材料力學(xué)材力附錄圖形性質(zhì)

2、量綱：［長(zhǎng)度］3；單位：m3、cm3、mm3。3、靜矩的值可以是正值、負(fù)值、或零。2一.

靜矩和形心一)、簡(jiǎn)單圖形的靜矩（面積矩）1、定義：AASy

zdAzS

ydAdAyzyzodA對(duì)z軸的靜矩:

dA對(duì)y軸的靜矩:dSz

ydAdSy

zdA若圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則此軸一定過(guò)圖形的3形心?？芍獄

dA

A

AA

y

dAyC

A

,

zC4、靜矩和形心的關(guān)系由平面圖形的形心公式Sy

A

zdA

AzCSz

A

ydA

AyC結(jié)論：圖形對(duì)過(guò)形心的軸的靜矩為零。4zZCybahSz

A

ydA

aybdya

ha2by

2hhady

ydzzAyS

zdA

bh(a

)

Ay2

Cbzhdz0bhz

202b

bh

AzC2c

ASz

ydA

h22h

ybdy

2h2by22

h

0例:求圖形對(duì)y、z

軸的靜矩二)、簡(jiǎn)單圖形的形心1、形心坐標(biāo)公式：A

A

ydAASzcy

zdA

A

AASycz

2、形心確定的規(guī)律：圖形有對(duì)稱軸時(shí)，形心必在此對(duì)稱軸上。圖形有兩個(gè)對(duì)稱軸時(shí)，形心必在此兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)處。5三)、組合圖形（由若干個(gè)基本圖形組合而成的圖形）的靜矩：(基本圖形----指面積、形心位置已知的圖形}Sz

Szi

Ai

yciSy

Syi

Ai

zci四)、組合圖形的形心：i

A

Szicyiyi

Acz

S

Ai

yciA6A

Ai

zci1

A2

zc2zcA

A

A

A1

zc1

Ai

zci例:

試確定下圖的形心。解法1：1)、建立坐標(biāo)如圖示，分割圖形1

22

c21

c1i

ciA

A

AA

y

A

ycz

y

A

y801010c(19.7;39.7)yC1C2

5mm

60mmc1A

700mm2

,

z

45mm,

y1

c1c2A

1200mm2

,

z

5mm,

y2

c2120700

1200

45

700

512002)、求形心2

19.7(mm)

5

700

60

1200

39.7(mm)700

12007801201010mm.3

2010

110

80

10

35

1100c(-20.3;34.7)解法二：1)、分割圖形及建立坐標(biāo)系，A

800mm2

,

z

0,

y

0.1

c1

c1A

1100mm2

,

z

35mm,

y

60mm2

c2

c2zyCC12)、求形心

34.7(mm)60

11001

2

A2

zc2A

A

A1

zc1A

Ai

zcizc1

2

A2

yc2A

A

A1

yc1A

Ai

yciyc10

110

80

1089解法三：

積法mm.7

40

96

45

(77)

1912

8

7

11zyc11

c1z

40mm,

y

60mmA

9600mm2

,

65mmc2

45mm,

yc22A

70

110mm2

,

zC2C1C0求形心：

60

96

65

(77)

39.7(mm)96

771

2

A2

zc2A

A

A

A1

zc1

Ai

zcizc1

2

A2

yc2A

A

A

A1

yc1

Ai

yciyc8012010zy

1010二. 慣性矩和慣性積一)、簡(jiǎn)單圖形的慣性矩1、定義：dA對(duì)z軸的慣性距:

dA對(duì)y軸的慣性距:I

z

y

dA,

I

z

dAy

2

2A

A2、單位：m4、mm4yzdAzyozdI

y2dAydI

z

2

dA3、慣性矩是對(duì)軸而言4、慣性矩的取值恒為正值。5、極慣性矩：（對(duì)o點(diǎn)而言）AoI

2

dAp

I6、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：ApI

2

dA(

y

z

)dAA22AAy

dA

z

dA22z

I

I

yzdAyzyo(

2

z

2

y

2

)11bhzccyc7、簡(jiǎn)單圖形慣性矩的計(jì)算⑴

圓實(shí)心空心⑵

矩形64z

yI

I

1

D464yz

d

4

)I

I

1

(D42h2121y2bdy

bh3hy2dA

A

zI

2b2121z2hdA

hb3bAyI

z2dA

bdyhdz121zI

bh3hb312121yI

二)、慣性半徑：AI

zI

Ai2

i

z

z

zAI

yI

Ai2

i

y

y

y三)、簡(jiǎn)單圖形的慣性積1、定義：3、慣性積是對(duì)軸而言。

zydAI

zy4、慣性積的取值為正值、負(fù)值、零。yzdAzA2、量綱：［長(zhǎng)度］4，單位：m4、mm4。y13o5、規(guī)律：兩坐標(biāo)軸中，只要有一個(gè)軸為圖形的對(duì)稱軸，則圖形這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零。求：Iz、Iy。解：zccAccz

a2

Ay2dA

a2dA

2a

y

dA

Iy2dA

(y

a)2

dA

I

A

AA

AI

y

I

yc

b

A2zyozczcycdAycy已知：圖形截面積A，形心坐標(biāo)yc、zc、Izc、Iyc、a、b已知。Zc軸平行于z軸；yc軸平行于y軸。三. 平行移軸公式一)、平行移軸公式Izy

