04年至12年線性代數量02198自考試題及答案2015年整理復習專用

年下半年高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數試題（課程代碼）試卷說明：表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣，表示方陣的行列式。一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。.設行列式（）.–.–.設是×矩陣，是×矩陣，是×矩陣，則下列運算有意義的是（）.設，均為階可逆矩陣，則下列各式中不正確的是（）.() .().().().已知α()，α()，α()，則下列向量中可以由α，α，α線性表出的是（）.（，，） .（，，）.（，，） .（，，）.設為(>)階矩陣，秩（）<，則秩（*）（）.矩陣的秩為（）.設α（，，，），α（，，，），α（，，，），α（，，，），其中，，，是任意實數，則必有（）.α，α，α線性相關 .α，α，α線性無關.α，α，α，α線性相關 .α，α，α，α線性無關.線性方程組的基礎解系中所含向量的個數為（）階方陣可對角化的充分必要條件是（）有個不同的特征值 為實對稱矩陣有個不同的特征向量 有個線性無關的特征向量.設是階正定矩陣，則二次型()（）.是不定的 .是負定的.當為偶數時是正定的 .當為奇數時是正定的二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。.行列式的值為..設為階方陣,且,則*..設向量α(),β(),則由αγβ所確定的向量γ..已知向量組α(),α(),α()線性相關,則..方程組有解的充分必要條件是..設是階矩陣,秩(,則分塊矩陣的秩為..設為階方陣,其特征值為,則..設階矩陣的個列向量兩兩正交且均為單位向量,則..設λ是可逆矩陣的一個特征值,則矩陣必有一個特征值等于..實二次型()的規(guī)范形為.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）.計算行列式的值..設矩陣,求矩陣,使..已知向量組分別判定向量組α,α,α與向量組α,α,α,α的線性相關性,并說明理由..求與兩個向量α(),α()均正交的單位向量..給定線性方程組,()問λ在什么條件下,方程組有解?又在什么條件下方程組無解?()當方程組有解時,求出通解..已知二次型()的秩為,求參數及二次型經正交變換化成的標準形(不必寫出正交變換).四、證明題（本大題共小題，每小題分，共分）.已知均為階矩陣,且可逆.若,證明:當<時,必有<..設為階矩陣,α為維列向量,若α≠,但α,證明:向量組αα線性無關.年月高等教育自學考試課程代碼：．設是階矩陣，則（）． ．． ．．設為階可逆矩陣，下列運算中正確的是（）．（2A）．（3A）3A．[（）][（）]．（）．設階方陣可逆，且，則（）． ．． ．．設向量組α，α，α線性無關，則下列向量組線性無關的是（）．α，α，αα．α，α，αα．αα，αα，αα．αα，αα，αα．向量組α（，，），α（，，），下列向量中可以由α，α線性表出的是（）．（，，） ．（，，）．（，，） ．（，，）．設，均為階矩陣，若可逆，秩（），那么秩（）（）． ．． ．．設為階矩陣，若與階單位矩陣等價，那么方程組（）．無解 ．有唯一解．有無窮多解 ．解的情況不能確定．在中，與向量α（，，），α（，，）都正交的單位向量是（）．（，，） ．（，，）．（，，） ．（，，）．下列矩陣中，為正定矩陣的是（）． ．． ．．二次型()的秩等于（）． ．． ．二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分） 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。．行列式.．設矩陣，則.．設矩陣，則行列式.．設向量組α（，，α），α（，，），α（，，）線性相關，則..若元齊次線性方程組的基礎解系含個解向量，則矩陣的秩等于.．矩陣的秩等于.．設α，α是非齊次線性方程組的解，又已知αα也是的解，則..已知,其中，則矩陣的屬于特征值的特征向量是.．設為階方陣，已知矩陣不可逆，那么矩陣必有一個特征值為.．實對稱矩陣所對應的二次型.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）．計算行列式的值.．設矩陣，，求矩陣方程的解..設為互不相等的常數，討論向量組α（，,）,α（，,）,α（，,）的線性相關性..求線性方程組的通解（要求用它的一個特解和導出組的基礎解系表示）.．設矩陣.（）求矩陣的特征值和特征向量；（）問能否對角化？若能，求可逆矩陣及對角矩陣，使 .．設（）確定α的取值范圍，使為正定二次型；（）當時，求的正慣性指數和負慣性指數.四、證明題（本大題共小題，每小題分，共分）．設，為同階對稱矩陣，證明也為對稱矩陣.．若向量組α，α，α可用向量組β，β線性表出，證明向量組α，α，α線性相關.年月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數試卷課程代碼試卷說明：表示矩陣的轉置矩陣，表示單位矩陣，表示方陣的行列式，在可逆時，表示的逆矩陣，α表示向量α的長度。．設≠，則三階行列式的值是（）．．．．．若子階方陣。等價于矩陣，則的秩是（）．．．．．設為階方陣，且，則以下結論一定正確的是（）．—．不可逆．可逆，且．可逆，且。．設為階矩陣，若，則—是（）．．．．．．設α，α，α。線性相關，則以下結論正確的是（）．α，α一定線性相關．α，α一定線性相關．α，α一定線性無關．存在不全為零的數，，使ααα．設是非齊次線性方程組的兩個解，則以下結淪正確的是（）．是的解．—是的解．是的解(這里≠)．一是的解．設階矩陣的特征值為，，，則的行列式等于（）．．．．．設矩陣，則是（）．正交矩陣．正定矩陣．對稱矩陣．反對稱矩陣．二次型的矩陣是（）．．．．．設是矩陣的屬于特征值λ的特征向量，則以下結論正確的是（）．是λ對應的特征向量．是λ對應的特征向量．一定線性相關．一定線性無關二、填空題(本大題共小題．每小題分．共分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。．矩陣秩為。．排列的逆序數為。．設，為階方陣，且，，則。．矩陣滿足，則（）。．已知向量α[，，，]，α[，，，]，則。．設為×矩陣，且的個列向量線性無關，則矩陣的秩為。．設是秩為的×矩陣，則齊次線性方程組的解集合中線性無關的解向量個數為。．設為階正交矩陣，是一個維列向量，且，則。．設為階實對稱矩陣，α[，，]，β[，，]分別是屬于的相異特征值λ與λ的特征向量。．設二次型的正慣性指數為，負慣性指數為，則—。三、計算題(本大題共小題。每小題分．共分)．計算行列式．設，為階矩陣，且它們滿足，求。．求向量組的一個最大線性無關組，并將其它向量用此最大線性無關組線性表示。．求下列齊次線性方程組的一個基礎解系，并以此寫出其結構式通解。．設階矩陣的特征值為，，，相應的特征向量為，求。．已知二次型()的秩是。()求參數。()將(，，)化為規(guī)范形．四、證明題(本大題共小題，每小題分，共分)．設向量組α，α，α線性無關，證明αα，αα，αα線性無關。．設為階正定矩陣，是與合同的階矩陣，證明也是正定矩陣。年月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數試卷課程代碼試卷說明：在本卷中，表示矩陣的轉置矩陣；*表示的伴隨矩陣；秩（）表示矩陣的秩；表示的行列式；表示單位矩陣。一、單項選擇題(本大題共小題，每小題分，共分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。.設為三階方陣且，則（）.如果方程有非零解，則（）.設為階可逆方陣，下式恒正確的是（）.（2A）2A.（.[（）][（）] .[（）][（）].設為四階矩陣，且，則*（）.設β可由向量α（，，），α（，，）線性表示，則下列向量中β只能是（）.（，，） .（，，）.（，，） .（，，）.向量組，α…，α的秩不為()的充分必要條件是（）.，α，…，α全是非零向量.，α，…，α全是零向量.，α，…，α中至少有一個向量可由其它向量線性表出.，α，…，α中至少有一個零向量.設為矩陣，方程僅有零解的充分必要條件是（）的行向量組線性無關 的行向量組線性相關的列向量組線性無關 的列向量組線性相關.設與是兩個相似階矩陣，則下列說法錯誤的是（）..秩（）秩（）.存在可逆陣，使 .λλ.與矩陣相似的是（）.設有二次型則（）.正定 .負定.不定 .半正定二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。.若則..設則..設,則..設為×矩陣,且方程組

