結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算

11月：結(jié)構(gòu)構(gòu)動(dòng)力計(jì)計(jì)算§1-1

概述§1-2

結(jié)構(gòu)的振動(dòng)自由度§1-3

單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)§1-4

單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)§1-5

單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)§1-6

多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第一章結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)動(dòng)力學(xué)§1-7

振型分解法§1-8計(jì)算頻率的近似方法靜力荷載載：大小、方方向和作作用位置置不隨時(shí)時(shí)間變化化，或變變化非常常緩慢，，不會(huì)促促使結(jié)構(gòu)構(gòu)產(chǎn)生顯顯著的運(yùn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)態(tài)的變化化，結(jié)構(gòu)構(gòu)將處于于平衡狀狀態(tài)。計(jì)計(jì)算平衡衡狀態(tài)下下結(jié)構(gòu)的的內(nèi)力和和變形問(wèn)問(wèn)題稱(chēng)為為靜力計(jì)計(jì)算。注意：區(qū)分靜力力荷載與與動(dòng)力荷荷載，不不是單純純從荷載載本身性性質(zhì)來(lái)看看，要看看其對(duì)結(jié)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生生的影響響。一、結(jié)構(gòu)構(gòu)動(dòng)力計(jì)計(jì)算的特特點(diǎn)和任任務(wù)1.動(dòng)力荷載載與靜力力荷載的的區(qū)別：：隨時(shí)間變變化的結(jié)結(jié)構(gòu)的位位移和內(nèi)內(nèi)力，稱(chēng)稱(chēng)為動(dòng)位位移和動(dòng)動(dòng)內(nèi)力，，并稱(chēng)為為動(dòng)力反反應(yīng)。計(jì)計(jì)算動(dòng)力力荷載作作用下結(jié)結(jié)構(gòu)的動(dòng)動(dòng)力反應(yīng)應(yīng)問(wèn)題，，稱(chēng)為動(dòng)動(dòng)力計(jì)算算。動(dòng)力荷載載（干擾擾力）：：隨時(shí)間迅迅速變化化的荷載載§1-1概述結(jié)構(gòu)動(dòng)力力計(jì)算的的特點(diǎn)：：在動(dòng)力荷荷載作用用下，結(jié)結(jié)構(gòu)將產(chǎn)產(chǎn)生振動(dòng)動(dòng)，其位位移和內(nèi)內(nèi)力都是隨時(shí)間間變化的的。在運(yùn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程程中，結(jié)結(jié)構(gòu)的質(zhì)質(zhì)量具有有加速度，必須須考慮慣慣性力的的作用。?？紤]慣性性力的作作用是結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力力計(jì)算的的最主要要特征。結(jié)構(gòu)靜力力計(jì)算的的特點(diǎn)：：結(jié)構(gòu)的位位移和內(nèi)內(nèi)力只取取決于靜靜力荷載載的大小小及其分分布規(guī)律，與時(shí)間間無(wú)關(guān)。2.結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算算的特點(diǎn)3.結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算算可分為兩大大類(lèi)：自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)受到外部部因素干擾發(fā)發(fā)生振動(dòng)，而而在以后的振振動(dòng)過(guò)程中不不再受外部干擾力作用用。強(qiáng)迫振動(dòng)：如果結(jié)構(gòu)在振振動(dòng)過(guò)程中還還不斷受到外外部干擾力作作用，則稱(chēng)為為強(qiáng)迫振動(dòng)。4.結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算算的任務(wù)：(2)分析計(jì)算動(dòng)力力荷載作用下下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力力反應(yīng)，確定定動(dòng)力荷載作作用下結(jié)構(gòu)的的位移、內(nèi)力等等量值隨時(shí)間間而變化的規(guī)規(guī)律，從而找找出其最大值值以作為設(shè)計(jì)計(jì)的依據(jù)。(1)分析計(jì)算自由由振動(dòng)，得到到的結(jié)構(gòu)的動(dòng)動(dòng)力特性(自振頻率、振振型和阻尼參參數(shù))；§1-1概述周期荷載——隨時(shí)間周期地地變化的荷載載。其中最簡(jiǎn)簡(jiǎn)單、最重要要的是簡(jiǎn)諧荷載(按弦或余弦函函數(shù)規(guī)律變化化)。二、動(dòng)力荷載載的分類(lèi)簡(jiǎn)諧荷載1.周期荷載非簡(jiǎn)諧性周期期荷載例：打樁時(shí)落落錘撞擊所產(chǎn)產(chǎn)生的荷載。?！?-1概述在很短的時(shí)間間內(nèi)，荷載值值急劇減小(或增加)，如爆炸時(shí)所所產(chǎn)生的荷載載。2.沖擊荷載3.突加常量荷載載突然作用于結(jié)結(jié)構(gòu)上、荷載載值在較長(zhǎng)時(shí)時(shí)間內(nèi)保持不不變。例：起起重機(jī)起吊重重物時(shí)所產(chǎn)生生的荷載。上述荷載是時(shí)時(shí)間的確定函函數(shù)，稱(chēng)之為為確定性動(dòng)力力荷載?！?-1概述隨機(jī)荷載（非非確定性荷載載）——荷載的變化極極不規(guī)則，在在任—時(shí)刻的數(shù)值無(wú)無(wú)法預(yù)測(cè)。地地震荷載和風(fēng)風(fēng)荷載都是隨隨機(jī)荷載。隨機(jī)荷載（非非確定性荷載載）4.隨機(jī)荷載§1-1概述結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自自由度:結(jié)構(gòu)在彈性變變形過(guò)程中確確定全部質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)位置所需的的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目單自由度結(jié)構(gòu)多自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)（自由度大大于1的結(jié)構(gòu)）§1-2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自自由度當(dāng)梁本身的質(zhì)質(zhì)量遠(yuǎn)小于電電動(dòng)機(jī)的質(zhì)量量時(shí)，可以不不計(jì)梁本身的的質(zhì)量，同時(shí)時(shí)不考慮梁的的軸向變形和和質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)，則梁上質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的位置只只需由撓度y(t)就可確定。由質(zhì)點(diǎn)豎向撓撓度為獨(dú)立參參數(shù)的單自由由度結(jié)構(gòu)確定絕對(duì)剛性性桿件上三個(gè)個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置置只需桿件轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角(t)便可，故為單單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)?！?-2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自自由度雖然只有一個(gè)個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，，但其位置需需由水平位移移x和豎向位移y兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)數(shù)才能確定，，因此振動(dòng)自自由度等于2，為多自由度度體系。三層平面剛架架橫梁的剛度度可看作無(wú)窮窮大，結(jié)構(gòu)振振動(dòng)時(shí)橫梁不不能豎向移動(dòng)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)而只只能作水平移移動(dòng)，故振動(dòng)動(dòng)自由度等于于3，多自由度體體系?！?-2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自自由度分析剛架的振振動(dòng)自由度時(shí)時(shí)，仍可引用用受彎直桿任任意兩點(diǎn)之間間的距離保持持不變的假定定，即略去桿桿件的軸向變變形。因此，，可采用施加加剛性鏈桿法來(lái)確定結(jié)構(gòu)的的振動(dòng)自由度度。剛性鏈桿法：：在結(jié)構(gòu)上施加加最少數(shù)量的的剛性鏈桿以以限制剛架上上所有質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的位置，則該剛架的自自由度數(shù)即等等于所加鏈桿桿數(shù)目。具有兩個(gè)集中中質(zhì)量，加入入三根鏈桿即即能使各質(zhì)量量固定不動(dòng)其其振動(dòng)自由度度為3。注意：體系振動(dòng)自由由度的數(shù)目不不完全取決于于質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目目，也與體系系是否靜定或或超靜定無(wú)關(guān)關(guān)。體系的自自由度數(shù)目與與計(jì)算假定和和計(jì)算精度有有關(guān)。如果考考慮質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性，還還應(yīng)增加控制制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束束，才能確定定結(jié)構(gòu)的振動(dòng)動(dòng)自由度數(shù)目目?！?-2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自自由度實(shí)際結(jié)構(gòu)中，，除有較大的的集中質(zhì)量外外，還有連續(xù)續(xù)分布的質(zhì)量量。對(duì)此，需需要采用一定定的簡(jiǎn)化措施施，把無(wú)限多多自由度的問(wèn)問(wèn)題簡(jiǎn)化為單單自由度或者者有限多自由由度的問(wèn)題進(jìn)進(jìn)行計(jì)算集中質(zhì)量法：：把體系的連續(xù)續(xù)分布質(zhì)量集集中為有限個(gè)個(gè)集中質(zhì)量(實(shí)際上是質(zhì)點(diǎn)點(diǎn))，把原來(lái)是無(wú)無(wú)限自由度的的問(wèn)題簡(jiǎn)化成成為有限自由由度的問(wèn)題。。簡(jiǎn)化方法有多多種，如集中中質(zhì)量法、廣廣義坐標(biāo)法和和有限元法等等。本章重點(diǎn)點(diǎn)討論集中質(zhì)質(zhì)量法。水塔的質(zhì)量大大部分集中在在塔頂上，可可簡(jiǎn)化成以x(t)為位移參數(shù)的的單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)?！?-2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自自由度凡屬需要考慮慮桿件本身質(zhì)質(zhì)量（稱(chēng)為質(zhì)質(zhì)量桿）的結(jié)結(jié)構(gòu)都是無(wú)限自由度體體系。例：用集中質(zhì)質(zhì)量法將連續(xù)續(xù)分布質(zhì)量的的簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)化化為有限自由由度體系。將梁二等分，，集中成三個(gè)個(gè)集中質(zhì)量，，單自由度體體系。將梁三等分，質(zhì)量集中成成四個(gè)集中質(zhì)質(zhì)量的兩個(gè)自由度體系?！?-2結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自自由度自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在振動(dòng)進(jìn)進(jìn)程中不受外外部干擾力作作用的振動(dòng)形形式。產(chǎn)生自自由振振動(dòng)的的原因因：結(jié)構(gòu)在在振動(dòng)動(dòng)初始始時(shí)刻刻受到到干擾擾。初始干干擾的的形式式:（1）結(jié)構(gòu)構(gòu)具有有初始始位移移（2）結(jié)構(gòu)構(gòu)具有有初始始速度度（3）上述述二者者同時(shí)時(shí)存在在1.不考慮慮阻尼尼時(shí)的的自由由振動(dòng)動(dòng)對(duì)于各各種單單自由由度體體系的的振動(dòng)動(dòng)狀態(tài)態(tài),都可以以用一一個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的的質(zhì)點(diǎn)彈彈簧模模型來(lái)描述述。梁在質(zhì)點(diǎn)重重量W作用下下的撓撓曲線(xiàn)線(xiàn)稱(chēng)為為“靜平衡衡位置置”?！?-3單自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)取圖示示質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)彈簧簧體系系中質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的的靜力力平衡衡位置置為計(jì)計(jì)算位位移的的原點(diǎn)點(diǎn)，并并規(guī)定定位移移y和質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)所受受的力力都以以向下下為正正。設(shè)設(shè)彈簧簧發(fā)生生單位位位移移時(shí)所所需加加的力力為k11，稱(chēng)為為彈簧簧的剛度；單位位力作作用下下彈簧簧產(chǎn)生生的位位移為為δ11，稱(chēng)為彈彈簧的的柔度，k11與δ11二者之之間滿(mǎn)滿(mǎn)足：：無(wú)重懸懸臂梁梁、無(wú)無(wú)重簡(jiǎn)簡(jiǎn)支梁梁簡(jiǎn)化化單彈彈簧體體系時(shí)時(shí)，彈彈簧的的剛度度系數(shù)數(shù)k11各等于于多少少？思考：：簡(jiǎn)支梁梁：懸臂梁梁：：答：§1-3單自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)為了尋尋求結(jié)結(jié)構(gòu)振振動(dòng)時(shí)時(shí)其位位移以以及各各種量量值隨隨時(shí)間間變化化的規(guī)規(guī)律，，需要要先建建立其其振動(dòng)微微分方方程，然后求求解。。振動(dòng)微微分方方程的的建立立方法法：（1）剛度度法。。即列動(dòng)動(dòng)力平平衡方方程。。設(shè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)m在振動(dòng)動(dòng)的任任一時(shí)時(shí)刻位位移為為y，取質(zhì)質(zhì)點(diǎn)m為隔離離體，，不考考慮質(zhì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)受到到的阻阻力，，則作作用于于質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)m上的力有有：(a)彈簧恢恢復(fù)力力該力有有將質(zhì)質(zhì)點(diǎn)拉拉回靜靜力平平衡位位置的的趨勢(shì)勢(shì)，負(fù)負(fù)號(hào)表表示其其方向向恒與與位移移y的方向向相反反，即即永遠(yuǎn)遠(yuǎn)指向向靜力力平衡衡位置置。(b)慣性力力負(fù)號(hào)表示其方向恒與加速度的方向相反對(duì)于彈彈簧處處于靜靜力平平衡位位置時(shí)時(shí)的初初拉力力，恒恒與質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的的重量量mg向平衡衡而抵抵消，，故振振動(dòng)過(guò)過(guò)程中中這兩兩個(gè)力力都毋毋須考考慮。?！?-3單自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在在慣性性力F1和恢復(fù)復(fù)力Fc作用下下維持持平衡衡，則則有：：或?qū)1和Fc的表達(dá)式代入令（1-1）有（1-2）單自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)自自由振振動(dòng)微微分方方程§1-3單自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)（2）柔度度法。。即列位位移方方程。。當(dāng)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)m振動(dòng)時(shí)時(shí)，把把慣性性力看看作靜靜力荷荷載作作用在在體系的質(zhì)質(zhì)量上上，則則在其其作用用下結(jié)結(jié)構(gòu)在在質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)處的的位移移y應(yīng)當(dāng)為為：即同剛度法所得方程此二階階線(xiàn)性性常系系數(shù)齊齊次微微分方方程的的通解解為：：(a)(b)由初始條件t=0時(shí)，有可得到有(1-3)§1-3單自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)可見(jiàn):單自由由度體體系無(wú)無(wú)阻尼尼的自自由振振動(dòng)是是簡(jiǎn)諧諧振動(dòng)動(dòng)。令,有（1-4）

