自動控制原理-第四章

4.1

引言一、意義控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和時間響應(yīng)中瞬態(tài)分量的運(yùn)動模態(tài)都由特征方程的根即閉環(huán)極點(diǎn)決定。因此特征根的位置對系統(tǒng)性能有重要意義。4.1

引言二、根軌跡定義控制系統(tǒng)的某一個參數(shù)由零變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根（閉環(huán)極點(diǎn))在[s]平面上形成的軌跡。注：繪制系統(tǒng)根軌跡時,選擇的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。Ks(0.5s

1)R(s)

C(s)k

2Ks(s

2)ks(s

2)2Ks(0.5s

1)KG(s)

s

1

1

k1

ks2

1

D(s)

s

2

2s

k

0

D(s)

s

2

2s

k

0s(s

2)

kR(s)

1

G(s)(s)

C(s)

kG(s)14.1

引言此時閉環(huán)極點(diǎn)就是開環(huán)極點(diǎn)。0

k

1,

s1,2均為負(fù)實(shí)數(shù)，在負(fù)實(shí)軸（

2，0）上。k

1,

ss

s2

1

兩個負(fù)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)重合在一起。1

k

s1,2

1

j

k1

s1,s2位于一條直線上，實(shí)部不隨k變化。根軌跡k

0,

s1

0,

s2

24.1

引言4.1

引言(i

0,1,2,)1

G(s)H

(s)

0

或G(s)H

(s)

1

)G(s)H

(s)

e

jG

(

s

)

H

(

s

)

1

e

j

(180

i360G(s)H

(s)

1相角條件：G(s)H

(s)

180

i

360

(i

0,1,2,)注：滿足相角條件的任何一點(diǎn)，一定可以找到對應(yīng)的可變參數(shù)的值，使幅值條件成立。相角條件是某點(diǎn)在系統(tǒng)根軌跡上的充要條件。幅值條件：三、繪制根軌跡依據(jù)的條件負(fù)反饋系統(tǒng)：K

(s

4)G(s)H

(s)

s(s

2)(s

6.6)例：4.1

引言4.1

引言K

(1

s

1)(

2

s

1)(

m

s

1)1

11(

p

)s

(1(z

)(開環(huán)傳遞函數(shù)化為零極點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)形式：G(s)H

(s)

k

(s

z1

)(s

z2

)

(s

zm

)(s

p1

)(s

p2

)

(s

pn

)v1

v2

nsv

(T s

1)(T s

1)(T

s

1)1

2s

1)(1

1z

zs

1)(ppknv1

v2vniv1s

1)(

s

1)pims

1)(

s

1)zm

jj

1s

z

j

(j

1,2,,m)為系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)；s

pi

(i

1,2,,n)為系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)mk(zj

)j

1niv1

(

pi)式中，K

為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)；k為可變參數(shù)4.2

180。根軌跡繪制方法m

nG(s)H

(s)

(s

z

j

)

(s

pi

)

180

i

360j

1

i1(i

0,1,2,

)幅值條件：4.2

180。根軌跡繪制方法負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡的相角條件：G(s)H

(s)

1

1mj

1k

s

z

jni

1

s

pi滿足上述方程的根軌跡稱為180。根軌跡一、根軌跡的分支數(shù)由

1

G得

(s

p1

)(s

p2)

(s

pn

)

k當(dāng)n

m時方程階次為n，有n個根。當(dāng)k(0

)時，每一個根形成根軌跡的一個分支，共有n個分支規(guī)則一：根軌跡在[s]平面的分支數(shù)等于控制系統(tǒng)特征方程式的階次，即等于閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)目，也等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。4.2

180。根軌跡繪制方法二、根軌跡的連續(xù)性與對稱性規(guī)則二：根軌跡連續(xù)且對稱于實(shí)軸。特征方程的系數(shù)為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)根，則必是共軛復(fù)根。4.2

180。根軌跡繪制方法4.2

180。根軌跡繪制方法三、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起始點(diǎn)：k=0時特征根在[s]上的位置終止點(diǎn)：k