的基礎解系含有兩個解向量,則秩()..已知有一個特征值,則必有一個特征值..方程組的結構解是..向量組()(),()的秩是..矩陣的全部特征向量是..若α()與β正交,則..矩陣所對應的二次型是.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）.計算四階行列式的值..設,且滿足(-1A)求.求向量組()，α(),(),(),()的一個最大線性無關組..求非齊次線性方程組的結構解..求矩陣的特征值和特征向量..用正交變換化二次型為標準型,并寫出所作的變換.四、證明題（本大題共小題分）.設是矩陣的不同特征值的特征向量.證明不是的特征向量.年月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數試卷課程代碼試卷說明：在本卷中，表示矩陣的轉置矩陣，*表示的伴隨矩陣；秩（）表示矩陣的秩；表示的行列式；表示單位矩陣。一、單項選擇題(本大題共小題，每小題分，共分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。.設階方陣[α，α，α]，其中α（，，）為的列向量，且，則[αα,α,α]().若方程組有非零解，則().設，為同階可逆方陣，則下列等式中錯誤的是().（）-1.（） .（）.設為三階矩陣，且，則（*）()..已知向量組：α，α，α，α中α，α，α線性相關，那么().α，α，α，α線性無關 .α，α，α，α線性相關.α可由α，α，α線性表示 .α，α線性無關.向量組α，α，…α的秩為，且＜，則().α，α，…α線性無關.α，α，…α中任意個向量線性無關.α，α，…α中任意個向量線性相關.α，α，…α中任意個向量線性無關.若與相似，則()，都和同一對角矩陣相似 ，有相同的特征向量λλ.設α，α是的解，η是對應齊次方程的解，則().ηα是的解 .η（αα）是的解.αα是的解 .αα是的解.下列矩陣為正交矩陣的是().....設，則二次型(，)是().正定 負定.半正定 .不定二、填空題(本大題共小題，每小題分，共分)請在每小題的空格中填上正確安全。錯填、不填均無分。.設，，則..已知α（，，），則αα..設，則*..設為×的矩陣，且秩（），則齊次方程的基礎解系所含向量的個數是..設有向量α（，，），α（，，），α（，，）.則α，α，α的秩是..方程的結構解是..設滿足，則..設三階方陣的三個特征值為，，.則..設α與β的內積（α，β），β，則內積（αβ，β）..矩陣所對應的二次型是.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）.計算階行列式.已知矩陣，且，求..求向量組α（，，，），α（，，，），α（，，，）的秩和其一個最大無關組..當，為何值時，方程組有無窮多解？并求出其結構解..已知，求其特征值與特征向量..用正交變換化二次型(,,)為標準型，并給出所用的正交變換.四、證明題（本大題共小題，分）.證明向量組β，β，β線性無關.全國年月高等教育自學考試線性代數試題課程代碼：說明：在本卷中，表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣，表示方陣的行列式，()表示矩陣的秩.一、單項選擇題(本大題共小題，每小題分，共分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。.已知矩陣，，則(). .. ..設為階方陣，且，則().設、為階方陣，滿足，則必有().設、均為階可逆矩陣，且，則下列結論中，不正確的是()-1A-1.設向量α（,,），α(,,)，β（,,,）,β(,,,)，下列命題中正確的是().若α，α線性相關，則必有β，β線性相關.若α，α線性無關，則必有β，β線性無關.若β，β線性相關，則必有α，α線性無關.若β，β線性無關，則必有α，α線性相關.設×矩陣的秩（）(>)，α,β,是齊次線性方程組的三個線性無關的解向量，則方程組的基礎解系為().α,β,αβ .β,，β.αβ,βα .α,αβ,αβ.已知是齊次線性方程組的兩個解，則矩陣可為().（，，） .. ..設為（≥）階矩陣，且，則必有()的行列式等于的逆矩陣等于的秩等于的特征值均為.設矩陣，則的特征值為()，， ，，，， ，，.已知矩陣與對角矩陣相似，則()二、填空題(本大題共小題，每小題分，共分)請在每小題的空格上填上正確答案。錯填、不填均無分。.設矩陣，則..已知行列式，則數..已知向量組的秩為，則數..設向量α（，，，），則α的長度為..設向量組α（，，），α（，，），α（，，）與向量組β，β，β等價，則向量組β，β，β的秩為..設方程組有非零解，則數..已知向量α（，，，）與β（，，，）正交，則數..設階實對稱矩陣的特征值為λλ，λ，則()..已知階矩陣的個特征值為，，，則*..矩陣對應的二次型.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）.計算行列式的值..已知，矩陣滿足，求解..設矩陣，求可逆矩陣和對角矩陣，使得..設向量組α,α,α線性無關，令βαα，βαα，βααα.試確定向量組β，β，β的線性相關性..已知線性方程組，（）討論為何值時，方程組無解、有惟一解、有無窮多個解.（）在方程組有無窮多個解時，求出方程組的通解（要求用其一個特解和導出組的基礎解系表示）..設二次型(,,)，確定常數的最大取值范圍使該二次型正定.四、證明題（本大題分）.已知矩陣，證明存在數，使.年月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數試題課程代碼：試卷說明：在本卷中，表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，表示單位矩陣，表示方陣的行列式，表示矩陣的逆矩陣，秩（）表示矩陣的秩.一、單項選擇題(本大題共小題，每小題分，共分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是最符合題目要求的。請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。.設為階方陣，若，則必有（）...設，都是階方陣，且，,則（）..設為×矩陣，若秩()，則秩()為（）.設向量α（），則下列向量中是單位向量的是（）.α.α.α.α.二次型()的規(guī)范形是（）...設為階方陣，若秩()，則齊次線性方程組的基礎解系中包含的解向量的個數是（）.向量空間{()}的維數是（）.設矩陣，則矩陣的伴隨矩陣*（）.....設矩陣，則的線性無關的特征向量的個數是（）.設，分別為×和×矩陣，向量組（）是由的列向量構成的向量組，向量組（）是由（，）的列向量構成的向量組，則必有（）.若（）線性無關，則（）線性無關.若（）線性無關，則（）線性相關.若（）線性無關，則（）線性無關.