（1-6）其中（1-5）位移滿(mǎn)滿(mǎn)足周周期運(yùn)運(yùn)動(dòng)的的下列列條件件：a表示質(zhì)質(zhì)量m的最大大動(dòng)位位移，，稱(chēng)為為振幅幅。其其由常數(shù)ω、初始始條件件y0和v0決定的的。φ是初始始位置置的相相位角角，稱(chēng)稱(chēng)為初初相角角。它它也取取決于于常數(shù)數(shù)ω、初始始條件件y0和v0。T稱(chēng)為結(jié)結(jié)構(gòu)的的自振振周期期，其其常用用的單單位為為秒(s)。自振周周期的的倒數(shù)數(shù)代表表每秒秒鐘內(nèi)內(nèi)的振振動(dòng)次次數(shù)，，稱(chēng)為為工程頻率，記作f，其單位為1／秒(s-1)，或稱(chēng)為赫茲(Hz)。(1-7)§1-3單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)的自由振動(dòng)動(dòng)表示2π秒內(nèi)的振動(dòng)次次數(shù)，是結(jié)構(gòu)構(gòu)動(dòng)力性能的的一個(gè)很重要要的標(biāo)志。ω的單位為弧度／秒(rad／s)，亦常簡(jiǎn)寫(xiě)為1／s(s-1)。從圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)的角度來(lái)看看，稱(chēng)它為圓頻率，一般稱(chēng)ω為自振頻率。根據(jù)式(1-1)，可給出結(jié)構(gòu)構(gòu)自振頻率ω的計(jì)算公式如如下：相應(yīng)地，結(jié)構(gòu)構(gòu)的自振周期期T的計(jì)算公式為為：式中g(shù)表示重力加速速度，Δst表示由于重量量mg所產(chǎn)生的靜力力位移。結(jié)構(gòu)的自振頻頻率和周期只只取決于它自自身的質(zhì)量和和剛度，與初初始條件及外外界的干擾因因素?zé)o關(guān)，它它反映著結(jié)構(gòu)構(gòu)固有的動(dòng)力力特性。（1-8）§1-3單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)的自由振動(dòng)動(dòng)解：三種支承承情況的梁均均為單自由度度體系。例1-1圖示為三種不不同支承情況況的單跨梁，，EI＝常數(shù)，在梁梁中點(diǎn)有一集集中質(zhì)量m，當(dāng)不考慮梁梁的質(zhì)量時(shí)，，試比較三者者的自振頻率率。據(jù)此可得隨著結(jié)構(gòu)剛度度的加大，其其自振頻率也也相應(yīng)地增高高?！?-3單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)的自由振動(dòng)動(dòng)2.考慮阻尼時(shí)的的自由振動(dòng)物體的自由振振動(dòng)由于各種種阻力的作用用將逐漸衰減減下去而不能能無(wú)限延續(xù)。。阻力可分為兩兩種：一種是是外部介質(zhì)的的阻力；另一一種來(lái)源于物物體內(nèi)部的作作用。這些統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)為阻尼力力。通常引用用福格第假定定，即近似認(rèn)認(rèn)為振動(dòng)中物物體所受阻尼尼力與其振動(dòng)動(dòng)速度成正比比，稱(chēng)為粘滯滯阻尼力，即即：其中：β為阻尼系數(shù)，，負(fù)號(hào)表示阻阻尼力的方向向恒與速度方方向相反考慮阻尼時(shí)，，質(zhì)點(diǎn)m的動(dòng)力平衡方方程為即：令有(1-9)§1-3單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)的自由振動(dòng)動(dòng)這是一個(gè)常系系數(shù)齊次線(xiàn)性性微分方程，，設(shè)其解的形形式為解得其特征方程為為：根據(jù)阻尼大小小不同，現(xiàn)分分以下3種情況討論：：(1)k<ω，即小阻尼情況況，此時(shí)r1和r2為兩個(gè)共軛復(fù)復(fù)數(shù)，式(1-9)通解為：(1-9)（1-10）（1-11）有阻尼自振頻頻率（1-12）式（1-10）可改寫(xiě)為：：§1-3單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)的自由振動(dòng)動(dòng)式中（1-12）