時特征根在[s]上的位置由

(s

p1

)(s

p2

)

(s

pn

)

k(s

z1

)(s

z2

)

(s

zm

)

0，k

0

(s

p1

)(s

p2

)(s

pn

)

0

s

pi

(i

1,2,

n)(根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn),此時開環(huán)極點(diǎn)就是閉環(huán)極點(diǎn))1

k(s

z1

)(s

z2

)

(s

zm

)

0

(s

p1

)(s

p2

)

(s

pn

)(s

p1

)(s

p2

)

(s

pn

)

(s

z1

)(s

z2

)

(s

zm

)

01k

s

z

jk(s

z1

)(s

z2

)

(s

zm

)

0

n

m

1

(j

1,2,

,m)

（根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)）212mmzz

zppp1k

1

1s

s

s

11

1

(s

pm1

)

(s

pn

)s

s

s

k

s

z

j

，s

(開環(huán)零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處都是根軌跡的終點(diǎn))規(guī)則三：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。若n>m,則有(n-m)條根軌跡終止于[s]平面無窮遠(yuǎn)處。4.2

180。根軌跡繪制方法例設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：4.2

180。根軌跡繪制方法解：（1）開環(huán)極點(diǎn)：P1=0，P2=-1,P3=-2，因此有3條根軌跡（2）三條根軌跡起點(diǎn)：（0，j0），（-1，j0），（-2，j0）終點(diǎn)：趨向于s平面上的無窮遠(yuǎn)處（3）系統(tǒng)有三條隨變量k由0變

稱于實(shí)軸的連續(xù)根軌跡曲線四、根軌跡的漸近線當(dāng)n>m，(n-m)條根軌跡沿什么方向趨于[s]平面無窮遠(yuǎn)處。漸近線可認(rèn)為是k

,

s

時的根軌跡。4.2

180。根軌跡繪制方法規(guī)則四：如果m<n,k→∞時，根軌跡有漸近線n-m條。這些漸近線在實(shí)軸上交于一點(diǎn)：n

mm

z

jj

1n

pii1a

漸近線與實(shí)軸正方向的夾角是：n

ma(s

)

2l

1

(l

0,1,2,n

m

1)4.2

180。根軌跡繪制方法例試確定負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡在實(shí)軸上的組成部分0

1

2

0=

13

0n

pii1m

z

jj

1an

m

解：n=3,m=0,該系統(tǒng)的根軌跡有三條漸近線。與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)：4.2

180。根軌跡繪制方法2l

12l

12l

1o

60al

0,

(s

)

o

180al

1,

(s

)

oo

300

或-60al

2,

(s

)

n

mn

mn

m漸近線與實(shí)軸正方向夾角分別為：4.2

180。根軌跡繪制方法4.2

180。根軌跡繪制方法五、實(shí)軸上的根軌跡規(guī)則五：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域是根軌跡。k(s

z1

)1

2(s

p1

)(s

p2

)(s

p3

)設(shè)G(s)H

(s),其中p

,p

是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)4.2

180。根軌跡繪制方法s1左邊每個開環(huán)極點(diǎn)或零點(diǎn)提供的相角為0o

，s1右邊每個開環(huán)極點(diǎn)或零點(diǎn)提供的相角為180o每對共軛極點(diǎn)和零點(diǎn)提供的相角之和為0o，互相抵消。

0s1是根軌跡上的（

，z1

)中間G(s)H

(s)

s2不是根軌跡上4.2

180。根軌跡繪制方法例負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：根軌跡的分支數(shù)等于3。根軌跡起點(diǎn)為（0，j0)，(-1，j0)，(-2，j0)，終點(diǎn)均為無窮遠(yuǎn)。s(s

1)(s

2)繪制系統(tǒng)的根軌跡。解

開環(huán)極點(diǎn)為p1

0,

p2

1,G(s)H

(s)

kp3

24.2

180。根軌跡繪制方法3）漸近線三條，實(shí)軸上交點(diǎn)坐標(biāo)是：漸近線與實(shí)軸正方向夾角：4）實(shí)軸上的根軌跡（-∞，-2]段及[-1，0]段。