若（）線性無關，則（）線性相關二、填空題(本大題共小題，每小題分，共分)請在每小題的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分。．設（，，），，則.．已知向量α（，，，），β（，，，），如果αξβ，則ξ..設，為階方陣，且秩（），秩（），則秩（）..已知階方陣的特征值為，，，則..二次型()的正慣性指數為.．設為階方陣，若，則-3A．已知向量α（，，）與向量β（，，）正交，則.．設非齊次線性方程組的增廣矩陣為，則該方程組的結構式通解為.．設為方陣，且，則.．設矩陣，則.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）．計算行列式..求向量組α（，，，），α（，，，），α（，，，）的秩.．求齊次線性方程組的一個基礎解系..設，又，求矩陣..用配方法化二次型()為標準形，并判別其正定性..求方陣的特征值和特征向量.四、證明題（本大題共小題，分）．設向量組α，α，α線性無關，證明：向量組αα，αα，αα線性相關.年月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數試題課程代碼：說明：在本卷中，表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，表示單位矩陣，表示方陣的行列式，()表示矩陣的秩。一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。．階行列式中元素的代數余子式（）．．．．．設階可逆矩陣、、滿足，則（）．-1C ．． ．．設階矩陣，則的秩為（）． ．． ．．設矩陣，，，，則必有（）．2A．．．．設向量組α,α,α,α線性相關，則向量組中（）．必有一個向量可以表為其余向量的線性組合．必有兩個向量可以表為其余向量的線性組合．必有三個向量可以表為其余向量的線性組合．每一個向量都可以表為其余向量的線性組合．設α,α,α,α是一個維向量組，若已知α可以表為α,α,α,的線性組合，且表示法惟一，則向量組α,α,α,α的秩為（）． ．． ．．設α,α,α是齊次線性方程組的一個基礎解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎解系的是（）．α,α,αα．α,α,αα．αα,αα,αα．αα，αα，αα．設為階矩陣，且，則必有一個特征值為（）． ．． ．．設實對稱矩陣，則元二次型()的規(guī)范形為（）．．．．．設元二次型()正定，則矩陣可取為（）．．．．二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分） 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。.設階行列式的第列元素分別為，，，對應的代數余子式分別為，，，則。.已知階行列式，則。.設，則-2A。.設為階矩陣，將的第列的（）倍加到第列得到矩陣.若，則。.設階矩陣，則。.設向量組()()(),線性相關，則數。元齊次線性方程組的基礎解系中所含解向量的個數為。.已知階矩陣的特征值為，，，且矩陣與相似，則。.設階實對稱矩陣的特征值為，，它們對應的特征向量分別為α()，α()，則數。.二次型()()()的矩陣。三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）.計算階行列式..設階矩陣，，矩陣滿足關系式*，計算行列式..求向量組α()，α()，α()，α()的一個極大無關組，并將向量組中的其余向量用該極大無關組線性表示..設元齊次線性方程組（）確定當為何值時，方程組有非零解；（）當方程組有非零解時，求出它的基礎解系和全部解..設矩陣，（）判定是否可與對角矩陣相似，說明理由；（）若可與對角矩陣相似，求對角矩陣∧和可逆矩陣，使∧..設元二次型()，求正交變換，將二次型化為標準形.四、證明題（本大題分）.設矩陣，其中互不相同，證明：與可交換的矩陣只能為對角矩陣.全國年月自考線性代數試題課程代碼：試卷說明：在本卷中，表示矩陣的轉置矩陣；*表示的伴隨矩陣；（）表示矩陣的秩；表示的行列式；表示單位矩陣。一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。．設，，為同階方陣，下面矩陣的運算中不成立的是（）．（） ．．（） ．（）．已知，那么（）． ．． ．．若矩陣可逆，則下列等式成立的是（）．* ．．（）（） ．（）．若，，，則下列矩陣運算的結果為×的矩陣的是（）． ．． ．．設有向量組：，其中，，線性無關，則（）．，線性無關 ．，，，線性無關．，，，線性相關 ．，，線性無關．若四階方陣的秩為，則（）．為可逆陣 ．齊次方程組有非零解．齊次方程組只有零解 ．非齊次方程組必有解．已知方陣與對角陣相似，則（）． ．． ．．下列矩陣是正交矩陣的是（）． ．． ．．二次型(為實對稱陣)正定的充要條件是（）．可逆 ．>．的特征值之和大于 ．的特征值全部大于．設矩陣正定，則（）．＞ ．≥．＞ ．≥二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。．設（，，），（，），則.．若，則.．若≠，，則.．已知，則（）.．向量組α（，，，），α（，，，），α（，，，）的秩為.．兩個向量α（）和β（）線性相關的充要條件是.．方程組的基礎解系為.．向量α（，，）β()正交，則.．若矩陣與矩陣相似，則.．二次型()對應的對稱矩陣是.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）．計算三階行列式.．已知，，，，矩陣滿足方程，求.．設向量組為α（，，，）α（，，，）α（，，，）α（，，，）求向量組的秩，并給出一個最大線性無關組.．求λ取何值時，齊次方程組有非零解？并在有非零解時求出方程組的結構式通解.．設矩陣，求矩陣的全部特征值和特征向量.．四、證明題（本大題共小題，分）．若階方陣的各列元素之和均為，證明維向量(,…)為的特征向量，并且相應的特征值為.年月自考線性代數試題答案課程代碼：全國年月自考線性代數試卷課程代碼：說明：在本卷中，表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣，表示方陣的行列式.一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。.設為×矩陣，為×矩陣，≠,則下列矩陣中為階矩陣的是（）.設行列式，，則的值為（）.設為階方陣，≥，則（）.() .設,則*（）.向量組α，α…，α（>）線性無關的充分必要條件是（）.α，α，…，α均不為零向量.α，α，…，α中任意兩個向量不成比例.α，α，…，α中任意個向量線性無關.α，α，…，α中任意一個向量均不能由其余個向量線性表示.設元線性方程組，的秩為，η，η，η為方程組的解，ηη()，ηη（，，），則對任意常數，方程組的通解為（）.()() .()().()().()().設階方陣的特征值為，，，則下列矩陣中為可逆矩陣的是（）.設λ是可逆矩陣的一個特征值，則矩陣()必有一個特征值等于（）...設階方陣的秩為，則與等價的矩陣為（）.....二次型(,)的秩為（）二、填空題（本大題共小題，每空分，共分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。.行列式..設矩陣，，則..設是×矩陣，秩（），若，則秩（）..已知向量組，，的秩為，則數..設矩陣，若齊次線性方程組有非零解，則數..已知λ為矩陣的重特征值，則的另一特征值為..已知向量α(，，，)，β(),α與β的內積為，則數..設向量α為單位向量，則數..二次型()的矩陣為..已知二次型()()()()正定，則數的取值范圍為.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）．