小阻尼情況自由振動(dòng)時(shí)的y-t曲線(xiàn)小阻尼時(shí)自由由振動(dòng)曲線(xiàn)為為衰減的正弦弦曲線(xiàn)，其振振幅按e-kt的規(guī)律減小，，故k為衰減系數(shù)。?！?-3單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)的自由振動(dòng)動(dòng)由式(1-11)有工程中ξ的值很?。▽?duì)對(duì)于鋼筋混凝凝土結(jié)構(gòu)ξ大約為5%，鋼結(jié)構(gòu)的大大約為1%-2%）。于是有ω=ω'相隔一周期后后的兩個(gè)振幅幅之比為一常常數(shù)，振幅是是按等比級(jí)數(shù)數(shù)遞減的。若用yn表示某一時(shí)刻刻tn的振幅，yn+1表示經(jīng)過(guò)一個(gè)個(gè)周期T'后的振幅，則則有上式兩邊取對(duì)對(duì)數(shù)，得振幅的對(duì)數(shù)遞遞減量同理，經(jīng)過(guò)j個(gè)周期后，有有由實(shí)測(cè)各周期期的振幅可求求出阻尼比。?！?-3單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)的自由振動(dòng)動(dòng)(2)k>ω，即大阻尼情況況，此時(shí)r1和r2為兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)數(shù)，式(1-9)通解為：y(t)不是一個(gè)周期期函數(shù),即在大阻尼情情況下不會(huì)發(fā)發(fā)生振動(dòng)。（1-13）（1-1）(3)

k=ω，即臨界阻尼情況此時(shí)r1,2=-k

，方程(1-9)的解為y-t

曲線(xiàn)以上兩種情況況均不屬振動(dòng)動(dòng)，位移時(shí)程程曲線(xiàn)（y-t曲線(xiàn)）表示體系從初初始位移出發(fā)發(fā)，逐漸返回回到靜平衡位位置而無(wú)振動(dòng)動(dòng)發(fā)生。y(t)不是周期函數(shù)，亦即在臨界阻尼情況下不會(huì)發(fā)生振動(dòng)。此時(shí)，臨界阻尼系數(shù)§1-3單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)的自由振動(dòng)動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷荷載即外來(lái)干干擾力作用下下產(chǎn)生的振動(dòng)動(dòng)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)m受干擾力F（t）作用，則質(zhì)質(zhì)點(diǎn)m的動(dòng)力平衡方方程為：即：或(1-18)§1-4單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載載作用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程的解包括括兩部分：對(duì)對(duì)應(yīng)齊次方程程的通解和對(duì)對(duì)應(yīng)干擾力F(t)的特解(1-18)通解

特解隨干擾力的不同而異。本節(jié)討論干擾力為簡(jiǎn)諧周期荷載時(shí)的情況，如具有轉(zhuǎn)動(dòng)部件的機(jī)器勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的離心力的豎直或水平分力等，表達(dá)為：(1-19)

其中為干擾力的頻率，F(xiàn)為干擾力最大值。此時(shí)式(1-18)寫(xiě)為：(1-20)設(shè)方程的特解為：（b）（a）§1-4單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載載作用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)式(b)代入式(1-20)，得到式(a)+式(b)，并引入初始始條件，得到到(1-21)由初始條件決決定的自由振振動(dòng)伴生自由振動(dòng)動(dòng)按干擾力頻率率θ振動(dòng)的純強(qiáng)迫迫振動(dòng)或穩(wěn)態(tài)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)由初始條件決決定的自由振振動(dòng)階段和伴伴生自由振動(dòng)動(dòng)階段會(huì)隨時(shí)時(shí)間很快衰減減掉，故稱(chēng)為為過(guò)渡階段；；最后只剩下下按干擾力頻頻率振動(dòng)的純純強(qiáng)迫振動(dòng)，，故稱(chēng)為平穩(wěn)穩(wěn)階段。實(shí)際際問(wèn)題中，一一般只討論純純強(qiáng)迫振動(dòng)。。§1-4單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載載作用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)1.不考慮阻尼的的純強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)(1-22)因此，最大動(dòng)動(dòng)力位移（振振幅）為(1-23)其中:代表將干擾力力最大值F作為靜載作用用于結(jié)構(gòu)上時(shí)時(shí)引起的靜力力位移位移動(dòng)力系數(shù)數(shù)，代表最大動(dòng)動(dòng)力位移與靜靜力位移之比比當(dāng)θ<ω時(shí)，μ值為正，動(dòng)力力位移與動(dòng)力力荷載同向；；當(dāng)θ>ω時(shí)，μ值為負(fù)，表示示動(dòng)力位移與與動(dòng)力荷載的的指向相反,這種現(xiàn)象僅在在不計(jì)阻尼時(shí)時(shí)出現(xiàn)?！?-4單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載載作用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)

動(dòng)力反應(yīng)譜（動(dòng)力放大系數(shù)μ隨頻比θ/ω變化的關(guān)系曲線(xiàn)）動(dòng)力放大系數(shù)數(shù)μ的大小反映了了結(jié)構(gòu)動(dòng)力反反應(yīng)的強(qiáng)弱。。單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)，當(dāng)干擾擾力與慣性力力的作用點(diǎn)重重合時(shí)，位移移動(dòng)力系數(shù)與與內(nèi)力動(dòng)力系系數(shù)是完全一一樣的。當(dāng)，通常,當(dāng)動(dòng)力荷載(即干擾力)的周期大于結(jié)構(gòu)自振振周期的五、六倍以上時(shí)，可將將其視為靜力荷載載。(1)當(dāng)θ<<ω時(shí)，即θ/ω→0，這時(shí)μ→1。這種情況相相當(dāng)于靜力作作用?！?-4單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載載作用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)

動(dòng)力反應(yīng)譜(2)當(dāng)θ≈ω時(shí)，即θ/ω≈1，這時(shí)μ→∞。即振幅趨于于無(wú)限大,這種現(xiàn)象稱(chēng)為為共振。2)實(shí)際上由于阻阻尼的存在共共振時(shí)振幅不不會(huì)無(wú)限增大大。1)共振現(xiàn)象的形形成有一個(gè)過(guò)過(guò)程，振幅是是由小逐漸變變大的。注意:3)應(yīng)避開(kāi)0.75<θ/ω<1.25共振區(qū)。(3)當(dāng)θ>>ω時(shí)，即θ/ω>>1，這時(shí)μ值為負(fù)值,并且趨近于零零。這表明高頻簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧荷載作用用下，振幅趨趨近于零，體體系處于靜止止?fàn)顟B(tài)。工程設(shè)計(jì)中，，要求的是振振幅絕對(duì)值,動(dòng)力反應(yīng)譜中中θ/ω>1部分的μ畫(huà)在橫坐標(biāo)的的上方。注意:§1-4單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載載作用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)在單自由度體體系上，當(dāng)干干擾力作用在在質(zhì)量上、擾擾力作用線(xiàn)與與質(zhì)體的振動(dòng)動(dòng)位移方向重重合時(shí)，其位位移動(dòng)力系數(shù)數(shù)與內(nèi)力動(dòng)力力系數(shù)是完全全相同的，結(jié)結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)動(dòng)內(nèi)力可以采采用動(dòng)力系數(shù)數(shù)法求得。如果干擾力不不作用在質(zhì)量量上，體系的的位移和內(nèi)力力沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)統(tǒng)一的動(dòng)力系系數(shù)。這種情情況下的結(jié)構(gòu)構(gòu)動(dòng)內(nèi)力、動(dòng)動(dòng)位移的計(jì)算算，可用建立動(dòng)力微分分方程的方法計(jì)算?！?-4單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載載作用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)解：在發(fā)電機(jī)機(jī)重量作用下下，梁中點(diǎn)的最大靜力力位移為：故自振頻率為為例1-2簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)裝裝有一臺(tái)電動(dòng)動(dòng)機(jī)，電動(dòng)機(jī)機(jī)重量G=35kN。已知梁的慣慣性矩I=8.8×10-5m4，E=210GPa。發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)時(shí)離心力的的垂直分力為為F=sinθt，且F=10KN。不計(jì)阻尼，，求當(dāng)發(fā)電機(jī)機(jī)每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)數(shù)為n=500r/min時(shí)，梁的最大大彎矩和撓度度。干擾力頻率:動(dòng)力系數(shù):梁中點(diǎn)的最大大彎矩為梁中點(diǎn)的最大大撓度為§1-4單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載載作用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)質(zhì)體的動(dòng)位移移y(t)是以靜力平衡衡位置為零點(diǎn)點(diǎn)來(lái)計(jì)算的，，因此y(t)中不包括質(zhì)體體的重力影響響，但在確定定質(zhì)體的最大大豎向位移時(shí)時(shí)，應(yīng)加上這這部分（Δst=δ11G）的影響。注意：§1-4單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載載作用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)用圖乘法可求得