0

1

2

0

13n

mm

z

jj

1n

pii1a

300

或

60(2l

1)

5n

m

3當(dāng)l

2時，

180(2l

1)

3n

m

3當(dāng)l

1時，

60(2l

1)

n

m

3當(dāng)l

0時，4.2

180。根軌跡繪制方法六、根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)分離點(diǎn)：根軌跡離開實(shí)軸

復(fù)平面時與實(shí)軸交點(diǎn)（A點(diǎn)）會合點(diǎn)：根軌跡由復(fù)平面進(jìn)入實(shí)軸時與實(shí)軸交點(diǎn)（B點(diǎn)）4.2

180。根軌跡繪制方法4.2

180。根軌跡繪制方法規(guī)則六：根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)或會合點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足式（1）注：上述方程的根不一定全是根軌跡上的點(diǎn)！需經(jīng)檢驗(yàn)確實(shí)處于實(shí)軸的根軌跡上，并使k為正數(shù)的根，才是實(shí)際的分離點(diǎn)或會合點(diǎn)。d

D(s)

0(1)d

s

N

(s)

1

1mnkN

(s)d

s

d

sj

1G(s)H

(s)

;D(s)N(s)

(s

z

j

),D(s)

(s

pi

)i1特征方程為

f

(s)

D(s)

kN

(s)

0設(shè)

特征方程有兩重根s

f

(s)

D(s)

kN

(s)

(s

s

)2

p(s)1 1d

f

(s)

d

D(s)

k

d

N

(s)

2(s

s

)

p(s)

(s

s

)2

d

p(s)ds

d

s在分離點(diǎn)和會合點(diǎn)

:d

f

(s)

0dsd

D(s)

k

d

N

(s)

0

,d

s

d

sk

D(s)N

(s)

N

(s)

d

D(s)

D(s)

d

N

(s)

0d

s

d

s

d

D(s)

0(1)d

s

N

(s)

4.2

180。根軌跡繪制方法K例

求負(fù)反饋系統(tǒng)G(s)H(s)=s(s+1)(s+2)d

s

N

(s)

d

s

1

解：系統(tǒng)特征方程式為：d

D(s)

0

d

s(s+1)(s+2)

0

s1

0.422,

s2

1.578實(shí)軸上的根軌跡：（-,-2],[-1,0]s2不是根軌跡上的點(diǎn)，舍去。s1是根軌跡與實(shí)軸分離點(diǎn)坐標(biāo)分離點(diǎn)的坐標(biāo)。4.2

180。根軌跡繪制方法例負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：根軌跡的分支數(shù)等于3。根軌跡起點(diǎn)為（0，j0)，(-1，j0)，(-2，j0)，終點(diǎn)均為無窮遠(yuǎn)。s(s

1)(s

2)繪制系統(tǒng)的根軌跡。解

開環(huán)極點(diǎn)為p1

0,

p2

1,G(s)H

(s)

kp3

24.2

180。根軌跡繪制方法3）漸近線三條，實(shí)軸上交點(diǎn)坐標(biāo)是：漸近線與實(shí)軸正方向夾角：4）實(shí)軸上的根軌跡（-∞，-2]段及[-1，0]段。

0

1

2

0

13n

mm

z

jj

1n

pii1a

300

或

60(2l

1)

5n

m

3當(dāng)l

2時，

180(2l

1)

3n

m

3當(dāng)l

1時，

60(2l

1)

n

m

3當(dāng)l

0時，4.2

180。根軌跡繪制方法

s1

0.422,

s2

1.578s1

是根軌跡與實(shí)軸分離點(diǎn)的坐標(biāo)，s2

不是根軌跡上的點(diǎn)。15）求實(shí)軸上的分離點(diǎn)坐標(biāo)d

D(s)

0

d

s(s+1)(s+2)