計算行列式的值.．已知矩陣，，（）求的逆矩陣；（）解矩陣方程..設向量α(，，，)，β（，，）,求（）矩陣αβ;（）。．設向量組α（，，，），α（，，，），α（，，，），α（，，，），求向量組的秩和一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組線性表示.．求線性方程組的通解（要求用它的一個特解和導出組的基礎解系表示）.．用正交變換化二次型(,,)為標準形，并寫出所用的正交變換.四、證明題（本大題分）．設，，為任意實數，證明向量組α（，，，），α（，，，）,α（，，，）線性無關.年月自考線性代數答案一、單項選擇題二、填空題 $（（，），（，））$ $[[],[],[]]$ $[[],[],[]]$ >三計算題四證明題抱歉,答案沒找到全國年月高等教育自學考試線性代數試題課程代碼：說明：在本卷中，表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣，表示方陣的行列式.一、單項選擇題(本大題共小題，每小題分，共分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。．設矩陣（，），，則下列矩陣運算中有意義的是（）． ．． ．．設為階方陣，且，則（）． ．． ．．矩陣的逆矩陣是（）． ．． ．．設階矩陣，則*（）． ．． ．．設矩陣，則中（）．所有階子式都不為零 ．所有階子式都為零．所有階子式都不為零 ．存在一個階子式不為零．設為任意階矩陣，下列矩陣中為反對稱矩陣的是（）． ．．．．設為×矩陣，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（）．的列向量組線性相關 ．的列向量組線性無關．的行向量組線性相關 ．的行向量組線性無關．設元非齊次線性方程組的兩個解為α（，，），β（，，），且系數矩陣的秩(),則對于任意常數,方程組的通解可表為（）．（，，）（，，） ．（，，）（，，）．（，，）（，，） ．（，，）（，，）．矩陣的非零特征值為（）． ．． ．．矩陣合同于（）． ．． ．二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分） 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。．設矩陣，則行列式..若≠，,則行列式.．向量空間{()為實數}的維數為.．若齊次線性方程組有非零解，則其系數行列式的值為.．設矩陣，矩陣，則矩陣的秩()..設向量α（，，），β（，，），則向量α，β的內積（α，β）.．設是×矩陣，若齊次線性方程組只有零解，則矩陣的秩()..已知某個元非齊次線性方程組的增廣矩陣經初等行變換化為：，若方程組無解，則的取值為.．實二次型()的矩陣為.．設矩陣為正定矩陣，則的取值范圍是.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）．計算階行列式..設，求..求齊次線性方程組的基礎解系及通解..設向量α（，，，），α（，，，），α（，，，），α（，，，）.（）求向量組的一個極大線性無關組；（）將其余向量表為該極大線性無關組的線性組合..設階矩陣的特征值為與，對應的特征向量分別為α（，），α（，），求矩陣..已知二次型()通過正交變換可化為標準形四、證明題（本大題分）．證明：若向量組α（）,α()線性無關，則任一向量β（）必可由α，α線性表出.年月自學考試線性代數試題答案全國年月高等教育自學考試線性代數試題課程代碼：試卷說明：表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣，表示方陣的行列式。一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。．行列式的值為（）． ．． ．．設階方陣，，滿足，則必有（）． ．． ．．設階方陣中有個以上元素為零，則的值（）．大于零 ．等于零．小于零 ．不能確定．設階矩階（α，β，γ），（α，β，γ），且，，則（）． ．． ．．線性方程組有解的充分必要條件是α（）． ．． ．．設為×矩陣，則非齊次線性方程組有惟一解的充分必要條件是（）．．只有零解．向量可由的列向量組線性表出．的列向量組線性無關，而增廣矩陣的列向量組線性相關．設為階矩陣，的特征值為，，，那么齊次線性方程組的基礎解系所含解向量的個數為（）． ．． ．．設矩陣，則為（）．對稱矩陣 ．反對稱矩陣．正交矩陣 ．正定矩陣．下列二次型中為規(guī)范形的是（）． ．． ．．已知是階實對稱矩陣，，秩（），則是（）．正定二次型 ．負定二次型．半正定二次型 ．不定二次型二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分） 請在每小題的空格中填上正確答案.錯填、不填均無分。．行列式中（，）元素的代數余子式的值為.．設是階方陣，，則.．設矩陣，則.．向量組α(),α(),α()的秩為.．設向量組α，α，…，α線性無關，且可以由向量組β，β，…，β線性表出，則與的大小關系為.．若α，α，α都是齊次線性方程組的解向量，則（ααα）.．設α，β是元非齊次線性方程組的兩個不同的解，秩（），那么方程組所對應的齊次線性方程組的全部解為.．已知方程組有非零解，則.．設矩陣與相似，則.．設矩陣，則與其相似的對角矩陣有.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）．計算行列式的值.．設，且矩陣滿足，求.．設，求一秩為的階方陣使..求線性方程組的通解，并用其基礎解系表示.．求矩陣的所有特征值，指出能否與對角矩陣相似，并說明理由.．已知二次型()的矩陣的一個特征值為，求α并寫出該二次型的標準形.四、證明題（本大題共小題，每小題分，共分）．已知向量組α，α，α線性無關，證明向量組αα，αα，αα線性無關.．設，都是正交矩陣，證明也是正交矩陣.全國年月高等教育自學考試線性代數試題課程代碼：試卷說明：表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣，｜｜表示方陣的行列式。一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。．設是階方陣，且｜｜＝－，則｜｜＝（）．－ ．－． ．．設矩陣＝，則－＝（）． ．． ．．設是階方陣，｜｜＝，則下列結論中錯誤的是（）．秩（）<．有兩行元素成比例．的個列向量線性相關．有一個行向量是其余個行向量的線性組合．若向量組α，α，…，α的秩為(<)，則α，α，…，α中（）．多于個向量的部分組必線性相關 ．多于個向量的部分組必線性無關．少于個向量的部分組必線性相關 ．少于個向量的部分組必線性無關．若α，α是非齊次線性方程組的兩個不同解，則必有一個解是（）．α＋α．α－α．α－α．α－α．若齊次線性方程組的基礎解系含有兩個解向量，則＝（）． ． ． ．．設，均為階矩陣，且秩（）＝秩（），則必有（）．與相似 ．與等價．與合同 ．｜｜＝｜｜．設階矩陣的三個特征值是，，－，相應的特征向量依次為，，， 令＝，則－＝（）． ．． ．．設λ是可逆矩陣的一個特征值，則－必有一個特征值是（）．λ．．λ．．二次型()的秩為（）． ．． ．二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分） 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。．設＝，表示中（）元素（，，，）的代數余子式，則＋＋＋＝.．＝.．若，均為階矩陣，且｜｜＝，＝－，則｜｜＝.．若向量組α＝（，，），α＝（，）,α()線性相關，則.．設矩陣＝，其中≠().則秩（）＝.．設是階矩陣，秩（）<，且*≠，則齊次線性方程組的基礎解系中所含解向量的個數為.．