Izcyc

abAcazb14z

zII

——平行移軸公式注意：ZC、YC

為形心坐標(biāo)。a、b為圖形形心在yoz坐標(biāo)系的坐標(biāo)值，可正可負(fù)二)、組合圖形的慣性矩和慣性積根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對(duì)于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：，

I

y

I

yi

abAIzy

IzcyczczI

y

I

ycI

I

a2

Ab2

AzyozczcycdAycycazb，I

zy

I

z

y15

i

iiy

2

R2

y2

d

y

yb(

y)

d

yd

3d20d2A

0y

d

A

Sx

A

πd

2

8

3π12S d

3

12

2d

yc

xx例:

求圖示直徑為d

的半圓對(duì)其自身形心軸

xc

的慣性矩。解：yb(

y)

2

R2

y2b(y)ycCd16xc2、求對(duì)形心軸

xc

的慣性矩2

128πd

4

64

πd

4I

x

d

4πd

2

πd

4

8

128

18π2cI

x

I

x

(

y

)

c由平行移軸公式得：xyb(y)ycCdxcA

πd

2

8

3π17S

d

3

12

2d

yc

x18例:

試求圖a所示截面對(duì)于對(duì)稱軸

x

的慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。1、矩形對(duì)

x

軸的慣性矩：d

2a3

5333

104

mm

42、一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸xc軸的慣性矩（見(jiàn)上例）80

2003I

x1

12

12d

4πd

2

πd

4

8

128

18π2cI

x

I

x

(

y

)

cxyCd

=8040

100

a

=10040a

+(a)2d33、一個(gè)半圓對(duì)

x

的慣性矩由平行移軸公式得：4I

x

2

4

32

2

3π

1034m6m782ad

a

222

dπd2d

2

πd

2

I

x

a

3π

c

4、整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸x

的慣性矩：25333

104

2

3467

104

12270

104

mm4I19四. 轉(zhuǎn)軸公式一)、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式已知：A、Iz、Iy、Izy、αdA

在坐標(biāo)系ozy

和坐標(biāo)系oz1y1的的坐標(biāo)分別為（z，y

）和（z1

，y1

）z1

z

cos

y

sin

y1

y

cos

z

sin

代入慣性矩的定義式：yAd

A211Iz

zyOzyABCDEdA求：Izi、Iyi、Izi

yi2022

221A

Ay

d

A

sin

z

d

AI

z

cos

2

sin

cos

A

zy

d

A

I

z

cos

I

y

sin

2I

zy

sin

cos2

2利用二倍角函數(shù)代入上式，得 轉(zhuǎn)軸公式

：2212

22z1

y1y1z1zy

I

y

sin

2

I

cos

2zyzy

I

z

I

y

cos

2

I

sin

2

I

y

cos

2

I

sin

2

I

z

I

y

I

z2

I

z

I

y

I

zIII

的符號(hào)為：從z軸至z1軸逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。zz

yI

I

I

I

y11上式表明，截面對(duì)于通過(guò)同一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩將前兩式相加得sin

222sin

222

22z1

y1y1z1zy

I

y

sin

2

I

cos

2zy

I

z

I

y

cos

2

Izy2

I

z

I

y

I

z

I

y

cos

2

I

I

z

I

y

I

zIII23sin

2cos

2

Isin

2cos

2

I2222

2

Iz

I

y

Iz

I

yz1

y1y1z1zysin

2

I

cos

2

Iz

I

yzyzy

Iz

I

y

Iz

I

yIIIdI

z1d2z1y12zy

2(

I

z

I

y

sin

2

I

cos

2

)

2Izy

2

I

z

I

y

sin

2

2I

cos

2

0

0dIz1d令0

五.

主慣性軸、主慣性矩、形心主慣性矩z

0y0maxmin22zy

I

y

)2

I

Iz

I

y

(

Iz2I

IIz

I

yzy

2I0tg

2

0dIz1d2z0

y0

2Izy

cos

20

2I

00

2

Iz

I

y

sin

2可求得

0

和

90

兩個(gè)角度，從而確定兩根軸y0,，z0。0由y24zzyI

I

2I0tg

2

求出sin

20

,cos20

代入轉(zhuǎn)軸公式可得：0

0且

Iz

y

025圖形對(duì)主軸的慣性矩Iz0、Iy0

稱