信號，則x(t)f(t)p(t)f(t)cos(t)X(jF(j())F(j())Fn1Fn1 (n)X(j)如圖J4.32-2(c)所示。Y(j)X(j)H(jFlF1 ()求傅氏逆變換可得,y(t)FlF1ReFl(2)x(t)f(t)p(t)f(t)sin(t)圖J4.32-1第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析73X(j)jlF(j())F(j())2Jn Fn1Fn1 (n)X(.j)如圖J4.32-2(d)所示。Y(j)X(j)H(j)jFlF1 ()求傅氏逆變換可得，y(t)jlFlF1ImFl2(3)由(1)、(2)可知，若要確定傅里葉系數(shù)Fn的實部，應取p(t)cos(nt)；若要確定傅里葉系數(shù)Fn的虛部，應取p(t)sin(nt),J4.33(哈爾濱工'業(yè)大學2002年考研題)如圖J4.33T(a)所示系統(tǒng)，f(t)為被傳送的信號，設其頻譜F(j)如圖J4.33T(b)所示，xl(t)x2(t)cos(0t),載波信號，x2(t)為接收端的本地振蕩信號。(1)求解并畫出yl(t)的頻譜Yl(j)；(2)求解并畫出y2(t)的頻譜丫2(j)；(3)今欲輸出信號y(t)=f(t),求理想低通濾波器的傳遞函數(shù)H(j),并畫出其頻譜圖。

lb)0)lb)0)0b,xl(t)為發(fā)送端的圖J4.33-1解：(1)調(diào)制系統(tǒng)的輸出為yl(t)f(t)xl(t)f(t)cos(Ot)Yl(j)Yl(j)如圖J4.33-2(a)所示。0)) 2第0)) 2第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析74Y2(j)1Yl(j(0))Yl(j(0))21F(j(20))2F(j)F(j(20))4Y2(j)如圖J4.33-2(b)所示。圖J4.33-2⑶為使y(t)=f(t),即Y(j)Y2(j)H(j)F(j)由圖J4.33-2(b)可知，理想低通濾波器的傳遞函數(shù)H(j)應如圖J4.33-2(c)所示,H(j)2g2c()c可取bc0b,但一般地取cboJ4.34(華中科技大學2004年考研題)已知f(k){0.5,1,1,0.5)。(1)求f(k)與f(k)的線卷積;(2)求f(k)與f(k)的4點循環(huán)卷積;(3)在什么條件下，能使f(k)與f(k)的線卷積等于循環(huán)卷積。解：(1)因是有限長度序列，可用多項式乘法求f(k)與f(k)的線卷積，見圖J4.34-1： f(k)*f(k)

nf(n)f(kn){0.25,1,2,2.5,2,1,0.25}第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析750.5I105X>0.5I10.5TOC\o"1-5"\h\z0.250.50.5 0.250.5 1 1 0.50.5I1 0.50.250.50.50.250.251 2 2.5 2 10.25圖J4.34-1x(k)f(k)f(k)f(m)f(km)4G4(k)m0現(xiàn)將循環(huán)卷積過程中所涉及的序列圖給出于圖J4.34-為更方便理解循環(huán)卷積運算過程,2(a)~(g)現(xiàn)將循環(huán)卷積過程中所涉及的序列圖給出于圖J4.34-x(0)f(m)fm)4G4(0)0.50.50.5110.512.25x(0)f(m)fm)4G4(0)0.50.50.5110.512.25m03x(l)f(m)f(1m)4G4(1)0.50.510.50.51x(l)f(m)f(1m)4G4(1)0.50.510.50.51m03x(2)f(m)f(2m)4G4(2)0.50.50.50.52.25x(2)f(m)f(2m)4G4(2)0.50.50.50.52.25m03x(3)f(m)f(3m)4G4(3)0.50.5110.50.52.5x(k)f(k)f(k)f(m)f(km)4G4(k)⑵25,2,2,25,2.5}圖J4.34-2(3)要使f(k)與f(k)的線卷積等于循環(huán)卷積，給序列f(k)補3個零即可。第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析76J4.35(華中科技大學2003年考研題)已知長度為4的兩個序列f(k)cosk2 1h(k)k