設為階矩陣，若齊次線性方程組只有零解，則非齊次線性方程組的解的個數為.．已知階方陣與相似，且＝.則＋＝.．設為階矩陣，若行列式｜－｜＝，則必有一特征值為.．二次型的規(guī)范形是.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）．計算行列式的值.．設＝，＝，矩陣滿足方程＝，求.．求下列向量組的秩和一個最大線性無關組.α＝，α＝，α＝，α＝，α＝，．確定λ，μ的值，使線性方程組有解.．已知向量α＝(－，，)，α＝(，，)，求一單位向量α，使α與α，α都正交.．用正交變換化二次型為標準形，并寫出所用的正交變換.四、證明題（本大題共小題，每小題分，共分）．設是階方陣，｜｜≠，證明｜*｜｜｜.．已知階方陣的各行元素之和均為，證明向量(，，…，)為的一個特征向量，并求相應的特征值.年月自考線性代數試題答案全國年月高等教育自學考試線性代數試題課程代碼：試卷說明：表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣表示方陣的行列式。第一部分選擇題(共分)一、單項選擇題(本大題共小題，每小題分，共分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。．設，是兩個階方陣，若則必有（）．且 ．或．且 ．或．若，都是方陣，且，，則（）． ．． ．．矩陣的伴隨矩陣*（）． ．． ．．設向量組()：，，…，向量組()：，，…，，…，則必有（）．若()線性無關，則()線性無關 ．若()線性無關，則()線性無關．若()線性無關，則()線性相關 ．若()線性相關，則()線性相關．從矩陣關系式可知的列向量組是（）．的列向量組的線性組合 ．的列向量組的線性組合．的行向量組的線性組合 ．的行向量組的線性組合．設為矩陣，若矩陣的秩為，則矩陣的秩等于（）． ．． ．．設為階矩陣，秩()，，是齊次線性方程組兩個不同的解，則的通解是（）．．．() ．()．向量()的單位向量為（）． ．． ．．矩陣的線性無關的特征向量個數為（）． ．． ．．下列二次型中，為二次型()的標準形的是（）． ．． ．第二部分非選擇題(共分)二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。．設為階矩陣，，則.．設，則.．設，，則.．.．已知(，，)，(，，)，(，，)，則.．向量組(，，，)，(，，，)，()的秩為.．非齊次線性方程組的增廣矩陣經初等行變換后為，則方程組有通解.．已知階方陣的特征值為，，，那么行列式的值為.．設，維向量的長度.．設是正定矩陣，則滿足條件.三、計算題(本大題共小題，每小題分，共分)．計算行列式的值.．設，求滿足關系式的階矩陣.．已知()，()，()是的一個基，求()在此基下的坐標.．設矩陣的秩為，求，.．已知齊次線性方程組,當為何值時，方程組僅有零解？又在何時有非零解？在有非零解時，求出其一個基礎解系.．設二次型()，經正交變換后化成的標準形為，求所用的正交變換.四、證明題(本大題共小題，每小題分，共分)．已知階方陣滿足關系式，證明是可逆矩陣，并求出其逆矩陣.．設階方陣滿足，證明的特征值為或.年月自考線性代數試題自考答案全國年月高等教育自學考試線性代數試題課程代碼：試卷說明：表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣，表示方陣的行列式。一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。.設行列式（）.–.–.設是×矩陣，是×矩陣，是×矩陣，則下列運算有意義的是（）.設，均為階可逆矩陣，則下列各式中不正確的是（）.() .().().().已知α()，α()，α()，則下列向量中可以由α，α，α線性表出的是（）.（，，） .（，，）.（，，） .（，，）.設為(>)階矩陣，秩（）<，則秩（*）（）.矩陣的秩為（）.設α（，，，），α（，，，），α（，，，），α（，，，），其中，，，是任意實數，則必有（）.α，α，α線性相關 .α，α，α線性無關.α，α，α，α線性相關 .α，α，α，α線性無關.線性方程組的基礎解系中所含向量的個數為（）階方陣可對角化的充分必要條件是（）有個不同的特征值 為實對稱矩陣有個不同的特征向量 有個線性無關的特征向量.設是階正定矩陣，則二次型()（）.是不定的 .是負定的.當為偶數時是正定的 .當為奇數時是正定的二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。.行列式的值為..設為階方陣,且,則*..設向量α(),β(),則由αγβ所確定的向量γ..已知向量組α(),α(),α()線性相關,則..方程組有解的充分必要條件是..設是階矩陣,秩(,則分塊矩陣的秩為..設為階方陣,其特征值為,則..設階矩陣的個列向量兩兩正交且均為單位向量,則..設λ是可逆矩陣的一個特征值,則矩陣必有一個特征值等于..實二次型()的規(guī)范形為.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）.計算行列式的值..設矩陣,求矩陣,使..已知向量組分別判定向量組α,α,α與向量組α,α,α,α的線性相關性,并說明理由..求與兩個向量α(),α()均正交的單位向量..給定線性方程組,()問λ在什么條件下,方程組有解?又在什么條件下方程組無解?()當方程組有解時,求出通解..已知二次型()的秩為,求參數及二次型經正交變換化成的標準形(不必寫出正交變換).四、證明題（本大題共小題，每小題分，共分）.已知均為階矩陣,且可逆.若,證明:當<時,必有<..設為階矩陣,α為維列向量,若α≠,但α,證明:向量組αα線性無關.參考答案一、單項選擇題(本大題共小題．每小題分，共分)．．．．．．．．．二、填空題(本大題共小題，每小題分，共分)．．．(，，，)．．．．三、計算題(本大題共小題，每小題分，共分)．解法一解法二經適當的兩行對換和兩列對換．解由，有()，．解．解設與均正交的向量為，則這個方程組的一個基礎解系為(一β也是問題的答案)．解所以，當方程組有無窮多解．時，方程組無解；()當時．解此二次型對應的矩陣為四、證明題(本大題共小題，每小題分，共分)．證由行列式乘法公式．證全國年月高等教育自學考試線性代數試題課程代碼：試卷說明：表示矩陣的轉置矩陣，表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣，表示方陣的行列式。一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。．排列的逆序數τ（）（）．．．．．下列等式中正確的是（）．．．．．設為常數，為階矩陣，則（）．．．．．設階方陣滿足，則必有（）．不可逆．可逆．可逆．．設，，，則關系式（）的矩陣表示形式是．．．．．若向量組（Ⅰ）：可由向量組（Ⅱ）：線性表示，則必有（）．秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ）．秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ）．≤．>．設是非齊次線性方程組的兩個解，則下列向量中仍為方程組解的是（）．．．．．設，是同階正交矩陣，則下列命題錯誤的是（）．也是正交矩陣．也是正交矩陣．也是正交矩陣．也是正交矩陣．下列二次型中，秩為的二次型是（）．．．．．已知矩陣，則二次型（）．．．．二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。．已知，為階矩陣，，－，則.．已知，是階單位矩陣，則＝.．若線性無關，而線性相關，則向量組的一個最大線性無關組為.．若向量組線性無關，則應滿足條件.．設是方程組的基礎解系，則向量組的秩為.．設，，則的內積（）＝.．