(a)

(1)設(shè)慣性力和動(dòng)動(dòng)力荷載分別別為單位力和和單位力偶作作用在體系上上，并繪出相相應(yīng)的彎矩圖圖.例1-3圖示簡(jiǎn)支梁跨跨中有一集中中質(zhì)量m，支座A處受動(dòng)力矩Msinθt的作用，不計(jì)梁的質(zhì)量量，試求質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的動(dòng)位移和和支座A處的動(dòng)轉(zhuǎn)角的的幅值。解：該體系不不能直接用放放大系數(shù)求動(dòng)動(dòng)位移，可由由建立體系的的振動(dòng)方程來(lái)來(lái)求解?！?-4單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載載作用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)式中

代δij入上式，經(jīng)整理后得(b)解式(b)得穩(wěn)態(tài)解為(c)(2)根據(jù)疊加原理列出動(dòng)位移質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)位移移是慣性力FI(t)和動(dòng)力荷載共共同作用下產(chǎn)產(chǎn)生的，按疊疊加原理可表表示為§1-4單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載載作用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)這說(shuō)明質(zhì)體動(dòng)動(dòng)位移尚可應(yīng)應(yīng)用放大系數(shù)數(shù)計(jì)算。

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)位移幅值為，其中為動(dòng)荷載幅值M所引起的質(zhì)點(diǎn)靜位移yst，μ動(dòng)力系數(shù)。支座A處的動(dòng)轉(zhuǎn)角也也是由慣性力力FI(t)和動(dòng)力荷載共共同作用下產(chǎn)產(chǎn)生的，按疊疊加原理可表表示為由穩(wěn)態(tài)解式(c)可知§1-4單自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載載作用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)式(c)求導(dǎo)兩次次后代入入上式，，可得將式(a)和F*=3M/l代入上式式,得(c)§1-4單自由度度結(jié)構(gòu)在在簡(jiǎn)諧荷荷載作用用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)可見(jiàn),質(zhì)點(diǎn)位移移的動(dòng)力力系數(shù)μ和支座處處動(dòng)轉(zhuǎn)角角的動(dòng)力力系數(shù)μφ是不同的的。

支座A處的動(dòng)轉(zhuǎn)角幅值為,

為動(dòng)荷載幅值M所引起的靜轉(zhuǎn)角，μφ為該動(dòng)力系數(shù)。其中而動(dòng)荷載不不作用在在質(zhì)量上上時(shí)，體體系不能能用一個(gè)個(gè)統(tǒng)一的的動(dòng)力系系數(shù)來(lái)表表示?！?-4單自由度度結(jié)構(gòu)在在簡(jiǎn)諧荷荷載作用用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)由式(1-21)的第三項(xiàng)，有：命（1-27）（1-28）令和和，，則振幅幅A可寫(xiě)為（1-29）2.有阻尼的的強(qiáng)迫振振動(dòng)§1-4單自由度度結(jié)構(gòu)在在簡(jiǎn)諧荷荷載作用用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)動(dòng)力系數(shù)數(shù)μ不僅與頻頻比β有關(guān)，而而且還與與阻尼比比ξ有關(guān)。動(dòng)力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關(guān)系圖在0.75<β<1.25共振區(qū)范范圍內(nèi)，，阻尼力力大大地地減小了了μ的峰值。但在這這范圍以以外，阻阻尼對(duì)μ的影響較較小，可可按無(wú)阻阻尼來(lái)計(jì)計(jì)算。當(dāng)當(dāng)θ>>ω時(shí)，則μ很小，表表明質(zhì)量量m接近于不不動(dòng)或只只作極微微小的振振動(dòng)。(1)阻尼對(duì)簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧荷載載的動(dòng)力力系數(shù)μ影響較大大簡(jiǎn)諧荷載載作用下下有阻尼尼穩(wěn)態(tài)振振動(dòng)的主主要特點(diǎn)點(diǎn)：§1-4單自由度度結(jié)構(gòu)在在簡(jiǎn)諧荷荷載作用用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)(2)在β=1的共振情情況下,動(dòng)力系數(shù)數(shù)為動(dòng)力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關(guān)系圖在考慮阻阻尼的影影響時(shí)，，共振時(shí)時(shí)動(dòng)力系系數(shù)不是是無(wú)窮大大,而是一個(gè)個(gè)有限值值。在研研究共振振時(shí)的動(dòng)動(dòng)力反應(yīng)應(yīng)時(shí)，阻阻尼的影影響是不不容忽略略的?！?-4單自由度度結(jié)構(gòu)在在簡(jiǎn)諧荷荷載作用用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)

用求極值的方法確定μ的最大值發(fā)生在處,因ξ的值通常都很小，近似地將β=1時(shí)的值作為最大值。(3)μ最大值并并不發(fā)生生在β=1處。動(dòng)力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關(guān)系圖§1-4單自由度度結(jié)構(gòu)在在簡(jiǎn)諧荷荷載作用用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)當(dāng)β<1時(shí)，0<φ<π/2；當(dāng)β>1時(shí)，π/2<φ<π；當(dāng)β=1時(shí)，φ=π/2。(4)阻尼體系系的位移移y(t)=Asin(θt-φ)和干擾力力F(t)=sinθt不同步，，其相位角角為φ。只要有阻阻尼存在在,位移總是是滯后于于振動(dòng)荷荷載。§1-4單自由度度結(jié)構(gòu)在在簡(jiǎn)諧荷荷載作用用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)共振時(shí),φ=π/2,位移方程程式為y(t)=–ystμcosθtμ=1/(2ξ)，θ=ω，c=ξcc=2ξmω阻尼力為為注意到共共振時(shí)可見(jiàn)共振振時(shí)干擾擾力與阻阻尼力互互相平衡衡。共振時(shí)受受力特點(diǎn)點(diǎn)討論:§1-4單自由度度結(jié)構(gòu)在在簡(jiǎn)諧荷荷載作用用下的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)為了減小小動(dòng)力放放大系數(shù)數(shù)μ，當(dāng)β=θ/ω<1時(shí)（稱(chēng)為為共振前前區(qū)），，應(yīng)設(shè)法法加大結(jié)結(jié)構(gòu)的自自振頻率率ω。這種方方法稱(chēng)為為“剛性性方案””。當(dāng)β=θ/ω>1時(shí)稱(chēng)為(共振后區(qū))，這時(shí)，應(yīng)應(yīng)設(shè)法減小小結(jié)構(gòu)的自自振頻率ω。這種方法法稱(chēng)為“柔柔性方案””。動(dòng)力系數(shù)μ與頻比β和阻尼比ξ的關(guān)系圖討論：§1-4單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧諧荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)采用沖量方方法首先討討論瞬時(shí)沖沖量的動(dòng)力力反應(yīng)，在在此基礎(chǔ)上上討論一般般動(dòng)力荷載載下的動(dòng)力力反應(yīng)。1.強(qiáng)迫力為一一般動(dòng)力荷荷載--無(wú)阻尼(1)瞬時(shí)沖量的的動(dòng)力反應(yīng)應(yīng)假定沖擊荷荷載作用之之前體系的的初位移及及初速度均均為零。由于荷載作作用時(shí)間極極短，可以以認(rèn)為在沖沖擊荷載作作用完畢的瞬間間，體系的的位移仍為為零。但沖沖擊荷載有有沖量，可可以使處于于靜止?fàn)顟B(tài)態(tài)的質(zhì)點(diǎn)獲獲得速度而而引起自由由振動(dòng)。思考：體系在沖擊擊荷載作用用下獲得的的是位移還還是速度？？§1-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)根據(jù)動(dòng)量定定律，質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)在瞬時(shí)沖沖量F·Δt作用下的動(dòng)動(dòng)量變化為為由于v0=0,所以有