0d

s

N

(s)

d

s

4.2

180。根軌跡繪制方法七、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸相交，說明控制系統(tǒng)有位于虛軸上的閉環(huán)極點(diǎn)，即特征方程有純虛根。令s

jw1

G(

j)H

(

j)

0Re

[1

G(

j)H

(

j)]

j

Im[1

G(

j)H

(

j)]

0Re

[1

G(

j)H

(

j)]

0(1)Im[1

G(

j)H

(

j)]

0

,

kc規(guī)則七：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

值及與此交點(diǎn)相對應(yīng)的參數(shù)k的臨界值kc應(yīng)滿足式（1）4.2

180。根軌跡繪制方法例

負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求系統(tǒng)根軌跡與虛軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及參數(shù)臨界值

kc

。解

特征方程是s3

3s2

2s

k

0s

j代入

j3

32

j2

k

0

3-32

k

0k

6,

2k

0,

0

2

0s(s

1)(s

2)G(s)H

(s)

k4.2

180。根軌跡繪制方法解法二：勞思判據(jù)4.2

180。根軌跡繪制方法八、根軌跡的出射角與入射角出射角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，如。入射角：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)

處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，如。21p

p

,21z

z

,4.2

180。根軌跡繪制方法4.2

180。根軌跡繪制方法規(guī)則八：出射角表達(dá)式同理可求出入射角表達(dá)式1m

nj

1

i21

1

j

1

i

p

180

(

p

z

)

(

p

p

)利用根軌跡對稱性知，另一共軛極點(diǎn)出射角為-

pn

mi1

j

21

1

i

1

j

z

180

(z

p

)

(z

z

)1在根軌跡上取一試驗(yàn)點(diǎn)s1

p1

，(s1

p1

)

pG(

H

(s)

1

4.2

180。根軌跡繪制方法例負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制系統(tǒng)的根軌跡。

3s

3.25k

(s

1)G(s)H

(s)

s

24.2

180。根軌跡繪制方法解1）根軌跡的分支數(shù)等于2。2）根軌跡起點(diǎn)是p1,p2

。終點(diǎn)是

z1

及無窮遠(yuǎn)。3）因?yàn)閚=2,m=1,所以只

有一條漸近線，是負(fù)實(shí)軸。4）實(shí)軸上的根軌跡是（-∞，-１]。s2

3s

3.25

0

p

1.5

j。s

1

0

z

11,2

14.2

180。根軌跡繪制方法5）根軌跡在實(shí)軸上的會合點(diǎn)坐標(biāo)s1

是根軌跡與實(shí)軸分離點(diǎn)，s2

不是根軌跡上的點(diǎn)，舍去。６）出射角

p

180

(

p1

z1

)

(

p1

p2

)20

s

2s

0.25

0

s1

2.12,

s2

0.12d

s

2

3s

3.25

d

s

s

1

1

180

116.6

90

206.6

p

206.624.2

180。根軌跡繪制方法nnn

nsn1

n1

n

1

2

n

a

sn1

as

a

(s

s

)(s

s

) (s

s

)

0sn

,則有根據(jù)代數(shù)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可得:

si

a1i1si

ani1注：當(dāng)n

m

2時，

si

=

pi

a1i1

i1即閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和九、閉環(huán)極點(diǎn)的和與積設(shè)控制系統(tǒng)特征方程式1

G(s)H

(s)

0的n個根為s1,s2

,4.2

180。根軌跡繪制方法4.2

。根軌跡繪制方法F

(s)

(s

s1

)(s當(dāng)n

m

2時：n n

si

=

pi1

i1例負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H

(s)，與虛軸交點(diǎn)求對應(yīng)的s3s(s

1)(s

2)k及交點(diǎn)處的臨界值k2)

32

(

js3

3s2

2s

k

0由閉環(huán)極點(diǎn)之和公式得：s1

s2

s3

3

s3

3

s1

s2

3

j由閉環(huán)極點(diǎn)之積公式得：k

(s1

)(s2

)(s3

)

