等腰三角形難題

..等腰三角形補充練習(xí)一．選擇題〔共3小題1．在△ABC中,∠B=30°,點D在BC邊上,點E在AC邊上,AD=BD,DE=CE,若△ADE為等腰三角形,則∠C的度數(shù)為〔A．20° B．20°或30° C．30°或40° D．20°或40°2．如圖,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1,A、B是格點,以A、B、C為等腰三角形頂點的所有格點C的個數(shù)為〔A．7個 B．8個 C．9個 D．10個3．如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=α,且AE=AD,則∠EDC=〔A．α B．α C．α D．α填空題〔共14小題在同一平面內(nèi),已知點P在等邊△ABC外部,且與等邊△ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形,則∠APC的度數(shù)為．等腰三角形的一腰上的高與另一腰的夾角為45°,則這個三角形的底角為．有兩個等腰三角形甲和乙,甲的底角等于乙的頂角,甲的底長等于乙的腰長,甲的腰長等于乙的底長,則甲的底角是度．8．如圖,∠BAC=θ〔0°＜θ＜90°,現(xiàn)只用4根等長的小棒將∠BAC固定,從點A1開始依次向右擺放,其中A1A2為第1根小棒,且A1A2=AA1,則角θ的取值范圍是．9．如圖,在△ABC中,AC=BC＞AB,點P為△ABC所在平面內(nèi)一點,且點P與△ABC的任意兩個頂點構(gòu)成△PAB,△PBC,△PAC均是等腰三角形,則滿足上述條件的所有點P的個數(shù)為個．10．如圖所示,△ABC為等邊三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,則四個結(jié)論正確的是．①P在∠A的平分線上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．11．如圖,在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一點C,延長AA1到A2,使得A1A2=A1C；在A2C上取一點D,延長A1A2到A3,使得A2A3=A2D；…,按此做法進行下去,∠An的度數(shù)為．已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為9和12兩部分,則腰長為,底邊長為．13．如圖,等邊三角形ABC中,D、E分別為AB、BC邊上的兩動點,且總使AD=BE,AE與CD交于點F,AG⊥CD于點G,則=．14．如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P在△ABC內(nèi),∠PBC=10°,∠PCB=30°,則∠PAB=．15．線段AB和直線l在同一平面上．則下列判斷可能成立的有個直線l上恰好只有個1點P,使△ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個2點P,使△ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個3點P,使△ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個4點P,使△ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個5點P,使△ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個6點P,使△ABP為等腰三角形．16．如圖,△ABC為正三角形,面積為S．D1,E1,F1分別是△ABC三邊上的點,且AD1=BE1=CF1=AB,可得△D1E1F1,則△D1E1F1的面積S1=；如,D2,E2,F2分別是△ABC三邊上的點,且AD2=BE2=CF2=AB,則△D2E2F2的面積S2=；按照這樣的思路探索下去,Dn,En,Fn分別是△ABC三邊上的點,且ADn=BEn=CFn=AB,則Sn=．已知等腰△ABC的周長為10,若設(shè)腰長為x,則x的取值范圍是．18．如圖,一個頂角為40°的等腰三角形紙片,剪去頂角后,得到一個四邊形,則∠1+∠2=度．2017年08月23日139****2832的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題〔共4小題1．〔2016秋?資中縣期末在△ABC中,∠B=30°,點D在BC邊上,點E在AC邊上,AD=BD,DE=CE,若△ADE為等腰三角形,則∠C的度數(shù)為〔A．20° B．20°或30° C．30°或40° D．20°或40°[解答]解：如圖所示,∵AD=BD,∠B=30°,∴∠ADC=60°,∵DE=CE,∴可設(shè)∠C=∠EDC=α,則∠ADE=60°﹣α,∠AED=2α,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得,∠DAE=120°﹣α,分三種情況：①當(dāng)AE=AD時,有60°﹣α=2α,解得α=20°；②當(dāng)DA=DE時,有120°﹣α=2α,解得α=40°；③當(dāng)EA=ED時,有120°﹣α=60°﹣α,方程無解,綜上所述,∠C的度數(shù)為20°或40°,故選：D．2．〔2016春?