原來(lái)初位移、初速度為零的體系,在沖擊荷載作用后的瞬間,變成了初位移為零,初速度為的自由振動(dòng)問(wèn)題。由(1-30)得§1-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)若沖擊荷載載不是在t＝0，而是在t＝τ時(shí)作用，則則上式中的的t應(yīng)改為(t-τ)。(1-31)

由式(1-30)可得在t＝τ時(shí)作用瞬時(shí)時(shí)沖量S引起的動(dòng)力力反應(yīng)。(1-30)§1-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)(2)一般動(dòng)力荷荷載F(t)的動(dòng)力反應(yīng)應(yīng)。把整個(gè)加載載過(guò)程看成成是由一系系列瞬時(shí)沖沖量所組成成的。在時(shí)時(shí)刻t＝τ作用的荷載載為F(t)，此荷載在在微分時(shí)段段dτ內(nèi)產(chǎn)生的沖沖量為dS=F(t)·dτ。根據(jù)式(1-31)，此微分沖沖量引起的的動(dòng)力反應(yīng)應(yīng)為：(g)對(duì)加載過(guò)程程中產(chǎn)生的的微分反應(yīng)應(yīng)進(jìn)行疊加加，得出總總反應(yīng)如下下：——稱(chēng)為杜哈梅(Duhamel)積分。

(1-32)§1-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)——(1-33)式中第一、、二項(xiàng)代表表自由振動(dòng)動(dòng)部分，第第三項(xiàng)代表表強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)部分。(1-32)如果初始位位移y0和初始速度度v0不為零，則則總位移應(yīng)應(yīng)為：§1-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)2.幾種動(dòng)荷載載的動(dòng)力反反應(yīng)(1)突加長(zhǎng)期荷荷載o

F(t)t0F突加長(zhǎng)期荷荷載就是指指突然施加加于結(jié)構(gòu)并并繼續(xù)作用用在結(jié)構(gòu)上上的荷載，，它可表示示為：如果原結(jié)構(gòu)構(gòu)的初始位位移和初始始速度都等等于零，將將式（h）代入式(9-32)并進(jìn)行積分分后，可得得動(dòng)力位移移如下：（h）

(1-34)

(1-32)§1-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)當(dāng)t=T/2時(shí)，[y(t)]max=2yst，動(dòng)力系數(shù)數(shù)為μ=2。位移時(shí)程曲線(xiàn)圖

(1-34)

式中表示在靜力荷載F0作用下所產(chǎn)生的靜力位移。當(dāng)突加荷載載作用在系系統(tǒng)上的時(shí)時(shí)間超過(guò)t=T/2時(shí)就算作長(zhǎng)長(zhǎng)期荷載,這時(shí)引起的的最大動(dòng)力力位移為相相應(yīng)靜力位位移的兩倍倍?！?-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)其特點(diǎn)是當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)，在質(zhì)體體上突然施施加常量荷荷裁F0，而且一直直保持不變變，直到t=t1時(shí)突然卸去去。(2)突加短期荷荷載體系在這種種荷載作用用下的位移移反應(yīng)，可可按兩個(gè)階階段分別計(jì)計(jì)算再疊加加。第一階段（（0≤t≤t1）：此階段段與突加長(zhǎng)長(zhǎng)期荷載相相同，因此此動(dòng)力位移移反應(yīng)仍按按公式(9-34)計(jì)算。荷載可以看看作突加長(zhǎng)長(zhǎng)期荷載F0(圖中坐標(biāo)上上方實(shí)線(xiàn)及及所續(xù)虛線(xiàn)線(xiàn)部分)疊加上t=t1時(shí)突加上來(lái)來(lái)的負(fù)長(zhǎng)期期荷載(－F0)(圖坐標(biāo)下方方虛線(xiàn)部分分)?！?-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)(1-35)第二階段(t≥t1)：荷載可以以看作突加加長(zhǎng)期荷載載F0(圖中坐標(biāo)上上方實(shí)線(xiàn)所所續(xù)虛線(xiàn)部部分)疊加上t=t1時(shí)的負(fù)突加加長(zhǎng)期荷載載(-F0)(圖9中坐標(biāo)下方方虛線(xiàn)部分分)。當(dāng)t≥t1時(shí)，有第一階段（（0≤t≤t1）與突加長(zhǎng)長(zhǎng)期荷載相相同，動(dòng)力力位移反應(yīng)應(yīng)為§1-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)位移反反應(yīng)可分為為兩個(gè)階段段按式（1-33）積分求得得。(3)爆炸沖擊荷荷載變化規(guī)律為為第一階段（0≤t≤t1）§1-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)——(1-37)第二階段（（t≥t1）當(dāng)(t1／T)>0.4時(shí)，最大位移反反應(yīng)在第一一階段出現(xiàn)現(xiàn)，否則就出現(xiàn)現(xiàn)在第二階階段出。從前面幾種種動(dòng)力荷載載作用下單單自由度體體系的位移移反應(yīng)可知，最大位位移反應(yīng)與與與t1／T有關(guān)。最大位移反反應(yīng)可用速速度為零（（即位移的的導(dǎo)數(shù)）這這個(gè)條件下下的時(shí)間值值來(lái)計(jì)算。?！?-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)3.當(dāng)強(qiáng)迫力為為一般動(dòng)力力荷載情況況--有阻尼有阻尼體系系在一般動(dòng)動(dòng)力荷載F(t)作用時(shí)，其其動(dòng)力位移移也可表示示為杜哈梅梅積分。由于沖量S=mv0，故在初始始時(shí)刻由沖沖量S引起的振動(dòng)動(dòng)為（9-46）單獨(dú)由初始速度v0(初始位移為零)所引起的振動(dòng)為§1-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)把一般動(dòng)力力荷載F的加載過(guò)程程看作是由由無(wú)限多個(gè)個(gè)瞬時(shí)沖量量所組成，，對(duì)t=τ到t=τ+dτ的時(shí)間分段段上的微分分沖量dS=F(τ)dτ來(lái)說(shuō)，它所所引起的動(dòng)動(dòng)位移為(t>τ)積分后即得得開(kāi)始處于于靜止?fàn)顟B(tài)態(tài)的單自由由度體系有有阻尼的受受迫振動(dòng)方方程為(1-47)§1-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)如果還有初初始位移y0和初始速度度v0，則總位移移為(1-47)(1-48)這就是有阻阻尼情況下下的杜哈梅梅積分。§1-5單自由度結(jié)結(jié)構(gòu)在任意意荷載作用用下的強(qiáng)迫迫振動(dòng)工程實(shí)際中中有很多結(jié)結(jié)構(gòu)是不宜宜簡(jiǎn)化為單單自由度體體系計(jì)算的的。例如多多層房屋、、多跨不等等高工業(yè)廠廠房以及煙煙囪等,都必須按多多自由度體體系來(lái)處理理。圖示等截面面煙囪，將將其分為八八段，從上上到下將每每?jī)啥蔚馁|(zhì)質(zhì)量集中于于其中點(diǎn)，，將一個(gè)無(wú)無(wú)限自由度度的體系簡(jiǎn)簡(jiǎn)化為四個(gè)個(gè)自由度體體系?！?-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)圖示簡(jiǎn)支梁梁的自重略略去不計(jì),體系有n個(gè)振動(dòng)自由由度，y1、y2、…、yi…、yn分別代表這這些質(zhì)點(diǎn)自自靜平衡位位置量起的的位移。1.振動(dòng)微分方方程的建立立（剛度法法、柔度法法）剛度法（1）首先加入入附加鏈桿桿阻止所有有質(zhì)點(diǎn)的位位移,則在各質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的慣性力力作用下，各各鏈桿產(chǎn)生生和慣性力力大小相等等、方向相相反的反力力；可按照位移移法的步驟驟來(lái)處理§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)（2）其次令各各鏈桿發(fā)生生與各質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)實(shí)際位置置相同的位位移，此時(shí)時(shí)各鏈桿上上所需施加加的力為FRi(i=1,2,…,n)。（3）不考慮阻阻尼時(shí)，將將上述兩種種情況疊加加，各附加加鏈桿上的的總反力為為零，由此此可列出各質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力力平衡方程程。以質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)mi為例：即：§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)