6為

s1,2

j

2

,解:特征方程為:4.2

180。根軌跡繪制方法十、放大系數(shù)的求取2型系統(tǒng)mps00型系統(tǒng)

K

lim

G(s)H

(s)

knvs01型系統(tǒng)

K

lim

sG(s)H

(s)

knmans0K

lim

s2G(s)H

(s)

k(zj

)j

1(

pi

)i1m(zj

)j

1(

pi

)i2(zj

)j

1(

pi

)i3m(無零點(diǎn)時分子為1,即(z

j

)

1)j

14.2

180。根軌跡繪制方法例開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H

(s)，s(s

1)(s

2)kKvc

。臨界值

kc

6

，求對應(yīng)的開環(huán)放大系數(shù)

31

21

6

c

(

p

)(

p

)1

21vc解

K

k4.2

180。根軌跡繪制方法s(s

2.73)(s2

2s

2)繪系統(tǒng)的根軌跡圖求與虛軸交點(diǎn)對應(yīng)的放大系數(shù)和閉環(huán)極點(diǎn)解：開環(huán)極點(diǎn)為p1

0,p2

1

j,p3

1

j,p4

2.73根軌跡分支數(shù)為4。起于p1,p2

,p3

,p4

,止于無窮遠(yuǎn)。G(s)H

(s)

k例：負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：4.2

180。根軌跡繪制方法3)漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)與交角為0

1

j1

j

2.73

0

1.18l

0

:l

1:l

2

:l

3

:n

pii1m

z

jj

1a

4

0

45n

m(2l

1)

n

m

43

13545

22547

3154或135或

454.2

180。根軌跡繪制方法d

[s(s

2.73)(s2

2s

2)]

ds

s1

2.066）根軌跡的出射角p2

180

(

p2

p1

)

(

8

35

90

30

7)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)4.2

180。根軌跡繪制方法4

7.462

k

04.733

5.46

04.2

。根軌跡繪制方法s1,

j1.07

，

ks3

s4

4.733

4

s

1

2

s3

,4

2.36. 3

6s

s判斷系統(tǒng)在K從0到∞變化范圍內(nèi)的穩(wěn)定性。當(dāng)K值確定后，在根軌跡上找到閉環(huán)極點(diǎn)，從而計(jì)算系統(tǒng)閉環(huán)性能指標(biāo)；或反之。判斷系統(tǒng)K取值在何范圍時處于過阻尼、無阻尼、臨界阻尼和欠阻尼狀態(tài)（特別對二階系統(tǒng)）。利用根軌跡，分析系統(tǒng)性能4.2

180。根軌跡繪制方法例：單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函為：用根軌跡法分析開環(huán)放大系數(shù)K對系統(tǒng)性能的影響，計(jì)算K

=5時系統(tǒng)動態(tài)指標(biāo)。解：K為任意值時，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。當(dāng)0<K<0.5(0<k<1)時，系統(tǒng)有兩個不相等的負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是非振蕩的。s(0.5s

1)G(s)

KkK

2K

k

2Ks(0.5s

1)

s(s

2)

s(s

2)G(s)

4.2

180。根軌跡繪制方法當(dāng)0.5<K<∞(1<k<∞)時，系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是振蕩的。當(dāng)K

=5（k=10）時，由圖知系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為1

21,2n

n

s

j

1

2n

1

j33

3s(

5%)

arctan3.14

1.25=

0.63s3n

3.16

，

0.316ppn

1

2100%

35%，t

1.05s

，sntr

1

2n

1

2

et

1

24.2

180。根軌跡繪制方法4.3

0。根軌跡繪制方法正反饋系統(tǒng)特征方程：其幅值條件為：相角條件為：4.3

0。根軌跡繪制方法繪制0。根軌跡時，需對與相角條件有關(guān)的規(guī)則作如下修改，其余規(guī)則不變。規(guī)則3：實(shí)軸上的線段存在根軌跡的條件是其右邊的開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。規(guī)則4：（n-m）條漸近線的傾角為：2l(l

0,1,

2,