乳山市期中如圖,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1,A、B是格點,以A、B、C為等腰三角形頂點的所有格點C的個數(shù)為〔A．7個 B．8個 C．9個 D．10個[解答]解：如圖所示,以A為圓心,AB長為半徑畫弧,則圓弧經(jīng)過的格點C3、C8、C7即為點C的位置；以B為圓心,AB長為半徑畫弧,則圓弧經(jīng)過的格點C1、C2、C6、C4、C5即為點C的位置；作線段AB的垂直平分線,垂直平分線沒有經(jīng)過格點．故以A、B、C為等腰三角形頂點的所有格點C的個數(shù)為8個．故選〔B3．〔2015?天心區(qū)校級自主招生如圖,已知等邊△ABC外有一點P,P落在∠BAC內(nèi),設(shè)P到BC、CA、AB的距離分別為h1,h2,h3,滿足h2+h3﹣h1=6,那么等邊△ABC的面積為〔A．4 B．8 C．9 D．12[解答]解：設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a,連接PA、PB、PC,則S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB,即ah1+ah2﹣ah3=,∴a〔h2+h3﹣h1=,∵h2+h3﹣h1=6,∴a=4,∴S△CAB==12,故選〔D．4．〔1998?XX如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=α,且AE=AD,則∠EDC=〔A．α B．α C．α D．α[解答]解：根據(jù)題意：在△ABC中,AB=AC∴∠B=∠C∵AE=AD∴∠ADE=∠AED,即∠B+∠α﹣∠EDC=∠C+∠EDC化簡可得：∠α=2∠EDC∴∠EDC=α．故選A．二．填空題〔共14小題5．〔2016?XX模擬在同一平面內(nèi),已知點P在等邊△ABC外部,且與等邊△ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形,則∠APC的度數(shù)為15°或30°或60°或75°或150°．[解答]解：根據(jù)點P在等邊△ABC外部,且與等邊△ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形,作出如下圖形：由圖可得：∠AP1C=15°,∠AP2C=30°,∠AP3C=60°,∠AP4C=75°,∠AP5C=150°．故答案為：15°或30°或60°或75°或150°6．〔2016秋?東阿縣期中等腰三角形的一腰上的高與另一腰的夾角為45°,則這個三角形的底角為67.5°或22.5°．[解答]解：有兩種情況；〔1如圖,當(dāng)△ABC是銳角三角形時,BD⊥AC于D,則∠ADB=90°,已知∠ABD=45°,∴∠A=90°﹣45°=45°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=×〔180°﹣45°=67.5°；〔2如圖,當(dāng)△EFG是鈍角三角形時,FH⊥EG于H,則∠FHE=90°,已知∠HFE=45°,∴∠HEF=90°﹣45°=45°,∴∠FEG=180°﹣45°=135°,∵EF=EG,∴∠EFG=∠G=×〔180°﹣135°=22.5°,故答案為：67.5°或22.5°．7．〔2013?香坊區(qū)三模有兩個等腰三角形甲和乙,甲的底角等于乙的頂角,甲的底長等于乙的腰長,甲的腰長等于乙的底長,則甲的底角是36°或60°度．[解答]解：假設(shè)等腰三角形甲為ABC,等腰三角形乙為DEF〔如圖所示．①頂角為D根據(jù)題中的條件,甲的底長等于乙的腰長,甲的底角等于乙的頂角,我們可以將D挪到B點,使BC與DE重合,DF與AB重合,如果A為銳角,則F點在AB邊上,由于CF=AC,由圖知是不可能的．如果A為鈍角,則F點在AB延長線上,由于CF=AC,得知乙的底角=2倍的頂角=2倍甲的底角,故可以解得甲的底角是36度；②當(dāng)?shù)妊切渭缀鸵叶际堑冗吶切螘r,∠1=∠2=∠3=60°,即甲的底角是60°．故答案是：36°或60°．8．〔2013?XX一模如圖,∠BAC=θ〔0°＜θ＜90°,現(xiàn)只用4根等長的小棒將∠BAC固定,從點A1開始依次向右擺放,其中A1A2為第1根小棒,且A1A2=AA1,則角θ的取值范圍是18≤θ＜22.5．[解答]解：∵A1A2=AA1∴θ1=∠A2A1A3=2θ,∴θ2=∠A2A4A3=θ+2θ=3θ,∴θ3=∠A2A4A3+θ=4θ,由題意得：,∴18°≤θ＜22.5°．9．〔2013?宜興市一模如圖,在△ABC中,AC=BC＞AB,點P為△ABC所在平面內(nèi)一點,且點P與△ABC的任意兩個頂點構(gòu)成△PAB,△PBC,△PAC均是等腰三角形,則滿足上述條件的所有點P的個數(shù)為6個．[解答]解：如圖所示,作AB的垂直平分線,①△ABC的外心P1為滿足條件的一個點,②以點C為圓心,以AC長為半徑畫圓,P2、P3為滿足條件的點,③分別以點A、B為圓心,以AC長為半徑畫圓,P4為滿足條件的點,④分別以點A、B為圓心,以AB長為半徑畫圓,P5、P6為滿足條件的點,綜上所述,滿足條件的所有點P的個數(shù)為6．故答案為：6．10．〔2013?XX模擬如圖所示,△ABC為等邊三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,則四個結(jié)論正確的是①②③④．①P在∠A的平分線上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．