(1-46)同理，體系系中的每一一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都都可以列出出相應(yīng)的動(dòng)動(dòng)力平衡方方程式，有有寫(xiě)成矩陣形形式：(1-48)簡(jiǎn)寫(xiě)為：§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)Y和?分別是位移移向量和加加速度向量量：M和K分別是質(zhì)量量矩陣和剛剛度矩陣：：§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)體系中某質(zhì)質(zhì)點(diǎn)i產(chǎn)生位移yi可看成是系系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)的慣性力力共同引起起的。即柔度法考慮每一個(gè)個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位位移，可得得一組運(yùn)動(dòng)動(dòng)微分方程程式：FI1，F(xiàn)I2，…，F(xiàn)In為質(zhì)點(diǎn)1，2，……n的慣性力。。體系的柔度度系數(shù)δij為作用在質(zhì)質(zhì)點(diǎn)j上的單位力力引起質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)i的位移?！?-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)寫(xiě)成矩陣形形式：δ稱(chēng)為體系的的柔度矩陣陣,I—單位矩陣。?；?1-51)所以，由剛剛度法建立立的公式（1-48）與公式（（1-51）是完全相通通的。因?yàn)椋骸?-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)設(shè)公式（1-51）的特解為：：2.按柔度法求求解(1-51)即所有質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)按同一頻頻率同一相相位作同步步簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)，但各質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振幅幅值各不相相同(1-53)(1-54)有(f)柔度法的振振幅方程§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)柔度法的頻頻率方程振幅向量A存在非零解解的條件為為(1-56)(1-55)

根據(jù)頻率方程可得到n個(gè)自振頻率，將它們由小到大排列，分別稱(chēng)為第一，第二，…，第n頻率，并總稱(chēng)為結(jié)構(gòu)自振的頻譜。注意:體系自振頻頻率的個(gè)數(shù)數(shù)和它的自自由度數(shù)目目相同。§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)此時(shí)各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但各質(zhì)點(diǎn)的位移相互間的比值并不隨時(shí)間而變化，也就是說(shuō)在任何時(shí)刻結(jié)構(gòu)的振動(dòng)都保持同一形狀，整個(gè)結(jié)構(gòu)就像一個(gè)單自由度結(jié)構(gòu)一樣在振動(dòng)。這種多自由度結(jié)構(gòu)按任一自振頻率進(jìn)行的簡(jiǎn)諧振動(dòng)稱(chēng)為主振動(dòng)，與其相應(yīng)的特定振動(dòng)形式稱(chēng)為主振型(振型)將代回式(1-53)，得到：(1-59)將n個(gè)自振頻率中的任一個(gè)代入式(f)，得到特解為(1-57)§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)n個(gè)主振動(dòng)的的線(xiàn)性組合合，構(gòu)成振振動(dòng)微分方方程的一般般解：(1-60)

和取決于初始條件。然而自振頻率和振型與外因干擾無(wú)關(guān)，只取決于結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和柔度系數(shù)，因而反映著結(jié)構(gòu)本身固有的動(dòng)力特性。由于此時(shí)系數(shù)行列式為零，因此n個(gè)方程中只有（n-1）個(gè)是獨(dú)立的，因而不能求得的確定值，但可確定各質(zhì)點(diǎn)振幅間的相對(duì)比值，便確定了振型。振型向量規(guī)準(zhǔn)化振型型向量§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)對(duì)于兩個(gè)自自由度結(jié)構(gòu)構(gòu)，振幅方方程（1-53）為：令，，將上式式展開(kāi)得：：頻率方程為為：(1-61)§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)兩個(gè)自振頻頻率為：(1-62)兩個(gè)主振型型為：(1-63)(1-64)§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)例1-3圖示簡(jiǎn)支梁梁在跨度的的三分之一一處有兩個(gè)個(gè)大小相等等的集中質(zhì)質(zhì)量m，試分析其其自由振動(dòng)動(dòng)。設(shè)梁的的自重略去去不計(jì)，EI＝常數(shù)。解:(1)計(jì)算柔度系系數(shù)δij§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)求得

將δij和m值代人上式(2)求頻率：§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)將ωi和δij值代上入式式得第一主振振型為第二主振型型為(3)分析振型§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)可以看出，，如果結(jié)構(gòu)構(gòu)本身和質(zhì)質(zhì)量分布都都是對(duì)稱(chēng)的的，則其振振型不是正正對(duì)稱(chēng)的便便是反對(duì)稱(chēng)稱(chēng)的。第一主振型型第二主振型型§1-6多自由度結(jié)結(jié)構(gòu)的自由由振動(dòng)例1-4圖示剛剛架，，在梁梁跨中中D處和柱柱頂A處有大大小相相等的的集中中質(zhì)量量m，支座座C處為彈彈性支支承，，彈簧簧的剛剛性系系數(shù)k=(3EI)/l3。試求求自振頻頻率和和振型型。1.求柔度度系數(shù)數(shù)解：體體系有有兩自自由度度，A處質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的水水平位位移和和D處質(zhì)的的豎向向位移移。繪制M1、M2圖,由圖乘乘及彈彈簧內(nèi)內(nèi)力虛虛功計(jì)計(jì)算得得§1-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)2.寫(xiě)出振振型方方程（a）3.寫(xiě)出頻頻率方方程，，求頻頻率展開(kāi)式為解得相應(yīng)的的頻率率為§1-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)當(dāng)λ=λλ1=27.083時(shí)，設(shè)設(shè)A1(1)=1,得第一主主振型為第二主主振型型為當(dāng)λ=λ2=2.917時(shí)，設(shè)設(shè)A1(2)=1，得4.求振型型并繪繪出振振型圖圖由所得得結(jié)果果繪出出振型型§1-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)3.按剛度度法求求解(1-66)

(1-65)振幅方方程頻率方方程將得到的n個(gè)自振頻率代回振幅方程，得：(1-67)同樣可可確定定n個(gè)主振振型。。對(duì)于兩兩個(gè)自自由度度結(jié)構(gòu)構(gòu)，頻頻率方方程為為：§1-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)展開(kāi)得得：兩個(gè)主主振型型為：：§1-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)例1-5三層剛剛架如如圖所所示。。設(shè)自自上到到下，，各層層樓面面的質(zhì)質(zhì)量(包括柱柱子質(zhì)質(zhì)量)分別為m1=180000kg，m2=270000kg，m3=270000kg；各層層的層層間側(cè)側(cè)移剛剛度(即該層層柱子子上、、下兩兩端發(fā)發(fā)生單單位相相對(duì)位位移時(shí)時(shí)，該該層各各柱剪剪力之之和)分別為k1=98MN/m，k2=196MN/m，k3=245MN/m。求剛剛架的的自振振頻率率和振振型。設(shè)設(shè)橫梁梁的剛剛度EI＝∞。解:(1)求頻率率。體系的的自由由度數(shù)數(shù)為3。振型方方程為為頻率方方程為為§1-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)建立剛剛度矩矩陣和和質(zhì)量量矩陣陣由圖b可得：

由圖c可得：

由圖d可得：

§1-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)得剛度度矩陣陣：質(zhì)量矩矩陣為為：§1-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)頻率方方程：：引入符號(hào)η

,則展開(kāi)式式為§1-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)解方程得：由求得三個(gè)自振頻率為：§1-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)將代入式(K-ω2M)φ=0，為求標(biāo)準(zhǔn)化振型，規(guī)定φ1(j)=1