設齊次線性方程組＝的解空間的維數是，則＝.．若實二次型正定，則的取值范圍是.．實二次型的正慣性指數＝.．設為階方陣，，若有特征值λ，則必有特征值.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）．計算行列式.．設實數滿足條件＝，求及.．求向量組，，，的一個最大線性無關組，并把其余向量用該最大線性無關組表示.．給定齊次線性方程組（）當λ滿足什么條件時，方程組的基礎解系中只含有一個解向量？（）當λ＝時，求方程組的通解.．設矩陣，求．設向量和都是方陣的屬于特征值λ＝的特征向量，又向量，求.．設矩陣，求正交矩陣，使為對角矩陣.．設二次型經正交變換化為標準形，求，的值.四、證明題（本大題共小題，每小題分，共分）．設為階實對稱矩陣，且.證明：.．已知矩陣可逆，證明線性方程組無解.年月自考線性代數答案年月全國自學考試線性代數第一部分選擇題(共分)一、單項選擇題(本大題共小題。每小題分，共分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。．對任意階方陣、總有()．．．在下列矩陣中，可逆的是()．設是階方陣()．．．設是×矩陣，則齊次線方程線僅有零解的充分必要條件是()．的行向量組線性無關．的行向量組線性相關．的列向量組線性無關．的列向量組線性相關．設有維向量組，則()．當<時，()一定線性相關．當>時，()一定線性相關．當<時，()一定線性無關．當>時，()一定線性無關．已知是非齊次線性方程組的兩個不同的解，是其導出組的一個基礎解系，為任意常數，則方程組的通解可表成()．設階可逆矩陣有一個特征值為，對應的特征向量為，則下列等式中不正確的是()．．設矩陣的秩為，則λ()．．．．．二次型的矩陣是()．二次型是()．正定的．半正定的．負定的．不定的第二部分非選擇題(共分)二、填空題(本大題共小題。每小題分，共分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯選、不填均無分。．行列式的值為．．設向量(，，),則與它同方向的單位向量為．．設α(，，)，β(，，)，則αβ．．向量組(，，，，)的秩為．．設×矩陣的，個行向量線性無關，則矩陣的秩為．．若線性方程組無解，則．．設階方陣均為維列向量，且，則．．設矩陣，則的全部特征值為．．設為階正交矩陣，α、β為維列向量，已知內知(α，β)，則(，β)．設二次型的正慣性指數為，負慣性指數為，則.三、計算題(本大題共小題，每小題分，共分)．設向量．設，矩陣滿足方程求矩陣．．當取何值時，向量組線性相關?．求下列矩陣的秩：．設矩陣矩陣由矩陣方程確定，試求的通解(要求用它的一個特解和導出組的基礎解系表示)．．設階方陣的三個特征值為的特征向量依次為求方陣．．設為正定二次型，試確定實數的最大取值范圍．四、證明題(本大題共小題，每小題分，共分)．設向量β可由向量組線性表示．試證明：線性表示法唯一的充分必要條件是線性無關．參考答案一、單項選擇題．．．．．．．．二、填空題．．()．．．．．，，．．三、計算題知當且僅當時該向量組線性相關．所求通解都是非零列向量，故題設條件說明有特征值對應的特征向量分別為因為為階方陣．故，．就是的全部特征值，因的特征值互不相同，于是由推論．知可對角化，令矩陣由上式得．解，的矩陣為，的順序主子式為四、證明題所以．證由條件，存在常數若表示法唯一，設有一組數全國年月高等教育自學考試線性代數試題課程代碼：試卷說明：表示矩陣的轉置矩陣，是單位矩陣，表示方陣的行列式。第一部分選擇題(共分)單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。.設行列式，，則行列式等于（）. .(). ..設矩陣，則等于（）.....設矩陣，*是的伴隨矩陣，則*中位于（，）的元素是（）.–...–.設是方陣，如有矩陣關系式，則必有（）..時.時 .時.已知×矩陣的行向量組線性無關，則秩（）等于（）. .. ..設兩個向量組α，α，…，α和β，β，…，β均線性相關，則（）.有不全為的數λ，λ，…，λ使λαλα…λα和λβλβ…λβ.有不全為的數λ，λ，…，λ使λ（αβ）λ（αβ）…λ（αβ）.有不全為的數λ，λ，…，λ使λ（αβ）λ（αβ）…λ（αβ）.有不全為的數λ，λ，…，λ和不全為的數μ，μ，…，μ使λαλα…λα和μβμβ…μβ.設矩陣的秩為，則中（）.所有階子式都不為 .所有階子式全為.至少有一個階子式不等于 .所有階子式都不為.設是一非齊次線性方程組，η，η是其任意個解，則下列結論錯誤的是（）.ηη是的一個解 .ηη是的一個解.ηη是的一個解 ηη是的一個解.設階方陣不可逆，則必有（）.秩()<.秩().方程組只有零解.設是一個(≥)階方陣，下列陳述中正確的是（）.如存在數λ和向量α使αλα，則α是的屬于特征值λ的特征向量.如存在數λ和非零向量α，使(λ)α，則λ是的特征值的個不同的特征值可以有同一個特征向量.如λ，λ，λ是的個互不相同的特征值，α，α，α依次是的屬于λ，λ，λ的特征向量，則α，α，α有可能線性相關.設λ是矩陣的特征方程的重根，的屬于λ的線性無關的特征向量的個數為，則必有（）.≤ .<. .>.設是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）必為 必為的行（列）向量組是正交單位向量組.設是實對稱矩陣，是實可逆矩陣，.則（）與相似.與不等價.與有相同的特征值.與合同.下列矩陣中是正定矩陣的為（）....第二部分非選擇題（共分）二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。...設，.則..設()×，，表示中元素的代數余子式（）,則()()()..設向量（，，）與向量（，，）線性相關，則..設是×矩陣，其秩為，若η，η為非齊次線性方程組的個不同的解，則它的通解為..設是×矩陣，的秩為(<)，則齊次線性方程組的一個基礎解系中含有解的個數為..設向量α、β的長度依次為和，則向量αβ與αβ的內積（αβ，αβ）..設階矩陣的行列式，已知有個特征值和，則另一特征值為..設矩陣，已知α是它的一個特征向量，則α所對應的特征值為..設實二次型()的秩為，正慣性指數為，則其規(guī)范形為.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）.設，.求（）；（）..試計算行列式..設矩陣，求矩陣使其滿足矩陣方程..給定向量組α，α，α，α.試判斷α是否為α，α，α的線性組合；若是，則求出組合系數。.設矩陣.求：（）秩（）；（）的列向量組的一個最大線性無關組。.設矩陣的全部特征值為，和.求正交矩陣和對角矩陣，使..試用配方法化下列二次型為標準形()，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共小題，每小題分，共分）.設方陣滿足，試證明可逆，且（）..設η是非齊次線性方程組的一個特解，ξ，ξ是其導出組的一個基礎解系.試證明（）ηηξ，ηηξ均是的解；（）η，η，η線性無關。全國年月高等教育自學考試線性代數試題參考答案課程代碼：一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）二、填空題（本大題共空，每空分，共分）....–.η(ηη)（或η(ηη)），為任意常數..–.–..三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）.解（）.（），而.所以·（）.解.解即（），而（）所以().解一所以αααα，組合系數為（，，）.解二考慮αααα，即方程組有唯一解（，，），組合系數為（，，）..解對矩陣施行初等行變換.（）秩（），所以秩（）秩（）.（）由于與的列向量組有相同的線性關系，而是階梯形，的第、、列是的列向量組的一個最大線性無關組，故的第、、列是的列向量組的一個最大線性無關組。