[解答]解：∵PR=PS,PR⊥AB,PS⊥AC,∴P在∠A的平分線上,在Rt△ARP和Rt△ASP中,∵,∴Rt△ARP≌Rt△ASP〔HL,∴AS=AR,∠QAP=∠PAR,∵AQ=PQ,∴∠PAR=∠QPA,∴∠QPA=∠QAR∴QP∥AR,∵△ABC為等邊三角形,∴∠B=∠C=∠BAC=60°,∴∠PAR=∠QPA=30°,∴∠PQS=60°,在△BRP和△QSP中,∵,∴△BRP≌△QSP〔AAS,∴①②③④項四個結(jié)論都正確,故答案為①②③④．11．〔2012?XX如圖,在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一點C,延長AA1到A2,使得A1A2=A1C；在A2C上取一點D,延長A1A2到A3,使得A2A3=A2D；…,按此做法進行下去,∠An的度數(shù)為．[解答]解：∵在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,∴∠BA1A===80°,∵A1A2=A1C,∠BA1A是△A1A2C的外角,∴∠CA2A1===40°；同理可得,∠DA3A2=20°,∠EA4A3=10°,∴∠An=．故答案為：．12．〔2012?棗陽市校級模擬已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為9和12兩部分,則腰長為8或6,底邊長為5或9．[解答]解：根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,設(shè)等腰三角形的腰長AB=AC=2x,BC=y,∵BD是腰上的中線,∴AD=DC=x,①若AB+AD的長為12,則2x+x=12,解得x=4,則x+y=9,即4+y=9,解得y=5；②若AB+AD的長為9,則2x+x=9,解得x=3,則x+y=12,即3+y=12,解得y=9；所以等腰三角形的底邊為5時,腰長為8；等腰三角形的底邊為9時,腰長為6；故答案為：8或6；5或913．〔2011?XX如圖,等邊三角形ABC中,D、E分別為AB、BC邊上的兩動點,且總使AD=BE,AE與CD交于點F,AG⊥CD于點G,則=．[解答]解：∵AD=BE,∴CE=BD,∵等邊三角形ABC,∴△CAE≌△DCB,∴∠DCB=∠CAE,∴∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°,∵AG⊥CD,∴∠FAG=30°,∴FG：AF=．故答案為：．14．〔2011?XX校級模擬如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P在△ABC內(nèi),∠PBC=10°,∠PCB=30°,則∠PAB=70°．[解答]解：在BC下方取一點D,使得三角形ABD為等邊三角形,連接DP、DC∴AD=AB=AC,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=20°,∴∠ACD=∠ADC=80°,∵AB=AC,∠BAC=80°,∴∠ABC=∠ACB=50°,∴∠CDB=140°=∠BPC,又∠DCB=30°=∠PCB,BC=CB,∴△BDC≌△BPC,∴PC=DC,又∠PCD=60°,∴△DPC是等邊三角形,∴△APD≌△APC,∴∠DAP=∠CAP=∠DAC=20=10°,∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°．或由△BDC≌△BPC,∴BP=BD=BA∴∠BAP=∠BPA又∵∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=40°∴∠BAP=〔180﹣40/2=70°故答案為：70°．15．〔2011?海曙區(qū)模擬線段AB和直線l在同一平面上．則下列判斷可能成立的有5個直線l上恰好只有個1點P,使△ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個2點P,使△ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個3點P,使△ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個4點P,使△ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個5點P,使△ABP為等腰三角形直線l上恰好只有個6點P,使△ABP為等腰三角形．[解答]解：要使△APB是等腰三角形,分為三種情況：①AP=BP〔即作AB的垂直平分線于直線的交點,即有一個點∴直線l上恰好只有個1點P,使△ABP為等腰三角形正確；②AB=AP〔以A為圓心,以AB為半徑畫弧,交直線于兩點,即直線l上恰好只有個2點P,使△ABP為等腰三角形正確；直線l上恰好只有個3點P,使△ABP為等腰三角形正確；③AB=BP〔以B為圓心,以AB為半徑畫弧,交直線于兩點即直線l上恰好只有個4點P,使△ABP為等腰三角形正確；直線l上恰好只有個5點P,使△ABP為等腰三角形正確；∵1+2+2=5,∴直線l上恰好只有個6點P,使△ABP為等腰三角形錯誤；故答案為：5．16．〔2011?拱墅區(qū)校級模擬如圖,△ABC為正三角形,面積為S．D1,E1,F1分別是△ABC三邊上的點,且AD1=BE1=CF1=AB,可得△D1E1F1,則△D1E1F1的面積S1=S；如,D2,E2,F2分別是△ABC三邊上的點,且AD2=BE2=CF2=