。2.求振型型：第三振型第二振型第一振型§1-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)(4)與單自自由度度體系系相同同，多多自由由度體體系的的自振振頻率率和主主振型型也是是體系系本身身的固固有性性質(zhì)。。對(duì)于多多自由由度體體系:(1)在多自自由度度體系系自由由振動(dòng)動(dòng)問(wèn)題題中，，主要要問(wèn)題題是確確定體體系的的全部部自振振頻率率及其其相應(yīng)應(yīng)的主主振型型。(2)多自由由度體體系自自振頻頻率不不止一一個(gè)，，其個(gè)個(gè)數(shù)與與體系系自由由度的的個(gè)數(shù)數(shù)相等等。自自振頻頻率可可由特特征方方程求求出。。(3)每個(gè)自自振頻頻率有有自己己相應(yīng)應(yīng)的主主振型型。主主振型型是多多自由由度體體系能能夠按按單自自由度度振動(dòng)動(dòng)時(shí)所所具有有的特特定形形式。?！?-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)對(duì)上述述兩式式分別別兩邊邊同時(shí)時(shí)左乘乘和和，，有有對(duì)其中中任兩兩個(gè)不不同的的主振振型向向量Xi和Xj，有4.主振型型的正正交性性n個(gè)自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)具具有n個(gè)自振振頻率率及n個(gè)主振振型，，每一一頻率率及其其相應(yīng)應(yīng)主振振型都都滿(mǎn)足足(1-67)(b)(a)(d)(c)（d）式兩兩邊轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置，，有(e)（c）式-（e）式，，有§1-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)當(dāng)(i≠j)時(shí)，有有這說(shuō)明明，對(duì)對(duì)于質(zhì)質(zhì)量矩矩陣M，不同同頻率率的兩兩個(gè)主主振型型是彼彼此正正交的的。同理可可以證證明，，對(duì)于于質(zhì)量量矩陣陣K，不同同頻率率的兩兩個(gè)主主振型型彼此此也是是正交交的。。對(duì)于標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化化的振振型向向量，，也同同樣具具有正正交性性，即即振型正正交性性的物物理意意義:體系按按某一一振型型振動(dòng)動(dòng)時(shí)，，它的的慣性性力不不會(huì)在在其它它振型型上作作功。。也就就是說(shuō)說(shuō)它的的能量量不會(huì)會(huì)轉(zhuǎn)移移到其其它振振型上上去，，說(shuō)明明各個(gè)個(gè)主振振型都都能夠夠單獨(dú)獨(dú)出現(xiàn)現(xiàn)，彼彼此線(xiàn)線(xiàn)形無(wú)無(wú)關(guān)。。主振型型的正正交性性是結(jié)結(jié)構(gòu)本本身的的固有有特性性，它它不僅僅可以以用來(lái)來(lái)簡(jiǎn)化化結(jié)構(gòu)構(gòu)的動(dòng)動(dòng)力計(jì)計(jì)算，，而且且還可可以用用來(lái)檢檢驗(yàn)所所求的的主振振型是是否正正確。?！?-6多自由由度結(jié)結(jié)構(gòu)的的自由由振動(dòng)動(dòng)振型分解法的計(jì)算步驟：（1）求自振頻率和振型（2）計(jì)算廣義質(zhì)量和廣義荷載

（3）求解正則坐標(biāo)的振動(dòng)微分方程，得到αi（i=1,2,…,n）（4）計(jì)算幾何坐標(biāo)，求出各質(zhì)點(diǎn)位移，然后即可計(jì)算其它動(dòng)力反應(yīng)（加速度、慣性力等）§1-7振型分分解法法結(jié)構(gòu)自自振頻頻率的的計(jì)算算是結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)動(dòng)力計(jì)計(jì)算的的一個(gè)個(gè)重要要內(nèi)容容。從從實(shí)用用的要要求來(lái)來(lái)說(shuō),有必要要采用用近似似的計(jì)計(jì)算方方法求求解。。能量量法就就是用用來(lái)計(jì)計(jì)算基基本領(lǐng)領(lǐng)率ω1的近似似方法法。實(shí)際結(jié)結(jié)構(gòu)振振動(dòng)時(shí)時(shí),由于阻阻尼作作用的的影響響,高振型型分量量很快就會(huì)會(huì)消失失?；绢l頻率的的計(jì)算算很重重要。。在我我國(guó)有有關(guān)設(shè)設(shè)計(jì)規(guī)規(guī)范中中往往往可以以根據(jù)據(jù)與基基本頻頻率對(duì)對(duì)應(yīng)的的最大大周期期，便便可從從規(guī)范范中選選取各各種有有關(guān)的的計(jì)算算參數(shù)數(shù)。§1-8計(jì)算頻頻率的的近似似方法法結(jié)構(gòu)在在振動(dòng)動(dòng)中，，具有有兩種種形式式的能能量，，一種種是由由于具具有質(zhì)質(zhì)量和和速度度而構(gòu)構(gòu)成的的動(dòng)能能V(t)，另一一種則則是由由于結(jié)結(jié)構(gòu)變變形而而存儲(chǔ)儲(chǔ)的應(yīng)應(yīng)變能能U(t)。根據(jù)能能量守守恒定定律，，結(jié)構(gòu)構(gòu)在無(wú)無(wú)阻尼尼自由由振動(dòng)動(dòng)中的的任何何時(shí)刻刻，其其動(dòng)能能和應(yīng)應(yīng)變能能之和和應(yīng)等等于常常數(shù)，，即§1-8計(jì)算頻頻率的的近似似方法法當(dāng)結(jié)構(gòu)構(gòu)處于于最大大振幅幅位置置時(shí)，，其動(dòng)動(dòng)能V等于零，，而應(yīng)變變能具有有最大值值Umax。當(dāng)結(jié)構(gòu)處處于靜力力平衡位位置的瞬瞬間，其其動(dòng)能V具有最最大值Vmax，而應(yīng)變變能則為為零。據(jù)此，有有Umax+0=Vmax+0=常數(shù)亦即Umax=Vmax利用這一一關(guān)系式式即可得得到確定定頻率的的方程。?！?-8計(jì)算頻率率的近似似方法設(shè)圖示單單跨梁以以某一頻頻率作自自由振動(dòng)動(dòng),其位移可可表示為為y(x,t)=y(x)sin(ωt+φ)y(x)為各點(diǎn)的的位移幅幅值，代表振型型，故又又稱(chēng)為振振型函數(shù)數(shù)。則梁速度為微段dx質(zhì)量的動(dòng)動(dòng)能為整個(gè)梁的的動(dòng)能為為當(dāng)動(dòng)能為為最大值值時(shí)，cos(ωt+φ)=1,有(1-93)§1-8計(jì)算頻率率的近似似方法應(yīng)變能(只考慮彎彎曲變形形能)為：當(dāng)應(yīng)變能能為最大大值時(shí)，，sin(ωt+φ)=1，有由Umax=Vmax得：（1-94）（1-95）§1-8計(jì)算頻率率的近似似方法如果結(jié)構(gòu)構(gòu)上除分分布質(zhì)量量m(x)外，還有有集中質(zhì)質(zhì)量mi(i=1,2,…,n)，設(shè)以yi表示集中中質(zhì)量i點(diǎn)處相應(yīng)應(yīng)的振幅幅，則有有（1-96）

（1-97）若結(jié)構(gòu)上上只有集集中質(zhì)量量而不計(jì)計(jì)分布質(zhì)質(zhì)量時(shí)，，則有§1-8計(jì)算頻率率的近似似方法1.利用上述述公式計(jì)計(jì)算自振振頻率時(shí)時(shí)，必須須知道振振型曲線(xiàn)線(xiàn)y(x),但實(shí)際上上y(x)事先往往往是不知知道的，，因此必必須先假假定y(x)來(lái)進(jìn)行計(jì)計(jì)算，這這就使得得求得的自自振頻率率高于精精確值。。注意：2.通常第一一頻率所所對(duì)應(yīng)的的振型易易于估計(jì)計(jì)，易于于用簡(jiǎn)單單的函數(shù)數(shù)表達(dá)，，因此瑞瑞利法主主要是用用于求第第一頻率率的近似似值。§1-8計(jì)算頻率率的近似似方法在假定振振型曲線(xiàn)線(xiàn)時(shí)，應(yīng)應(yīng)該使它它滿(mǎn)足位位移的邊邊界條件件，通常常多采用用某一靜靜力荷載載作用下下的彈性性曲線(xiàn)來(lái)來(lái)作為振振型曲線(xiàn)線(xiàn)y(x)。此時(shí)，應(yīng)應(yīng)變能Umax可以更簡(jiǎn)簡(jiǎn)便地用用相應(yīng)的的外力功功Wmax來(lái)代替。。由Umax與Vmax相等，即即得確定定頻率的的另一計(jì)計(jì)算公式式：（1-98)§1-8計(jì)算頻率率的近似似方法對(duì)于單跨跨梁，通通常假設(shè)設(shè)其自重重作用下下的彈性性曲線(xiàn)作作為振型型曲線(xiàn)，，就可以以得到基基本頻率率ω1的良好近近似解。。計(jì)算經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)表明，，基頻的的計(jì)算對(duì)對(duì)振型曲曲線(xiàn)是不不敏感的的，只要要所設(shè)振振型曲線(xiàn)線(xiàn)滿(mǎn)足位位移邊界界條件，，且與真真實(shí)振型型曲線(xiàn)接接近，就就能得出出相當(dāng)精精確的解解答。對(duì)于其他他結(jié)構(gòu)，，當(dāng)用能能量法求求基本頻頻率時(shí)，，則首先先要判斷斷基本振振型的大大致形狀狀，它應(yīng)應(yīng)該是結(jié)結(jié)構(gòu)在振振動(dòng)時(shí)容容易出現(xiàn)現(xiàn)的較為為簡(jiǎn)單的的變形形形式，然然后假設(shè)設(shè)一與它它接近的的曲線(xiàn)方方程y(x)，這樣算算得的頻頻率也就就是對(duì)應(yīng)應(yīng)于基本本頻率的的近似解解?！?-8計(jì)算頻率率的近似似方法