（的第、、列或、、列，或、、列也是）.解的屬于特征值λ的個線性無關的特征向量為ξ（，，），ξ（，，）.經正交標準化，得η，η.λ的一個特征向量為ξ，經單位化得η所求正交矩陣為.對角矩陣（也可取.）.解(，，)（）（）（）.設，即，因其系數矩陣可逆，故此線性變換滿秩。經此變換即得(，，)的標準形.四、證明題（本大題共小題，每小題分，共分）.證由于（）（），所以可逆，且（）..證由假設η，ξ，ξ.（）η（ηξ）ηξ，同理η，所以η，η是的個解。（）考慮ηηη，即（）ηξξ.則，否則η將是的解，矛盾。所以ξξ. 又由假設，ξ，ξ線性無關，所以，，從而.所以η，η，η線性無關。全國年月自考線性代數試題答案課程代碼：一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）二、填空題（本大題共空，每空分，共分）....–.η(ηη)（或η(ηη)），為任意常數..–.–..三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）.解（）.（），而.所以·（）.解.解即（），而（）所以().解一所以αααα，組合系數為（，，）.解二考慮αααα，即方程組有唯一解（，，），組合系數為（，，）..解對矩陣施行初等行變換.（）秩（），所以秩（）秩（）.（）由于與的列向量組有相同的線性關系，而是階梯形，的第、、列是的列向量組的一個最大線性無關組，故的第、、列是的列向量組的一個最大線性無關組。（的第、、列或、、列，或、、列也是）.解的屬于特征值λ的個線性無關的特征向量為ξ（，，），ξ（，，）.經正交標準化，得η，η.λ的一個特征向量為ξ，經單位化得η所求正交矩陣為.對角矩陣（也可取.）.解(，，)（）（）（）.設，即，因其系數矩陣可逆，故此線性變換滿秩。經此變換即得(，，)的標準形 .四、證明題（本大題共小題，每小題分，共分）.證由于（）（），所以可逆，且（）..證由假設η，ξ，ξ.（）η（ηξ）ηξ，同理η，所以η，η是的個解。（）考慮ηηη，即（）ηξξ.則，否則η將是的解，矛盾。所以ξξ. 又由假設，ξ，ξ線性無關，所以，，從而.所以η，η，η線性無關。年月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數試題課程代碼：說明：本卷中，表示矩陣的轉置，α表示向量α的轉置，表示單位矩陣，表示方陣的行列式，表示方陣的逆矩陣，（）表示矩陣的秩.一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。.設行列式(). ..設，，為同階可逆方陣，則（）().-1C ..-1A ..設α，α，α，α是維列向量，矩陣（α，α，α，α），如果，則-2A.設方陣滿足，則必有().設α，α，α，α是三維實向量，則().α，α，α，α一定線性無關 .α一定可由α，α，α線性表出.α，α，α，α一定線性相關 .α，α，α一定線性無關.設是×矩陣，（），則齊次線性方程組的基礎解系中所含向量的個數是().設，則以下向量中是的特征向量的是().（，，） .（，，）.（，，） .（，，）.設矩陣的三個特征值分別為λ，λ，λ，則λλλ().三元二次型(，，)的矩陣為(). .. ..設矩陣是正定矩陣，則滿足()<>二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。.行列式..設方陣滿足-2A，則（）.設，則..設α（，，），β（，，），γ（，，），則αβγ..實數向量空間{（）}的維數是..設線性方程組有無窮多個解，則..設是×實矩陣，若（），則（）..設階矩陣有一個特征值，則..設向量α（，，），β（，，），且α與β正交，則..二次型的秩為.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）．計算行列式..設，判斷是否可逆，若可逆，求其逆矩陣..設向量組（）求該向量組的一個最大線性無關組；（）將其余向量表示為該最大線性無關組的線性組合..求齊次線性方程組的基礎解系及其結構解..設矩陣，求可逆方陣，使為對角矩陣..已知二次型的秩為，求參數.四、證明題（本大題分）．設方陣與方陣相似，證明：對任意正整數，與相似.年月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數試題課程代碼：說明：在本卷中，表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣，表示方陣的行列式.一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。．設，，均為階方陣，，，則（）． ．． ．．設為階方陣，為階方陣，且行列式，，則行列式之值為（）． ．． ．．已知，，，，則（）． ．． ．．設為×矩陣，是階可逆矩陣，的秩為，的秩為，則（）．> ．．< ．與的關系不能確定．已知是一個×矩陣，下列命題中正確的是（）．若矩陣中所有階子式都為，則秩（）．若中存在階子式不為，則秩（）．若秩（），則中所有階子式都為．若秩（），則中所有階子式都不為．下列命題中錯誤的是（）．只含有一個零向量的向量組線性相關．由個維向量組成的向量組線性相關．由一個非零向量組成的向量組線性相關．兩個成比例的向量組成的向量組線性相關．已知向量組α,α,α線性無關，α,α,α,β線性相關，則（）．α必能由α,α,β線性表出 ．α必能由α,α,β線性表出．α必能由α,α,β線性表出 ．β必能由α,α,α線性表出．設為×矩陣，≠，則齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是的秩（）．小于 ．等于．小于 ．等于．設為可逆矩陣，則與必有相同特征值的矩陣為（）． ．． ．*．二次型的正慣性指數為（）． ．． ．二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分） 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。．行列式的值為.．設為階可逆矩陣，且，則.．設矩陣，，則.．矩陣方程的解.．設為階矩陣，為階非零矩陣，若的每一個列向量都是齊次線性方程組的解，則.．齊次線性方程組的基礎解系所含解向量的個數為.．設階可逆矩陣的一個特征值是，則矩陣必有一個特征值為.．設矩陣的特征值為，，，則數.．已知是正交矩陣，則.．二次型的矩陣是.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）．計算行列式的值.．設，其中≠（），求.．設向量組α()，α()，α()，α()，求向量組的秩及一個極大線性無關組，并用該極大線性無關組表示向量組中的其余向量.．問為何值時，線性方程組有惟一解？有無窮多解？并在有解時求出其解（在有無窮多解時，要求用一個特解和導出組的基礎解系表示全部解）.．求矩陣的特征值和全部特征向量.．已知二次型經正交變換化為標準形，求所用的正交矩陣.四、證明題（本題分）．設，都是階方陣，且≠，證明與相似.年月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數試題課程代碼：說明：在本卷中，表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣，表示方陣的行列式，（)表示矩陣的秩.一、單項選擇題(本大題共小題，每小題分，共分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。．設矩陣，（，）則（）． ．（，）．．．設為階矩陣，，則（）． ．．．．設行列式，，則（）． ．．．．設矩陣的伴隨矩陣*，則（）． ．．．．設均為階可逆矩陣，則必有（）．可逆 ．可逆．可逆 ．可逆．設為階矩陣且()，，則()（）． ．．．．