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2、量綱:[長(zhǎng)度]3;單位:m3、cm3、mm3。3、靜矩的值可以是正值、負(fù)值、或零。2一.
靜矩和形心一)、簡(jiǎn)單圖形的靜矩(面積矩)1、定義:AASy
zdAzS
ydAdAyzyzodA對(duì)z軸的靜矩:
dA對(duì)y軸的靜矩:dSz
ydAdSy
zdA若圖形對(duì)某軸的靜矩為零,則此軸一定過(guò)圖形的3形心??芍獄
dA
A
AA
y
dAyC
A
,
zC4、靜矩和形心的關(guān)系由平面圖形的形心公式Sy
A
zdA
AzCSz
A
ydA
AyC結(jié)論:圖形對(duì)過(guò)形心的軸的靜矩為零。4zZCybahSz
A
ydA
aybdya
ha2by
2hhady
ydzzAyS
zdA
bh(a
)
Ay2
Cbzhdz0bhz
202b
bh
AzC2c
ASz
ydA
h22h
ybdy
2h2by22
h
0例:求圖形對(duì)y、z
軸的靜矩二)、簡(jiǎn)單圖形的形心1、形心坐標(biāo)公式:A
A
ydAASzcy
zdA
A
AASycz
2、形心確定的規(guī)律:圖形有對(duì)稱軸時(shí),形心必在此對(duì)稱軸上。圖形有兩個(gè)對(duì)稱軸時(shí),形心必在此兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)處。5三)、組合圖形(由若干個(gè)基本圖形組合而成的圖形)的靜矩:(基本圖形----指面積、形心位置已知的圖形}Sz
Szi
Ai
yciSy
Syi
Ai
zci四)、組合圖形的形心:i
A
Szicyiyi
Acz
S
Ai
yciA6A
Ai
zci1
A2
zc2zcA
A
A
A1
zc1
Ai
zci例:
試確定下圖的形心。解法1:1)、建立坐標(biāo)如圖示,分割圖形1
22
c21
c1i
ciA
A
AA
y
A
ycz
y
A
y801010c(19.7;39.7)yC1C2
5mm
60mmc1A
700mm2
,
z
45mm,
y1
c1c2A
1200mm2
,
z
5mm,
y2
c2120700
1200
45
700
512002)、求形心2
19.7(mm)
5
700
60
1200
39.7(mm)700
12007801201010mm.3
2010
110
80
10
35
1100c(-20.3;34.7)解法二:1)、分割圖形及建立坐標(biāo)系,A
800mm2
,
z
0,
y
0.1
c1
c1A
1100mm2
,
z
35mm,
y
60mm2
c2
c2zyCC12)、求形心
34.7(mm)60
11001
2
A2
zc2A
A
A1
zc1A
Ai
zcizc1
2
A2
yc2A
A
A1
yc1A
Ai
yciyc10
110
80
1089解法三:
積法mm.7
40
96
45
(77)
1912
8
7
11zyc11
c1z
40mm,
y
60mmA
9600mm2
,
65mmc2
45mm,
yc22A
70
110mm2
,
zC2C1C0求形心:
60
96
65
(77)
39.7(mm)96
771
2
A2
zc2A
A
A
A1
zc1
Ai
zcizc1
2
A2
yc2A
A
A
A1
yc1
Ai
yciyc8012010zy
1010二. 慣性矩和慣性積一)、簡(jiǎn)單圖形的慣性矩1、定義:dA對(duì)z軸的慣性距:
dA對(duì)y軸的慣性距:I
z
y
dA,
I
z
dAy
2
2A
A2、單位:m4、mm4yzdAzyozdI
y2dAydI
z
2
dA3、慣性矩是對(duì)軸而言4、慣性矩的取值恒為正值。5、極慣性矩:(對(duì)o點(diǎn)而言)AoI
2
dAp
I6、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系:ApI
2
dA(
y
z
)dAA22AAy
dA
z
dA22z
I
I
yzdAyzyo(
2
z
2
y
2
)11bhzccyc7、簡(jiǎn)單圖形慣性矩的計(jì)算⑴
圓實(shí)心空心⑵
矩形64z
yI
I
1
D464yz
d
4
)I
I
1
(D42h2121y2bdy
bh3hy2dA
A
zI
2b2121z2hdA
hb3bAyI
z2dA
bdyhdz121zI
bh3hb312121yI
二)、慣性半徑:AI
zI
Ai2
i
z
z
zAI
yI
Ai2
i
y
y
y三)、簡(jiǎn)單圖形的慣性積1、定義:3、慣性積是對(duì)軸而言。
zydAI
zy4、慣性積的取值為正值、負(fù)值、零。yzdAzA2、量綱:[長(zhǎng)度]4,單位:m4、mm4。y13o5、規(guī)律:兩坐標(biāo)軸中,只要有一個(gè)軸為圖形的對(duì)稱軸,則圖形這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零。求:Iz、Iy。解:zccAccz
a2
Ay2dA
a2dA
2a
y
dA
Iy2dA
(y
a)2
dA
I
A
AA
AI
y
I
yc
b
A2zyozczcycdAycy已知:圖形截面積A,形心坐標(biāo)yc、zc、Izc、Iyc、a、b已知。Zc軸平行于z軸;yc軸平行于y軸。三. 平行移軸公式一)、平行移軸公式Izy