例1-8均質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁，粱長(zhǎng)為l，單位梁長(zhǎng)的質(zhì)量為,其抗彎剛度EI為常數(shù)，若取振型曲線(xiàn)為：m(1)圖b所示的正正弦曲線(xiàn)線(xiàn)；(2)梁在自重重作用下下的撓曲曲線(xiàn),分別計(jì)算算自振頻頻率，并并將所得得結(jié)果進(jìn)進(jìn)行比較較。解(1)振型為正正弦曲線(xiàn)線(xiàn)得§1-8計(jì)算頻率率的近似似方法

正弦曲線(xiàn)是準(zhǔn)確的第一階主振型，

πx

y(x)=asin─

l(2)設(shè)振型為為梁在自自重作用用下的撓撓曲線(xiàn)：：所以因此由它它求得的的是第一一頻率的的精確解解。根據(jù)據(jù)自重作作用下的的撓曲線(xiàn)線(xiàn)求得的的結(jié)果也也具有很很高的精精確度。。討論：§1-8計(jì)算頻率率的近似似方法一、幾個(gè)個(gè)值得注注意的問(wèn)問(wèn)題1.彈性體系系的振動(dòng)動(dòng)自由度度描述體系系的振動(dòng)動(dòng)，需要要確定體體系中全全部質(zhì)量量在任一一瞬時(shí)的的位置，，為此所所需要的的獨(dú)立坐坐標(biāo)數(shù)就就是彈性性體系振振動(dòng)的自自由度。。值得注注意的是是：體系系中集中中質(zhì)量的的個(gè)數(shù)不不一定等等于體系系振動(dòng)的的自由度度，自由由度數(shù)目目與計(jì)算算假定有有關(guān)，而而與集中中質(zhì)量數(shù)數(shù)目和超超靜定次次數(shù)無(wú)關(guān)關(guān)。三個(gè)集中中質(zhì)量，，一個(gè)自自由度一個(gè)集中中質(zhì)量，，兩個(gè)自自由度第一章結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力力學(xué)總結(jié)結(jié)2.確定體系系振動(dòng)自自由度的的方法方法一可以運(yùn)用用附加鏈鏈桿法，，使質(zhì)量量不發(fā)生生線(xiàn)位移移所施加加的附加加鏈桿數(shù)數(shù)即為體體系的計(jì)計(jì)算自由由度。例例如圖a中，需要要兩個(gè)鏈鏈桿才能能阻止集集中質(zhì)量量的線(xiàn)位位移(圖b)，故體系系有兩個(gè)個(gè)振動(dòng)自自由度。。方法二當(dāng)忽略桿桿件的軸軸向變形形時(shí)，可可以運(yùn)用用幾何構(gòu)構(gòu)造分析析中的鉸鉸接鏈桿桿法——將所有質(zhì)質(zhì)點(diǎn)和剛剛結(jié)點(diǎn)變變?yōu)殂q結(jié)結(jié)點(diǎn)后，，使鉸接接鏈桿體體系成為為幾何不不變體系系所需要要增加的的鏈桿數(shù)數(shù)即為自自由度數(shù)數(shù)。例如如圖a鉸化為鉸鉸接鏈桿桿體系后后，需需要增加加兩根鏈鏈桿（圖圖c）。第一章結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力力學(xué)總結(jié)結(jié)例：若忽略直直桿的軸軸向變形形,圖a所示結(jié)構(gòu)構(gòu)的動(dòng)力力自由度度為多少？解：鉸接鏈桿桿體系如如圖b或圖c，需附加加4根鏈桿，，體系有有4個(gè)自由度度。第一章結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力力學(xué)總結(jié)結(jié)例：設(shè)直桿的的軸向變變形不計(jì)計(jì)，圖a所示體系系的動(dòng)力力自由度度為多少少？解：鉸接鏈桿桿體系如如圖b所示，增增加鏈桿桿1、2.體系的動(dòng)動(dòng)力自由由度為2。第一章結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力力學(xué)總結(jié)結(jié)例：考慮各桿桿件的彎彎曲及柱柱的軸向向變形，，圖a所示體系系的動(dòng)力力自由度度數(shù)為多多少？解：用附加鏈鏈桿法（（圖b）,動(dòng)力自由由度數(shù)等等于5。第一章結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力力學(xué)總結(jié)結(jié)3.結(jié)構(gòu)的自自振周期期（頻率率）結(jié)構(gòu)自振振周期的的幾種計(jì)計(jì)算公式式：周期T的單位是是“s（秒）””；圓圓頻率ω的單位是是“s-1”，即“弧弧度/每秒”；；工程頻頻率f的單位為為“Hz（赫茲））”，即即每秒秒振動(dòng)的的次數(shù)。。,第一章結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力力學(xué)總結(jié)結(jié)注意：（1）結(jié)構(gòu)構(gòu)自振周周期（頻頻率）是是結(jié)構(gòu)動(dòng)動(dòng)力性能能的一個(gè)個(gè)很重要要的標(biāo)志志。兩個(gè)個(gè)外表看看來(lái)相似似的結(jié)構(gòu)構(gòu)，如果果自振頻頻率相差差很大，，則動(dòng)力力性能相相差很大大；反之之兩個(gè)外外表看來(lái)來(lái)并不相相同的結(jié)結(jié)構(gòu)，如如果其自自振頻率率相似，，則在動(dòng)動(dòng)荷載作作用下其其動(dòng)力性性能基本本一致。。（2）自振周期期只與結(jié)結(jié)構(gòu)的質(zhì)質(zhì)量和剛剛度有關(guān)關(guān)，與初初始條件件及外界界的干擾擾因素?zé)o無(wú)關(guān)。第一章結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力力學(xué)總結(jié)結(jié)例：圖a所示結(jié)構(gòu)構(gòu)頻率為為ωi，求圖b所示結(jié)構(gòu)構(gòu)頻率ω。解：圖b體系為并并聯(lián)彈簧簧，其剛剛度系數(shù)數(shù)k等于各彈彈簧剛度度系數(shù)ki之和.k=k1+k2+k3第一章結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力力學(xué)總結(jié)結(jié)例：圖a所示結(jié)構(gòu)構(gòu)周期為為T(mén)i，求圖圖b所示體系系周期。。解：圖b體系為串串聯(lián)彈簧簧，其剛剛度系數(shù)數(shù)k的倒數(shù)等等于各彈彈簧剛度度系數(shù)ki的倒數(shù)之之和。第一章結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力力學(xué)總結(jié)結(jié)例：圖a所示體系系中，已已知橫梁梁B端側(cè)移剛剛度為k1，彈簧剛剛度為k2，求豎向向振動(dòng)頻頻率。解：體系可簡(jiǎn)簡(jiǎn)化為圖圖b所示的串串聯(lián)彈簧簧體系，，豎向振振動(dòng)頻率率為第一章結(jié)構(gòu)構(gòu)動(dòng)力學(xué)總總結(jié)例：圖a所示體系中中k1為橫梁在C點(diǎn)的側(cè)移剛剛度，k2為彈簧剛度度。求體系系的豎向振振動(dòng)頻率。。解：體系可簡(jiǎn)化化為圖b所示的并聯(lián)聯(lián)彈簧體系系，豎向振振動(dòng)頻率為為第一章結(jié)構(gòu)構(gòu)動(dòng)力學(xué)總總結(jié)4.單自由度體體系的強(qiáng)迫迫振動(dòng)時(shí)的的動(dòng)力放大大系數(shù)(1)簡(jiǎn)諧動(dòng)荷載載作用在質(zhì)質(zhì)體上，內(nèi)內(nèi)力動(dòng)力系系數(shù)與位移移動(dòng)力系數(shù)數(shù)相同。動(dòng)力系數(shù)計(jì)算時(shí)，只只須將干擾擾力幅值當(dāng)當(dāng)作靜荷載載按靜力方方法算出相相應(yīng)的位移移、內(nèi)力，再乘以動(dòng)力力系數(shù)即可。計(jì)算結(jié)構(gòu)的