設向量組α（，），α（，），β（，），則（）．α，α，β線性無關．β不能由α，α線性表示．β可由α，α線性表示，但表示法不惟一 ．β可由α，α線性表示，且表示法惟一．設齊次線性方程組有非零解，則為（）． ．．．．設為階實對稱矩陣，的全部特征值為，，，則齊次線性方程組()的基礎解系所含解向量的個數為（）． ．．．．二次型()正定，則滿足（）．<< ．<<．<< ．<或>二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。．行列式的值為.．已知，則中第一行第二列元素的代數余子式為.．設，都是階矩陣，且，，則.．設矩陣，，則.．已知向量組α（，，），α（，，），α（，，）線性相關，則數.．已知為元線性方程組，().α，α，α為該方程組的個解，且α，αα，則該線性方程組的通解是.．設是矩陣的一個特征值，則矩陣3A．已知是階正交矩陣，向量α，β，則內積（α，β）.．與矩陣相似的對角矩陣為.．二次型(，，)的秩為.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）．求行列式的值.．設矩陣，，求滿足矩陣方程的矩陣.．設向量組α()，α()，α()，α()，確定的值，使向量組α，α，α，α的秩為，并求該向量組的一個極大線性無關組.．當數為何值時，線性方程組有無窮多解？并求出其通解.（要求用它的一個特解和導出組的基礎解系表示）．已知階矩陣的特征值為，，，設2A（）矩陣的行列式及的秩.（）矩陣的特征值及與相似的對角矩陣.．求二次型()經可逆線性變換所得的標準形.四、證明題（本題分）．已知階矩陣，滿足，及()，證明.年月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數試題課程代碼：說明：本卷中，表示矩陣轉置，()表示方陣的行列式，表示方陣的逆矩陣，(，)表示向量，的內積，表示單位矩陣．一、單項選擇題(本大題共小題，每小題分，共分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。．設是階方陣，且()，則(4A． ．． ．．已知，則矩陣()． ．． ．．設矩陣，，，為同階方陣，且，可逆，，則矩陣()． ．．-1A-1．設是×矩陣(≠)，則以下關于矩陣的敘述正確的是()．是×對稱矩陣 ．．() ．是×對稱矩陣．設，，，，是四維向量，則()．，，，，一定線性無關．，，，，一定線性相關．一定可以由，，，線性表出．一定可以由，，，線性表出．設是階方陣，若對任意的維向量均滿足，則()． ．．秩() ．<秩()<．設矩陣與相似，則以下結論不正確的是()．秩()秩() ．與等價．與有相同的特征值 ．與的特征向量一定相同．設，，為矩陣的三個特征值，則()． ．． ．．二次型(，，)的秩為()． ．． ．．設，是正定矩陣，則()．一定是正定矩陣 ．一定是正定矩陣．()一定是正定矩陣 ．一定是負定矩陣二、填空題(本大題共小題，每小題分，共分)請在每小題的空格中填上正確答案。填錯、不填均無分。．設，為正整數，則．．設階可逆矩陣的逆矩陣，則矩陣．．設同階方陣，的行列式分別為，，則（）.．設向量(,,,),（，，，），向量滿足,則.．實數向量空間{(,,…,)…}的維數是．．矩陣的秩.．設是齊次線性方程組的兩個解，則（）.．設方陣有一個特征值為，則().．設為正交矩陣，若（,）,則（,）.．設(，，)是正定二次型，則滿足.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）．計算行列式．判斷矩陣是否可逆，若可逆，求其逆矩陣．．求向量組(，，，)(，，，)(，，，),(，，，)的一個最大線性無關組，并將其余向量通過該最大線性無關組表示出來．．求齊次線性方程組的一個基礎解系及其結構解．．求矩陣的特征值和特征向量．．寫出下列二次型的矩陣，并判斷其是否是正定二次型．(，，)四、證明題(本大題共小題，分)．設方陣滿足()，且與相似，證明：．年月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數試題課程代碼：說明：表示矩陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，是單位矩陣，表示方陣的行列式。一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。.下列等式中，正確的是（）.....設矩陣，那么矩陣的列向量組的秩為（）.設向量（，），（，），（，），若有常數使,則（）.向量組（，，），（，，），（，，），（，，）的極大線性無關組為（）.，.，.，.，.下列矩陣中，是初等矩陣的為（）.....設、均為階可逆矩陣，且，則是（）.....設為階矩陣，的秩()，則矩陣*的秩(*)（）.設是可逆矩陣的一個特征值，則矩陣有一個特征值等于（）.....設矩陣，則的對應于特征值的特征向量為（）.（，，） .（，，）.（，，） .（，，）.下列矩陣中是正定矩陣的為（）....二、填空題（本大題共小題，每題分，共分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。.行列式..設矩陣，（，，），則..行列式中第行各元素的代數余子式之和為..設，為階方陣，且，-1A.設向量（，，，），則的單位化向量為..設階方陣的行列式，則..已知維向量（，，），（，，）則..設階矩陣的各行元素之和均為，且的秩為，則齊次線性方程組的通解為..設，，…，是階矩陣的個特征值，則矩陣的行列式..二次型()的秩為.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）.已知矩陣，，求：（）；（）..設，，，且滿足，求矩陣..求向量組()，（），（），（）的秩與一個極大線性無關組..判斷線性方程組是否有解，有解時求出它的解..設向量（，，），（，，），（）用施密特正交化方法將，化為正交的，；（）求，使，，兩兩正交..已知二次型，經正交變換化成了標準形，求所用的正交矩陣.四、證明題（本大題共分）.設為階反對稱矩陣，證明.年月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數試題課程代碼：說明：本卷中，表示方陣的轉置矩陣，*表示矩陣的伴隨矩陣，表示單位矩陣，表示方陣的行列式.一、單項選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。.設，則().設為階方陣，且，則-2A.設，為階方陣，且，，則下列命題正確的是().() 是對稱矩陣是對稱陣.設，，，都是階方陣，則下面等式正確的是().若，則 .().若，則 .若，則.設矩陣，則秩()().若方程組僅有零解，則().實數向量空間{（，，）}的維數是().若方程組有無窮多解，則λ().設，則下列矩陣中與相似的是(). .. ..設實二次型(，，)，則().正定 .不定.負定 .半正定二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分）請在每小題的空格中填上正確答案。填錯、不填均無分。.四階行列式中，項31a22.設三階矩陣［α,α,α］，其中α(，，)為的列向量，且，則［αα，α，ααα］..設，且秩()，則，，應滿足..矩陣的逆陣是..三元齊次方程的結構解是..已知相似于，則..矩陣的特征值是..與矩陣相似的對角矩陣是..設相似于，則..二次型(，，)的矩陣是.三、計算題（本大題共小題，每小題分，共分）.計算階行列式..設，,求4A..計算向量組的秩，并求出該向量組的一個最大無關組，同時將其余的向量表示成該最大無關組的線性組合..非齊次方程組為何值時，有無窮解，并求其結構解..已知，，是三階實對稱矩陣的三個特征值，向量，(，，)，(，，)是的對應于的特征向量，求的屬于的