Izcyc
abAcazb14z
zII
——平行移軸公式注意:ZC、YC
為形心坐標(biāo)。a、b為圖形形心在yoz坐標(biāo)系的坐標(biāo)值,可正可負(fù)二)、組合圖形的慣性矩和慣性積根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對(duì)于某軸的慣性矩(或慣性積)等于其各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩(或慣性積)之和:,
I
y
I
yi
abAIzy
IzcyczczI
y
I
ycI
I
a2
Ab2
AzyozczcycdAycycazb,I
zy
I
z
y15
i
iiy
2
R2
y2
d
y
yb(
y)
d
yd
3d20d2A
0y
d
A
Sx
A
πd
2
8
3π12S d
3
12
2d
yc
xx例:
求圖示直徑為d
的半圓對(duì)其自身形心軸
xc
的慣性矩。解:yb(
y)
2
R2
y2b(y)ycCd16xc2、求對(duì)形心軸
xc
的慣性矩2
128πd
4
64
πd
4I
x
d
4πd
2
πd
4
8
128
18π2cI
x
I
x
(
y
)
c由平行移軸公式得:xyb(y)ycCdxcA
πd
2
8
3π17S
d
3
12
2d
yc
x18例:
試求圖a所示截面對(duì)于對(duì)稱軸
x
的慣性矩。解:將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。1、矩形對(duì)
x
軸的慣性矩:d
2a3
5333
104
mm
42、一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸xc軸的慣性矩(見(jiàn)上例)80
2003I
x1
12
12d
4πd
2
πd
4
8
128
18π2cI
x
I
x
(
y
)
cxyCd
=8040
100
a
=10040a
+(a)2d33、一個(gè)半圓對(duì)
x
的慣性矩由平行移軸公式得:4I
x
2
4
32
2
3π
1034m6m782ad
a
222
dπd2d
2
πd
2
I
x
a
3π
c
4、整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸x
的慣性矩:25333
104
2
3467
104
12270
104
mm4I19四. 轉(zhuǎn)軸公式一)、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式已知:A、Iz、Iy、Izy、αdA
在坐標(biāo)系ozy
和坐標(biāo)系oz1y1的的坐標(biāo)分別為(z,y
)和(z1
,y1
)z1
z
cos
y
sin
y1
y
cos
z
sin
代入慣性矩的定義式:yAd
A211Iz
zyOzyABCDEdA求:Izi、Iyi、Izi
yi2022
221A
Ay
d
A
sin
z
d
AI
z
cos
2
sin
cos
A
zy
d
A
I
z
cos
I
y
sin
2I
zy
sin
cos2
2利用二倍角函數(shù)代入上式,得 轉(zhuǎn)軸公式
:2212
22z1
y1y1z1zy
I
y
sin
2
I
cos
2zyzy
I
z
I
y
cos
2
I
sin
2
I
y
cos
2
I
sin
2
I
z
I
y
I
z2
I
z
I
y
I
zIII
的符號(hào)為:從z軸至z1軸逆時(shí)針為正,順時(shí)針為負(fù)。zz
yI
I
I
I
y11上式表明,截面對(duì)于通過(guò)同一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和為一常數(shù),并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩將前兩式相加得sin
222sin
222
22z1
y1y1z1zy
I
y
sin
2
I
cos
2zy
I
z
I
y
cos
2
Izy2
I
z
I
y
I
z
I
y
cos
2
I
I
z
I
y
I
zIII23sin
2cos
2
Isin
2cos
2
I2222
2
Iz
I
y
Iz
I
yz1
y1y1z1zysin
2
I
cos
2
Iz
I
yzyzy
Iz
I
y
Iz
I
yIIIdI
z1d2z1y12zy
2(
I
z
I
y
sin
2
I
cos
2
)
2Izy
2
I
z
I
y
sin
2
2I
cos
2
0
0dIz1d令0
五.
主慣性軸、主慣性矩、形心主慣性矩z
0y0maxmin22zy
I
y
)2
I
Iz
I
y
(
Iz2I
IIz
I
yzy
2I0tg
2
0dIz1d2z0
y0
2Izy
cos
20
2I
00
2
Iz
I
y
sin
2可求得
0
和
90
兩個(gè)角度,從而確定兩根軸y0,,z0。0由y24zzyI
I
2I0tg
2
求出sin
20
,cos20
代入轉(zhuǎn)軸公式可得:0
0且
Iz
y
025圖形對(duì)主軸的慣性矩Iz0、Iy0
稱
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